单元复习讲义：专题05 简易方程（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级上册数学人教版

2025-2026学年五年级上册数学人教版单元复习讲义 专题05 简易方程 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、用字母表示数 1 考点二、方程的意义 2 考点三、等式的性质 3 考点四、解方程 3 考点五、实际问题与方程 3 例题讲解 4 一、用字母表示数 4 二、含有字母式子的化简与求值 6 三、方程的意义 8 四、等式的性质 9 五、解方程 11 六、实际问题与方程 14 考点练习 17 一、用字母表示数 17 二、含有字母式子的化简与求值 19 三、方程的意义 23 四、等式的性质 25 五、解方程 28 六、实际问题与方程 33 考点梳理 考点一、用字母表示数 1.字母表示数的意义 （1）用字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式、运算定律和数量关系。 2.字母表示运算定律 （1）加法交换律：a+b=b+a （2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) （3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 3.字母表示计算公式 （1）正方形周长：C=4a （2）正方形面积：S=a²（读作：a的平方，表示2个a相乘） （3）长方形周长：C=2(a+b) （4）长方形面积：S=ab 4.含字母的式子的书写规则 （1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以写作"·"或省略不写。 （2）数字要写在字母前面，如4×a写作4a。 （3）1与字母相乘时，1省略不写，如1×a写作a。 （4）带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。 5.含有字母式子的化简与求值 （1）化简：当式子中含有相同字母的项时，可通过合并系数化简。 示例1：（合并同类项，系数相加） 示例2：（合并同类项，系数相减） 示例3：（不同字母的项不能合并） （2）求值：当字母的具体数值已知时，可代入式子计算结果。 步骤：① 先化简式子（若能化简）；② 代入字母的值（数字与字母相乘时需恢复“×”或用括号）；③ 按运算顺序计算。 示例1：当时，求的值。 解：原式。 示例2：先化简，再求值：当时，求的值。 解：化简得，代入：。 示例3：当，时，求的值。 解：原式。 考点二、方程的意义 1.方程的定义 （1）含有未知数的等式叫做方程。 （2）必备条件：①含有未知数；②是等式。 2.等式与方程的关系 （1）方程一定是等式，但等式不一定是方程。 （2）例如：3+2=5是等式但不是方程；3+x=5是方程。 3.判断方程的方法：一看是不是等式；二看是否含有未知数。 考点三、等式的性质 1.等式的性质1 （1）等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 （2）字母表示：如果a=b，那么a±c=b±c。 2.等式的性质2 （1）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （2）字母表示：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a÷c=b÷c。 考点四、解方程 1.方程的解与解方程 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 （2）求方程的解的过程叫做解方程。 2.解方程的步骤 （1）写"解"字。 （2）利用等式的性质对方程进行变形。 （3）求出未知数的值。 （4）检验（把未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等）。 3.常见方程类型及解法 （1）x+a=b型：x=b-a （2）x-a=b型：x=b+a （3）ax=b型（a≠0）：x=b÷a （4）x÷a=b型（a≠0）：x=b×a （5）ax+b=c型：先把ax看作一个整体 （6）a(x+b)=c型：可先两边同时除以a，或先展开 考点五、实际问题与方程 1.列方程解决问题的步骤 （1）弄清题意，找出未知数，用x表示。 （2）分析、找出数量之间的相等关系，列方程。 （3）解方程。 （4）检验，写出答案。 2.常见数量关系及等量关系 （1）路程=速度×时间 （2）总价=单价×数量 （3）工作总量=工作效率×工作时间 （4）相遇问题：速度和×相遇时间=总路程 （5）追击问题：速度差×追击时间=路程差 3.典型应用题类型 （1）和差问题：(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数 （2）和倍问题：和÷(倍数+1)=小数，小数×倍数=大数 （3）差倍问题：差÷(倍数-1)=小数，小数×倍数=大数 （4）鸡兔同笼问题：设鸡为x只，则兔为(总头数-x)只，根据脚数列方程 例题讲解 一、用字母表示数 【例题1】小辉的年龄是b岁，爸爸比他大36岁，则他爸爸的年龄是（ ）岁。 A．36÷b B．b×2 C．b－36 D．b＋36 【答案】D 【分析】由题意可知，爸爸比小辉大36岁，爸爸的年龄＝小辉的年龄＋爸爸比小辉大的年龄，即爸爸的年龄是（b＋36）岁，据此解答。 【详解】分析可知，小辉的年龄是b岁，爸爸比他大36岁，则他爸爸的年龄是（b＋36）岁。 故答案为：D 【例题2】王老师买了a千克苹果，每千克18.8元，又买了b千克梨，每千克14.6元，那么表示（ ）。 A．买苹果和梨一共花了多少钱？ B．苹果比梨重多少千克？ C．每千克苹果比每千克梨贵多少钱？ D．买梨比买苹果少花多少钱？ 【答案】D 【分析】根据总价＝单价×数量，计算出苹果和梨的总价，二者做减法，即为二者总价的差。 【详解】因为总价＝单价×数量，所以苹果的总价为元，梨的总价为元。 买苹果和梨一共花了（）元。 苹果比梨重（a－b）千克。 每千克苹果比每千克梨贵18.8－14.6＝4.2（元）。 买梨比买苹果少花（）元。 故答案为：D 【例题3】根据乘法分配律，可以写成（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。据此，如果两个数分别与一个数相乘，积再相加，可以把两个数的和与这个数相乘。 【详解】通过分析可得：可以写成。 故答案为：C 【例题4】亮亮有x元零花钱，是乐乐零花钱的3倍，亮亮的零花钱比乐乐多( )元，乐乐和亮亮一共有( )元零花钱。 【答案】 x－（x÷3） x＋（x÷3） 【分析】亮亮的零花钱是乐乐的3倍，也就是亮亮的零花钱除以3是乐乐的零花钱，求亮亮比乐乐多多少钱用减法计算，乐乐和亮亮共有的钱用加法计算。 【详解】乐乐的零花钱：（x÷3）元 亮亮比乐乐多：x－（x÷3） 乐乐和亮亮共有：x＋（x÷3） 亮亮比乐乐多x－（x÷3）元，乐乐和亮亮共有x＋（x÷3）元。 【例题5】用字母表示长方形的面积是S＝( )，周长是C＝( )。 【答案】 ab 2（a＋b） 【分析】根据用字母表示数的规则：数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示；字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。据此可以将长方形的面积和周长公式用字母来表示。 长方形的面积＝长×宽，长＝a，宽＝b，则面积S＝a×b，因为字母与字母之间的乘号可以省略，所以S＝ab；长方形的周长＝（长＋宽）×2，长＝a，宽＝b，则周长C＝（a＋b）×2，因为字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面，所以C＝2（a＋b）。 【详解】用字母表示长方形的面积是S＝ab，周长是C＝2（a＋b）。 二、含有字母式子的化简与求值 【例题1】当x＝0.8时，x2＝（ ）。 A．0.16 B．1.6 C．6.4 D．0.64 【答案】D 【分析】平方就是两个相同的数相乘得出的数；x2＝x×x，据此解答。 【详解】x2＝x×x 0.8×0.8＝0.64 当x＝0.8时，x2＝0.64。 故答案为：D 【例题2】可以简写成。( ) 【答案】× 【分析】本题考查乘方的意义。a×a×a表示三个a相乘，应简写为a³；而3a表示三个a相加，即a＋a＋a。两者意义不同，不能混淆。 【详解】根据分析可知，a×a×a可以简写成a3。 原题干说法错误。 故答案为：× 【例题3】果园里有桃树棵，比梨树多b棵，两种果树一共有（2一b）棵。( ) 【答案】√ 【分析】根据“桃树棵，比梨树多b棵”可知，梨树比桃树少b棵，即梨树有（－b）棵； 根据题意可得出数量关系：桃树的棵数＋梨树的棵数＝两种果树的总棵数，据此用含字母的式子表示数量关系，并化简。 【详解】梨树有（－b）棵； 一共：＋－b＝（2一b）棵 果园里有桃树棵，比梨树多b棵，两种果树一共有（2一b）棵。 原题说法正确。 故答案为：√ 【例题4】国内某无人机公司，9月份生产无人机15万架，10月份比九月份多生产m万架，则10月份生产无人机( )万架；当m＝4时，10月份生产无人机( )万架。 【答案】 15＋m/m＋15 19 【分析】由题意可知，10月份生产无人机的数量＝9月份生产无人机的数量＋10月份比九月份多生产无人机的数量，再把m＝4代入含有字母的式子计算出结果，据此解答。 【详解】分析可知，10月份生产无人机（15＋m）万架。 当m＝4时。 15＋m ＝15＋4 ＝19（万架） 所以，当m＝4时，10月份生产无人机19万架。 【例题5】甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行60千米，行驶了小时后，距离乙地还剩( )千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩( )千米。 【答案】 s－60t 90 【分析】根据“路程＝速度×时间”，先求出汽车行驶t小时的路程，再用甲、乙两地的总距离S减去已经行驶的路程，就得到距离乙地还剩的路程。然后将s＝300，t＝3.5代入式子计算，据此解答。 【详解】汽车行驶t小时的路程：60×t＝60t（千米） 距离乙地还剩的路程：s－60t（千米）当s＝300，t＝3.5时： 300－60×3.5 ＝300－210 ＝90（千米） 距离乙地还剩s－60t千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩90千米。 【例题6】省略乘号，写出下面各式。 5×a＝         b×1＝         a×x＝         d×d＝ s×7＝         c×6＝         9×c＝         a×0＝ 【答案】5a；b；ax；d2   7s；6c；9c；0 【例题7】全体五年级师生去春游，恰好坐满了x辆大客车和x辆中巴车，每辆大客车可乘坐乘客46人，每辆中巴车可乘坐乘客20人。 （1）用含有字母的式子表示五年级师生的总人数。 （2）算一算，当时，五年级师生共有多少人？ 【答案】（1）66x人 （2）396人 【分析】（1）每辆大客车可乘坐的人数×大客车数量＋每辆中巴车可乘坐的人数×中巴车数量＝总人数，据此用字母表示出五年级师生的总人数； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】（1）46×x＋20×x＝66x（人） 答：五年级师生的总人数是66x人。 （2）66x ＝66×6 ＝396（人） 答：当时，五年级师生共有396人。 三、方程的意义 【例题1】下面各式中（ ）是方程。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是否为方程，需要同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式。据此解答。 【详解】A．x＋1－y，该式子含有未知数x和y，但它不是等式，只是一个代数式，不满足方程的要求，所以A选项不是方程； B．6x＝0，这个式子既含有未知数x，又是一个等式，满足方程的定义，所以B选项是方程； C．2y＞17，此式子虽然含有未知数y，但它不是等式，不满足方程的条件，所以C选项不是方程； D．18＋3＝30－9，这是一个等式，但它不含有未知数，不满足方程的定义，所以D选项不是方程。 故答案为：B 【例题2】根据x的2倍比3.2多0.6列方程，下面方程（ ）是正确的。 A．2x－3.2＝0.6 B．2x＋3.2＝0.6 C．2（x－0.6）＝3.2 D．x－2×3.2＝0.6 【答案】A 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法。x的2倍是2x，根据题意用2x减去3.2等于0.6。 【详解】A．“2x－3.2＝0.6”表示x的2倍比3.2多0.6； B．“2x＋3.2＝0.6”表示x的2倍加上3.2是0.6； C．“2（x－0.6）＝3.2”表示x减去0.6的差的2倍是3.2； D．“x－2×3.2＝0.6”表示x比3.2的2倍多0.6。 所以，根据x的2倍比3.2多0.6列方程为2x－3.2＝0.6。 故答案为：A 【例题3】含有x的算式都是方程。( ) 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程，可知方程必需满足两个条件：1.含有未知数；2.是等式。由此判断即可。 【详解】据分析可知，含有未知数的等式叫做方程，原题说的是算式，所以原题说法错误。 故答案为：× 【例题4】①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 【答案】 ①②③ ①③ 【分析】含有等号的式子叫等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，①②③是等式，①③是方程。 【例题5】看图写方程，不解答。 【答案】60＋y＝105 【分析】由图可知：足球和篮球的价格之和是105元，足球的价格为未知数，篮球的价格已知60元，依据等量关系式：篮球的单价＋足球的单价＝总钱数，列方程。 【详解】由等量关系：篮球的单价＋足球的单价＝总钱数，可方程：60＋y＝105。 四、等式的性质 【例题1】如图，根据第一个天平的等量关系，在第二个天平的右边应添上（ ）才能保持平衡。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，2个正方体的质量＝1个球的质量，根据等式的性质2，等式两边同时乘2，等式依然成立，即4个正方体的质量＝2个球的质量，所以，需要在天平的右边添上3个正方体，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 根据第一个天平的等量关系，在第二个天平的右边应添上3个正方体才能保持平衡。 故答案为：A 【例题2】图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（ ）不成立。 A．☆＋3＝□＋0.3 B．☆□ C．☆□ D．☆□ 【答案】A 【分析】等式两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式的左右两边仍相等，据此解答即可。 【详解】A．等式左边加的是3，等式右边加的是0.3，所以等式不成立； B．等式的左右两边同时除以7.2，所以等式成立； C．等式的左右两边同时减去4.6，所以等式成立； D． 等式左边除以2，即乘0.5，等式右边乘0.5，所以等式左右两边同时乘0.5，等式成立； 故答案为：A 【例题3】等式两边都乘同一个数，等式成立。( ) 【答案】√ 【分析】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。 【详解】根据等式性质2可知，等式两边乘同一个数，等式仍然成立。例如，原等式为3＝3，两边乘2后得到6＝6，等式仍然成立；原等式为5＝5，两边乘0后得到0＝0，等式仍然成立。原题说法正确。 故答案为：√ 【例题4】根据等式的性质填空。 12＋m＝4×3＋( )        a－6÷2＝( )－3 【答案】 m a 【分析】根据等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个非零数，等式仍然成立，来分析填空。 对于：先计算等式右边4×3＝12，原等式变为。根据等式的性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。左边是12加上m，右边12也要加上相同的数，等式才成立。 对于：先计算等式左边6÷2＝3，原等式变为。根据等式的性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。左边是a减去3，右边也要是相同的数减去3，等式才成立。 【详解】 解： 解： 所以：12＋m＝4×3＋m；a－6÷2＝a－3 五、解方程 【例题1】在下面各数中，（ ）是方程2x＋8＝4x＋2的解。 A．x＝6 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝1 【答案】C 【分析】根据等式的性质求出方程2x＋8＝4x＋2的解，方程两边先同时减去2x，把方程变成2x＋2＝8，然后方程两边先同时减去2，再同时除以2，即可求出方程的解。 【详解】2x＋8＝4x＋2 解：2x＋8－2x＝4x＋2－2x 2x＋2＝8 2x＋2－2＝8－2 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 x＝3是方程2x＋8＝4x＋2的解。 故答案为：C 【例题2】方程的解和解方程的实质是相同的。( ) 【答案】× 【分析】方程的解指的是使方程的左右两边相等的未知数的值；解方程指的是求方程的解的过程，据此判断即可。 【详解】根据方程的解和解方程的概念可知，方程的解是一个数，解方程就是求这个数的过程，所以方程的解和解方程的实质是不同的。 故答案为：× 【例题3】式子（20－5）÷3，当＝( )时，结果是0。 【答案】4 【分析】令（20－5）÷3＝0，根据等式的性质解出x即可；等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【详解】根据题意： （20－5）÷3＝0 解：（20－5）÷3×3＝0×3 20－5＝0 20－5＋5＝0＋5 20＝5 5＝20 5÷5＝20÷5 ＝4 式子（20－5）÷3，当＝4时，结果是0。 【例题4】解方程。 5.7x÷3＝5.89        9x＋0.6x＝19.2       5（6.83－x）＝16.65 【答案】（1）x＝3.1；（2）x＝2；（3）x＝3.5 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边先同时乘3，再同时除以5.7求解； （2）先化简方程的左边，再根据等式的性质，方程两边同时除以（9＋0.6）求解； （3）先化简方程的左边，再根据等式的性质，方程两边先同时加上5x，再同时减去16.65，最后同时除以5求解。 【详解】（1）5.7x÷3＝5.89 解：5.7x÷3×3＝5.89×3 5.7x＝17.67 5.7x÷5.7＝17.67÷5.7 x＝3.1 （2）9x＋0.6x＝19.2 解：（9＋0.6）x＝19.2 9.6x＝19.2 9.6x÷9.6＝19.2÷9.6 x＝2 （3）5（6.83－x）＝16.65 解：5×6.83－5x＝16.65 34.15－5x＝16.65 34.15－5x＋5x＝16.65＋5x 34.15＝16.65＋5x 34.15－16.65＝16.65＋5x－16.65 17.5＝5x 17.5÷5＝5x÷5 3.5＝x x＝3.5 【例题5】看图列方程，并求出方程的解。 【答案】x＝3.9 【分析】由图可知，3个x与x的和是15.6，列方程为3x＋x＝15.6，先化简方程左边含有字母的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以4，即可求得方程的解。 【详解】3x＋x＝15.6 解：4x＝15.6 4x÷4＝15.6÷4 x＝3.9 所以，方程的解是x＝3.9。 六、实际问题与方程 【例题1】养殖场养鸡的只数是鸭的3倍，鸭比鸡少1200只。这个养殖场养鸡、鸭各多少只？（列方程解答） 【答案】鸡1800只；鸭600只 【分析】设鸭的数量为x只，因为养鸡的只数是鸭的3倍，所以鸡的数量为3x只；已知鸭比鸡少1200只，据此可列方程为3x－x＝1200，计算得2x＝1200，然后根据等式的性质，方程两边同时除以2计算出x，即鸭的只数；再将x的值代入3x中计算出鸡的只数。 【详解】解：设这个养殖场养鸭x只，则养鸡3x只。 3x－x＝1200 2x＝1200 2x÷2＝1200÷2 x＝600 3x＝3×600＝1800 答：这个养殖场养鸡1800只，养鸭600只。 【例题2】一辆汽车3小时行驶了165千米，照这样的速度，从甲地到乙地需要5小时。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】275千米 【分析】设甲、乙两地相距x千米，根据“路程÷时间＝速度”用这辆汽车3小时行驶的路程除以3求出汽车的速度，从甲地到乙地需要5小时，则汽车的速度是（x÷5）千米/小时，根据汽车的速度不变列方程解答即可。 【详解】解：设甲、乙两地相距x千米。 x÷5＝165÷3 x÷5＝55 x÷5×5＝55×5 x＝275（千米） 答：甲、乙两地相距275千米。 【例题3】小明和小红共有120张邮票，小明的邮票张数是小红的3倍。小明和小红各有多少张邮票？ 【答案】小红30张；小明90张 【分析】根据“小明的邮票张数是小红的3倍”可以设小红有x张邮票，则小明有3x张邮票； 根据“小明和小红共有120张邮票”可得出等量关系：小红的邮票张数＋小明的邮票张数＝两人邮票的总张数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设小红有x张邮票，则小明有3x张邮票。 x＋3x＝120 4x＝120 4x÷4＝120÷4 x＝30 小明：30×3＝90（张） 答：小红有30张邮票，小明有90张邮票。 【例题4】李老师在文具店买了1支钢笔和5个文具盒，一共用去76.5元，已知一支钢笔16.5元，每个文具盒是多少元？（列方程解答） 【答案】12元 【分析】钢笔的单价×钢笔的数量＋文具盒的单价×文具盒的数量＝总价，设每个文具盒是x元，然后列方程为16.5＋5x＝76.5，然后利用等式的性质1和2进行解方程。据此解题。 【详解】解：设每个文具盒是x元： 16.5＋5x＝76.5 16.5＋5x－16.5＝76.5－16.5 5x＝60 5x÷5＝60÷5 x＝12 答：每个文具盒是12元。 【例题5】鸡兔同笼，从上面数12个头，从下面数34只脚，问鸡有几只？兔有几只？（用方程解） 【答案】7只；5只 【分析】假设鸡有x只，兔子则有（12－x）只，一只鸡有2只脚，一只兔子有4只脚，根据数量关系：每只鸡的脚数×鸡的数量＋每只兔子的脚数×兔子的数量＝34，代入未知数，列出方程，求解即可。 【详解】解：设鸡有x只，则兔有（12－x）只， 2×x＋4×（12－x）＝34 2x＋48－4x＝34 48－34＝4x－2x 2x＝14 x＝7 12－7＝5（只） 答：鸡有7只，兔有5只。 【例题6】甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，甲船每小时行驶25千米，乙船每小时行驶的路程是甲船的1.4倍。经过多少小时两船相遇？（用方程解答） 【答案】6小时 【分析】由题可得等量关系式：甲船行驶的路程＋乙船行驶的路程＝360千米；甲船每小时行驶25千米，则乙船每小时行驶的路程是（25×1.4）千米。设经过x小时两船相遇，根据路程＝速度×时间，可得甲船行驶的路程是25x千米，乙船行驶的路程是（25×1.4×x）千米，再根据等量关系式可列方程：25x＋25×1.4×x＝360，解出方程，即可求出经过多少小时两船相遇。 【详解】解：设经过x小时两船相遇。 25x＋25×1.4×x＝360 25x＋35x＝360 60x＝360 60x÷60＝360÷60 x＝6 答：经过6小时两船相遇。 【例题7】我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之。”题意是：跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里，慢马先跑12天，则快马追上慢马需要跑多少天？（用方程解答） 【答案】20天 【分析】设快马追上慢马需要跑x天，此时慢马跑了（x＋12）天，速度×时间＝路程，根据快马与慢马跑的路程相同列方程求解即可。 【详解】解：设快马追上慢马需要跑x天，此时慢马跑了（x＋12）天。 240x＝（x＋12）×150 240x＝150x＋12×150 240x＝150x＋1800 240x－150x＝150x＋1800－150x 90x＝1800 90x÷90＝1800÷90 x＝20 答：快马追上慢马需要跑20天。 考点练习 一、用字母表示数 1．三个连续的自然数中，最小的是a，那么这三个数中最大的数是（ ）。 A．a B．a＋1 C．a＋3 D．a＋2 【答案】D 【分析】已知三个连续的自然数中，最小的是a，根据“相邻两个自然数相差1”可知，另外两个自然数分别比最小的a大1、大2，据此解答。 【详解】三个连续的自然数中，最小的是a，其他两个数分别是a＋1、a＋2，那么这三个数中最大的数是a＋2。 故答案为：D 2．下列各式中，正确运用运算律的是（ ）。 A．m＋（2＋n）＝2m＋n B．50（0.2y）＝10y C．m（nt）＝mn＋mt D．mnt＝（m÷n）t 【答案】B 【分析】根据加法结合律a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c，加法交换律a＋b＝b＋a，乘法结合律（ab）c＝a（bc），逐项判断即可。 【详解】A. 根据加法结合律和加法交换律m＋（2＋n）＝（2＋m）＋n，故A选项错误。 B． 根据乘法结合律50（0.2y）＝（50×0.2）y＝10y，故B选项正确。 C．根据乘法结合律m（nt）＝（mn）t，故C选项错误。 D．mnt＝（m×n）t，故D选项错误。 故答案为：B 3．如图所示，摆n个六边形需要（ ）根小棒。 A．6n B．5n＋1 C．5n－1 D．6n－1 【答案】B 【分析】观察发现：摆1个六边形要（5×1＋1）根小棒，摆2个六边形要（5×2＋1）根小棒，摆3个六边形要（5×3＋1）根小棒，所以摆n个六边形要（5n＋1）根小棒；据此解答。 【详解】根据分析： 1个六边行：5×1＋1＝5＋1＝6（根） 2个六边形：5×2＋1＝10＋1＝11（根） 3个六边形：5×3＋1＝15＋1＝16（根） n个六边形：5×n＋1＝（5n＋1）根 所以摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒。 故答案为：B 4．学校组织学生参加植树活动，三年级种植了80棵小树。六年级比三年级多种植了a棵，那么80＋a表示( )。 【答案】六年级种植的棵数 【分析】分析题目，六年级种植的棵数＝三年级种植的棵数＋a，再根据80是三年级种植的棵数确定80＋a的意义即可。 【详解】根据分析可知，80＋a表示比三年级种植的棵数多a的数量，即六年级种植的棵数。 学校组织学生参加植树活动，三年级种植了80棵小树。六年级比三年级多种植了a棵，那么80＋a表示六年级种植的棵数。 5．我市有很多地方特色小吃，一份豆腐圆子卖a元，一份裹卷卖b元。李阿姨买了3份豆腐圆子和2份裹卷，共花了( )元。 【答案】（3a＋2b）/（2b＋3a） 【分析】单价×数量＝总价，豆腐圆子单价×数量＋裹卷单价×数量＝花的总钱数，据此用字母表示出总钱数即可。 【详解】a×3＋b×2＝（3a＋2b）元 共花了（3a＋2b）元。 6．在括号里填上合适的数： ( )a＋( )a＝（7.8＋2.2）a         12.5a×8＝( )a 【答案】 7.8 2.2 100 【分析】第一个算式，根据乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，进行填空。 第二个算式，直接将12.5和8相乘，填空即可。 【详解】12.5×8＝100 7.8a＋2.2a＝（7.8＋2.2）a         12.5a×8＝100a 二、含有字母式子的化简与求值 1．奶奶今年a岁，欢欢今年（a－50）岁，5年后，奶奶和欢欢相差（ ）岁。 A．a B．5 C．50 D．55 【答案】C 【分析】用奶奶今年的岁数减去欢欢今年的岁数，求出二人的年龄差，5年后，奶奶和欢欢的年龄差不变。据此解答。 【详解】a－（a－50） ＝a－a＋50 ＝50（岁） 所以5年后，奶奶和欢欢相差50岁。 故答案为：C 2．把错算成，结果比原来（ ）。 A．多18 B．少18 C．多24 D．少24 【答案】A 【分析】根据乘法分配律，比多，两个式子相减，据此解答。 【详解】 结果比原来多18。 故答案为：A 3．a2一定大于2a。( ) 【答案】× 【分析】要判断a2是否一定大于2a，需验证不同a值的情况。把a＝0、a＝1、a＝2分别代入a2和2a中，计算出得数，再比较，即可判断。 【详解】当a＝0时： a2＝02＝0 2a＝2×0＝0 0＝0，则a2＝2a； 当a＝1时： a2＝12＝1 2a＝2×1＝2 1＜2，则a2＜2a。 当a＝2时： a2＝22＝4 2a＝2×2＝4 4＝4，则a2＝2a； 所以，a2不一定大于2a。 原题说法错误。 故答案为：× 4．如果长方形的长和宽分别用字母a和b表示，那么长方形的周长可以用2a＋b表示。( ) 【答案】× 【分析】根据长方形周长＝长×2＋宽×2＝（长＋宽）×2，代入字母表示，在字母与数相乘时，数写字字母前面，省略乘号。 【详解】a×2＋b×2＝2a＋2b （a＋b）×2＝2（a＋b） 如果长方形的长和宽分别用字母a和b表示，那么长方形的周长可以用2a＋2b或2（a＋b）表示，原说法错误。 故答案为：× 5．每千克橘子的价钱是7元，冯叔叔用50元买了m千克这种橘子，还剩( )元。当m＝5时，还剩( )元。 【答案】 50－7m 15 【分析】根据题意，我们可以找出数量关系：带的钱数－买橘子花的钱数＝还剩的钱数，先用字母表示数量关系，再把字母表示的数代入式子求出剩下的钱数即可。 【详解】根据分析可得： 50－7×m＝50－7m 当m＝5时 50－7m ＝50－7×5 ＝50－35 ＝15（元） 所以冯叔叔用50元买m千克橘子，还剩（50－7m）元，当m＝5时，还剩15元。 6．4月23日是“世界读书日”，学校开展了“读书漂流”活动。小明看一本书，看了b天，每天看30页，还剩12页没有看，这本书的总页数用含有字母的式子表示为( )，当b＝14时，这本书共有( )页。 【答案】 30b＋12 432 【分析】由题意可知，这本书的总页数＝每天看的页数×已经看的天数＋没有看的页数，数字和字母相乘时中间的乘号可以省略并把数字写在字母的前面，最后把b＝14代入含有字母的式子求出结果，据此解答。 【详解】分析可知，这本书的总页数用含有字母的式子表示为30b＋12。 当b＝14时。 30b＋12 ＝30×14＋12 ＝420＋12 ＝432（页） 所以，当b＝14时，这本书共有432页。 7．工地上有吨水泥，每天用去3吨，用了天，剩下的用式子表示是( )吨。如果，，那么还剩下( )吨。 【答案】 x－3b 26 【分析】用每天用去水泥的重量×用的天数，即用3×b，求出b天用去水泥的重量，再用工地水泥的总重量－b天用去水泥的重量，即可求出剩下的水泥重量；当x＝50，b＝8时，代入求出含有字母的式子，即可解答。 【详解】x－3×b＝（x－3b）吨 当x＝50，b＝8时 50－3×8 ＝50－24 ＝26（吨） 工地上有吨水泥，每天用去3吨，用了天，剩下的用式子表示是x－3b吨。如果，，那么还剩下26吨。 8．化简下面的式子。 b＋b＋a＋a＝     m×5×n＝     3a－2b＋2a＝ 3×b×4＝     7a×5＝      30x－20x＝ 【答案】2b＋2a；5mn；5a－2b； 12b；35a；10x 【分析】根据用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前，据此计算化简即可。 【详解】b＋b＋a＋a ＝（b＋b）＋（a＋a） ＝2b＋2a m×5×n ＝5m×n ＝5mn 3a－2b＋2a ＝3a＋2a－2b ＝5a－2b 3×b×4 ＝3×4×b ＝12×b ＝12b 7a×5 ＝7×5×a ＝35×a ＝35a 30x－20x ＝（30－20）x ＝10x 9．一共有98吨黄豆，已经运走x吨，剩下的分5次运完。 （1）用含有字母的式子表示剩下的部分平均每次运走的吨数。 （2）当x＝28时，剩下的平均每次运走多少吨？ 【答案】（1）（98－x）÷5 （2）14吨 【分析】（1）全部黄豆吨数－已经运走的吨数＝剩下的吨数，剩下的吨数÷5＝平均每次运走的吨数，据此列式即可。 （2）把x＝28代入含有字母的式子求值即可。 【详解】（1）表示剩下的部分平均每次运走的吨数：（98－x）÷5 （2）当x＝28时， （98－x）÷5 ＝（98－28）÷5 ＝70÷5 ＝14（吨） 答：剩下的平均每次运走14吨. 三、方程的意义 1．下列式子中，有（ ）个方程。 ①5＋8      ②3＋4＝9      ③9－5＝20－7     ④4＋715 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】含有未知数的等式是方程，同时满足含有未知数与是等式这两个条件的式子就是方程。 【详解】①含有未知数但不是等式，所以不是方程； ②是含有未知数的等式，是方程； ③是含有未知数的等式，是方程； ④含有未知数但不是等式，所以不是方程； 因此②、③是方程，即在这些式子中，有两个方程。 故答案为：B 2．下面选项中不能用方程“3x＋2＝20”来表示的是（ ）。 A．张大伯家有x棵桃树，梨树的棵数是桃树的3倍多2棵，梨树有20棵 B．淘气买了1支2元的笔和3本单价为x元的练习本，共用去20元 C．保温杯一圈长x厘米，用一根20厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出2厘米 D．3个小球的总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克 【答案】D 【分析】每项分析等量关系，再根据关系式列方程看哪项符合题意，据此分析即可得出答案。 【详解】A．梨树的棵数＝桃树的棵数×3＋2，3x＋2＝20，符合题意； B．一共用去的钱数＝1支笔的钱数＋3本练习本的钱数，即2＋3x＝20，符合题意； C．绕保温杯3圈的长度＋多出的长度＝绳子的长度，即3x＋2＝20，符合题意； D．3个小球的总质量－2＝大球的质量，即3x－2＝20，不符合题意。 故答案为：D 3．方程是等式，等式不一定是方程。( ) 【答案】√ 【分析】含有等号的式子叫等式。含有未知数的等式叫做方程。方程一定是等式，但等式不一定是方程。据此解答。 【详解】方程是等式，等式不一定是方程。原题说法正确。 故答案为：√ 4．是含有未知数的式子，所以是方程。( ) 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程，方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【详解】5x−8是含有未知数的式子，但不是等式，所以不是方程，原题说法错误。 故答案为：× 5．下面的式子中，哪些是等式？哪些是方程？哪些是含有未知数的式子？（填序号） ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧    ⑨ 等式有：( )；方程有：( )；含有未知数的式子有：( )。 【答案】 ①②④⑥⑦⑧ ②④⑥⑦⑧ ②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】等式是表示两个数或两个代数式相等的式子；方程是含有未知数的等式；含有未知数的式子是含有未知数的表达式，它不一定是等式，也不一定是方程。 【详解】据分析可知 等式有：①②④⑥⑦⑧；方程有：②④⑥⑦⑧；含有未知数的式子有：②③④⑤⑥⑦⑧⑨。 6．根据图意，写出含有未知数的等式。 【答案】3y＋2＝21.5 【分析】含有未知数的等式就是方程，列方程时要认真审题，找出已知量和未知量，然后根据问题中的等量关系，写出含有未知数的等式。 【详解】3个y千克重的桶的质量＋1个2千克重的瓶的质量＝21.5，列方程为：3y＋2＝21.5 四、等式的性质 1．小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是（ ）。 A．b＝a－2 B．b＋2＝a＋2 C．b－2＋2＝a＋2 D．2b＝2a＋2 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。逐项计算即可得解。 【详解】A．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 所以该选项不成立。 B．b－2＝a b－2＋4＝a＋4 b＋2＝a＋4 所以该选项不成立。 C．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 所以该选项成立。 D．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 2×b＝2×（a＋2） 2b＝2a＋4 所以该选项不成立。 小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是b－2＋2＝a＋2。 故答案为：C 2．运用等式的性质进行变形，不正确的是（ ）。 A．若a＝b，则a＋3＝b＋3 B．若a＝b，则a×1.5＝b×2.5 C．若a＝b，则a－c＝b－c D．若a＝b，则a÷100＝b÷100 【答案】B 【分析】根据等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（除外），等式仍然成立，据此对每个选项进行分析，找到不正确的选项即可。 【详解】A．如果a＝b，根据等式的基本性质，a＋3＝b＋3，说法正确； B．如果a＝b，根据等式基本性质，a×1.5＝b×1.5，说法错误； C．如果a＝b，根据等式的基本性质，a－c＝b－c，说法正确； D．如果a＝b，根据等式的基本性质，a÷100＝b÷100，说法正确； 故答案为：B 3．等式的两边乘（或除以）同一个数（不为0），等式仍然成立。( ) 【答案】√ 【详解】如：a＝b a×3＝b×3 等式的两边乘（或除以）同一个数（不为0），等式仍然成立。 原题说法正确。 故答案为：√ 4．方程，可整理为。( ) 【答案】× 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，，两边同时＋64，再同时－，可以转化方程的形式，据此分析。 【详解】方程，根据等式的性质1，，可整理为，原题说法错误。 故答案为：× 5．等式的左边乘0.5，右边除以2，所得的结果仍然是等式。( ) 【答案】√ 【分析】等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。根据等式性质2举例即可判断。 【详解】根据分析可得： 若1＝1， 等式的左边乘0.5，即1×0.5＝0.5； 右边除以2，即1÷2＝0.5， 0.5＝0.5  左边＝右边， 因此：等式的左边乘0.5，右边除以2，所得的结果仍然是等式。原说法正确。 故答案为：√ 6．如下图，一个菠萝与( )个苹果一样重，( )个苹果和一个梨一样重。 【答案】 4 2 【分析】观察左图，2个菠萝＝1个菠萝＋4个苹果，根据等式的性质1，两边同时减去1个菠萝，可得1个菠萝＝4个苹果；观察右图，4个苹果＋1个梨＝6个苹果，根据等式的性质1，两边同时减去4个苹果，可得1个梨＝2个苹果，据此分析。 【详解】根据分析，一个菠萝与4个苹果一样重，2个苹果和一个梨一样重。 7．如果a＝4b，根据等式的性质填空。 2a＝( )          a－b＝( ) 【答案】 8b 3b 【分析】根据等式的性质1：等式的两边分别乘或者除以一个不为0的数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式的两边同时加或者减去相同的数，等式仍然成立。 【详解】a＝4b 2×a＝2×4b 则2a＝8b； a＝4b a－b＝4b－b 则a－b＝3b 8．若4－8＝28，则4－8＋( )＝28＋12，（4－8）×2＝28×( )。 【答案】 12 2 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】若4－8＝28，则4－8＋12＝28＋12，（4－8）×2＝28×2。 五、解方程 1．方程2.4x－0.8x＝4的解与方程（ ）的解相同。 A．4.5x＋2x＝13 B．4x－1.2＝3.8 C．0.3x－0.1x＝0.5 D．3.5－2x＝1.5 【答案】C 【分析】2.4x－0.8x＝4，先化简方程左边含有x的算式，即求出2.4－0.8的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2.4－0.8的差，求出方程的解。 再分别求出各个选项方程的解，再进行比较，即可解答。 【详解】2.4x－0.8x＝4 解：1.6x＝4 1.6x÷1.6＝4÷1.6 x＝2.5 A．4.5x＋2x＝13 解：6.5x＝13 6.5x÷6.5＝13÷6.5 x＝2 B．4x－1.2＝3.8 解：4x－1.2＋1.2＝3.8＋1.2 4x＝5 4x÷4＝5÷4 x＝1.25 C．0.3x－0.1x＝0.5 解：0.2x＝0.5 0.2x÷0.2＝0.5÷0.2 x＝2.5 D．3.5－2x＝1.5 解：3.5－2x＋2x－1.5＝1.5－1.5＋2x 2x＝2 2x÷2＝2÷2 x＝1 方程2.4x－0.8x＝4的解与方程0.3x－0.1x＝0.5的解相同。 故答案为：C 2．100x＝0，x的值是0，所以此方程没有解。( ) 【答案】× 【分析】使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。先求得方程的解，再做判断即可。 【详解】100x＝0 解：100x÷100＝0÷100 x＝0 方程的解是x＝0，并不是没有解，原题说法错误。 故答案为：× 3．如果2x＋3＝14，那么4x＋5＝28。( ) 【答案】× 【分析】2x＋3＝14，根据等式的性质1和2，两边同时－3，再同时÷2，求出x的值，再将x的值代入4x＋5＝28的左边求值，结果是28即可。 【详解】2x＋3＝14 解：2x＋3－3＝14－3 2x＝11 2x÷2＝11÷2 x＝5.5 4x＋5 ＝4×5.5＋5 ＝22＋5 ＝27 如果2x＋3＝14，那么4x＋5＝27，原题说法错误。 故答案为：× 4．当x＝5时，4.5x－9.7＝( )；当y＝( )时，3（y＋4）＝18.9。 【答案】 12.8 2.3 【分析】求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算，据此求出第一个算式的值。第二个空，直接解方程即可，3（y＋4）＝18.9，根据等式的性质1和2，两边同时÷3，再同时－4，即可求出y的值。 【详解】4.5x－9.7 ＝4.5×5－9.7 ＝22.5－9.7 ＝12.8 3（y＋4）＝18.9 解：3（y＋4）÷3＝18.9÷3 y＋4＝6.3 y＋4－4＝6.3－4 y＝2.3 当x＝5时，4.5x－9.7＝12.8；当y＝2.3时，3（y＋4）＝18.9。 5．解方程。 4x＋3.5＝19.5                  2x＋x＝40.2 1.2x＝36                      3（x－15）＝54 【答案】x＝4；x＝13.4； x＝30；x＝33 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时减去3.5，再同时除以4，求出方程的解； （2）先把方程化简成3x＝40.2，然后方程两边同时除以3，求出方程的解； （3）方程两边同时除以1.2，求出方程的解； （4）方程两边先同时除以3，再同时加上15，求出方程的解。 【详解】（1）4x＋3.5＝19.5 解：4x＋3.5－3.5＝19.5－3.5 4x＝16 4x÷4＝16÷4 x＝4 （2）2x＋x＝40.2 解：3x＝40.2 3x÷3＝40.2÷3 x＝13.4 （3）1.2x＝36 解：1.2x÷1.2＝36÷1.2 x＝30 （4）3（x－15）＝54 解：3（x－15）÷3＝54÷3 x－15＋15＝18＋15 x＝33 6．看图列方程并解答。 【答案】x＝21 【分析】根据题意，3支x元的笔和一本15.5元的字典一共78.5元，可得等量关系：3支笔的价格＋一本字典的价格＝78.5元，据此列出方程，并求解。 【详解】3x＋15.5＝78.5 解：3x＋15.5－15.5＝78.5－15.5 3x＝63 3x÷3＝63÷3 x＝21 每支笔21元。 7．解方程 ①（x－3）÷4＝20                       ②3x－1.4＝22.6 ③9x＋5x＝8.4                          ④（x＋4.5）×2＝23 【答案】①x＝83；②x＝8； ③x＝0.6；④x＝7 【分析】①把括号看作一个整体，先利用等式的性质2，方程两边同时乘4，再利用等式的性质1，方程两边同时加上3； ②先利用等式的性质1，方程两边同时加上1.4，再利用等式的性质2，方程两边同时除以3； ③先化简方程左边含有字母的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以14； ④把括号看作一个整体，先利用等式的性质2，方程两边同时除以2，再利用等式的性质1，方程两边同时减去4.5。 【详解】①（x－3）÷4＝20 解：（x－3）÷4×4＝20×4 x－3＝80 x－3＋3＝80＋3 x＝83 ②3x－1.4＝22.6 解：3x－1.4＋1.4＝22.6＋1.4 3x＝24 3x÷3＝24÷3 x＝8 ③9x＋5x＝8.4 解：14x＝8.4 14x÷14＝8.4÷14 x＝0.6 ④（x＋4.5）×2＝23 解：（x＋4.5）×2÷2＝23÷2 x＋4.5＝11.5 x＋4.5－4.5＝11.5－4.5 x＝7 8．解方程。 8x＋24＝64                          3x－1.5×6＝25.2 2（7x－4）＝34                     7.2x－3.6x＝9×0.4 【答案】x＝5；x＝11.4 x＝3；x＝1 【分析】8x＋24＝64，根据等式的性质1和2，两边同时－24，再同时÷8即可； 3x－1.5×6＝25.2，根据等式的性质1和2，两边同时＋1.5×6的积，再同时÷3即可； 2（7x－4）＝34，根据等式的性质1和2，两边同时÷2，再同时＋4，最后同时÷7即可； 7.2x－3.6x＝9×0.4，先将左边合并成3.6x，右边计算出结果，根据等式的性质2，两边同时÷3.6即可。 【详解】8x＋24＝64 解：8x＋24－24＝64－24 8x＝40 8x÷8＝40÷8 x＝5 3x－1.5×6＝25.2 解：3x－9＝25.2 3x－9＋9＝25.2＋9 3x＝34.2 3x÷3＝34.2÷3 x＝11.4 2（7x－4）＝34 解：2（7x－4）÷2＝34÷2 7x－4＝17 7x－4＋4＝17＋4 7x＝21 7x÷7＝21÷7 x＝3 7.2x－3.6x＝9×0.4 解：3.6x＝3.6 3.6x÷3.6＝3.6÷3.6 x＝1 六、实际问题与方程 1．为丰富同学们的校园生活，学校开展了各种社团活动，参加篮球社团的有75人，比象棋社团的2倍还多15人，参加象棋社团的有多少人？（用方程解答） 【答案】30人 【分析】由题意得，参加篮球社团的有75人，比象棋社团的2倍还多15人，据此列出等量关系式为：参加象棋社团的人数×2＋15＝参加篮球社团的人数。设参加象棋社团的人数为未知数，根据等量关系式列出方程并解方程即可。 【详解】解：设参加象棋社团的有x人。 2x＋15＝75 2x＋15－15＝75－15 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 答：参加象棋社团的有30人。 2．一个长方形的长是宽的3倍，周长是88厘米，这个长方形的宽是多少厘米？（列方程解答） 【答案】11厘米 【分析】设这个长方形的宽是x厘米，则长为3x厘米，根据（长＋宽）×2＝长方形的周长，列出方程解答即可。 【详解】解：设这个长方形的宽是x厘米。 2（x＋3x）＝88 2×4x＝88 8x＝88 8x÷8＝88÷8 x＝11 答：这个长方形的宽是11厘米。 3．中国库容量最大的水库是三峡水库，库容为393亿立方米，比辽宁的水丰水库库容的3倍少47.1亿立方米。水丰水库的库容是多少亿立方米？（用方程解决问题） 【答案】146.7亿立方米 【分析】设水丰水库的库容是x亿立方米，根据数量关系：水丰水库库容的3倍－47.1＝三峡水库的库容，列方程，解方程，据此解答。 【详解】解：设水丰水库的库容是x亿立方米。 3x－47.1＝393 3x－47.1＋47.1＝393＋47.1 3x＝440.1 3x÷3＝440.1÷3 x＝146.7 答：水丰水库的库容是146.7亿立方米。 4．周末骑行活动中，骑行爱好者小宇和小航分别骑A、B两辆山地车，两车同时从骑行起点出发，2小时后A车到达终点，B车距终点还有16千米。已知B车平均速度是25千米/时，A车的平均速度是每小时多少千米？ 【答案】33千米 【分析】设A车的平均速度是每小时x千米，根据路程＝速度×时间可知，全程为2x千米，根据B车平均速度是25千米/时，则B车2小时行驶25×2＝50千米，再加上16千米就是全程，根据全程不变列方程解答即可。 【详解】解：设A车的平均速度是每小时x千米。 2x＝25×2＋16 2x＝50＋16 2x＝66 x＝66÷2 x＝33 答：A车的平均速度是每小时33千米。 5．中国自主研发并制造了多种机器人，服务于各行各业。某种人形机器人身体上的关节数是某种工业机器人的7倍，它比工业机器人多36个关节，这种人形机器人和工业机器人身体上的关节各有多少个？（用方程解决） 【答案】人形机器人有42个关节，工业机器人有6个关节。 【分析】根据题意，可列出等量关系为：人形机器人身体上的关节数＝工业机器人关节数7，人形机器人身体上的关节数－工业机器人关节数＝36个。将工业机器人关节数设为x个，再根据第二个等量关系式列出方程。 【详解】解：设工业机器人关节数为x个。 7x－x＝36 6x＝36 x＝36÷6 x＝6 7x＝76＝42（个） 答：人形机器人有42个关节，工业机器人有6个关节。 6．鸡兔同笼，兔比鸡多15只，鸡和兔共有186只脚。鸡和兔各有多少只？ 【答案】鸡21只，兔36只。 【分析】根据题意可假设鸡有x只，则兔有（15＋x）只，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，鸡的脚的总只数＋兔的脚的总只数＝186只，依此列出方程并解答即可。 【详解】解：设鸡有x只，则兔有（15＋x）只 2x＋（15＋x）×4＝186 2x＋60＋4x＝186 6x＝186－60 6x＝126 x＝126÷6 x＝21 21＋15＝36（只） 答：鸡有21只，兔有36只。 7．张明、王亮两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。张明的速度是6.5米/秒，王亮的速度是4.5米/秒。经过多少秒张明正好比王亮多跑一圈？（列方程解答） 【答案】200秒 【分析】速度×时间＝路程，设经过x秒张明正好比王亮多跑一圈，根据张明的速度×时间－王亮的速度×时间＝400米，列出方程解答即可。 【详解】解：设经过x秒张明正好比王亮多跑一圈。 6.5x－4.5x＝400 2x＝400 2x÷2＝400÷2 x＝200 答：经过200秒张明正好比王亮多跑一圈。 8．甲、乙两个修路队共同修一段长125千米的路，甲队每天修4千米，修了2天后，乙队加入，两队共修了13天后全部修完。乙队每天修多少千米？ 【答案】5千米 【分析】已知甲队每天修4千米，修了2天，那么甲队2天修了（4×2）千米；然后乙队加入，两队共修了13天后全部修完，由此得出等量关系：甲队2天修的长度＋（甲队每天修的长度＋乙队每天修的长度）×13＝这条路的全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙队每天修千米。 4×2＋（4＋）×13＝125 8＋52＋13＝125 60＋13＝125 60＋13－60＝125－60 13＝65 13÷13＝65÷13 ＝5 答：乙队每天修5千米。 9．周六，平平和爸爸去金海湾公园参加骑行运动，上午9：00父子俩同时从金海湾滨江公园停车场向距离出发点10千米远的礼嘉智慧公园方向骑行，平平爸爸每分钟行0.3千米，平平每分钟行0.2千米，平平爸爸到达礼嘉智慧公园后立即返回，出发后多长时间两人相遇？ 【答案】40分钟 【分析】根据题意可知，爸爸的速度＞平平的速度，所以爸爸骑的路程和平平骑的路程和一共是两个10千米，即爸爸骑的路程＋平平骑的路程＝10×2千米，设出发后x分钟两人相遇，列方程：0.3x＋0.2x＝10×2，解方程，即可解答。 【详解】解：设出发后x分钟两人相遇。 0.3x＋0.2x＝10×2 0.3x＋0.2x＝20 0.5x＝20 0.5x÷0.5＝20÷0.5 x＝40 答：出发后40分钟两人相遇。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级上册数学人教版单元复习讲义 专题05 简易方程 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、用字母表示数 1 考点二、方程的意义 2 考点三、等式的性质 3 考点四、解方程 3 考点五、实际问题与方程 3 例题讲解 4 一、用字母表示数 4 二、含有字母式子的化简与求值 4 三、方程的意义 5 四、等式的性质 6 五、解方程 6 六、实际问题与方程 7 考点练习 9 一、用字母表示数 9 二、含有字母式子的化简与求值 9 三、方程的意义 10 四、等式的性质 11 五、解方程 11 六、实际问题与方程 13 考点梳理 考点一、用字母表示数 1.字母表示数的意义 （1）用字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式、运算定律和数量关系。 2.字母表示运算定律 （1）加法交换律：a+b=b+a （2）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) （3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 3.字母表示计算公式 （1）正方形周长：C=4a （2）正方形面积：S=a²（读作：a的平方，表示2个a相乘） （3）长方形周长：C=2(a+b) （4）长方形面积：S=ab 4.含字母的式子的书写规则 （1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以写作"·"或省略不写。 （2）数字要写在字母前面，如4×a写作4a。 （3）1与字母相乘时，1省略不写，如1×a写作a。 （4）带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。 5.含有字母式子的化简与求值 （1）化简：当式子中含有相同字母的项时，可通过合并系数化简。 示例1：（合并同类项，系数相加） 示例2：（合并同类项，系数相减） 示例3：（不同字母的项不能合并） （2）求值：当字母的具体数值已知时，可代入式子计算结果。 步骤：① 先化简式子（若能化简）；② 代入字母的值（数字与字母相乘时需恢复“×”或用括号）；③ 按运算顺序计算。 示例1：当时，求的值。 解：原式。 示例2：先化简，再求值：当时，求的值。 解：化简得，代入：。 示例3：当，时，求的值。 解：原式。 考点二、方程的意义 1.方程的定义 （1）含有未知数的等式叫做方程。 （2）必备条件：①含有未知数；②是等式。 2.等式与方程的关系 （1）方程一定是等式，但等式不一定是方程。 （2）例如：3+2=5是等式但不是方程；3+x=5是方程。 3.判断方程的方法：一看是不是等式；二看是否含有未知数。 考点三、等式的性质 1.等式的性质1 （1）等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 （2）字母表示：如果a=b，那么a±c=b±c。 2.等式的性质2 （1）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （2）字母表示：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a÷c=b÷c。 考点四、解方程 1.方程的解与解方程 （1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 （2）求方程的解的过程叫做解方程。 2.解方程的步骤 （1）写"解"字。 （2）利用等式的性质对方程进行变形。 （3）求出未知数的值。 （4）检验（把未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等）。 3.常见方程类型及解法 （1）x+a=b型：x=b-a （2）x-a=b型：x=b+a （3）ax=b型（a≠0）：x=b÷a （4）x÷a=b型（a≠0）：x=b×a （5）ax+b=c型：先把ax看作一个整体 （6）a(x+b)=c型：可先两边同时除以a，或先展开 考点五、实际问题与方程 1.列方程解决问题的步骤 （1）弄清题意，找出未知数，用x表示。 （2）分析、找出数量之间的相等关系，列方程。 （3）解方程。 （4）检验，写出答案。 2.常见数量关系及等量关系 （1）路程=速度×时间 （2）总价=单价×数量 （3）工作总量=工作效率×工作时间 （4）相遇问题：速度和×相遇时间=总路程 （5）追击问题：速度差×追击时间=路程差 3.典型应用题类型 （1）和差问题：(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数 （2）和倍问题：和÷(倍数+1)=小数，小数×倍数=大数 （3）差倍问题：差÷(倍数-1)=小数，小数×倍数=大数 （4）鸡兔同笼问题：设鸡为x只，则兔为(总头数-x)只，根据脚数列方程 例题讲解 一、用字母表示数 【例题1】小辉的年龄是b岁，爸爸比他大36岁，则他爸爸的年龄是（ ）岁。 A．36÷b B．b×2 C．b－36 D．b＋36 【例题2】王老师买了a千克苹果，每千克18.8元，又买了b千克梨，每千克14.6元，那么表示（ ）。 A．买苹果和梨一共花了多少钱？ B．苹果比梨重多少千克？ C．每千克苹果比每千克梨贵多少钱？ D．买梨比买苹果少花多少钱？ 【例题3】根据乘法分配律，可以写成（ ）。 A． B． C． D． 【例题4】亮亮有x元零花钱，是乐乐零花钱的3倍，亮亮的零花钱比乐乐多( )元，乐乐和亮亮一共有( )元零花钱。 【例题5】用字母表示长方形的面积是S＝( )，周长是C＝( )。 二、含有字母式子的化简与求值 【例题1】当x＝0.8时，x2＝（ ）。 A．0.16 B．1.6 C．6.4 D．0.64 【例题2】可以简写成。( ) 【例题3】果园里有桃树棵，比梨树多b棵，两种果树一共有（2一b）棵。( ) 【例题4】国内某无人机公司，9月份生产无人机15万架，10月份比九月份多生产m万架，则10月份生产无人机( )万架；当m＝4时，10月份生产无人机( )万架。 【例题5】甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行60千米，行驶了小时后，距离乙地还剩( )千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩( )千米。 【例题6】省略乘号，写出下面各式。 5×a＝         b×1＝         a×x＝         d×d＝ s×7＝         c×6＝         9×c＝         a×0＝ 【例题7】全体五年级师生去春游，恰好坐满了x辆大客车和x辆中巴车，每辆大客车可乘坐乘客46人，每辆中巴车可乘坐乘客20人。 （1）用含有字母的式子表示五年级师生的总人数。 （2）算一算，当时，五年级师生共有多少人？ 三、方程的意义 【例题1】下面各式中（ ）是方程。 A． B． C． D． 【例题2】根据x的2倍比3.2多0.6列方程，下面方程（ ）是正确的。 A．2x－3.2＝0.6 B．2x＋3.2＝0.6 C．2（x－0.6）＝3.2 D．x－2×3.2＝0.6 【例题3】含有x的算式都是方程。( ) 【例题4】①3＋x＝5、②4＋7＝11、③a＋b＝20、④5m－3、⑤7x＜9、⑥6×9在以上式子中，( )是等式，( )是方程。（填序号） 【例题5】看图写方程，不解答。 四、等式的性质 【例题1】如图，根据第一个天平的等量关系，在第二个天平的右边应添上（ ）才能保持平衡。 A． B． C． D． 【例题2】图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（ ）不成立。 A．☆＋3＝□＋0.3 B．☆□ C．☆□ D．☆□ 【例题3】等式两边都乘同一个数，等式成立。( ) 【例题4】根据等式的性质填空。 12＋m＝4×3＋( )        a－6÷2＝( )－3 五、解方程 【例题1】在下面各数中，（ ）是方程2x＋8＝4x＋2的解。 A．x＝6 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝1 【例题2】方程的解和解方程的实质是相同的。( ) 【例题3】式子（20－5）÷3，当＝( )时，结果是0。 【例题4】解方程。 5.7x÷3＝5.89        9x＋0.6x＝19.2       5（6.83－x）＝16.65 【例题5】看图列方程，并求出方程的解。 六、实际问题与方程 【例题1】养殖场养鸡的只数是鸭的3倍，鸭比鸡少1200只。这个养殖场养鸡、鸭各多少只？（列方程解答） 【例题2】一辆汽车3小时行驶了165千米，照这样的速度，从甲地到乙地需要5小时。甲、乙两地相距多少千米？ 【例题3】小明和小红共有120张邮票，小明的邮票张数是小红的3倍。小明和小红各有多少张邮票？ 【例题4】李老师在文具店买了1支钢笔和5个文具盒，一共用去76.5元，已知一支钢笔16.5元，每个文具盒是多少元？（列方程解答） 【例题5】鸡兔同笼，从上面数12个头，从下面数34只脚，问鸡有几只？兔有几只？（用方程解） 【例题6】甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，甲船每小时行驶25千米，乙船每小时行驶的路程是甲船的1.4倍。经过多少小时两船相遇？（用方程解答） 【例题7】我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之。”题意是：跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里，慢马先跑12天，则快马追上慢马需要跑多少天？（用方程解答） 考点练习 一、用字母表示数 1．三个连续的自然数中，最小的是a，那么这三个数中最大的数是（ ）。 A．a B．a＋1 C．a＋3 D．a＋2 2．下列各式中，正确运用运算律的是（ ）。 A．m＋（2＋n）＝2m＋n B．50（0.2y）＝10y C．m（nt）＝mn＋mt D．mnt＝（m÷n）t 3．如图所示，摆n个六边形需要（ ）根小棒。 A．6n B．5n＋1 C．5n－1 D．6n－1 4．学校组织学生参加植树活动，三年级种植了80棵小树。六年级比三年级多种植了a棵，那么80＋a表示( )。 5．我市有很多地方特色小吃，一份豆腐圆子卖a元，一份裹卷卖b元。李阿姨买了3份豆腐圆子和2份裹卷，共花了( )元。 6．在括号里填上合适的数： ( )a＋( )a＝（7.8＋2.2）a         12.5a×8＝( )a 二、含有字母式子的化简与求值 1．奶奶今年a岁，欢欢今年（a－50）岁，5年后，奶奶和欢欢相差（ ）岁。 A．a B．5 C．50 D．55 2．把错算成，结果比原来（ ）。 A．多18 B．少18 C．多24 D．少24 3．a2一定大于2a。( ) 4．如果长方形的长和宽分别用字母a和b表示，那么长方形的周长可以用2a＋b表示。( ) 5．每千克橘子的价钱是7元，冯叔叔用50元买了m千克这种橘子，还剩( )元。当m＝5时，还剩( )元。 6．4月23日是“世界读书日”，学校开展了“读书漂流”活动。小明看一本书，看了b天，每天看30页，还剩12页没有看，这本书的总页数用含有字母的式子表示为( )，当b＝14时，这本书共有( )页。 7．工地上有吨水泥，每天用去3吨，用了天，剩下的用式子表示是( )吨。如果，，那么还剩下( )吨。 8．化简下面的式子。 b＋b＋a＋a＝     m×5×n＝     3a－2b＋2a＝ 3×b×4＝     7a×5＝      30x－20x＝ 9．一共有98吨黄豆，已经运走x吨，剩下的分5次运完。 （1）用含有字母的式子表示剩下的部分平均每次运走的吨数。 （2）当x＝28时，剩下的平均每次运走多少吨？ 三、方程的意义 1．下列式子中，有（ ）个方程。 ①5＋8      ②3＋4＝9      ③9－5＝20－7     ④4＋715 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下面选项中不能用方程“3x＋2＝20”来表示的是（ ）。 A．张大伯家有x棵桃树，梨树的棵数是桃树的3倍多2棵，梨树有20棵 B．淘气买了1支2元的笔和3本单价为x元的练习本，共用去20元 C．保温杯一圈长x厘米，用一根20厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出2厘米 D．3个小球的总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为20克 3．方程是等式，等式不一定是方程。( ) 4．是含有未知数的式子，所以是方程。( ) 5．下面的式子中，哪些是等式？哪些是方程？哪些是含有未知数的式子？（填序号） ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧    ⑨ 等式有：( )；方程有：( )；含有未知数的式子有：( )。 6．根据图意，写出含有未知数的等式。 四、等式的性质 1．小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是（ ）。 A．b＝a－2 B．b＋2＝a＋2 C．b－2＋2＝a＋2 D．2b＝2a＋2 2．运用等式的性质进行变形，不正确的是（ ）。 A．若a＝b，则a＋3＝b＋3 B．若a＝b，则a×1.5＝b×2.5 C．若a＝b，则a－c＝b－c D．若a＝b，则a÷100＝b÷100 3．等式的两边乘（或除以）同一个数（不为0），等式仍然成立。( ) 4．方程，可整理为。( ) 5．等式的左边乘0.5，右边除以2，所得的结果仍然是等式。( ) 6．如下图，一个菠萝与( )个苹果一样重，( )个苹果和一个梨一样重。 7．如果a＝4b，根据等式的性质填空。 2a＝( )          a－b＝( ) 8．若4－8＝28，则4－8＋( )＝28＋12，（4－8）×2＝28×( )。 五、解方程 1．方程2.4x－0.8x＝4的解与方程（ ）的解相同。 A．4.5x＋2x＝13 B．4x－1.2＝3.8 C．0.3x－0.1x＝0.5 D．3.5－2x＝1.5 2．100x＝0，x的值是0，所以此方程没有解。( ) 3．如果2x＋3＝14，那么4x＋5＝28。( ) 4．当x＝5时，4.5x－9.7＝( )；当y＝( )时，3（y＋4）＝18.9。 5．解方程。 4x＋3.5＝19.5                  2x＋x＝40.2 1.2x＝36                       3（x－15）＝54 6．看图列方程并解答。 7．解方程 ①（x－3）÷4＝20                       ②3x－1.4＝22.6 ③9x＋5x＝8.4                          ④（x＋4.5）×2＝23 8．解方程。 8x＋24＝64                          3x－1.5×6＝25.2 2（7x－4）＝34                     7.2x－3.6x＝9×0.4 六、实际问题与方程 1．为丰富同学们的校园生活，学校开展了各种社团活动，参加篮球社团的有75人，比象棋社团的2倍还多15人，参加象棋社团的有多少人？（用方程解答） 2．一个长方形的长是宽的3倍，周长是88厘米，这个长方形的宽是多少厘米？（列方程解答） 3．中国库容量最大的水库是三峡水库，库容为393亿立方米，比辽宁的水丰水库库容的3倍少47.1亿立方米。水丰水库的库容是多少亿立方米？（用方程解决问题） 4．周末骑行活动中，骑行爱好者小宇和小航分别骑A、B两辆山地车，两车同时从骑行起点出发，2小时后A车到达终点，B车距终点还有16千米。已知B车平均速度是25千米/时，A车的平均速度是每小时多少千米？ 5．中国自主研发并制造了多种机器人，服务于各行各业。某种人形机器人身体上的关节数是某种工业机器人的7倍，它比工业机器人多36个关节，这种人形机器人和工业机器人身体上的关节各有多少个？（用方程解决） 6．鸡兔同笼，兔比鸡多15只，鸡和兔共有186只脚。鸡和兔各有多少只？ 7．张明、王亮两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。张明的速度是6.5米/秒，王亮的速度是4.5米/秒。经过多少秒张明正好比王亮多跑一圈？（列方程解答） 8．甲、乙两个修路队共同修一段长125千米的路，甲队每天修4千米，修了2天后，乙队加入，两队共修了13天后全部修完。乙队每天修多少千米？ 9．周六，平平和爸爸去金海湾公园参加骑行运动，上午9：00父子俩同时从金海湾滨江公园停车场向距离出发点10千米远的礼嘉智慧公园方向骑行，平平爸爸每分钟行0.3千米，平平每分钟行0.2千米，平平爸爸到达礼嘉智慧公园后立即返回，出发后多长时间两人相遇？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $