数学期中复习讲义（不等式）（高教版）-2025-2026学年高一上学期《期中考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 基础模块上册》（高教版）教材1、2章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括1份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本专题是2025-2026学年高一上学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中复习讲义第二部分《不等式》。 2025-2026学年高一上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义—不等式 核心考点 复习目标 考情规律 比较大小 会利用作差法比较两个数或代数式的大小 基础考点，常与其他知识结合，常出现在选择题、填空题 不等式的性质 会利用不等式性质比较大小 高频易错点，常出现在选择题、填空题中，常因忽略正数的同向不等式的乘性导致求解错误 区间 能用区间表示数集 基础考点，出现在各种题型中，一般不单独考查，常与集合运算、解不等式结合 一元二次不等式 会解一元二次不等式；能根据已知条件求一元二次不等式的参数 重点考点，各种题型均有可能，常与求函数定义域结合；有将分式不等式转化成一元二次不等式求解题型 含绝对值的不等式 会利用去绝对值号法则解含绝对值的不等式 重点考点，各种题型均有可能，重点在于正解去掉绝对值号 不等式应用举例 利用不等式解决生活和生产实践中问题 难点考点，常出现在解答题中，把实际问题转化成二次不等式、绝对值不等式求解 第2章 不等式 知识点1 比较大小 1. 实数的大小性质 依据 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 结论 确定任意两个实数a,b的大小关系，只需确定它们的差a-b和0的大小关系 2. 作差法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 知识点2 不等式的性质 性质 性质内容 对称性 a>b⇔b<a 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向可加性 a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d 同向同正可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 可乘方性 a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2) 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 知识点3 区间及有关概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点4 一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的_判别式__. (3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集． 2.三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2 (x1<x2) 有_两相等__实根 x1＝x2＝－ _没有__ 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或x<x1__} {x|x∈R 且_x≠x1__} _R__ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1<x<x2__} _∅__ _∅__ 知识点5 简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 知识点6 绝对值不等式的解法 1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R 2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 一、单选题 1．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）若 ，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·陕西榆林·期中）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽六安·期末）下列区间表示数集的是（   ）. A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东梅州·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 6．（23-24高一下·广东佛山·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25高一上·江苏徐州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·四川宜宾·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 9．（24-25高一下·四川广元·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江丽水·期末）2024年8月23日，国际航空运输协会正式分配并批复丽水机场三字代码为“”，标志着丽水机场在全球民航运输体系中有了自己的“国际身份证”．丽水机场某设备房内需要制作一个精密零件，该零件的内孔直径要求为8毫米，且绝对误差不能超过0.15毫米，则该零件的内孔直径x（毫米）满足（   ） A． B． C． D． 答案 1．A 【分析】根据不等式的性质结合已知条件即可求解. 【详解】对A：若，根据不等式的性质得，故A项正确； 对B：若，根据不等式的性质得，故B项错误； 对C：若，根据不等式的性质得，故C项错误； 对D：若，根据不等式的性质得，又， 所以无法判断，故D项错误； 故选：A. 2．D 【分析】根据不等式的基本性质，即可解得. 【详解】由题，不等式组，解得， 解得，即不等式组解集为. 故选：D 3．D 【分析】利用作差法，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】根据区间的定义即可得解. 【详解】数集，则区间表示为， 故选：. 5．C 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】不等式等价于且， ， 解得或且， 所以不等式的解集为或. 故选：C. 6．A 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式， 解得， 所以解集为， 故选：. 7．A 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式， 解得，所以解集为， 故选：. 8．C 【分析】利用含绝对值的不等式的解法求解． 【详解】由不等式，得，解得， 故不等式的解集是． 故选：C． 9．A 【分析】利用绝对值不等式的解法即可得解. 【详解】因为，则， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 10．C 【分析】根据题意列出不等式即可得解. 【详解】由题意可知，零件的内孔直径x（毫米），要求为8毫米，且绝对误差不能超过0.15毫米，则， 故选：. 题型一 比较实数的大小 【典例1】（24-25高一上·浙江湖州·期中）下列4个实数中，最小的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据负数小于正数，负数之间绝对值大的反而小即可求解. 【详解】因为，选项均为非负数，因此排除， 因为，所以. 故选：. 