浙江省杭州市高二数学上学期期中自编模拟卷（人教A版）

2025-2026学年浙江省杭州市上学期期中自编模拟卷 高二数学 参考答案 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B B C C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC ACD BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】（1） 。即该地区这种疾病患者的平均年龄为。（6分） （2）岁占比，岁占比，岁占比，岁占比，岁占比。故岁占比。设第70百分位数为， 则。 故该100位患者年龄的第70百分位数为。（7分） 16．（15分） 【答案】（1）以向量，，为基底，则。 。。 ， 。故，。 所以直线平面。（7分） （2）， 。 ，由平面几何容易知。 故。所以直线与夹角的余弦值为。（8分） 17．（15分） 【答案】（1）如图，以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。 设二面角为，则该角为锐角。 而，，，。 所以，。 设平面法向量 所以． 取，得平面的一个法向量为 易知平面一个法向量为 所以。（7分） （2）设，， 表示出，，，。 设， 所以，，，． 设平面法向量为． 所以 取，得平面的一个法向量为。 所以。令，则。 当时，即，。最小值为， 当时，取最大值，最大值为。 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为。（8分） 18．（17分） 【答案】（1）圆方程的标准方程为。 因为，故由勾股定理得弦心距。 设直线：。我没有或。 故直线的方程为或；（8分） （2）设直线：与圆联立得， 因为以线段为直径的圆过原点，故。 设，，由韦达定理得或。 故直线的方程为或。（9分） 19．（17分） 【答案】（1）圆的直径为，故。又因为椭圆的一个顶点，故。 所以椭圆的方程为。（5分） （2）设：，：。 将直线与椭圆联立得。 由两点间距离公式得。 圆心到的距离。 由勾股定理得。 ，设， 则。当时， 即时面积最大。此时直线的方程。（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教A版2019必修2第8章至选择性必修1第3章第1节。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A．8 B．2 C． D． 2．已知空间向量，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 4．如图，设为圆锥底面直径，为母线，点在地面圆周上，若，，则二面角大小的正切值是（ ） A． B． C． D． 5．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A． 13 B． 12 C． 9 D． 6 6．已知点坐标为，直线经过原点且与向量平行，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 7．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 8．正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使。则三棱锥的体积为（ ） A． B． 2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知个数据的第百分位数是，则下列说法正确的是（ ） A．这个数据中一定有个数小于或等于 B．把这个数据从小到大排列后，是第个数据 C．把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数 D．把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数 10．已知点在圆上，点、，则（ ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 11．正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点M，使得二面角大小为 B．最大值为6 C．直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D．当时，则三棱锥的体积为定值 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知直线：经过一定点，则该定点的坐标是_____________________； 13．已知圆的圆心为，设，为圆上一点，线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为_____________________； 14． 椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，已知 ，，则椭圆的离心率为___________________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）求该100位患者年龄的第70百分位数。 16．（15分）如图，在平行六面体中，， ， （1） 求证：直线平面； （2） 求直线与夹角的余弦值。 17.（15分）在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）。 （1）当点M为棱的中点时，求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围。 18．（17分）已知圆，斜率为的直线与圆相交于，两点， （1）若，求直线的方程； （2）若以线段为直径的圆过原点，求直线的方程。 19．（17分）如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径。是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，，交椭圆于另一点。（1）求椭圆的方程； （2）求△面积取最大值时直线的方程。 x O y B P D A / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教A版2019必修2第8章至选择性必修1第3章第1节。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1．已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A．8 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以。故选A。 2．已知空间向量，，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，。故选A。 3．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 【答案】B 【解析】，圆的标准方程为。故。圆的半径，圆 的半径。。故两圆外离。故选B。 4．如图，设为圆锥底面直径，为母线，点在地面圆周上，若，，则二面角大小的正切值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直径所对的圆周角是直角得。取中点，连，则①。又 底面，故②。由①②得平面，故。 所以即二面角的平面角。容易求得，。 所以。故选B。 5．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A． 13 B． 12 C． 9 D． 6 【答案】C 【解析】由椭圆定义得，由基本不等式得，当且仅当，即为椭圆上顶点时取到最大值。故选C。 6．已知点坐标为，直线经过原点且与向量平行，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记原点为，则，向量在向量上的投影向量长度为。 ，由勾股定理得。故选C。 7．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】显然，。 丙符合题意的有，，，，，。 丁符合题意的有，，，，，，故。 显然，。，。 只有。故选B。 8．正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使。则三棱锥的体积为（ ） A． B． 2 C． D． 【答案】D 【解析】设，以为轴，为轴，竖起来为轴建系。 则，，，。 则，。 。 所以。三棱锥的体积。故选D。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知个数据的第百分位数是，则下列说法正确的是（ ） A．这个数据中一定有个数小于或等于 B．把这个数据从小到大排列后，是第个数据 C．把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数 D．把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的平均数 【答案】AC 【解析】把这个数据从小到大排列后，这个数据的第百分位数是第个数据和第个数据的平均数。故选AC。 10．已知点在圆上，点、，则（ ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【解析】直线的方程为，圆心到直线的距离为， 故点到直线的距离的取值范围为，所以A正确，B错误。 当取最值时，直线与圆相切。此时由勾股定理容易求得切线长为。故CD都正确。 故选ACD。 11．正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A．存在点M，使得二面角大小为 B．最大值为6 C．直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D．当时，则三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，A错误； 如图建系，设， ， 存在时，取最大值为6，B正确；   设面法向量为，直线与面所成角为时， 可得，所以， 则点M轨迹是以为球心，2为半径的球， 点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以为圆心， 2为半径的劣弧， 如图所示，分别交，于，，如图所示，， 则， 则，劣弧的长为，C正确 当时，， 所以，所以，可得为， 则三棱锥的体积为， 所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确。 故选BCD。 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知直线：经过一定点，则该定点的坐标是_____________________； 【答案】 【解析】，当时，等式对任意的恒成立。故定点坐标为。 13．已知圆的圆心为，设，为圆上一点，线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为_____________________； 【答案】 【解析】由中垂线上的点到线段两端点距离相等知，故。利用椭圆的 定义知点的轨迹为椭圆。椭圆中的参数，，故。 故椭圆方程为。 14． 椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，已知 ，，则椭圆的离心率为___________________。 【答案】 【解析】方法一（大题解法）：作右图，在轴上取一点， 使得。则由数量积为零知，取线段的中点， 由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半知， 由定义知，故。 又，。 由定义得。 用两次勾股定理得。 化简得：。解得。 方法二（小题巧解）：不妨设，。则。 由定义得：，。 利用两次勾股定理：。 所以。解得。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）求该100位患者年龄的第70百分位数。 【答案】（1）（2） 【解析】（1） 。即该地区这种疾病患者的平均年龄为。 （2）岁占比，岁占比，岁占比，岁占比，岁占比。故岁占比。设第70百分位数为， 则。 故该100位患者年龄的第70百分位数为。 16．（15分）如图，在平行六面体中，， ， （1） 求证：直线平面； （2） 求直线与夹角的余弦值。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）以向量，，为基底，则。 。。 ， 。故，。 所以直线平面。 （2）， 。 ，由平面几何容易知。 故。所以直线与夹角的余弦值为。 17.（15分）在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）。 （1）当点M为棱的中点时，求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）如图，以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。 设二面角为，则该角为锐角。 而，，，。 所以，。 设平面法向量 所以． 取，得平面的一个法向量为 易知平面一个法向量为 所以。 （2）设，， 表示出，，，。 设， 所以，，，． 设平面法向量为． 所以 取，得平面的一个法向量为。 所以。令，则。 当时，即，。最小值为， 当时，取最大值，最大值为。 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为。 18．（17分）已知圆，斜率为的直线与圆相交于，两点， （1）若，求直线的方程； （2）若以线段为直径的圆过原点，求直线的方程。 【答案】（1）或；（2）或 【解析】（1）圆方程的标准方程为。 因为，故由勾股定理得弦心距。 设直线：。我没有或。 故直线的方程为或； （2）设直线：与圆联立得， 因为以线段为直径的圆过原点，故。 设，，由韦达定理得或。 故直线的方程为或。 19．（17分）如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径。是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，，交椭圆于另一点。（1）求椭圆的方程； （2）求△面积取最大值时直线的方程。 x O y B P D A 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）圆的直径为，故。又因为椭圆的一个顶点，故。 所以椭圆的方程为。 （2）设：，：。 将直线与椭圆联立得。 由两点间距离公式得。 圆心到的距离。 由勾股定理得。 ，设， 则。当时， 即时面积最大。此时直线的方程。 / 学科网（北京）股份有限公司 $