九年级数学上学期期中模拟卷02（苏科版第1、2、5章一元二次方程+圆+二次函数）

2025－2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级第1、2、5章（一元二次方程+圆+二次函数）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．5x2－6y－3＝0 C．ax2－x＋2＝0 D．（a2＋1）x2＋bx＋c＝0 【答案】D 【详解】A、选项方程是分式方程，不合题意； B、选项方程含有2个未知数，不合题意； C、选项方程没有说明a的取值，不合题意； D、选项方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，故选：D． 2．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】∵Δ＝k2－4×1×（－2）＝k2＋8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0的一个根，则2031－3a＋3b的值为（　　） A．2022 B．2025 C．2023 D．2024 【答案】B 【详解】由条件可得a－b－2＝0，故a－b＝2， ∴2031－3a＋3b＝2031－3（a－b）＝2025， 故选：B． 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】由图象可知a＜0，c＞0，， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴b2－4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②错误； 根据图象知道当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0， 故③错误； ∵抛物线开口向下，x＝－1时抛物线与x轴相交， ∴x＜－1时的抛物线位于x轴下方，即y＜0， ∴当x＝－2时y＝a（－2）2＋（－2）•b＋c＝4a－2b＋c＜0， 故④正确． 故选：A． 5．如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】如图，连接OA，OB， ∵AD＝BC， ∴， ∴， ∴∠C＝∠CAD， ∵AD⊥BC ∴∠AEC＝90°， ∴∠C＝∠CAD＝45°， ∴∠O＝2∠C＝90°， ∴ABOA＝2． 故选：A． 6．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝100（1－x） B．y＝100（1＋x） C．y＝50（1＋x）2 D．y＝50（1－x）2 【答案】D 【详解】由题意可得： 第一次降价后的价格为50（1－x）元， ∴第二次降价后的价格为50（1－x）2元， 又∵两次降价后的价格为y元， ∴y与x的函数关系式为：y＝50（1－x）2． 故选：D． 7．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD， ∴OF， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2＋O′E′2， ∵OE＝OB－BE′＝1－x， ∴（2）2＝（5－x）2＋52， ∴（x－5）2＋y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5CD≤5． 故选：C． 8．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　） A． B． C． D．πr2 【答案】A 【详解】如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时， 过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E， 连接AO1，则Rt△ADO1中，∠O1AD＝30°，O1D＝r，ADr． 则S△ADO1O1D•ADr2，S四边形ADO1E＝2S△ADO1r2． ∵由题意，∠DO1E＝120°，得S扇形O1DEr2， ∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3（r2r2）＝（3π）r2． 故选：A． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．方程x2＝3x的解为：　x＝0或x＝3　 ． 【详解】先移项，再利用因式分解求解可得： 原方程移项得x2－3x＝0， x（x－3）＝0， x＝0或x－3＝0， x＝0或x＝3． 故答案为：x＝0或x＝3． 10．已知关于x的方程（m－1）x2－x－2＝0，当方程总有实数根时．则m的范围为　m　 ． 【详解】当m－1＝0时，即m＝1，方程变形为－x－2＝0，解得x＝－2； 当m－1≠0时，Δ＝（－1）2－4（m－1）•（－2）＝8m－7≥0 解得m且m≠1， 综上所述，m的取值范围为m． 故答案为：m． 11．已知a是方程x2－2025x＋1＝0的一个根，则a2－2024a　2024　 ． 【详解】把x＝a代入方程x2－2025x＋1＝0得：a2－2025a＋1＝0， ∴a2－2025a＝－1，a2＋1＝2025a， ∴， ∴a2－2024a ＝－1＋2025 ＝2024， 故答案为：2024． 12．如图，在3×5的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，D，E均在格点上，线段AE与弧AD交于点B，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【详解】连接AD与网格线交于点O，连接DE，OB， ∵∠ACD＝90°， ∴AD为圆弧所在圆的直径，且与网格的交点（O）为圆心． ∵每个小正方形的边长均为1， ∴AD， ∴AO． 由网格可知，DE⊥DA，DE＝DA， ∴∠DAE＝45°． 又∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠DAE＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴． 又∵， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 13．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OA＝6，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PE（点E为切点），则切线长PE的最小值是 　　 ． 【详解】在Rt△ABO中，OA＝6，∠A＝30°， ∴，即AB＝2OB， 由勾股定理得：AB2＝BO2＋AO2， 即4BO2＝BO2＋36， 解得：OB＝2（负值舍）， ∴AB＝4， 连接EO， ∵PE是⊙O的切线， ∴PE⊥OE， 则△EPO是直角三角形． 当OP⊥AB时，OP最小，PE最小． ∵， ∴， 解得：OP＝3， 在Rt△EPO中，由勾股定理得：PE． 所以切线长PE的最小值为． 故答案为：． 14．如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是　120　 °． 【详解】 连接OE， ∵∠ACB＝90°，AB为半圆的直径， ∴E、A、C、B四点共圆， ∴∠ACP＝3°×20＝60°， ∴∠AOE＝2∠ACP＝120°， 即第20秒点E在量角器上对应的读数是120°， 故答案为：120． 15．若a，b是方程2x2＋4x－3＝0的两根，则a2＋ab＋2b＝　±2　 【详解】∵a，b是方程2x2＋4x－3＝0的两根， ∴a＋b＝－2，ab， ∴a－b＝±±±± ∴a2＋ab＋2b＝a（a＋b）＋2b ＝－2a＋2b ＝－2（a－b） ＝±2， 故答案为：． 16．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 　15　 ． 【详解】圆锥的底面周长＝2π×5＝10π， 则：， 解得l＝15． 故答案为：15． 17．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于　　 ． 【详解】连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E， ∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°， ∵AD＝CD， ∴△ACD是正三角形， ∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝2， ∴S阴影部分＝S扇形OAD－S△AODπ×2221π， 故答案为：π． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　（2，－3）或（，）　 （点C'不与点A重合）． 【详解】令0， 解得：x＝－1或4，则函数的对称轴为x， 当x＝5时，则3， 即点C（5，3）； （1）当点A′、D′在抛物线上时，如图， 由A′D′＝AD＝4，抛物线的对称轴为x， 则点D′的横坐标为2， 当x时，， 则点D′（，）， 设点C′为（x，y）， 由中点坐标公式得：5＋x且3＋y， 解得：x，y， 即点C′的坐标为：（，）； （2）当C′D′在抛物线上时， 设点C′的坐标为：（m，m2m－2）， 由点D向右平移2个单位向上平移3个单位得到点C， 则点D′（m＋2，m2m－2＋3）， 将点D′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m－2＋3（m＋2）2（m＋2）－2， 解得：m＝2， 则点C′的坐标为：（2，－3）； （3）当A′、C′在抛物线上时， 设点C′的坐标为：（m，m2m－2）， 由点A向右平移6个单位向上平移3个单位得到点C， 则点A′（m＋6，m2m－2＋3）， 将点A′的坐标代入抛物线的表达式得：m2m－2＋3（m＋6）2（m＋6）－2， 解得：m＝－1， 则点C′的坐标为：（－1，0）， 该点和点A重合，故舍去； 综上，点C′的坐标为：（2，－3）或（，）， 故答案为：（2，－3）或（，）． 三、解答题（本大题共8小题，满分84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）解方程： （1）x2－6x－7＝0； （2）x（x－2）＝3x－6． 【详解】解：（1）原方程移项得x2－6x＝7， 配方，得：x2－6x＋32＝7＋32， （x－3）2＝16， x－3＝±4， ∴x1＝7，x2＝－1； （2）原方程整理得x（x－2）－3（x－2）＝0， （x－2）（x－3）＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 20．（10分）已知二次函数y＝x2－（m－2）x＋m－3（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB＝2，求m的值． 【详解】解：（1）当y＝0时，x2－（m－2）x＋m－3＝0， ∵Δ＝[－（m－2）]2－4×1×（m－3）＝m2－4m＋4－4m＋12＝m2－8m＋16＝（m－4）2≥0， ∴一元二次方程x2－（m－2）x＋m－3＝0有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）当y＝0时，x2－（m－2）x＋m－3＝0， 得， ∴x1＝m－3，x2＝1， ∴AB＝|（m－3）－1|＝|m－4|＝2， ∴m＝6或m＝2． 21．（8分）如图，在Rt△ABC的斜边上取点E，以AE为直径作⊙O，⊙O切BC于点D，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）如果AE＝6，DC＝4，求CE的长． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵⊙O切BC于点D， ∴OD⊥BC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴OD∥AB， ∴∠BAD＝∠ODA（两直线平行，内错角相等）， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠BAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵AE＝6， ∴OD＝3， 设CE＝x，则OC＝3＋x， ∴OD2＋CD2＝OC2， ∴32＋42＝（x＋3）2， 解得x1＝2，x2＝－8（不符合题意，舍去）， 即CE的长为2． 22．（8分）某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 【详解】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x， 由题意得：400（1－x）2＝324， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）， 答：每个月生产成本的下降率为10%； （2）该公司7月份的生产成本不会超过300万元，理由如下： 预测7月份的生产成本为：324×（1－10%）＝291.6（万元）， ∵291.6＜300， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F，交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：FC＝FG． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， 由题意可得：∠B＝∠OCB， ∴∠DOC＝∠B＋∠OCB＝2∠B， ∵∠F＝2∠B， ∴∠DOC＝∠F， ∵∠DEF＝90°， ∴∠D＋∠F＝90°， ∴∠D＋∠DOC＝90°， ∴∠OCD＝180°－（∠D＋∠DOC）＝180°－90°＝90°， 又∵点C在⊙O上， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵DF是⊙O的切线， ∴OC⊥DF， ∴∠OCF＝∠OCB＋∠FCB＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠GEB＝90°， ∴∠OBC＋∠EGB＝90°， ∴∠FCB＝∠EGB， ∴∠FCB＝∠FGC， ∴FC＝FG． 24．（12分）图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.4m．以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式． （2）记图2中的落球点为点E，则OE的长为多少？ （3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m．若最后球也落在点E，则OD的长为多少？ 【详解】解：（1）建立如图2、3所示的直角坐标系， 则点A、M的坐标分别为（0.0.3）、（1，0.4）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x－1）2＋0.4， 将点A的坐标代入上式得：0.3＝a（0－1）2＋0.4， 解得：a＝－0.1， 则抛物线的表达式为：y＝－0.1（x－1）2＋0.4； （2）令y＝－0.1（x－1）2＋0.4＝0， 解得：x＝－1（舍去）或3（m）， 即OE＝3m； （3）设点D（m，0），则点E（3，0）， 设抛物线的表达式为：y＝－0.1（x－m）（x－3）＝－0.1x2＋（0.3＋0.1m）x－0.3m， 则c0.3m0.2， 解得：m＝3－2（m）（不合题意的值已舍去）， 即OD长为（3－2）m． 25．（12分）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，△ABC的三个顶点A（1，0），B（2，－1），C（4，3）都在抛物线y＝x2－4x＋3上，我们把△ABC叫做抛物线y＝x2－4x＋3的内接三角形，抛物线y＝x2－4x＋3叫做△ABC的外接抛物线． 问题： （1）已知点A（－1，1），B（1，1），则△ABO的外接抛物线的解析式为　y＝x2　 ； （2）如图2，已知等边△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知Rt△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，∠AOB＝90°，求边AB与y轴的交点P的坐标； （4）已知△ABC是抛物线y＝x2＋bx＋c的内接三角形，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当△ABC是等腰直角三角形时，求△ABC的面积； ②当点C在y轴上，且△ABC是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 【详解】解：（1）∵A（－1，1），B（1，1）， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴， ∵O（0，0）， ∴设抛物线解析式为y＝ax2， 将A（－1，1）代入得a＝1， ∴y＝x2， 故答案为：y＝x2； （2）设AB与y轴交于点M， ∵△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝∠A＝∠B＝60°，OA＝OB＝AB， ∴∠AOM＝30°， 设BM＝m，则OMm， ∴B（m，）， 将B坐标代入y＝x2得，m（m＝0不合题意，舍去）， ∴点A的坐标是，点B的坐标是； （3）如图，过点A作 AC⊥x轴于点C，过点B作 BD⊥x轴于点D． 设点，点， ∵∠AOB＝∠ACO＝∠ODB＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠OAC＝90° ∴∠OAC＝∠BOD， ∴△AOC∽△OBD． ∴，即OC•OD＝BD•AC， ∴， 解得x1x2＝－1或x1x2＝0（舍去）． 设直线AB的解析式为y＝kx＋m（k≠0）． 由 得x2－kx－m＝0． ∵x1x2＝－m＝－1， ∴m＝1． ∵当x＝0时，y＝m＝1， ∴点P的坐标是（0，1）； （4）①如图，设抛物线的对称轴交AB于点D． 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得AD＝BD，CD⊥AB，∠DCB＝∠DCA＝45° ∴CD＝BD＝AD＝a． ∵对称轴为， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c， 得， 解得a＝1或 a＝0（舍去）． ∴AB＝2a＝2，CD＝1． ∴． ②∵点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则△ABC为钝角三角形， 如图， 此时∠ABC＞90°或∠BAC＞90°， ∵抛物线开口向上， ∴c＞0； 若∠ACB＞90°时，则可先讨论∠ACB＝90°的c值， 如图， 设A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1•x2＝c， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OAC＝∠OCB＝90°－∠OCA， ∵∠AOC＝∠BOC， ∴△AOC∽△COB， ∴，即， ∴－x1x2＝c2， ∴－c＝c2， 解得x＝－1或c＝0（舍去）， ∴此时－1＜c＜0时，∠ACB＞90°； 综上，c＞0或－1＜c＜0． 26．（14分）在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）． （1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标； （2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q． （3）若H（－4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于S．当T运动时（不包括A点），AT－AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【详解】解：（1）连接OG， ∵∠AOD＝∠FOC＝30°，由轴对称可得∠DOG＝∠COG＝30°， 又∴OC＝4， ∵CG＝OC•tan∠COG＝4， ∴G（4，）； （2）∵BQ∥AM， ∴∠BQM＋∠AMQ＝180°， 根据切线长定理，∠O1QM＋∠Q1MQ＝180°90°， ∴∠MO1Q＝180°－90°＝90°， 由切线长定理∠NO1Q＝45°， ∴O1N平分∠MO1Q． （3）AT－AS的值是定值为4， 在AT上取点V，使TV＝AS，即AT－AS＝AV， ∵AS⊥AC， ∴∠THS＝∠TAS＝90°， ∵H（－4、4），A（0、4）， ∴AH⊥AO； 又∵∠OAC＝45°， ∴∠TAH＝45°， ∵∠THS＝∠TAS＝90°， ∴∠TSH＝45°， ∴HT＝HS； 又∠HTV＝∠HAS，TV＝AS， ∴△HTV≌△HSA， ∴△HAV为等腰直角三角形， ∴AT－AS＝AVAH＝4． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A A D C A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．　x＝0或x＝3　10．m　 11．　2024　 12．　　 13．　　 14．120° 15．±2　 16． 15　 17．　　 18．（2，－3）或（，）　 三、解答题（本大题共8小题，满分84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 解：（1）原方程移项得x2－6x＝7， 配方，得：x2－6x＋32＝7＋32， （x－3）2＝16， x－3＝±4， ∴x1＝7，x2＝－1； （2）原方程整理得x（x－2）－3（x－2）＝0， （x－2）（x－3）＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 20．（10分） 解：（1）当y＝0时，x2－（m－2）x＋m－3＝0， ∵Δ＝[－（m－2）]2－4×1×（m－3）＝m2－4m＋4－4m＋12＝m2－8m＋16＝（m－4）2≥0， ∴一元二次方程x2－（m－2）x＋m－3＝0有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）当y＝0时，x2－（m－2）x＋m－3＝0， 得， ∴x1＝m－3，x2＝1， ∴AB＝|（m－3）－1|＝|m－4|＝2， ∴m＝6或m＝2． 21． （8分） （1）证明：连接OD， ∵⊙O切BC于点D， ∴OD⊥BC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴OD∥AB， ∴∠BAD＝∠ODA（两直线平行，内错角相等）， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠BAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵AE＝6， ∴OD＝3， 设CE＝x，则OC＝3＋x， ∴OD2＋CD2＝OC2， ∴32＋42＝（x＋3）2， 解得x1＝2，x2＝－8（不符合题意，舍去）， 即CE的长为2． 22． （8分） 解：（1）设每个月生产成本的下降率为x， 由题意得：400（1－x）2＝324， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）， 答：每个月生产成本的下降率为10%； （2）该公司7月份的生产成本不会超过300万元，理由如下： 预测7月份的生产成本为：324×（1－10%）＝291.6（万元）， ∵291.6＜300， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元． 23． （10分） （1）证明：如图，连接OC， 由题意可得：∠B＝∠OCB， ∴∠DOC＝∠B＋∠OCB＝2∠B， ∵∠F＝2∠B， ∴∠DOC＝∠F， ∵∠DEF＝90°， ∴∠D＋∠F＝90°， ∴∠D＋∠DOC＝90°， ∴∠OCD＝180°－（∠D＋∠DOC）＝180°－90°＝90°， 又∵点C在⊙O上， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵DF是⊙O的切线， ∴OC⊥DF， ∴∠OCF＝∠OCB＋∠FCB＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠GEB＝90°， ∴∠OBC＋∠EGB＝90°， ∴∠FCB＝∠EGB， ∴∠FCB＝∠FGC， ∴FC＝FG． 24． （12分） 解：（1）建立如图2、3所示的直角坐标系， 则点A、M的坐标分别为（0.0.3）、（1，0.4）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x－1）2＋0.4， 将点A的坐标代入上式得：0.3＝a（0－1）2＋0.4， 解得：a＝－0.1， 则抛物线的表达式为：y＝－0.1（x－1）2＋0.4； （2）令y＝－0.1（x－1）2＋0.4＝0， 解得：x＝－1（舍去）或3（m）， 即OE＝3m； （3）设点D（m，0），则点E（3，0）， 设抛物线的表达式为：y＝－0.1（x－m）（x－3）＝－0.1x2＋（0.3＋0.1m）x－0.3m， 则c0.3m0.2， 解得：m＝3－2（m）（不合题意的值已舍去）， 即OD长为（3－2）m． 25． （12分） 解：（1）∵A（－1，1），B（1，1）， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴， ∵O（0，0）， ∴设抛物线解析式为y＝ax2， 将A（－1，1）代入得a＝1， ∴y＝x2， 故答案为：y＝x2； （2）设AB与y轴交于点M， ∵△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝∠A＝∠B＝60°，OA＝OB＝AB， ∴∠AOM＝30°， 设BM＝m，则OMm， ∴B（m，）， 将B坐标代入y＝x2得，m（m＝0不合题意，舍去）， ∴点A的坐标是，点B的坐标是； （3）如图，过点A作 AC⊥x轴于点C，过点B作 BD⊥x轴于点D． 设点，点， ∵∠AOB＝∠ACO＝∠ODB＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠OAC＝90° ∴∠OAC＝∠BOD， ∴△AOC∽△OBD． ∴，即OC•OD＝BD•AC， ∴， 解得x1x2＝－1或x1x2＝0（舍去）． 设直线AB的解析式为y＝kx＋m（k≠0）． 由 得x2－kx－m＝0． ∵x1x2＝－m＝－1， ∴m＝1． ∵当x＝0时，y＝m＝1， ∴点P的坐标是（0，1）； （4）①如图，设抛物线的对称轴交AB于点D． 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得AD＝BD，CD⊥AB，∠DCB＝∠DCA＝45° ∴CD＝BD＝AD＝a． ∵对称轴为， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c， 得， 解得a＝1或 a＝0（舍去）． ∴AB＝2a＝2，CD＝1． ∴． ②∵点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则△ABC为钝角三角形， 如图， 此时∠ABC＞90°或∠BAC＞90°， ∵抛物线开口向上， ∴c＞0； 若∠ACB＞90°时，则可先讨论∠ACB＝90°的c值， 如图， 设A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1•x2＝c， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OAC＝∠OCB＝90°－∠OCA， ∵∠AOC＝∠BOC， ∴△AOC∽△COB， ∴，即， ∴－x1x2＝c2， ∴－c＝c2， 解得x＝－1或c＝0（舍去）， ∴此时－1＜c＜0时，∠ACB＞90°； 综上，c＞0或－1＜c＜0． 26． （14分） 解：（1）连接OG， ∵∠AOD＝∠FOC＝30°，由轴对称可得∠DOG＝∠COG＝30°， 又∴OC＝4， ∵CG＝OC•tan∠COG＝4， ∴G（4，）； （2）∵BQ∥AM， ∴∠BQM＋∠AMQ＝180°， 根据切线长定理，∠O1QM＋∠Q1MQ＝180°90°， ∴∠MO1Q＝180°－90°＝90°， 由切线长定理∠NO1Q＝45°， ∴O1N平分∠MO1Q． （3）AT－AS的值是定值为4， 在AT上取点V，使TV＝AS，即AT－AS＝AV， ∵AS⊥AC， ∴∠THS＝∠TAS＝90°， ∵H（－4、4），A（0、4）， ∴AH⊥AO； 又∵∠OAC＝45°， ∴∠TAH＝45°， ∵∠THS＝∠TAS＝90°， ∴∠TSH＝45°， ∴HT＝HS； 又∠HTV＝∠HAS，TV＝AS， ∴△HTV≌△HSA， ∴△HAV为等腰直角三角形， ∴AT－AS＝AVAH＝4． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级第1、2、5章（一元二次方程+圆+二次函数）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．5x2－6y－3＝0 C．ax2－x＋2＝0 D．（a2＋1）x2＋bx＋c＝0 2．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0的一个根，则2031－3a＋3b的值为（　　） A．2022 B．2025 C．2023 D．2024 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C． D．1 6．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝100（1－x） B．y＝100（1＋x） C．y＝50（1＋x）2 D．y＝50（1－x）2 7．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　） A． B． C． D．πr2 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．方程x2＝3x的解为：　 　 ． 10．已知关于x的方程（m－1）x2－x－2＝0，当方程总有实数根时．则m的范围为　 　 ． 11．已知a是方程x2－2025x＋1＝0的一个根，则a2－2024a　 　 ． 12．如图，在3×5的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，D，E均在格点上，线段AE与弧AD交于点B，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 13．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OA＝6，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PE（点E为切点），则切线长PE的最小值是 　 　 ． 14．如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是　 　 °． 15．若a，b是方程2x2＋4x－3＝0的两根，则a2＋ab＋2b＝　 　 ． 16．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 　 　 ． 17．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于　 　 ． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　 （点C'不与点A重合）． 第16题 第17题 第18题 三、解答题（本大题共8小题，满分84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）解方程： （1）x2－6x－7＝0； （2）x（x－2）＝3x－6． 20．（10分）已知二次函数y＝x2－（m－2）x＋m－3（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB＝2，求m的值． 21．（8分）如图，在Rt△ABC的斜边上取点E，以AE为直径作⊙O，⊙O切BC于点D，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）如果AE＝6，DC＝4，求CE的长． 22．（8分）某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F，交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：FC＝FG． 24．（12分）图1是带有智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.4m．以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式． （2）记图2中的落球点为点E，则OE的长为多少？ （3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m．若最后球也落在点E，则OD的长为多少？ 25．（12分）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，△ABC的三个顶点A（1，0），B（2，－1），C（4，3）都在抛物线y＝x2－4x＋3上，我们把△ABC叫做抛物线y＝x2－4x＋3的内接三角形，抛物线y＝x2－4x＋3叫做△ABC的外接抛物线． 问题： （1）已知点A（－1，1），B（1，1），则△ABO的外接抛物线的解析式为　 　 ； （2）如图2，已知等边△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知Rt△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，∠AOB＝90°，求边AB与y轴的交点P的坐标； （4）已知△ABC是抛物线y＝x2＋bx＋c的内接三角形，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当△ABC是等腰直角三角形时，求△ABC的面积； ②当点C在y轴上，且△ABC是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 26．（14分）在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）． （1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标； （2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q． （3）若H（－4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于S．当T运动时（不包括A点），AT－AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级第1、2、5章（一元二次方程+圆+二次函数）。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．5x2－6y－3＝0 C．ax2－x＋2＝0 D．（a2＋1）x2＋bx＋c＝0 2．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0的一个根，则2031－3a＋3b的值为（　　） A．2022 B．2025 C．2023 D．2024 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C． D．1 6．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝100（1－x） B．y＝100（1＋x） C．y＝50（1＋x）2 D．y＝50（1－x）2 7．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　） A． B． C． D．πr2 第二部分（非选择题 共104分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．方程x2＝3x的解为：　 　 ． 10．已知关于x的方程（m－1）x2－x－2＝0，当方程总有实数根时．则m的范围为　 　 ． 11．已知a是方程x2－2025x＋1＝0的一个根，则a2－2024a　 　 ． 12．如图，在3×5的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，D，E均在格点上，线段AE与弧AD交于点B，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 13．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OA＝6，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PE（点E为切点），则切线长PE的最小值是 　 　 ． 14．如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是　 　 °． 15．若a，b是方程2x2＋4x－3＝0的两根，则a2＋ab＋2b＝　 　 16．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 　 　 ． 17．如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝∠AOC，且AD＝CD，则图中阴影部分的面积等于　 　 ． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 　 　 （点C'不与点A重合）． 三、解答题（本大题共8小题，满分84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）解方程： （1）x2－6x－7＝0； （2）x（x－2）＝3x－6． 20．（10分）已知二次函数y＝x2－（m－2）x＋m－3（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB＝2，求m的值． 21．（8分）如图，在Rt△ABC的斜边上取点E，以AE为直径作⊙O，⊙O切BC于点D，连接AD． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）如果AE＝6，DC＝4，求CE的长． 22．（8分）某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F，交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：FC＝FG． 24．（12分）图1是带有智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.4m．以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式． （2）记图2中的落球点为点E，则OE的长为多少？ （3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m．若最后球也落在点E，则OD的长为多少？ 25．（12分）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，△ABC的三个顶点A（1，0），B（2，－1），C（4，3）都在抛物线y＝x2－4x＋3上，我们把△ABC叫做抛物线y＝x2－4x＋3的内接三角形，抛物线y＝x2－4x＋3叫做△ABC的外接抛物线． 问题： （1）已知点A（－1，1），B（1，1），则△ABO的外接抛物线的解析式为　 　 ； （2）如图2，已知等边△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知Rt△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，∠AOB＝90°，求边AB与y轴的交点P的坐标； （4）已知△ABC是抛物线y＝x2＋bx＋c的内接三角形，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当△ABC是等腰直角三角形时，求△ABC的面积； ②当点C在y轴上，且△ABC是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 26．（14分）在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）． （1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标； （2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q． （3）若H（－4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于S．当T运动时（不包括A点），AT－AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $