单元培优讲义：专题05 圆（考点梳理+例题讲解+考点练习+培优练习）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

2025-2026学年六年级上册数学人教版单元培优讲义 专题05 圆 （考点梳理+例题讲解+考点练习+培优练习） 专题预览 考点梳理 2 考点一、圆的认识 2 考点二、圆的周长及应用 2 考点三、圆的面积及应用 3 考点四、圆环的面积 3 考点五、方中圆和圆中方的面积问题 4 考点六、含圆的组合图形的周长和面积 4 考点七、扇形 5 例题讲解 5 一、圆的认识 5 二、圆的周长及应用 7 三、圆的面积及应用 8 四、圆环的面积 9 五、方中圆和圆中方的面积问题 10 六、含圆的组合图形的周长和面积 11 七、扇形 12 考点练习 13 一、圆的认识 13 二、圆的周长及应用 14 三、圆的面积及应用 16 四、圆环的面积 17 五、方中圆和圆中方的面积问题 19 六、含圆的组合图形的周长和面积 20 七、扇形 22 培优练习 23 考点梳理 考点一、圆的认识 1.圆的各部分名称：圆心(O)、半径(r)、直径(d)。 2.圆的基本性质： （1）在同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等。 （2）在同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍，即d = 2r 或 r = d ÷2。 （3）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴。 （4）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 3.画圆方法：用圆规画圆时，针尖所在的点是圆心，两脚间的距离是半径。 考点二、圆的周长及应用 1.圆的周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 2.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母π表示，π≈3.14。 3.圆的周长公式： （1）C=πd（已知直径求周长） （2）C=2πr（已知半径求周长） （3）d=C÷π（已知周长求直径） （4）r=C÷π÷2（已知周长求半径） 4.半圆的周长：半圆的周长=圆周长的一半+直径，即C=πr+2r或C=πd/2+d 5.应用题型： （1）已知半径或直径求周长。 （2）已知周长求半径或直径。 （3）解决实际生活中的周长问题（如车轮滚动一周的距离、绕圆形物体一周的长度等）。 考点三、圆的面积及应用 1.圆的面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2.圆的面积公式推导：通过割补法将圆转化为近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半(πr)，宽相当于圆的半径(r)。 3.圆的面积公式：S=πr² 4.半圆的面积：S=πr²÷2 5.应用题型： （1）已知半径或直径求面积。 （2）已知周长求面积（先求半径，再求面积）。 （3）解决实际生活中的面积问题（如圆形草坪的面积、圆形花坛的占地面积等）。 考点四、圆环的面积 1.圆环的定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。 2.圆环的各部分名称：外圆半径(R)、内圆半径(r)、环宽(R-r)。 3.圆环的面积公式： （1）S=πR²-πr²（外圆面积减去内圆面积）。 （2）S=π(R²-r²)（利用乘法分配律的简便计算）。 4.解题步骤： （1）确定外圆半径(R)和内圆半径(r)。 （2）代入公式计算圆环面积。 考点五、方中圆和圆中方的面积问题 1.方中圆：在正方形中画一个最大的圆。 （1）圆的直径等于正方形的边长。 （2）若正方形边长为a，则圆的半径r=a÷2。 （3）面积关系：S圆=π(a÷2)²=πa²÷4，S正=a²，圆的面积是正方形面积的π÷4。 2.圆中方：在圆中画一个最大的正方形。 （1）正方形的对角线等于圆的直径。 （2）若圆的半径为r，则正方形的对角线长为2r。 （3）面积关系：将正方形看作两个等腰直角三角形，每个三角形的底是2r，高是r，所以S正=2×(2r×r÷2)=2r²，S圆=πr²，正方形面积是圆面积的2÷π。 考点六、含圆的组合图形的周长和面积 1.组合图形的定义：由两个或两个以上基本图形组合而成的图形叫做组合图形。 2.求组合图形周长的方法： （1）分析图形是由哪些基本图形组成的。 （2）明确哪些边是组合图形周长的一部分，哪些边不是。 （3）将所有外边的长度相加。 3.求组合图形面积的方法： （1）分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别求出面积再相加。 （2）添补法：用一个大图形减去一个或几个小图形，求出组合图形面积。 （3）平移法：通过平移将分散的图形拼在一起，转化为基本图形。 4.常见组合图形类型： （1）圆形与长方形/正方形的组合。 （2）多个圆形的组合。 （3）半圆与其他图形的组合。 考点七、扇形 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.扇形的各部分名称：圆心角（∠AOB）、半径、弧。 3.扇形的特征： （1）扇形是圆的一部分。 （2）扇形有一个顶点在圆心上。 （3）扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 4.扇形的面积公式： （1）S=πr²×(n÷360)，其中n是圆心角的度数。 （2）当n=360°时，扇形面积就是整个圆的面积。 （3）当n=180°时，扇形面积就是半圆的面积。 （4）当n=90°时，扇形面积就是圆面积的。 例题讲解 一、圆的认识 【例题1】如图，下面说法正确的是（ ）。 A．线段AC是这个圆的直径 B．线段AB是这个圆的半径 C．线段OD是这个圆的直径 D．线段OA的长度等于线段OD的长度 【例题2】车轮做成圆形的，是因为（ ）。 A．圆的直径是半径的2倍 B．圆是轴对称图形 C．从圆心到圆上任意一点的距离都相等 D．圆的半径决定圆的大小 【例题3】圆的任何一条直径都是这个圆的对称轴。( ) 【例题4】在同一个圆中，直径是半径的( )倍，半径与直径的比是( )。 【例题5】《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( )。 【例题6】画出下面图形的所有对称轴。 【例题7】画一个半径是2厘米的圆，并标出它的圆心O和半径r。 【例题8】如图，长方形中有三个大小相等的圆，已知这个长方形的长是18厘米，圆的直径是多少？长方形的周长是多少？    二、圆的周长及应用 【例题1】数学活动中，同学们用圆在尺子上滚动一周（操作如图），圆上的箭头落在（ ）。 A．40～50厘米之间 B．30～40厘米之间 C．20～30厘米之间 D．无法确定 【例题2】半径为的半圆，它的周长是（ ）。 A． B． C． D． 【例题3】直径与周长的比值叫做圆周率。( ) 【例题4】如果大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆的周长是小圆的4倍。( ) 【例题5】用圆规画一个直径是6厘米的圆，圆规两脚尖应叉开( )厘米，这个圆的周长是( )厘米。 【例题6】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是50厘米，要骑过23.55米长的钢丝，车轮大约要转动( )周。 【例题7】计算下面图形的周长。 【例题8】一台压路机前轮的半径是0.6米，如果前轮每分钟转动30周，那么10分钟可以从路的一端压到另一端，这条路长多少米？ 【例题9】运输圆柱形水管时，为了防止水管脱落，会将水管捆在一起（如图）。如果一根圆柱形水管周长是62.8厘米，将两根水管捆在一起，捆一圈至少需要多少厘米长的绳子？ 三、圆的面积及应用 【例题1】小芳画圆的部分过程如图所示，所画的圆的面积是（ ）cm2。 A． B． C． D． 【例题2】如图，将一个圆剪拼成一个近似的长方形。在这个转化的过程中，（ ）。 A．周长和面积都没有变 B．周长和面积都变了 C．周长没变，面积变了 D．周长变了，面积没变 【例题3】两个圆的周长相等，它们的面积也一定相等。( ) 【例题4】一个直径是8cm的半圆形零件，周长是( )cm，面积是( )cm2。 【例题5】一个半圆的周长是25.7厘米，这个半圆的面积是( )平方厘米。 【例题6】一根长50.24米的麻绳刚好可以在一棵银杏树的树干上绕8圈。这棵银杏树的树干横截面的半径是( )米，面积是( )平方米。 【例题7】我会求下面各圆的面积。     【例题8】一个圆形餐桌桌面的直径是2米，它的面积是多少平方米？ 四、圆环的面积 【例题1】如图，阴影部分的面积是20cm2，那么圆环的面积是（ ）cm2。 A．251.2 B．62.8 C．20 D．10 【例题2】一个圆形花坛的半径是5米，在它的周围修一条小路，小路宽1米，这条小路的面积是( )平方米。 【例题3】求下面图形涂色部分的面积。 【例题4】土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 五、方中圆和圆中方的面积问题 【例题1】“外方内圆”和“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理，下图是一种外方内圆的建筑，外面正方形面积是36平方分米，则内圆面积是（ ）平方分米。 A．41.04 B．30.96 C．28.26 D．18.8 【例题2】中国建筑中经常能看见如图的设计，如果图中圆的面积是6.28m2，那么涂色部分面积是( )m2。 【例题3】如图，已知正方形的周长是8cm，求阴影部分的面积是多少cm2。 【例题4】过春节时，家家户户都会张贴“福”字窗花，象征“福气已到”。下面这张“福”字窗花采用了外圆内方的造型，圆形的周长是43.96厘米，它中间最大正方形的面积是多少平方厘米？ 六、含圆的组合图形的周长和面积 【例题1】求图中阴影部分的周长。 【例题2】求如图图形阴影部分的面积。（单位：分米） 【例题3】计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【例题4】如图，分别求出图中阴影部分的周长和面积。 【例题5】一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形。 （1）沿着这个运动场跑一圈的路程是多少米？ （2）这个运动场的占地面积是多少平方米？ 七、扇形 【例题1】下面图形中，涂色部分不是扇形的是（ ）。 A． B． C． D． 【例题2】同一个圆中，扇形的大小与（ ）有关。 A．半径的大小 B．圆心角的大小 C．圆心的位置 D．直径的大小 【例题3】两条半径和一条弧就组成一个扇形。( ) 【例题4】把一个圆对折两次后，得到的面积最小的扇形的圆心角是( )。 【例题5】在下面的空白处画一个半径是2厘米的圆，并在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【例题6】求如图中涂色部分的面积。 考点练习 一、圆的认识 1．小明想要在圆形蛋糕上找到圆心来均匀地插上蜡烛，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为（ ）。 A．圆有无数条直径 B．直径是圆中最长的线段 C．圆是轴对称图形 D．同一圆内，直径长度是半径的2倍 2．下面的几个图形中，对称轴最多的是（ ）。 A． B． C． D． 3．在同一个圆中，两条半径一定能组成一条直径。( ) 4．半径决定圆的大小，直径决定圆的位置。( ) 5．长方形、正方形、平行四边形、圆形都是轴对称图形。( ) 6．在同一个圆内可以画( )条直径；如果用圆规画一个直径是14厘米的圆，圆规的两脚尖间的距离应该是( )厘米。 7．圆有( )条对称轴，将一张圆形纸片至少对折( )次可以得到圆心。 8．请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 9．画出下面图形的所有对称轴。 10．先在下面的正方形内画一个最大的圆，再画出其中的一条直径，测量并标出直径的长度。 11．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 二、圆的周长及应用 1．一只挂钟的分针长20cm，经过45分钟后，分针的尖端所走的路程是（ ）cm。（π取3.14） A．31.4 B．62.8 C．94.2 D．125.6 2．在一个长4分米，宽3分米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）分米。 A．6.28 B．3.14 C．4.7 D．10.28 3．一个圆桌的直径是150cm，在圆桌边上要求每隔50cm摆一套餐具，为了保证间距，最多可以摆餐具（ ）套。 A．8 B．9 C．10 D．11 4．人类对圆周率的研究历史非常久远，在我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载。这里的“周三径一”是指在同一个圆中半径大约是周长的3倍。( ) 5．用圆规画一个周长是21.98cm的圆，圆规两脚之间的距离是3.5cm。( ) 6．如果要画一个周长为12.56厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该取( )厘米。圆的周长总是它的直径的( )倍。 7．涵涵用圆规在边长是7厘米的正方形内画一个最大的圆，圆规两脚间的距离应是( )厘米，这个圆的周长是( )厘米。 8．一根长20米的钢丝，在一个圆柱形钢管上绕了3圈，还多1.16米，这个圆柱形钢管横截面的半径是( )米。（π取3.14） 9．手工课上，莉莉把四个一样的圆柱形物体，捆成如图的形状（从底面方向看）。若接头处不计，至少需要( )cm的绳子才能捆好。 10．求下边图形周长。 11．如图中，大圆的半径等于小圆的直径。请计算阴影部分的周长。 12．如果圆形拱门的高度达到2.4米才符合标准，那么一个圆形拱门门框的周长约是8.2米，它的高度符合标准吗？ 13．一辆汽车的车胎外直径是0.8米，如果它每分转200圈，通过一座3千米长的大桥大约需要多少分？（结果保留整数） 三、圆的面积及应用 1．小明量出一个圆形烟囱底部周长是31.4米，这个烟囱的占地面积是（ ）平方米。 A．31.4 B．78.5 C．314 D．15.7 2．小明家中有一张圆形桌子，桌面直径是1米，妈妈要选一块桌布，你认为选（ ）比较合适。 A．120厘米×80厘米 B．3140平方厘米 C．7850平方厘米 D．20096平方厘米 3．大圆的半径等于小圆的直径，则大圆和小圆的面积比是4∶1。( ) 4．圆的半径扩大为原来的4倍，则圆的周长和面积也扩大为原来的4倍。( ) 5．用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之间的距离应是( )cm，这个圆的直径是( )cm。圆的面积是( )cm2。 6．在一个长和宽分别是4cm和3cm的长方形纸片上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )。 7．教室里挂钟的时针长4cm，从3时到9时，时针针尖走过了( )cm，时针扫过的面积是( )cm2。 8．求下列图形的面积和周长。 9．小宇用一根铁丝围成了一个边长3.14厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆，那么圆的面积是多少？ 10．刘爷爷用157米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 11．市政广场有一个直径为14米的圆形喷水池，为防止发生意外，在喷水池外侧，距离池边2米的地方围了一圈护栏。这圈护栏围住的圆的面积是多少？ 四、圆环的面积 1．如图是寓意“海上生明月，天涯共此时”的“月光环”景观灯，其外直径是36m，内直径是22m，计算“月光环”正面的近似面积的正确算式是（ ）。 A． B． C． D． 2．一个圆形喷泉池的直径是18m，喷泉池周围是一条2m宽的水泥路，这条水泥路的面积是( )m2。 3．如图所示，求阴影部分的面积。 4．一个儿童游乐场是圆形的，它的周长是628米，现将这个游乐场进行扩建，扩建后的半径增加了4米。这个游乐场的面积增加了多少平方米？ 5．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称。制作一把这样扇骨两面贴宣纸扇面的折扇，一共需要多少平方厘米的宣纸？ 五、方中圆和圆中方的面积问题 1．下图是一个外圆内方的图形，圆的半径是2dm，圆和正方形之间部分的面积是( )dm2。 2．如图，我国古建筑门窗有许多方中有圆、圆中有方的设计图案。图中圆的面积是，其中大正方形的面积是( )，小正方形的面积是( )。 3．计算下面图形阴影部分的面积。 4．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 5．枫林小区有一块边长为20米的正方形空地。小区物业在这块空地的中心挖了一个圆形水池，在四个角边种上月季花。种月季花地的面积等于多少平方米？ 六、含圆的组合图形的周长和面积 1．计算下面图形的周长。（单位：dm） 2．计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 3．计算下面图形阴影部分的面积。 4．求涂色部分的周长和面积。（单位：分米） 5．求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14） 6．计算图中的阴影部分面积。（π取3.14） 7．下图是“禁止驶入”的交通标志，这个标志中有一个白色长方形，其余部分是红色，红色部分的面积是多少？ 8．一面镜子的形状如图所示，它的边是由4个直径相等的半圆组成的。 （1）给镜子的周围镶上铝边，需要铝边多少分米？ （2）镜子的面积是多少平方分米？ 七、扇形 1．下面各圆的圆心是O，图形（ ）中的∠a是圆心角。 A． B． C． D． 2．图（ ）的阴影部分是扇形。 A． B． C． D． 3．用6个圆心角为60°的扇形不一定能拼成一个圆。( ) 4．当扇形的圆心角是( )°时，扇形就是一个圆；当扇形的圆心角是180°时，扇形就是一个( )圆。 5．如图，这个扇形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 6．画一个半径为1.5cm的圆，用字母表示出圆心、半径和直径，并在圆中画一个圆心角为60°的扇形。 7．求阴影部分的面积。 培优练习 一、填空题 1．图是明明用圆规画圆的全过程，他画出的圆的半径是( )，面积是( )。 2．如图所示，我们探究圆的面积时将圆形转化为近似的长方形。若图中长方形的周长比圆的周长多4厘米，则圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 3．一个圆形花坛的直径是10米，它的半径是( )米，周长是( )米，占地面积是( )平方米。 4．如图，长方形的周长是40cm，图中每个圆的直径是( )cm。 5．如图，公园有两块半圆形的草坪，它们的周长都是154.2m，这两块草坪的总面积是( )。 6．一个羊圈依墙而建，呈半圆形（如图所示），半径4m。修这个羊圈需要栅栏( )m，这个羊圈的面积是( )m2。 7．下边的太极图中大圆半径是10cm，那么涂色部分的周长是( )cm，面积是( )cm2。 8．如图中，梯形上底是4m，下底是6m，高是3m，则空白部分的面积是( )m2，阴影部分的面积是( )m2。 9．我国民间艺术丰富多彩，剪纸深受各年龄段人们喜爱，几乎每位中国人都曾亲手尝试过。如果在边长20cm的正方形纸中剪出一个最大的圆，该圆形纸片的周长是( )cm，面积是( )cm2。 10．霞霞一家在“世纪家博会”上看中了一款圆形折叠桌。它的桌面是一个直径是2m的圆形，该圆形桌面的周长是( )米，桌面折叠后是一个正方形，这个正方形面积是( )平方米。 二、判断题 11．直径为3cm的圆的圆周率比直径为2cm的圆的圆周率大。( ) 12．圆环也是轴对称图形，它有无数条对称轴。( ) 13．半径是20cm的圆的周长和面积一定相等。( ) 14．下面半圆的周长是直径为4cm的圆周长的。( ) 15．两个圆的直径比是1∶3，那么它们的面积比是1∶9。( ) 三、选择题 16．以点O为圆心的圆内，三角形OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是（ ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的周长是它的直径的π倍 C．同一个圆的半径相等 D．同一个圆的直径为半径的2倍 17．一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20m2，圆的面积是（ ）m2。 A．无法解答 B．62.8 C．12.56 D．15.7 18．将周长是的圆形纸片对折后剪成两张半圆形纸片，每张半圆形纸片的周长是（ ）。 A．28.26 B．37.26 C．46.26 D．32.76 19．一个钟面上的时针长10cm，从6：00到12：00时针针尖走了（ ）cm。 A．15.7 B．31.4 C．78.5 D．314 20．如图，甲、乙、丙三人分别用相同的正方形纸剪图形，甲剪了一个最大的圆，乙剪了四个圆，丙剪了一个最大的扇形，三个人剪的图形（ ）。 A．甲最大 B．乙最大 C．丙最大 D．一样大 四、计算题 21．求图中阴影部分的周长。 22．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 五、作图题 23．请在下面的正方形里画出一个最大的圆，并标出圆心和半径。 24．画出下列图形的对称轴。 六、解答题 25．一根铜丝长为12.56米，正好在圆形线圈上绕满10圈。这个线圈的半径为多少米？ 26．一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 27．某小区在园区内修建了一个圆形水池，它的半径为10米，现在准备在水池周围种上草皮，草皮是宽为2米的圆环形，如果每平方米草皮40元，购买这些草皮需多少元？（π取3.14） 28．冰冰去参观博物馆，看到一枚古铜钱（如图）。铜钱的直径为2.4厘米，中间的正方形边长为0.4厘米。这枚铜钱的面积是多少平方厘米？ 29．在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？ 30．公园里有一个周长为37.68米的圆形草坪，预备在草坪正中央安装自动旋转喷灌装置。现有射程为12米、6米、3米的三种装置，你认为选哪种比较合适？ 31．古典园林体现了中华民族对于自然和美好生活环境的向往与热爱，园林中的门洞不仅是一道独特的风景线，还起到了将两个分隔的园景联系起来的妙用。如图所示，有一个花瓣形门洞，它的四周由4个直径都是1米的半圆组成。这个门洞的周长和面积分别是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 68 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级上册数学人教版单元培优讲义 专题05 圆 （考点梳理+例题讲解+考点练习+培优练习） 专题预览 考点梳理 2 考点一、圆的认识 2 考点二、圆的周长及应用 2 考点三、圆的面积及应用 3 考点四、圆环的面积 3 考点五、方中圆和圆中方的面积问题 4 考点六、含圆的组合图形的周长和面积 4 考点七、扇形 5 例题讲解 5 一、圆的认识 5 二、圆的周长及应用 9 三、圆的面积及应用 12 四、圆环的面积 15 五、方中圆和圆中方的面积问题 17 六、含圆的组合图形的周长和面积 20 七、扇形 23 考点练习 25 一、圆的认识 25 二、圆的周长及应用 30 三、圆的面积及应用 34 四、圆环的面积 39 五、方中圆和圆中方的面积问题 42 六、含圆的组合图形的周长和面积 45 七、扇形 49 培优练习 53 考点梳理 考点一、圆的认识 1.圆的各部分名称：圆心(O)、半径(r)、直径(d)。 2.圆的基本性质： （1）在同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等。 （2）在同圆或等圆中，直径长度是半径的2倍，即d = 2r 或 r = d ÷2。 （3）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴。 （4）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 3.画圆方法：用圆规画圆时，针尖所在的点是圆心，两脚间的距离是半径。 考点二、圆的周长及应用 1.圆的周长定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 2.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母π表示，π≈3.14。 3.圆的周长公式： （1）C=πd（已知直径求周长） （2）C=2πr（已知半径求周长） （3）d=C÷π（已知周长求直径） （4）r=C÷π÷2（已知周长求半径） 4.半圆的周长：半圆的周长=圆周长的一半+直径，即C=πr+2r或C=πd/2+d 5.应用题型： （1）已知半径或直径求周长。 （2）已知周长求半径或直径。 （3）解决实际生活中的周长问题（如车轮滚动一周的距离、绕圆形物体一周的长度等）。 考点三、圆的面积及应用 1.圆的面积定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2.圆的面积公式推导：通过割补法将圆转化为近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半(πr)，宽相当于圆的半径(r)。 3.圆的面积公式：S=πr² 4.半圆的面积：S=πr²÷2 5.应用题型： （1）已知半径或直径求面积。 （2）已知周长求面积（先求半径，再求面积）。 （3）解决实际生活中的面积问题（如圆形草坪的面积、圆形花坛的占地面积等）。 考点四、圆环的面积 1.圆环的定义：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫环形。 2.圆环的各部分名称：外圆半径(R)、内圆半径(r)、环宽(R-r)。 3.圆环的面积公式： （1）S=πR²-πr²（外圆面积减去内圆面积）。 （2）S=π(R²-r²)（利用乘法分配律的简便计算）。 4.解题步骤： （1）确定外圆半径(R)和内圆半径(r)。 （2）代入公式计算圆环面积。 考点五、方中圆和圆中方的面积问题 1.方中圆：在正方形中画一个最大的圆。 （1）圆的直径等于正方形的边长。 （2）若正方形边长为a，则圆的半径r=a÷2。 （3）面积关系：S圆=π(a÷2)²=πa²÷4，S正=a²，圆的面积是正方形面积的π÷4。 2.圆中方：在圆中画一个最大的正方形。 （1）正方形的对角线等于圆的直径。 （2）若圆的半径为r，则正方形的对角线长为2r。 （3）面积关系：将正方形看作两个等腰直角三角形，每个三角形的底是2r，高是r，所以S正=2×(2r×r÷2)=2r²，S圆=πr²，正方形面积是圆面积的2÷π。 考点六、含圆的组合图形的周长和面积 1.组合图形的定义：由两个或两个以上基本图形组合而成的图形叫做组合图形。 2.求组合图形周长的方法： （1）分析图形是由哪些基本图形组成的。 （2）明确哪些边是组合图形周长的一部分，哪些边不是。 （3）将所有外边的长度相加。 3.求组合图形面积的方法： （1）分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别求出面积再相加。 （2）添补法：用一个大图形减去一个或几个小图形，求出组合图形面积。 （3）平移法：通过平移将分散的图形拼在一起，转化为基本图形。 4.常见组合图形类型： （1）圆形与长方形/正方形的组合。 （2）多个圆形的组合。 （3）半圆与其他图形的组合。 考点七、扇形 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.扇形的各部分名称：圆心角（∠AOB）、半径、弧。 3.扇形的特征： （1）扇形是圆的一部分。 （2）扇形有一个顶点在圆心上。 （3）扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 4.扇形的面积公式： （1）S=πr²×(n÷360)，其中n是圆心角的度数。 （2）当n=360°时，扇形面积就是整个圆的面积。 （3）当n=180°时，扇形面积就是半圆的面积。 （4）当n=90°时，扇形面积就是圆面积的。 例题讲解 一、圆的认识 【例题1】如图，下面说法正确的是（ ）。 A．线段AC是这个圆的直径 B．线段AB是这个圆的半径 C．线段OD是这个圆的直径 D．线段OA的长度等于线段OD的长度 【答案】D 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。 在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径也相等，直径的长度是半径的2倍。 【详解】A．线段AC没有经过圆心，所以不是这个圆的直径，原题说法错误； B．线段AB是这个圆的直径，原题说法错误； C．线段OD是这个圆的半径，原题说法错误； D．线段OA、OD都是这个圆的半径，所以线段OA的长度等于线段OD的长度，原题说法正确。 故答案为：D 【例题2】车轮做成圆形的，是因为（ ）。 A．圆的直径是半径的2倍 B．圆是轴对称图形 C．从圆心到圆上任意一点的距离都相等 D．圆的半径决定圆的大小 【答案】C 【分析】车轮做成圆形，主要是因为从圆心到圆上任意一点的距离都相等。当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离就能保持不变。这样车辆行驶起来会更加平稳，不会出现颠簸的情况。据此解答。 【详解】A．圆的直径是半径的2倍，这是圆的基本性质，但与车轮做成圆形的原因无关。 B．圆是轴对称图形，这是圆的特征之一，但不是车轮做成圆形的主要原因。 C．从圆心到圆上任意一点的距离都相等，这使得车轮在滚动时，车轴与平面的距离始终保持不变，保证了车辆行驶的平稳，所以这是车轮做成圆形的主要原因。 D．圆的半径决定圆的大小，这是圆的另一个性质，与车轮做成圆形的直接原因无关。 故答案选：C 【例题3】圆的任何一条直径都是这个圆的对称轴。( ) 【答案】× 【分析】圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 【详解】如图： 圆的任何一条直径所在的直线都是这个圆的对称轴。 原题说法错误。 故答案为：× 【例题4】在同一个圆中，直径是半径的( )倍，半径与直径的比是( )。 【答案】 2 1∶2 【分析】根据圆的特点：在同圆或等圆中，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。当直径是2厘米，半径就是1厘米，据此解答。 【详解】半径∶直径＝1∶2 所以在同一个圆中，直径是半径的2倍，半径与直径的比是1∶2。 【例题5】《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( )。 【答案】 圆心 长度相等 【分析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的距离，叫做半径，在同圆中，所有的半径都相等；“圆，一中同长也”，即圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等。 【详解】由分析可得，《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指圆心，“同长”是指长度相同。 【例题6】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此画出图形的对称轴。 【详解】如下图。 【例题7】画一个半径是2厘米的圆，并标出它的圆心O和半径r。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤如下：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。（2）把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。（3）把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。据此解答。 【详解】 【例题8】如图，长方形中有三个大小相等的圆，已知这个长方形的长是18厘米，圆的直径是多少？长方形的周长是多少？    【答案】6厘米；48厘米 【分析】已知这个长方形的长是18厘米，根据圆的特征可知，长方形的长＝圆的直径×3，长方形的宽＝圆的直径，用18除以3求出圆的直径，继而求出长方形的宽，再利用长方形的面积＝（长＋宽）×2，代入数据即可求出长方形的周长。 【详解】18÷3＝6（厘米） （18＋6）×2 ＝24×2 ＝48（厘米） 答：圆的直径是6厘米，长方形的周长是48厘米。 二、圆的周长及应用 【例题1】数学活动中，同学们用圆在尺子上滚动一周（操作如图），圆上的箭头落在（ ）。 A．40～50厘米之间 B．30～40厘米之间 C．20～30厘米之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】圆滚动一周的长度等于圆的周长，利用“”求出这个圆的周长，再根据计算结果找出正确的选项，注意测量时起点位置是10厘米处，据此解答。 【详解】3.14×10＝31.4（厘米） 31.4＋10＝41.4（厘米） 因为40厘米＜41.4厘米＜50厘米，所以圆上的箭头落在40～50厘米之间。 故答案为：A 【例题2】半径为的半圆，它的周长是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的周长公式，以及直径，半圆周长是圆周长的一半＋直径，据此解答。 【详解】 半径为的半圆，它的周长是。 故答案为：D 【例题3】直径与周长的比值叫做圆周率。( ) 【答案】× 【分析】圆周率的定义是圆的周长与它的直径的比值，而非直径与周长的比值，据此解答。 【详解】根据分析可知，圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 原题干说法错误。 故答案为：× 【例题4】如果大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆的周长是小圆的4倍。( ) 【答案】× 【分析】设小圆的直径是1，则大圆的半径是1，根据圆的周长＝πd＝2πr，分别求出大圆和小圆的周长，再用大圆周长除以小圆周长，即可求出大圆的周长是小圆的几倍。据此判断。 【详解】设小圆的直径是1，则大圆的半径是1。 （1×2×π）÷（1×π） ＝2π÷π ＝2 则大圆的周长是小圆的2倍。原题说法错误。 故答案为：× 【例题5】用圆规画一个直径是6厘米的圆，圆规两脚尖应叉开( )厘米，这个圆的周长是( )厘米。 【答案】 3 18.84 【分析】圆规两脚间的距离是半径，用直径除以2求出。圆周长＝πd，将数据代入公式，求出这个圆的周长即可。 【详解】半径：6÷2＝3（厘米） 周长：3.14×6＝18.84（厘米） 所以，圆规两脚尖应叉开3厘米，这个圆的周长是18.84厘米。 【例题6】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是50厘米，要骑过23.55米长的钢丝，车轮大约要转动( )周。 【答案】15 【分析】根据圆的周长，计算出车轮转动一周的长度，然后用钢丝的长度除以车轮转动一周的长度，即可求出车轮转动的周数，据此解答。注意换算单位。 【详解】23.55米＝2355厘米 圆的周长＝（厘米） 转动的周数：2355÷157＝15（周） 【例题7】计算下面图形的周长。 【答案】37.68cm 【分析】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 【详解】2×3.14×6＝37.68（cm） 这个圆的周长是37.68cm。 【例题8】一台压路机前轮的半径是0.6米，如果前轮每分钟转动30周，那么10分钟可以从路的一端压到另一端，这条路长多少米？ 【答案】1130.4米 【分析】前轮是圆形的，根据圆的周长＝2πr（r为半径）求出前轮的周长； 再将周长乘每分钟转动的周数，可求出前轮每分钟压过的路程； 最后再用每分钟压过的路程乘时间，即可求这条路的长度。 【详解】2×3.14×0.6×30×10 ＝6.28×0.6×30×10 ＝3.768×30×10 ＝113.04×10 ＝1130.4（米） 答：这条路长1130.4米。 【例题9】运输圆柱形水管时，为了防止水管脱落，会将水管捆在一起（如图）。如果一根圆柱形水管周长是62.8厘米，将两根水管捆在一起，捆一圈至少需要多少厘米长的绳子？ 【答案】102.8厘米 【分析】通过观察图形可知，把两根水管捆在一起，需要绳子的长度等于水管的周长加上水管底面直径的2倍，根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，把数据代入公式解答。 【详解】62.8＋62.8÷3.14×2 ＝62.8＋20×2 ＝62.8＋40 ＝102.8（厘米） 答：捆一圈至少需要102.8厘米长的绳子。 三、圆的面积及应用 【例题1】小芳画圆的部分过程如图所示，所画的圆的面积是（ ）cm2。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从图中可知：圆规两脚的距离（半径）是3－1＝2cm，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算即可判断。 【详解】3－1＝2（cm） 22×π ＝4×π ＝4π（cm2） 所画的圆的面积是4πcm2。 故答案为：B 【例题2】如图，将一个圆剪拼成一个近似的长方形。在这个转化的过程中，（ ）。 A．周长和面积都没有变 B．周长和面积都变了 C．周长没变，面积变了 D．周长变了，面积没变 【答案】D 【分析】将一个圆剪拼成一个近似的长方形。在这个转化的过程中，长方形的面积和圆的面积相等，周长变了。 【详解】将一个圆剪拼成一个近似的长方形。它们的面积不变，近似长方形的周长比圆多了2条半径的长度。它们的周长变了，面积没变。 故答案为：D 【例题3】两个圆的周长相等，它们的面积也一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】可以根据圆的周长公式，推导出圆的半径，只要圆的半径相等，它们的面积就相等。 【详解】圆的周长公式C＝2πr，r＝C÷π÷2，当两个圆的周长相等，它们的半径相等，面积也相等。 故答案为：√ 【例题4】一个直径是8cm的半圆形零件，周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 20.56 25.12 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出直径是8cm的圆的周长，再除以2，求出直径是8cm圆的周长一半，再加上直径的长度，即可求出这个半圆形零件的周长；面积就是直径是8cm圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×（8÷2）2÷2 ＝3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 一个直径是8cm的半圆形零件，周长是20.56cm，面积是25.12cm2。 【例题5】一个半圆的周长是25.7厘米，这个半圆的面积是( )平方厘米。 【答案】39.25 【分析】设半圆的半径为r厘米，则圆周长的一半为πr厘米，圆的直径为2r厘米，根据圆周长的一半＋直径＝半圆的周长列方程解答求出半圆的半径，再根据半圆的面积＝π×半径的平方÷2解答。 【详解】解：设半圆的半径为r厘米。 3.14r＋2r＝25.7 5.14r＝25.7 5.14r÷5.14＝25.7÷5.14 r＝5 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 所以这个半圆的面积是39.25平方厘米。 【例题6】一根长50.24米的麻绳刚好可以在一棵银杏树的树干上绕8圈。这棵银杏树的树干横截面的半径是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 1 3.14 【分析】分析题目，50.24是圆周长的8倍，据此用除法求出圆的周长，再根据圆的半径＝C÷π÷2列式求出圆的半径，再根据圆的面积＝πr2列式求出面积即可。 【详解】50.24÷8＝6.28（米） 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 一根长50.24米的麻绳刚好可以在一棵银杏树的树干上绕8圈。这棵银杏树的树干横截面的半径是1米，面积是3.14平方米。 【例题7】我会求下面各圆的面积。     【答案】50.24平方厘米；113.04平方厘米 【分析】根据图示，第一个圆可以直接用圆的面积公式求出圆的面积，圆的面积公式＝πr²，将数据代入公式计算出结果即可。 根据图示，第二个圆已知了直径12厘米求半径，则为12÷2＝6（厘米）然后再根据圆的面积公式求出圆的面积，圆的面积公式＝πr²，据此解答。 【详解】3.14×42＝50.24（平方厘米） 3.14×（12÷2）2 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 第一个圆的面积为50.24平方厘米，第二个圆的面积为113.04平方厘米。 【例题8】一个圆形餐桌桌面的直径是2米，它的面积是多少平方米？ 【答案】3.14平方米 【分析】圆的面积＝πr2，先用直径除以2求出半径，再代入公式计算即可。 【详解】半径： 2÷2＝1（米） 面积： 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 答：它的面积是3.14平方米。 四、圆环的面积 【例题1】如图，阴影部分的面积是20cm2，那么圆环的面积是（ ）cm2。 A．251.2 B．62.8 C．20 D．10 【答案】B 【分析】圆环的面积＝×（－），阴影部分的面积＝－＝20，由此可知圆环的面积等于×20。 【详解】3.14×20＝62.8（） 所以圆环的面积是62.8。 故答案为：B 【例题2】一个圆形花坛的半径是5米，在它的周围修一条小路，小路宽1米，这条小路的面积是( )平方米。 【答案】34.54 【分析】根据题意可知，小路是环形的，用外圆面积减去内圆面积即可。其中外圆的半径＝花坛半径＋小路的宽度。圆面积＝πr2，据此先分别求出外圆和内圆的面积，再相减即可。 【详解】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 所以，这条小路的面积是34.54平方米。 【例题3】求下面图形涂色部分的面积。 【答案】21.98cm2 【分析】本题是求圆环（涂色部分）的面积，由图可知外圆的半径为4cm，内圆的半径为3cm。根据圆的面积公式S＝πr2（S表示面积，π通常取3.14，r表示半径），分别求出外圆和内圆的面积，再用外圆的面积减内圆的面积即可得到涂色部分的面积。 【详解】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2） 50.24－28.26＝21.98（cm2） 图形涂色部分的面积是21.98cm2。 【例题4】土星环是指由水、冰、尘埃和其他化学物质组成的绕着土星运转的圆环。彬彬用一个乒乓球和一张圆环形硬纸板做了一个土星模型（如图），这张圆环形硬纸板的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】利用圆面积公式，圆环的面积用以10厘米为直径的圆面积减厘米为直径的圆的面积即可求解。 【详解】 （平方厘米） 答：这张圆环形硬纸板的面积是50.24平方厘米。 五、方中圆和圆中方的面积问题 【例题1】“外方内圆”和“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理，下图是一种外方内圆的建筑，外面正方形面积是36平方分米，则内圆面积是（ ）平方分米。 A．41.04 B．30.96 C．28.26 D．18.8 【答案】C 【分析】看图可知，正方形的边长＝圆的直径，根据正方形面积＝边长×边长，确定正方形的边长，即圆的直径，再根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】36＝6×6 圆的直径是6分米。 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 内圆面积是28.26平方分米。 故答案为：C 【例题2】中国建筑中经常能看见如图的设计，如果图中圆的面积是6.28m2，那么涂色部分面积是( )m2。 【答案】2.28 【分析】已知圆的面积是6.28m2，根据圆的面积公式S＝πr2，可知r2＝S÷π，据此求出半径的平方r2； 连接圆内正方形的一条对角线，把正方形平均分成两个三角形，三角形的底等于圆的直径d，高等于圆的半径r，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积；由此可得出2r×r÷2×2＝2r2，然后把r2的值代入式子中，求出圆内正方形的面积； 最后用圆的面积减去正方形的面积，即是涂色部分的面积。 【详解】如图： 设圆的半径是rm； 半径的平方r2：6.28÷3.14＝2（m2） 正方形的面积：2r×r÷2×2＝2r2 2×2＝4（m2） 涂色部分的面积：6.28－4＝2.28（m2） 涂色部分的面积是2.28m2。 【例题3】如图，已知正方形的周长是8cm，求阴影部分的面积是多少cm2。 【答案】2.28cm2 【分析】已知正方形的周长是8cm，则它的边长是8÷4＝2（cm），根据正方形的面积＝边长×边长，这个正方形的面积＝2×2＝4（cm2）。S内正＝2r2，据此用4除以2即可求出r2是多少，然后根据圆的面积＝πr2，代入数据求出圆的面积，用圆的面积减去正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】8÷4＝2（cm） 2×2＝4（cm2） 3.14×（4÷2） ＝3.14×2 ＝6.28（cm2） 6.28－4＝2.28（cm2） 则阴影部分的面积是2.28cm2。 【例题4】过春节时，家家户户都会张贴“福”字窗花，象征“福气已到”。下面这张“福”字窗花采用了外圆内方的造型，圆形的周长是43.96厘米，它中间最大正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2πr＝πd，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 直径：43.96÷3.14＝14（厘米） 半径：14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：它中间最大正方形的面积是98平方厘米。 六、含圆的组合图形的周长和面积 【例题1】求图中阴影部分的周长。 【答案】20.56 【分析】阴影部分的两侧可以拼成一个完整的圆，圆的直径为4，上下为正方形的边长，用圆的周长加上下2条边长即可。 圆形周长： 【详解】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56 所以阴影部分的周长为20.56。 【例题2】求如图图形阴影部分的面积。（单位：分米） 【答案】125.6平方分米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝直径为（12＋8）分米的半圆的面积－直径为12分米的半圆的面积＋直径为8分米的半圆的面积，根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【详解】（12＋8）÷2 ＝20÷2 ＝10（分米） 12÷2＝6（分米） 8÷2＝4（分米） 3.14×102÷2－3.14×62÷2＋3.14×42÷2 ＝3.14×100÷2－3.14×36÷2＋3.14×16÷2 ＝157－56.52＋25.12 ＝125.6（平方分米） 阴影部分的面积是125.6平方分米。 【例题3】计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】7.5平方厘米 【分析】如下图所示，将阴影部分的图形通过旋转和平移，转化为一个上底是1厘米，下底是4厘米，高是3厘米的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算。 【详解】4－3＝1（厘米） （1＋4）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 则阴影部分的面积7.5平方厘米。 【例题4】如图，分别求出图中阴影部分的周长和面积。 【答案】25.7厘米；12.5平方厘米 【分析】 由图可知，阴影部分的周长由直线和曲线两部分组成，曲线部分合在一起等于以5厘米为直径圆的周长，直线部分是2条正方形的边长，这两部分的长度之和就是阴影部分的周长；如图所示，①和②形状相同，面积相等，③和④形状相同，面积相等，则所有阴影部分合在一起的面积等于正方形面积的一半，据此解答。 【详解】周长：3.14×5＋5×2 ＝15.7＋10 ＝25.7（厘米） 面积：5×5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（平方厘米） 所以，阴影部分的周长是25.7厘米，面积是12.5平方厘米。 【例题5】一个运动场如图，两端是半圆形，中间是长方形。 （1）沿着这个运动场跑一圈的路程是多少米？ （2）这个运动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）388.4米 （2）8826平方米 【分析】（1）求沿着这个运动场跑一圈的路程，就是求这个运动场的周长，观察图可知，运动场的周长＝半径是30米的圆的周长＋长方形的长×2；根据圆的周长＝π×半径×2，据此求出运动场的周长。 （2）根据图可知，运动场的面积＝半径是30米的圆的面积＋长是100米，宽是30×2＝60米的长方形面积，根据圆的面积＝π×半径2，长方形面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】（1）3.14×30×2＋100×2 ＝94.2×2＋200 ＝188.4＋200 ＝388.4（米） 答：沿着这个运动场跑一圈的路程是388.4米。 （2）3.14×302＋100×（30×2） ＝3.14×900＋100×60 ＝2826＋6000 ＝8826（平方米） 答：这个运动场的占地面积是8826平方米。 七、扇形 【例题1】下面图形中，涂色部分不是扇形的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。据此逐项分析。 【详解】A．围成这个图形的线段不是圆的半径，则这个图形不是扇形； B．是由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形，是扇形； C．是由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形，是扇形； D．是由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形，是扇形。 故答案为：A 【例题2】同一个圆中，扇形的大小与（ ）有关。 A．半径的大小 B．圆心角的大小 C．圆心的位置 D．直径的大小 【答案】B 【分析】扇形的面积＝圆周率×半径的平方×，圆周率是个定值，因此扇形的大小与半径和圆心角的大小有关，据此分析。 【详解】在同一个圆中，半径和直径的大小固定，扇形的圆心角越大，扇形的面积越大，因此扇形的大小与圆心角的大小有关。 故答案为：B 【例题3】两条半径和一条弧就组成一个扇形。( ) 【答案】× 【详解】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。如下图，根据扇形的意义可知，围成扇形的两条半径OA、0B必须经过弧AB的两端，不是任意的两条半径和一条弧就组成一个扇形，所以原题说法错误。 故答案为：× 【例题4】把一个圆对折两次后，得到的面积最小的扇形的圆心角是( )。 【答案】90°/90度 【分析】如图所示，整个圆的圆心角是360°，把一个圆对折一次得到2个形状相同的扇形，每个扇形的圆心角是360°÷2＝180°，把这2个扇形再对折一次得到4个形状相同的扇形，每个扇形的圆心角是180°÷2＝ 90°，据此解答。 【详解】 360°÷2÷2 ＝180°÷2 ＝ 90° 所以，把一个圆对折两次后，得到的面积最小的扇形的圆心角是90°。 【例题5】在下面的空白处画一个半径是2厘米的圆，并在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，以点O为圆心，2厘米为半径画圆，在圆上找出点A，连接OA，用量角器画出∠AOB＝120°，据此解答。 【详解】 【例题6】求如图中涂色部分的面积。 【答案】43.96平方厘米 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的面积是圆环面积的，根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】3.14×[（5＋4）2－52]× ＝3.14×[92－52]× ＝3.14×[81－25]× ＝3.14×56× ＝43.96（平方厘米） 阴影部分的面积是43.96平方厘米。 考点练习 一、圆的认识 1．小明想要在圆形蛋糕上找到圆心来均匀地插上蜡烛，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为（ ）。 A．圆有无数条直径 B．直径是圆中最长的线段 C．圆是轴对称图形 D．同一圆内，直径长度是半径的2倍 【答案】B 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，直径是圆内最长的线段，据此分析。 【详解】根据分析，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为直径是圆中最长的线段。 故答案为：B 2．下面的几个图形中，对称轴最多的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示；这时，这个图形关于这条直线对称。据此分析各选项的图形，进而确定正确答案。 【详解】 A．该图形有3条对称轴。 B．该图形是两个同心圆，圆有无数条对称轴，所以这个图形有无数条对称轴。 C．该图形是圆内接正三角形，正三角形有3条对称轴。所以这个图形有3条对称轴。 D．该图形是正方形内接圆，正方形有4条对称轴。所以这个图形有4条对称轴。 所以选项B中的有无数条对称轴，是各选项中最多的。 故答案为：B 3．在同一个圆中，两条半径一定能组成一条直径。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的定义，直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，长度是半径的2倍。两条半径只有在同一直线且方向相反时才能组成直径，否则无法构成直径。因此，题目中的说法不一定成立。 【详解】在同一个圆中，任意两条半径的端点不一定在同一直线上。例如，若两条半径形成的夹角为60°，则它们的端点连线为一条线段，而非直径。只有当两条半径在同一直线且方向相反时，才能组成一条直径。因此原题说法错误。 故答案为：× 4．半径决定圆的大小，直径决定圆的位置。( ) 【答案】× 【分析】圆心决定圆的位置，半径或直径决定圆的大小。 【详解】圆的大小是由圆的半径决定的，位置是由圆心决定的。 原题说法错误。 故答案为：× 5．长方形、正方形、平行四边形、圆形都是轴对称图形。( ) 【答案】× 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答。 【详解】长方形、正方形、圆形沿一条直线折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，因此长方形和正方形、圆形都是轴对称图形。平行四边形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不都能够完全重合，因此平行四边形不是轴对称图形。 原题干说法错误。 故答案为：× 6．在同一个圆内可以画( )条直径；如果用圆规画一个直径是14厘米的圆，圆规的两脚尖间的距离应该是( )厘米。 【答案】 无数 7 【分析】过圆心，并且两端都在圆上的线段，叫做直径，在圆中这样的线段有无数条，所以同一个圆内可以画无数条直径；用圆规画圆，圆规的两脚尖间的距离是圆的半径，所以用直径除以2就是圆规的两脚尖间的距离。 【详解】在同一个圆内可以画无数条直径； 14÷2＝7（厘米） 所以圆规的两脚尖间的距离应该是7厘米。 7．圆有( )条对称轴，将一张圆形纸片至少对折( )次可以得到圆心。 【答案】 无数 两/2/二 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆是平面上的一种轴对称图形，圆的所有直径都相交于圆心，即圆中心的那个点。据此解答。 【详解】根据分析得到圆有无数条对称轴，沿着圆纸片的直径至少对折两次能得到圆心。 8．请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 【答案】见详解 【分析】由圆的特征可知，圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等，A、B、C点都在圆上，连接AC，则AC的中点O就是圆心，最后以点O为圆心，OA的长度为半径画圆即可。 【详解】作图如下： 9．画出下面图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴，据此解答。 【详解】作图如下： 10．先在下面的正方形内画一个最大的圆，再画出其中的一条直径，测量并标出直径的长度。 【答案】见详解 【分析】要在正方形内画一个最大的圆，先连接正方形的两条对角线，以对角线的交点作为圆的圆心，以正方形边长的一半作为圆的半径，据此画出这个正方形内最大的圆，再画出其中一条直径，标出直径的长度。 【详解】如图： （以实际测量为准） 11．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答。 【详解】（8－6）÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 答：小圆的半径是1厘米。 二、圆的周长及应用 1．一只挂钟的分针长20cm，经过45分钟后，分针的尖端所走的路程是（ ）cm。（π取3.14） A．31.4 B．62.8 C．94.2 D．125.6 【答案】C 【分析】经过45分钟，分针的尖端所走的路程是圆周长的，根据圆周长公式：C＝2πr算出圆的周长，再用圆的周长乘即可。 【详解】45÷60＝ 2×3.14×20×＝94.2（cm） 分针的尖端所走的路程是94.2cm。 故答案为：C 2．在一个长4分米，宽3分米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）分米。 A．6.28 B．3.14 C．4.7 D．10.28 【答案】D 【分析】4÷2＝2（分米），3＞2，因为这个长方形的宽大于长的一半，因此在这个长方形内画一个最大的半圆，半圆的直径＝长方形的长，根据半圆的周长＝圆周率×直径÷2＋直径，列式计算即可。 【详解】3.14×4÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（分米） 这个半圆的周长是10.28分米。 故答案为：D 3．一个圆桌的直径是150cm，在圆桌边上要求每隔50cm摆一套餐具，为了保证间距，最多可以摆餐具（ ）套。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】先根据“”求出圆桌的周长，可以摆餐具的套数＝圆桌的周长÷间距，最后结果取整数，据此解答。 【详解】150×3.14＝471（cm） 471÷50≈9（套） 所以，最多可以摆餐具9套。 故答案为：B 4．人类对圆周率的研究历史非常久远，在我国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的记载。这里的“周三径一”是指在同一个圆中半径大约是周长的3倍。( ) 【答案】× 【分析】根据“周三径一”的定义，在同一个圆中，周长大约是直径的3倍，即C≈3d。由于直径d＝2r（r为半径），据此可求出半径与周长的关系，再判断。 【详解】“周三径一”的定义，在同一个圆中，周长大约是直径的3倍，即C≈3d。 d＝2r C≈3×2r＝6r r≈ 则半径大约是周长的，原题说法错误。 故答案为：× 5．用圆规画一个周长是21.98cm的圆，圆规两脚之间的距离是3.5cm。( ) 【答案】√ 【分析】半径决定圆的大小，画圆时圆规两脚之间的距离等于所画圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出该圆的半径，然后与3.5cm进行比较即可。 【详解】21.98÷3.14÷2 ＝7÷2 ＝3.5（cm） 则用圆规画一个周长是21.98cm的圆，圆规两脚之间的距离是3.5cm。 故答案为：√ 6．如果要画一个周长为12.56厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该取( )厘米。圆的周长总是它的直径的( )倍。 【答案】 2 π 【分析】已知圆的周长12.56厘米，根据公式r＝C÷π÷2，求出圆的半径，也就是圆规两脚间的距离。 根据圆的周长公式C＝πd可知，C÷d＝π，由此可知圆的周长总是它的直径的π倍。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 圆的周长÷直径＝π 如果要画一个周长为12.56厘米的圆，那么圆规两脚间的距离应该取2厘米。圆的周长总是它的直径的π倍。 7．涵涵用圆规在边长是7厘米的正方形内画一个最大的圆，圆规两脚间的距离应是( )厘米，这个圆的周长是( )厘米。 【答案】 3.5 21.98 【分析】圆规两脚间的距离是半径，正方形内画一个最大的圆，圆的直径＝正方形的边长，半径＝直径÷2，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【详解】7÷2＝3.5（厘米） 3.14×7＝21.98（厘米） 圆规两脚间的距离应是3.5厘米，这个圆的周长是21.98厘米。 8．一根长20米的钢丝，在一个圆柱形钢管上绕了3圈，还多1.16米，这个圆柱形钢管横截面的半径是( )米。（π取3.14） 【答案】1 【分析】由钢丝在一个圆柱形钢管上绕了3圈，可知用铁丝的总长减去剩余长度即为3个圆的周长，除以3后为一个圆的周长。再由圆的周长为2πr，即可求得这个圆柱形钢管横截面的半径。 【详解】3个圆的周长：20－1.16＝18.84（米） 圆的周长：18.84÷3＝6.28（米） 圆的半径： 6.28÷2÷3.14 ＝3.14÷3.14 ＝1（米） 所以这个圆柱形钢管横截面的半径是1米。 9．手工课上，莉莉把四个一样的圆柱形物体，捆成如图的形状（从底面方向看）。若接头处不计，至少需要( )cm的绳子才能捆好。 【答案】28.56 【分析】观察可知，绳子的长度等于4个圆的周长加上4条直径，即一个圆的周长加4条直径，已知圆的直径是4cm，根据圆的周长公式，代入数据计算即可得解。 【详解】 （cm） 若接头处不计，至少需要28.56cm的绳子才能捆好。 10．求下边图形周长。 【答案】15.42cm 【分析】根据半圆形的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长公式，观察可知，直径是6cm，代入数据计算即可得解。 【详解】 （cm） 11．如图中，大圆的半径等于小圆的直径。请计算阴影部分的周长。 【答案】37.68cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝大圆的周长＋小圆的周长，再根据圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，据此进行计算即可。 【详解】3.14×2×4＋3.14×4 ＝6.28×4＋3.14×4 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（cm） 则阴影部分的周长为37.68cm。 12．如果圆形拱门的高度达到2.4米才符合标准，那么一个圆形拱门门框的周长约是8.2米，它的高度符合标准吗？ 【答案】符合标准 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，求出圆形拱门的直径，然后与2.4米进行比较即可。 【详解】高度：（米） 2.6＞2.4 答：圆形拱门的高度符合标准。 13．一辆汽车的车胎外直径是0.8米，如果它每分转200圈，通过一座3千米长的大桥大约需要多少分？（结果保留整数） 【答案】6分 【分析】首先将大桥长度3千米转换为3000米，接着根据圆的周长公式：C＝πd，求出车胎一圈的长度，再乘每分钟转的圈数，得到每分钟前进的距离，最后用总路程除以速度求出时间，结果保留整数，保留整数要看小数点后第一位上的数是几，根据四舍五入法取近似值即可。 【详解】3千米＝3000米 3.14×0.8＝2.512（米） 3000÷502.4≈6（分） 答：大约需要6分。 三、圆的面积及应用 1．小明量出一个圆形烟囱底部周长是31.4米，这个烟囱的占地面积是（ ）平方米。 A．31.4 B．78.5 C．314 D．15.7 【答案】B 【分析】圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式计算。 【详解】3.14×（31.4÷3.14÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 这个烟囱的占地面积是78.5平方米。 故答案为：B 2．小明家中有一张圆形桌子，桌面直径是1米，妈妈要选一块桌布，你认为选（ ）比较合适。 A．120厘米×80厘米 B．3140平方厘米 C．7850平方厘米 D．20096平方厘米 【答案】C 【分析】要选择合适的桌布，需要考虑圆形桌面的面积，圆形面积公式为S ＝π（d÷2）2，算出桌面面积后，再与各选项进行比较，选择桌布的面积等于桌面面积或比桌面面积大一点点的选项。 【详解】1米＝100厘米 3.14×（100÷2）2 ＝3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方厘米） A．120厘米、80厘米是长方形桌布的长和宽，长方形桌布的面积：120×80＝9600（平方厘米），9600＞7850，虽然长方形桌布的面积大于桌子的面积，但是它的形状是长方形，不能很好贴合圆形桌面，四周垂下部分形状不规则，不如圆形桌布覆盖效果好； B．3140＜7850，桌布面积小于圆形桌面面积，选3140平方厘米的桌布不合适； C．7850＝7850，桌布面积等于圆形桌面面积，选7850平方厘米的桌布比较合适； D．20096＞7850，桌布面积比圆形桌面面积大太多了，选20096平方厘米的桌布不合适。 故答案为：C 3．大圆的半径等于小圆的直径，则大圆和小圆的面积比是4∶1。( ) 【答案】√ 【分析】设小圆的半径为，直径为，即大圆的半径为，根据圆的面积公式， 将大圆与小圆的面积表示出来后，表示二者的面积比即可。 【详解】设小圆的半径为，直径为，即大圆的半径为； ；； 。 故答案为：√ 4．圆的半径扩大为原来的4倍，则圆的周长和面积也扩大为原来的4倍。( ) 【答案】× 【分析】假设原半径为1，扩大为原来的4倍，就是，根据圆的周长公式，圆的面积公式，代入数据计算原来圆的周长与面积，以及扩大后的圆的周长与面积，再分别用除法去计算即可得解。 【详解】假设原半径为1， 扩大后的半径为 圆的半径扩大为原来的4倍，则圆的周长扩大为原来的4倍，面积扩大为原来的16倍。原题说法错误。 故答案为：× 5．用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之间的距离应是( )cm，这个圆的直径是( )cm。圆的面积是( )cm2。 【答案】 3 6 28.26 【分析】根据圆的周长C＝2πr，可求得圆的半径r，进而可求得圆的直径d＝2r，圆的面积S＝πr2。 【详解】因为圆的周长为C＝2πr，所以圆规两脚之间的距离即半径为18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（cm）。 圆的直径是d＝2r＝2×3＝6（cm）。 圆的面积是S＝πr2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2）。 6．在一个长和宽分别是4cm和3cm的长方形纸片上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 9.42 7.065 【分析】长方形纸片上剪一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×3＝9.42（cm） 3.14×（3÷2）2 ＝3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（） 这个圆的周长是9.42cm，面积是7.065。 7．教室里挂钟的时针长4cm，从3时到9时，时针针尖走过了( )cm，时针扫过的面积是( )cm2。 【答案】 12.56 25.12 【分析】答题空1：时针从3时到9时，时针针尖走过的痕迹是圆周长的一半，求出圆的周长除以2即可。 答题空2：时针从3时到9时，时针扫过的面积是圆面积的一半，求出圆的面积除以2即可。 【详解】答题空1：C＝2πr ＝2×3.14×4 ＝25.12（cm） 25.12÷2＝12.56（cm） 答题空2：S＝πr2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 50.24÷2＝25.12（cm2） 所以，时针针尖走过了12.56cm，时针扫过的面积是25.12cm2。 8．求下列图形的面积和周长。 【答案】50.24平方厘米，25.12厘米；63.585平方分米，28.26分米 【分析】圆的直径÷2＝半径，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的面积＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 2×3.14×4＝25.12（厘米） 3.14×（9÷2）2 ＝3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方分米） 3.14×9＝28.26（分米） 9．小宇用一根铁丝围成了一个边长3.14厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆，那么圆的面积是多少？ 【答案】12.56平方厘米 【分析】由于这根铁丝围成正方形，后面围成圆，说明圆的周长和铁丝的长度相同，根据正方形的周长公式：边长×4，把数代入即可求出铁丝的长度，即圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数代入求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求出圆的面积。 【详解】3.14×4＝12.56（厘米） 12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：圆的面积是12.56平方厘米。 10．刘爷爷用157米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】3925平方米 【分析】由题意可知，157米就是养鸡场半圆弧的长度，根据半圆弧的长度＝，可以求出半径，最后根据半圆的面积＝可求出养鸡场的面积。据此解答即可。 【详解】3.14×（157÷3.14）2÷2 ＝3.14×÷2 ＝3.14×2500÷2 ＝7800÷2 ＝3925（平方米） 答：这个养鸡场的面积是3925平方米。 11．市政广场有一个直径为14米的圆形喷水池，为防止发生意外，在喷水池外侧，距离池边2米的地方围了一圈护栏。这圈护栏围住的圆的面积是多少？ 【答案】254.34平方米 【分析】由题意可知，这圈护栏围住的圆的半径为14÷2＋2＝9米，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】3.14×（14÷2＋2）2 ＝3.14×92 ＝3.14×81 ＝254.34（平方米） 答：这圈护栏围住的圆的面积是254.34平方米。 四、圆环的面积 1．如图是寓意“海上生明月，天涯共此时”的“月光环”景观灯，其外直径是36m，内直径是22m，计算“月光环”正面的近似面积的正确算式是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：“月光环”是一个圆环，大圆直径D为36米，小圆直径d为22米，则圆环面积＝，据此计算可得出答案。 【详解】“月光环”正面的近似面积为： 故答案为：D 2．一个圆形喷泉池的直径是18m，喷泉池周围是一条2m宽的水泥路，这条水泥路的面积是( )m2。 【答案】125.6 【分析】已知一个圆形喷泉池的直径是18m，根据圆的半径r＝d÷2，求出圆形喷泉池的半径r； 喷泉池周围是一条2m宽的水泥路，用圆形喷泉池的半径加上2，即是外圆的半径R； 根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出这条水泥路的面积。 【详解】18÷2＝9（m） 9＋2＝11（m） 3.14×（112－92） ＝3.14×（121－81） ＝3.14×40 ＝125.6（m2） 这条水泥路的面积是125.6m2。 3．如图所示，求阴影部分的面积。 【答案】25.12cm2 【分析】看图可知，阴影部分是圆环的一半，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），先求出完整的圆环面积，再除以2即可。 【详解】 （cm2） 阴影部分的面积是25.12cm2。 4．一个儿童游乐场是圆形的，它的周长是628米，现将这个游乐场进行扩建，扩建后的半径增加了4米。这个游乐场的面积增加了多少平方米？ 【答案】2562.24平方米 【分析】已知游乐场是圆形的，它的周长是628米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出原来游乐场的半径； 已知扩建后的半径增加了4米，用原来游乐场的半径加上4，求出扩建后游乐场的半径； 增加的形状是个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出游乐场增加的面积。 【详解】原来游乐场的半径：628÷3.14÷2＝100（米） 现在游乐场的半径：100＋4＝104（米） 增加的面积： 3.14×（1042－1002） ＝3.14×（10816－10000） ＝3.14×816 ＝2562.24（平方米） 答：这个游乐场的面积增加了2562.24平方米。 5．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称。制作一把这样扇骨两面贴宣纸扇面的折扇，一共需要多少平方厘米的宣纸？ 【答案】2512平方厘米 【分析】制作一把这样扇骨两面贴宣纸扇面的折扇，实际就是求半径是30厘米的圆的面积减去半径是10厘米的圆的面积，即求圆环的面积，根据圆环的面积＝×（－），代入数据计算即可。 【详解】3.14×（302－102） ＝3.14×（900－100） ＝3.14×800 ＝2512（平方厘米） 答：一共需要2512平方厘米的宣纸。 五、方中圆和圆中方的面积问题 1．下图是一个外圆内方的图形，圆的半径是2dm，圆和正方形之间部分的面积是( )dm2。 【答案】4.56 【分析】用圆的面积减去正方形的面积就是圆和正方形之间部分的面积。正方形的对角线把正方形分割成两个底为圆的直径，高为圆的半径的两个三角形，所以圆和正方形之间部分的面积＝圆的面积－底为圆的直径，高为圆的半径的三角形的面积×2，据此解答。 【详解】3.14×－2×2×2÷2×2 ＝3.14×4－4×2 ＝12.56－8 ＝4.56（dm2） 所以圆和正方形之间部分的面积是4.56。 2．如图，我国古建筑门窗有许多方中有圆、圆中有方的设计图案。图中圆的面积是，其中大正方形的面积是( )，小正方形的面积是( )。 【答案】 16 8 【分析】由图可知，圆的直径就是大正方形的边长，正方形的面积＝边长×边长，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，用圆的面积除以圆周率求出半径的平方，进一步求出圆的半径，再根据大正方形边长与圆直径的关系、小正方形对角线与圆直径的关系：小正方形的对角线等于圆的直径，把小正方形沿着对角线分成两个完全一样的等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的底就是小正方形的对角线长度4dm，高是对角线长度的一半，据此分别求出大正方形和小正方形的面积。 【详解】12.56÷3.14＝4 2×2＝4，所以圆的半径是2dm。 2×2＝4（dm） 4×4＝16（） 4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝8（） 所以大正方形的面积是16，小正方形的面积是8。 3．计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】0.86cm2 【分析】观察图形可知，正方形的边长、圆的直径都是2cm；阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×2－3.14×（2÷2）2 ＝4－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 阴影部分的面积是0.86cm2。 4．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 【答案】28.5平方厘米 【分析】已知圆的半径是5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 把圆内的正方形用一条对角线平均分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积； 那么阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。 【详解】3.14×52－5×2×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：它的面积是28.5平方厘米。 5．枫林小区有一块边长为20米的正方形空地。小区物业在这块空地的中心挖了一个圆形水池，在四个角边种上月季花。种月季花地的面积等于多少平方米？ 【答案】86平方米 【分析】由题意可知，种月季花地的面积等于边长为20米的正方形的面积减去直径为20米的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝×半径的平方解答。 【详解】20÷2＝10（米） 20×20－3.14× ＝400－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方米） 答：种月季花地的面积等于86平方米。 六、含圆的组合图形的周长和面积 1．计算下面图形的周长。（单位：dm） 【答案】44.56dm 【分析】将长方形下边的边平移到上边，这个图形的周长＝圆周长的一半＋直径＋长方形的长×2，圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，据此列式计算。 【详解】3.14×8÷2＋8＋12×2 ＝12.56＋8＋24 ＝44.56（dm） 这个图形的周长是44.56dm。 2．计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】21.5平方厘米 【分析】由图可知，整个图形是一个边长为10厘米的正方形。空白部分是一个直径为10厘米，半径为10÷2＝5厘米圆的面积。阴影部分面积是由正方形面积减去圆的面积。根据正方形面积公式：S＝a×a（a为边长），圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14，r为半径），把数据代入公式计算后，再用正方形面积减圆的面积即可。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 100－78.5＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积是21.5平方厘米。 3．计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】57平方厘米 【分析】阴影部分的面积等于直径是20厘米的半圆的面积减去底为20厘米、高为20÷2＝10（厘米）的三角形的面积，根据半圆的面积＝÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】3.14×÷2－20×（20÷2）÷2 ＝3.14×÷2－20×10÷2 ＝3.14×100÷2－200÷2 ＝314÷2－100 ＝157－100 ＝57（平方厘米） 4．求涂色部分的周长和面积。（单位：分米） 【答案】周长22.84分米，面积18.84平方分米 【分析】圆周长＝2πr＝πd，圆面积＝πr2。 涂色部分的周长＝大半圆的周长＋小半圆的周长＋大半圆的半径。据此，先根据圆周长公式求出大半圆对应圆的周长，再除以2，求出大半圆的周长。同理，求出小半圆的周长。据此解答即可； 涂色部分的面积＝大半圆面积－小半圆面积。据此先根据圆面积公式求出大半圆对应圆的面积，再除以2，求出大半圆的面积。同理求出小半圆的面积，再相减求出涂色部分的面积。 【详解】涂色部分的周长： 2×3.14×4÷2＋3.14×4÷2＋4 ＝12.56＋6.28＋4 ＝22.84（分米） 涂色部分的面积： 3.14×42÷2－3.14×（4÷2）2÷2 =3.14×42÷2－3.14×22÷2 ＝3.14×42÷2－3.14×22÷2 ＝3.14×16÷2－3.14×4÷2 ＝25.12－6.28 ＝18.84（平方分米） 5．求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）（π取3.14） 【答案】14.13cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝半径为6cm的圆面积的－直径为6cm的圆面积的，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】×3.14×62－×3.14×（6÷2）2 ＝×3.14×36－×3.14×32 ＝×3.14×36－×3.14×9 ＝28.26－14.13 ＝14.13（cm2） 阴影部分的面积是14.13cm2。 6．计算图中的阴影部分面积。（π取3.14） 【答案】16 【分析】由题题图可知大三角形和小三角形均为等腰直角三角形，则下方的梯形上底和高都为4。将阴影部分部分的弓形，挪到下方，如详解图所示，则阴影部分的面积为梯形减去等腰直角三角形的面积，再套用梯形和三角形面积公式，即可求得阴影部分的面积。 【详解】将上半部分的阴影挪到下半部分，如图所示： 阴影部分的面积为梯形的面积－三角形的面积 （4＋8）×4÷2－4×4÷2 ＝24－8 ＝16 7．下图是“禁止驶入”的交通标志，这个标志中有一个白色长方形，其余部分是红色，红色部分的面积是多少？ 【答案】4184平方厘米 【分析】红色部分等于直径是80厘米圆的面积－长是70厘米，宽是12厘米的长方形面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（80÷2）2－70×12 ＝3.14×402－840 ＝3.14×1600－840 ＝5024－840 ＝4184（平方厘米） 答：红色部分的面积是4184平方厘米。 8．一面镜子的形状如图所示，它的边是由4个直径相等的半圆组成的。 （1）给镜子的周围镶上铝边，需要铝边多少分米？ （2）镜子的面积是多少平方分米？ 【答案】（1）25.12分米 （2）41.12平方分米 【分析】（1）由图可知：图形的周长等于直径是4分米的两个圆组成的，根据圆的周长＝圆周率×直径，代入数据计算出1个圆的周长，再乘2即可解答； （2）镜子的面积等于两个直径是4分米的圆和一个边长是4分米的正方形组成的，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形的面积＝边长×边长解答即可。 【详解】（1）3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（分米） 答：需要25.12分米。 （2）3.14××2＋4×4 ＝3.14××2＋16 ＝3.14×4×2＋16 ＝12.56×2＋16 ＝25.12＋16 ＝41.12（平方分米） 答：镜子的面积是41.12平方分米。 七、扇形 1．下面各圆的圆心是O，图形（ ）中的∠a是圆心角。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆心角是指在圆中，从圆心出发的两条射线与圆周相交于两点，这两点之间的圆弧所对的角。圆心角的顶点在圆心上，据此解答即可。 【详解】A．∠a的顶点在圆心上，符合圆心角特征，故选项正确； B．∠a的顶点不在圆心上，不符合圆心角特征，故选项错误； C．∠a的顶点不在圆心上，不符合圆心角特征，故选项错误； D．∠a的顶点不在圆心上，不符合圆心角特征，故选项错误； 故答案为：A 2．图（ ）的阴影部分是扇形。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形，据此解答。 【详解】 A．的阴影部分是扇形； B．图中的两条线段不是半径，所以阴影部分不是扇形； C．图中的两条线段不是半径，所以阴影部分不是扇形； D．图中的两条线段不是半径，所以阴影部分不是扇形。 故答案为：A 3．用6个圆心角为60°的扇形不一定能拼成一个圆。( ) 【答案】√ 【分析】扇形的大小不仅与其所对应的圆心角有关，也与其半径有关，所以要相拼接成为一个圆，半径相等与圆心角的具体度数这两个条件缺一不可，据此判断即可。 【详解】60°×6＝360° 周角恰好就是360°，所以用6个圆心角为60°的扇形，如果半径不相等，则不能拼成一个圆；如果半径相等，则可以拼成一个圆，本题说法正确。 故答案为：√ 4．当扇形的圆心角是( )°时，扇形就是一个圆；当扇形的圆心角是180°时，扇形就是一个( )圆。 【答案】 360 半 【分析】由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。一个圆的圆心角是360°，扇形的圆心角决定了扇形的形状和大小，据此解答。 【详解】因为一个圆的圆心角是360°，所以当扇形的圆心角是360°时，扇形的弧长正好构成一个完整的圆。 因为180°是360°的一半，所以当扇形的圆心角是180°时，扇形的弧长正好是圆周长的一半，此时扇形就是一个半圆。 即当扇形的圆心角是360°时，扇形就是一个圆；当扇形的圆心角是180°时，扇形就是一个半圆。 5．如图，这个扇形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 14.28 12.56 【分析】由图上信息可知，该扇形圆心角为直角，半径是4厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出圆的周长，由于这个弧是圆的，用周长除以4可求得弧长，再加上两个半径即为扇形的周长；该扇形是其所在圆的，根据圆的面积公式：S＝π，求出圆的面积再除以4即为扇形的面积。 【详解】2×3.14×4÷4＋4×2 ＝6.28×4÷4＋8 ＝6.28＋8 ＝14.28（厘米） 3.14×÷4 ＝3.14×16÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56（平方厘米） 所以这个扇形的周长是14.28厘米，面积是12.56平方厘米。 6．画一个半径为1.5cm的圆，用字母表示出圆心、半径和直径，并在圆中画一个圆心角为60°的扇形。 【答案】见详解 【分析】画一条长1.5厘米的线段，以这条线段的一个端点为圆心，以圆规的另一个脚到线段另一个端点的长为半径画圆，再用字母表示出圆心、半径、直径即可；并在圆中画一个圆心角为60°的扇形。 【详解】如图所示： 7．求阴影部分的面积。 【答案】3.44cm2；10.99dm2 【分析】（1）观察图形可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 （2）观察图形，阴影部分可以组成一个半圆环，根据半圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）÷2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 【详解】（1）4×4－3.14×（4÷2）2 ＝4×4－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 阴影部分的面积是3.44cm2。 （2）4－1＝3（dm） 3.14×（42－32）÷2 ＝3.14×（16－9）÷2 ＝3.14×7÷2 ＝10.99（dm2） 阴影部分的面积是10.99dm2。 培优练习 一、填空题 1．图是明明用圆规画圆的全过程，他画出的圆的半径是( )，面积是( )。 【答案】 2 12.56 【分析】在用圆规画圆的过程中，圆规两脚张开的距离就是所画圆的半径，如图所示，圆规两脚张开的距离是2cm，因此明明画出的圆的半径是2cm；再根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】画出的圆的半径是2cm。 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 因此他画出的圆的半径是2cm，面积是12.56cm2。 2．如图所示，我们探究圆的面积时将圆形转化为近似的长方形。若图中长方形的周长比圆的周长多4厘米，则圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 12.56 12.56 【分析】把圆转化为近似长方形时，长方形的长近似于圆周长的一半（πr），长方形的宽近似于圆的半径（r）。圆的周长公式为C＝2πr，长方形的周长为2×（πr＋r）＝2πr＋2r。已知长方形的周长比圆的周长多4厘米，即（2πr＋2r）－2πr＝4，化简后可得2r＝4，解得r＝2厘米。 根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，r＝2厘米，把数据代入公式可得2×3.14×2＝12.56（厘米），根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，r＝2厘米，把数据代入公式可得3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 【详解】2×（πr＋r）＝2πr＋2r （2πr＋2r）－2πr＝4 2r＝4 r＝2 2×3.14×2＝12.56（厘米） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。 3．一个圆形花坛的直径是10米，它的半径是( )米，周长是( )米，占地面积是( )平方米。 【答案】 5 31.4 78.5 【分析】半径＝直径÷2，根据圆的周长公式、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】10÷2＝5（米） 3.14×10＝31.4（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 一个圆形花坛的直径是10米，它的半径是5米，周长是31.4米，占地面积是78.5平方米。 4．如图，长方形的周长是40cm，图中每个圆的直径是( )cm。 【答案】5 【分析】看图可知，长方形的长＝圆的直径×3，长方形的宽＝圆的直径，长方形的周长＝（长＋宽）×2，因此长方形的周长包含（3＋1）×2条直径，长方形的周长÷直径的数量＝圆的直径。 【详解】40÷[（3＋1）×2] ＝40÷[4×2] ＝40÷8 ＝5（cm） 每个圆的直径是5cm。 5．如图，公园有两块半圆形的草坪，它们的周长都是154.2m，这两块草坪的总面积是( )。 【答案】2826 【分析】设每个半圆草坪的半径为rm，根据半圆的周长＝r＋2r列方程解答求出半圆的半径，再根据圆的面积＝解答即可。 【详解】解：设每个半圆草坪的半径为rm。 3.14r＋2r＝154.2 5.14r＝154.2 5.14r÷5.14＝154.2÷5.14 r＝30 所以这两块草坪的总面积是2826。 6．一个羊圈依墙而建，呈半圆形（如图所示），半径4m。修这个羊圈需要栅栏( )m，这个羊圈的面积是( )m2。 【答案】 12.56 25.12 【分析】已知半径为4m的半圆形羊圈依墙而建，求修这个羊圈需要栅栏的长度，就是求圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 求这个羊圈的面积，就是求半圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（m） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（m2） 填空如下： 修这个羊圈需要栅栏（12.56）m，这个羊圈的面积是（25.12）m2。 7．下边的太极图中大圆半径是10cm，那么涂色部分的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 62.8 157 【分析】如图所示，反向延长图中半径，将涂色部分分成两部分。黑色半圆①与白色半圆③的直径大小相等都等于大圆半径，因此这两部分的弧长之和等于小圆的周长，那么涂色部分（①②）的周长等于小圆的周长与大圆周长一半的和，根据圆的周长公式计算即可。黑色半圆①与白色半圆③由于直径相等，所以两部分面积也相等。那么涂色部分（①②）的面积就是②、③面积的和，也就是大圆面积的一半，根据面积公式计算解答。 【详解】3.14×10＋3.14×（10×2）÷2 ＝31.4＋3.14×20÷2 ＝31.4＋31.4 ＝62.8（cm） 3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（cm2） 故涂色部分的周长是62.8cm，面积是157 cm2。 8．如图中，梯形上底是4m，下底是6m，高是3m，则空白部分的面积是( )m2，阴影部分的面积是( )m2。 【答案】 6.28 8.72 【分析】观察图可知，空白部分面积等于直径等于梯形上底的半圆的面积，根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出空白部分面积。 阴影部分面积＝梯形面积－空白部分面积；根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出梯形面积，再减去空白部分面积，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（m2） （4＋6）×3÷2－6.28 ＝10×3÷2－6.28 ＝30÷2－6.28 ＝15－6.28 ＝8.72（m2） 梯形上底是4m，下底是6m，高是3m，则空白部分的面积是6.28m2，阴影部分的面积是8.72m2。 9．我国民间艺术丰富多彩，剪纸深受各年龄段人们喜爱，几乎每位中国人都曾亲手尝试过。如果在边长20cm的正方形纸中剪出一个最大的圆，该圆形纸片的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 62.8 314 【分析】在正方形中剪一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；再利用圆的周长公式：C＝πd，半径＝直径÷2，圆的面积公式：S＝πr2计算圆的周长和面积即可。 【详解】（cm） （cm2） 我国民间艺术丰富多彩，剪纸深受各年龄段人们喜爱，几乎每位中国人都曾亲手尝试过。如果在边长20cm的正方形纸中剪出一个最大的圆，该圆形纸片的周长是62.8cm，面积是314cm2。 10．霞霞一家在“世纪家博会”上看中了一款圆形折叠桌。它的桌面是一个直径是2m的圆形，该圆形桌面的周长是( )米，桌面折叠后是一个正方形，这个正方形面积是( )平方米。 【答案】 6.28 2 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出圆桌的周长。 根据圆内最大正方形的特征，把圆内的这个正方形分成两个完全一样的三角形，这两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据平行四边形的面积＝底×高，把数据代入公式求出这个正方形的面积。 【详解】3.14×2＝6.28（米） 2×（2÷2） ＝2×1 ＝2（平方米） 该圆形桌面的周长是6.28米，这个正方形的面积是2平方米。 二、判断题 11．直径为3cm的圆的圆周率比直径为2cm的圆的圆周率大。( ) 【答案】× 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，π是一个常数（约等于3.14），它是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。 【详解】圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个固定的值，直径为3cm的圆的圆周率和直径为2cm的圆的圆周率一样大，所以原题说法错误。 故答案为：× 12．圆环也是轴对称图形，它有无数条对称轴。( ) 【答案】√ 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】圆环也是轴对称图形，圆环的对称轴是每条直径所在的直线，所以圆环有无数条对称轴。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．半径是20cm的圆的周长和面积一定相等。( ) 【答案】× 【分析】物体表面或封闭图形的大小叫做面积；封闭图形一周的长度就是它的周长。周长和面积表示的意义不同。据此解答。 【详解】周长：20×2×3.14＝125.6（cm） 面积： 202×3.14 ＝400×3.14 ＝1256（cm2） 半径是20cm的圆的周长是125.6cm，面积是1256cm2。周长和面积表示的意义不同，所用的单位也不同，不能比较。原说法错误。 故答案为：× 14．下面半圆的周长是直径为4cm的圆周长的。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知，圆周长的一半是πd×； 根据周长是指封闭图形一周的长度，可知半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝πd×＋d，据此判断。 【详解】半圆的周长： 3.14×4×＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 圆周长的一半：3.14×4×＝6.28（cm） 10.28＞6.28 图中半圆的周长大于直径为4cm的圆周长的。 原题说法错误。 故答案为：× 15．两个圆的直径比是1∶3，那么它们的面积比是1∶9。( ) 【答案】√ 【分析】两个圆的直径比是1∶3，将两个圆的直径分别看作1和3；根据直径＝半径×2，半径＝直径÷2，分别求出两个圆的半径；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，分别求出两个圆的面积；再根据比的意义，求出两个圆的面积比，再进行比较，即可解答。 【详解】设两个圆的直径分别是1和3。 [π×（1÷2）2]∶[π×（3÷2）2] ＝[π×0.52]∶[π×1.52] ＝0.25π∶2.25π ＝0.25∶2.25 ＝（0.25×100）∶（2.25×100） ＝25∶225 ＝（25÷25）∶（225÷25） ＝1∶9 两个圆的直径比是1∶3，那么它们的面积比是1∶9。 原题干说法正确。 故答案为：√ 三、选择题 16．以点O为圆心的圆内，三角形OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是（ ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的周长是它的直径的π倍 C．同一个圆的半径相等 D．同一个圆的直径为半径的2倍 【答案】C 【分析】因为点A、B都在以O为圆心的同一个圆上，所以OA和OB都是这个圆的半径，长度相等。因此三角形OAB具有两条边相等，必然是等腰三角形。 【详解】根据分析可知，以点O为圆心的圆内，三角形OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是同一个圆的半径相等。 故答案为：C 17．一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20m2，圆的面积是（ ）m2。 A．无法解答 B．62.8 C．12.56 D．15.7 【答案】B 【分析】分析题目，正方形的面积＝边长×边长，根据“正方形的边长和圆的半径相等”可知：r×r＝20，再根据圆的面积＝πr2把r×r＝20代入计算即可。 【详解】3.14×20＝62.8（m2） 一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20m2，圆的面积是62.8m2。 故答案为：B 18．将周长是的圆形纸片对折后剪成两张半圆形纸片，每张半圆形纸片的周长是（ ）。 A．28.26 B．37.26 C．46.26 D．32.76 【答案】C 【分析】 如图所示，圆形纸片对折后剪成两张半圆形纸片，半圆纸片的周长＝圆的周长的一半＋直径的长度。圆的周长C＝πd，根据已知圆的周长，先求出圆的直径，再计算半圆形纸片的周边。 【详解】56.52÷3.14＝18（cm） 56.52÷2＋18 ＝28.26＋18 ＝46.26（cm） 所以，每张半圆形纸片的周长是46.26cm。 故答案为：C 19．一个钟面上的时针长10cm，从6：00到12：00时针针尖走了（ ）cm。 A．15.7 B．31.4 C．78.5 D．314 【答案】B 【分析】从6：00到12：00，正好走了半个圆，所以时针针尖走过的距离就是求半径为10厘米圆的周长的一半，根据圆的周长公式，代入数据解答即可。 【详解】2×3.14×10÷2 ＝6.28×10÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 所以，从6：00到12：00时针针尖走了31.4 cm。 故答案为：B 20．如图，甲、乙、丙三人分别用相同的正方形纸剪图形，甲剪了一个最大的圆，乙剪了四个圆，丙剪了一个最大的扇形，三个人剪的图形（ ）。 A．甲最大 B．乙最大 C．丙最大 D．一样大 【答案】D 【分析】假设正方形边长为4，那么甲剪的圆的直径就是4，所以半径＝直径÷2，根据圆的面积＝求出圆的面积即可；乙剪的四个小圆的直径是4的一半，即小圆的直径是2，再求出1个小圆的面积，再乘4即可求出乙剪的图形面积；丙剪的扇形是圆的，且圆的半径是4，求出圆的面积后再乘即可。 【详解】设正方形边长为4。 甲剪的图形的面积：π×（4÷2）2＝4π 乙剪的图形的面积： π×（4÷2÷2）2×4 ＝π×1×4 ＝4π 丙剪的图形的面积： π×42× ＝π×16× ＝4π 甲剪的图形的面积＝乙剪的图形的面积＝丙剪的图形的面积。 故答案为：D 四、计算题 21．求图中阴影部分的周长。 【答案】117.4cm 【分析】阴影部分的周长由长方形的两条长、一条宽以及圆周长的一半组成。长方形的长为33cm，两条长的长度为33×2＝66（cm）。长方形的宽为20cm。圆的直径等于长方形的宽，即是20cm，根据半圆的周长公式C＝πd÷2（π取3.14，d为直径），则半圆周长为（3.14×20÷2）cm。阴影部分的周长为：（66＋20＋31.4）cm，据此计算即可 【详解】33×2＝66（cm） 3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 66＋20＋31.4 ＝86＋31.4 ＝117.4（cm） 阴影部分的周长为117.4cm。 22．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】9.87平方厘米 【分析】要求阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分的面积等于梯形的面积减去半圆的面积。所以需要先确定梯形的上底、下底、高以及半圆的半径，再分别运用梯形面积公式和圆的面积公式计算出梯形面积与圆的面积，圆的面积除以2即可求得半圆面积，最后用梯形面积和半圆面积作差得到阴影部分面积。 【详解】梯形面积： （平方厘米） 半圆面积： 阴影部分面积： 因此，阴影部分面积为9.87平方厘米。 五、作图题 23．请在下面的正方形里画出一个最大的圆，并标出圆心和半径。 【答案】见详解 【分析】根据题意，要在正方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长。先连接正方形的两条对角线，以对角线的交点作为圆的圆心，然后以正方形边长的一半作为圆的半径，即圆规两脚之间的距离，据此画出这个正方形内最大的圆，并标出圆心O和半径r。 【详解】据分析作图如下： 24．画出下列图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 六、解答题 25．一根铜丝长为12.56米，正好在圆形线圈上绕满10圈。这个线圈的半径为多少米？ 【答案】0.2米 【分析】先用铜丝的长度÷10，求出圆形线圈的周长，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，即可解答。 【详解】12.56÷10÷3.14÷2 ＝1.256÷3.14÷2 ＝0.4÷2 ＝0.2（米） 答：这个线圈的半径为0.2米。 26．一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【答案】1256米 【分析】已知自行车车轮的外直径是0.8米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长； 如果车轮每分钟转50圈，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，即是自行车的速度； 李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，根据“路程＝速度×时间”求出李老师家到图书馆的路程。 【详解】3.14×0.8×50×10 ＝2.512×50×10 ＝125.6×10 ＝1256（米） 答：李老师家到图书馆的路程是1256米。 27．某小区在园区内修建了一个圆形水池，它的半径为10米，现在准备在水池周围种上草皮，草皮是宽为2米的圆环形，如果每平方米草皮40元，购买这些草皮需多少元？（π取3.14） 【答案】5526.4元 【分析】根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，其中外圆的半径为（10＋2＝12）米，内圆的半径为10米，代入相应数值计算，先计算出圆环草皮的面积；再用每平方米草皮的单价乘草皮的面积，所得结果即为购买这些草皮需要多少元。 【详解】10＋2＝12（米） 3.14×122－3.14×102 ＝3.14×144－3.14×100 ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 40×138.16＝5526.4（元） 答：购买这些草皮需要5526.4元。 28．冰冰去参观博物馆，看到一枚古铜钱（如图）。铜钱的直径为2.4厘米，中间的正方形边长为0.4厘米。这枚铜钱的面积是多少平方厘米？ 【答案】4.3616平方厘米 【分析】铜钱的面积等于直径为2.4厘米的圆的面积减去边长为0.4厘米的正方形的面积，根据圆的面积＝×半径的平方，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可解答。 【详解】2.4÷2＝1.2（厘米） 3.14×－0.4×0.4 ＝3.14×1.44－0.16 ＝4.5216－0.16 ＝4.3616（平方厘米） 答：这枚铜钱的面积是4.3616平方厘米。 29．在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.5平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，将正方形分成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此列式解答。 【详解】3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×52－10×5÷2×2 ＝3.14×25－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：剩下阴影部分的面积是28.5平方厘米。 30．公园里有一个周长为37.68米的圆形草坪，预备在草坪正中央安装自动旋转喷灌装置。现有射程为12米、6米、3米的三种装置，你认为选哪种比较合适？ 【答案】射程为6米的装置 【分析】射程是指喷水半径。以喷灌装置为圆心，以射程为半径，喷灌装置旋转一周，喷灌草坪的形状是一个圆。根据圆的周长公式，分别求出半径为12米、6米、3米的圆的周长；再与圆形草坪的周长37.68米作比较，选出合适的装置。 【详解】2×3.14×12 ＝3.14×2×12 ＝3.14×（2×12） ＝3.14×24 ＝75.36（米） 75.36≠37.68 2×3.14×6 ＝3.14×2×6 ＝3.14×（2×6） ＝3.14×12 ＝37.68（米） 2×3.14×3 ＝3.14×2×3 ＝3.14×（2×3） ＝3.14×6 ＝18.84（米） 18.84≠37.68 答：选择射程为6米的装置比较合适。 31．古典园林体现了中华民族对于自然和美好生活环境的向往与热爱，园林中的门洞不仅是一道独特的风景线，还起到了将两个分隔的园景联系起来的妙用。如图所示，有一个花瓣形门洞，它的四周由4个直径都是1米的半圆组成。这个门洞的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长：6.28米；面积：2.57平方米 【分析】分析题目，这个图形的周长等于2个直径是1米的圆的周长之和，据此根据圆的周长公式：C＝πd代入数据列式计算即可；这个图形的面积等于2个直径是1米的圆的面积加上一个边长是1米的正方形的面积，据此结合正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝π（d÷2）2代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（米） 3.14×（1÷2）2×2＋1×1 ＝3.14×0.52×2＋1×1 ＝3.14×0.25×2＋1×1 ＝1.57＋1 ＝2.57（平方米） 答：这个门洞的周长是6.28米，面积是2.57平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 68 页 学科网（北京）股份有限公司 $