【典例2】（23-24高一上·河北石家庄·期末）设实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为分子相同的分数，再比较分母的大小，即可求解. 【详解】， 又， ∴． 故选：A． 【典例3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】∵， ∴. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 比较大小的方法 作差法的依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b． 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式． 【变式1】（22-23高一上·江西南昌·期末）下列选项中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河南洛阳·期中）与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】运用作差法逐个比较大小即可. 【详解】，所以，故A错误， ，所以，故B正确， ，所以，故C错误， ，所以，故D错误， 故选：B. 2、【答案】D 【分析】根据作差比较法比较代数式的大小即可. 【详解】由， 可得. 故选：D. 题型二 不等式性质的应用 【典例1】（22-23高一上·江西南昌·期中）已知， 试比较与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质可判断. 【详解】因为，则，而，则； 故选：B. 【典例2】（22-23高一下·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】若，，则，故A错误， 若，满足，但，故B错误， 若，则有，故C正确， 若，则，故D错误. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 【变式1】（23-24高二下·四川宜宾·期末）若，为实数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·重庆·期末）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】根据不等式的性质结合赋值法，对选项依次分析判断即可得出答案. 【详解】对于选项A，若，则不等式不成立； 对于选项B，若，则不等式不成立； 对于选项C，若，则不等式也不成立； 对于选项D，时，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，即，故正确； 故选：D. 2、【答案】A 【分析】根据不等式的性质，逐一分析选项即可得解. 【详解】选项A，∵，∴∴，，又，即即，，故A正确， 选项B，∵，两边除以b，不等号变向，可得，故B错误， 选项C，∵，根据不等式性质，正数开平方后不等号方向不变，所以，故C错误， 选项D，∵，两边除以（，不等号不变），可得，即，故D错误. 故选：A. 题型三 一次不等式（组） 【典例1】（20-21高一上·浙江嘉兴·期中）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元一次不等式组解法直接计算，再用区间表示即可. 【详解】不等式组，解得， 故不等式组的解集为. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解集即可求解. 【详解】原不等式可化为，即，解得，即． 故选：D. 【变式1】（24-25高二下·浙江·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）不等式的解集用区间表示为（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】根据题意，结合一元一次不等式组的解法，即可求解. 【详解】因为，所以 解得：. 故选：A. 2、【答案】B 【分析】根据题意，结合一元一次不等式的解法，及区间的表示，即可求解. 【详解】因为，即， 解得， 即不等式的解集为. 故选：B. 题型四 一元二次不等式（不含参） 【典例1】（24-25高三下·安徽·职教高考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解后利用二次函数的图象性质即可求解． 【详解】∵不等式因式分解为， ∴， ∴不等式的解集为， 故选：C． 【典例2】（23-24高一上·江苏·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【典例3】（23-24高二上·山西晋中·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将不等式化为，可发现这是特殊的一元二次不等式. 【详解】不等式可化为，因为，故解集为空集. 故答案为：. 【典例4】（24-25高三上·江西赣州·期中）要使有意义，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用根式有意义得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】要使有意义，则， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为：. 解｜题｜技｜巧 解一元二次不等式的步骤 (1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式． (2)计算相应的判别式． (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 【变式1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·四川宜宾·期末）不等式的解集为 . 【变式3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）不等式的解集为 . 【变式4】（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知有意义，则的取值范围为 . 答案 1、【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得， 可转换为，解得， 所以不等式的解集是， 故选：A. 2、【答案】D 【分析】利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3、【答案】 【分析】解一元二次不等式即可解得. 【详解】由题，，又, 则解得， 故答案为： 4、【答案】 【分析】由题意得，解不等式即可. 【详解】已知有意义，则， 即，解得或. 则的取值范围为. 故答案为：. 题型四 一元二次不等式（含参） 【典例1】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）若不等式的解集为，则m的值为（  ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个根， 则，解得. 故选：B. 【典例2】（24-25高一下·四川眉山·期中）若不等式的解集为，则、分别等于（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一元二次不式和一元二次方程的关系，得出的根，再由韦达定理求值即可. 【详解】已知不等式的解集为， 则当时，方程的解为， 即，即， 则，即， 故选：A. 【典例3】（20-21高一下·浙江湖州·期中）关于x的不等式解集为空集，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合含参数的二次不等式恒成立的问题，分类讨论和两种情况，即可求解. 【详解】因为关于x的不等式解集为空集， 所以对于任意的，不等式恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，需满足，即， 解得； 综上所述，， 即m的取值范围是. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 注意已知条件的含义和根与系数关系的应用： ①一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根． ②由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数． 【变式1】（24-25高二下·山东滨州·期中）关于x的不等式的解集是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（20-21高三上·广东东莞·期中）若关于x的不等式解集是R，则实数a的取值集合是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·重庆南岸·期中）若时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】B 【分析】根据题意，结合二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，利用韦达定理，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以和是方程的两个根， 所以，即. 故选：B. 2、【答案】B 【分析】分为与两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立的解法求解. 【详解】当时，不等式为，在R上恒成立，满足条件； 当时，二次不等式解集是R，等价于， 即，解得. 综上所述，a的取值范围是， 故选：B. 3、【答案】C 【分析】由，分类讨论，再根据一元二次不等式恒大于的条件求解即可. 【详解】当时， 恒成立，符合题意； 当时，要使不等式恒成立， 有，解得. 综上，则的取值范围是. 故选：C. 题型五 分式不等式 【典例1】（22-23高一下·陕西榆林·期中）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把不等式化为一元二次不等式求解. 【详解】∵对于任意，， ∴不等式可化为， 即，解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 【典例2】（23-24高三上·四川自贡·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以， 所以或， 解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 解题步骤： 1. 移项通分：将不等式一端化为零，另一端通分为一个分式。 2. 化为标准形式：得到形如g(x)/f(x)​>0（或其他不等号）的形式。 3. 转化为整式不等式：考虑分子分母同号或异号。 4. 考虑定义域：分母不能为零，需排除使分母为零的点。 5. 解整式不等式：通常通过根轴法（穿针引线法）求解。 【变式1】（22-23高一下·陕西榆林·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（21-22高一上·湖南长沙·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】不等式可化为：，解得， ∴不等式的解集为. 故选：D. 2、【答案】C 【分析】根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】因为， 所以或， 解得或. 即不等式的解集为. 故选：C. 题型六 绝对值不等式的解法 【典例1】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，解不等式即可求解. 【详解】由不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 【典例2】（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知不等式，则其解集为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得且， 由，得或， 解得或， 由，得， 即，解得， 由或或， 所以的解集为， 故选：A. 【典例3】（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，即或， 解得或， 即不等式的解集为． 故答案为：. 解｜题｜技｜巧 解题步骤： 1.识别形式，判断是“小于”还是“大于”。 2.直接套用基础公式。 3.解出简化后的不等式。 【变式1】（23-24高二上·浙江衢州·期中）不等式的解集为 【变式2】（22-23高一上·浙江绍兴·期中）不等式的解集为 . 【变式3】（25-26高一上·全国·课前预习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】由得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2、【答案】 【分析】根据题意，结合绝对值不等式的解法，即可求解. 【详解】因为， 所以或， 解得或. 即不等式的解集为. 故答案为： 3、【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的性质求解即可. 【详解】不等式等价于，即，解得. 故选：B. 题型六 不等式的应用 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）某精密机械零件的加工尺寸要求极为严格，其长度（单位：）需满足不等式组，则该零件长度的取值区间是 【答案】 【分析】首先根据绝对值不等式的解法求解，再由一元一次不等式的解法求解，最后取两个解集的交集即可. 【详解】先解， 可得，即， 再解，移项得， 即，解得， 综合两个不等式的解，取交集得， 所以取值区间是. 故答案为：. 【典例2】（24-25高一上·江西吉安·期中）某工厂生产产品，成本为，产量为，若成本与产量的关系式，要使总成本不超过50，则产量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设建立不等式，解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为成本与产量的关系式， 因为产量在实际生产中不能为负数，即 ， 要使总成本不超过50，则，即， 不等式可化为，解得， 所以产量的取值范围是，化为区间形式为， 故选：C. 【典例3】（23-24高一上·浙江金华·期中）某校期中考试中，规定数学成绩（单位：分）为“良好”等级的要求满足条件，则下列分数符合“良好”等级的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据含绝对值不等式的解法求出的解集，在判断选项中那个分数在解集内即可. 【详解】已知等价于， 解得， 选项中只有，即选项C分数符合“良好”等级， 故选：C. 【变式1】（20-21高一上·浙江嘉兴·期中）某公司的销售员有两种报酬取得方式，方案A为底薪900元，且每销售一个产品再加付20元；方案B为没有底薪，每销售一个产品得50元，则当销售量至少达到多少件时，会选择方案B．（    ） A．25个 B．28个 C．30个 D．32个 【变式2】（22-23高二上·上海·期中）为了介绍化学元素的特性，数控专业的学生设计并制作了一种正方体模型（如图所示）．设计要求正方体的标准棱长为5厘米，制作时允许误差为（单位：厘米），设模型的实际棱长为x（单位：厘米），则合格品的棱长x满足的绝对值不等式为（     ）    A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据题意，结合一元一次不等式的解法及应用，即可求解. 【详解】由题意，设当销售量达到x件时，会选择方案B， 所以，即， 解得， 即当销售量至少达到30件时，会选择方案B. 故选：C. 2、【答案】C 【分析】根据绝对值不等式的几何意义列式即可. 【详解】已知正方体的标准棱长为5厘米， 允许误差为， 所以合格品的棱长x与标准棱长5厘米之间的距离可以上下浮动厘米. 即， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $