第二章 3 第1课时 用公式法求解一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

3用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程（答案P8) 通基仙22>>2>>>>% 知识点2一元二次方程的根的判别式 7.(2023·滨州中考)一元二次方程x2+3x 知识点1用公式法求解一元二次方程 2=0根的情况为() 1.用公式法解方程x2-2=一3x时，a,b,c的值 A.有两个不相等的实数根 依次是() B.有两个相等的实数根 A.0,-2,-3 B.1,3,-2 C.没有实数根 C.1,-3,-2 D.1,-2,-3 D.无法判断 2.以x=2±√-2)-4×3×(1D 8.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程 2×3 为根的一元 x2一3x十m=0有两个相等的实数根，则实数 二次方程可能是() m的值为() A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0 A.-9 B-号 D.9 3.一元二次方程x2=x+1的解是() 9.(2023·上海中考)已知关于x的一元二次方 A.x=1±5 程ax2+6x十1=0没有实数根，那么a的取值 2 范围是 B.x=-1±5 10.分别求为何值时，关于x的一元二次方程 x2一6x十9=0的根有以下几种情况. C.x=√x+1 (1)有两个不相等的实数根， D.x=士√x十1 (2)有两个相等的实数根， 4.用公式法解方程(2x一1)2十4=(x+2)2一4， (3)无实数根. 先把它整理为 ,它的根为 5.关于x的方程x(x+6)=16解为 6.运算能力》用公式法解方程： (1)5x2+2x-1=0; (2)2x2+3=6x. 易精图忽略二次项系数不为0的隐含条件 11.(2023·聊城中考)若一元二次方程mx2十2x十 1=0有实数解，则m的取值范围是() A.m≥-1 B.m≤1 C.m≥-1且m≠0D.m≤1且m≠0 -九年级·上册·数学，B5 34 通能力9 17.关于x的一元二次方程x2一3x十k=0有实 数根。 l2.直线y=x十a不经过第二象限，则关于x的 (1)求k的取值范围. 方程ax2+2x+1=0实数解有() (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二 A.0个 B.1个 次方程(m-1)x2十x十m-3=0与方程x2 C.2个 D.1个或2个 3x十=0有一个相同的根，求此时m的值. 13.(2023·广州中考)已知关于x的方程x2 (2k一2)x十2一1=0有两个实数根，则 √(-1)一√(2-)的化简结果是() A.-1 B.1 C.-1-2k D.2k-3 14.若关于x的一元二次方程)之2一2mx一4m 1=0有两个相等的实数根，则(m一2)一 通素第》999999999999 2m(m-1)的值为 18.探究拓展)已知关于x的一元二次方程(a十 15.已知a,b,c为△ABC的三边长，且方程 c)x2-2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为 (a十b)x2-2cx十a=b有两个相等的实数 △ABC三边的长 根，则三角形△ABC的形状为 (1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的 16.运算能力》用公式法解下列方程： 形状，并说明理由 (1)3y(y-3)=2(y+1)(y-1); (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状，并说明理由。 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一 元二次方程的根. (2)(3x-1)(x+2)=11x-4. 35 优计学案·课时通1 两边开平方，得x一3 (1)根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2,(6-t)2十(2t)2= 3 36,5t2-12t=0.解得t1=0,t2=2.4,t≠0，∴.t=2.4. ∴.t=2.4时，PQ=6cm. 10或x-3=√10 即x-3=3 3 (2)根据三角形的面积公式，得2PB·BQ=8,(6-)=8, x,-1+10 1-/10 3一x2= t2-6t+8=0,(t-3)2=1,解得t=2或4. 3 ∴.t=2或4时，△PBQ的面积等于8cm2 (3)原方程可化为x2-3x=10. 3用公式法求解一元二次方程 配方，得x-x+()=10+(名)广， 第1课时用公式法求解一元二次方程 (》广-9 1.B2.D3.A 5 4.3x2-8x+5=0x1=3x2=1 两边开平方，得x一昌-士 7 5.x1=-8,x2=2 6.解：(1)，a=5,b=2,c=-1, 六x=-6±y6=4ac=-2士26=-1±6】 x1=5,x2=-2. 2a 2×5 5 17.解：(1)x2+y2+8x-2y+17=0, -1+√6 -1-√6 .(x+4)2+(y-1)2=0. x1= 5 一，xz= 5 .x=-4,y=1. (2)原方程可化为2x2-6x十3=0. .x+3y=-1. 'a=2,b=-6,c=3, (2)a2+b2=6a+8b-25, .△=(-6)2-4×2×3=12>0， ∴.a2-6a+9+b2-8b+16=0, .∴.(a-3)2+(b-4)2=0. z=6±2_6±233±5 2×2 4 2 ∴.a=3,b=4. ,a,b是等腰△ABC的两边长， x1= 2 .当a是腰，b是底时，△ABC的周长为3十3十4=10： 7.A8.C9.a>9 当b是腰，a是底时，△ABC的周长为4十4十3=11. 10.解：(1)根据题意，得k≠0且△=(-6)2-4k·9>0,解得 综上所述：△ABC的周长为10或11. k<1且k≠0. 第2课时用配方法求解较复杂的 (2)根据题意，得k≠0且△=(-6)2一4k·9=0,解得 一元二次方程 k=1. 1.B2.C3.A4.115.14 1 (3)根据题意，得k≠0且△=（一6）2一4k·9<0,解得 k>1. 6.解：(1)原方程化为2x2-3x=-1, 11.D12.D13.A (e-》-6=12 1 7 14.215.直角三角形 (2)原方程化为3x2-23x十1=0， 16.解：(1)原方程可化为y2一9y+2=0, ∴.a=1,b=-9,c=2, (W3x-1)2=0,x1=x2=3 ∴.b2-4ac=(-9)2-4×1×2=73>0, 7.1士√58.2+25 -(-9)±√73 .y= 9.解：设十位上的数字为x,则个位上的数字为x十2. 2 根据题意得3x(x十2)=10x十(x十2)， y=9+ 9-√73 ,y2= 整理得3-5x-2=0,(）”-0 2 2 (2)原方程可化为3x2-6x十2=0， 1 a=3,b=-6,c=2, 解得x1=2,x:=一3（不合题意，舍去）， .b2-4ac=(-6)2-4X3×2=12>0, .x十2=4， 3-√3 ∴这个两位数为24. ..= -（-0生厘，，=3+5， 2×3 3 3 10.C11.A12.6 17.解：(1)由题意，得△=b2-4ac=(-3)2-4k≥0， 13.解：(1)a2+b2-10a-12b+61=0, .a2-10a+25+b2-12b+36=0, 部4≤号 .(a-5)2+(b-6)2=0. (a-5)2≥0，(b-6)2≥0， (2)由(1①得A≤？，且及是行合条件的最大整数，返=2 .a-5=0,b-6=0, 将k=2代入x2-3x十k=0,得x2-3x十2=0，解得x1=1, 解得a=5,b=6. x2=2. a,b,c是△ABC的三边长， ①当两个方程相同的根为1时，将x=1代入(m一1)x2+ ∴.6-5<c<6+5, 即1<c<11. z十m-3=0,解得m=2 (2)由题意，得P-Q=2x2+4y+13-(x2-y2+6x-1)= ②当两个方程相同的根为2时，将x=2代入(m一1)x2十 x2-6x+9+y2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0, x十m-3=0,解得m=1,此时m-1=0,即二次项系数为 ∴.P>Q. 0,与题意不符. 14.解：根据题意，可知BP=AB一AP=(6-t)cm,BQ= 综上所述，m=2 3 2t cm. 8 18.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=1代入方程，3.解：(1)由题意知，△=(2m十1)2-4(m-2)2>0, 得a十c-2b十a-c=0,则a=b,∴.△ABC为等腰三角形 (2)△ABC是直角三角形.理由如下：根据题意，得△= 六20m-15>0,m>至.m-2≠0,5m≠2，放m的取值 (-2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2,∴.△ABC为 直角三角形. 范图是m>且m≠2。 (3),△ABC为等边三角形，.a=b=c, (2)由题意知，△=(2m+1)2一4(m一2)2=0， 方程化为x2-x=0,解得x1=0,x2=1. 20m-15=0,m=年.m-2≠0，∴m≠2， 第2课时公式法的实际应用 3 1.D2.23.2m 故m的值是m=4 4.解：设AB的长为xm,则BC的长为(14-x)m. (3)由题意知，△=(2m+1)2-4(m-2)2<0, 依题意，得x(14一x)=48, 解得x1=6,x2=8. 20m-15<0,m<径.m-2≠0， 答：AB的长度为6m或8m. 5.解：(1)设矩形与墙垂直的一边AB=xm,矩形的面积为 六m≠2，故m的取值范围是m< 4· Sm2,则BC的长为(20-2x)m.根据题意，得 4.解：(1)八关于x的方程x2-(k十1)x+4 =0有两个不相 S=x(20-2x). (2)x(20一2x)=48,解得x=4或x=6,故AB的长为4m 等的实数根， 或6m. ∴△>0且及≠0，即[-(+1)门-4级×冬>0且质≠0，解得 (3)不能.理由如下：设矩形场地的宽为xm,则长为(20一 1 2x)m,依题意列方程x(20-2x)=60,即x2-10x+30=0, k>-2且k≠0 △=102一4×1×30=一20<0，方程无实数解，故矩形场地的 面积不能达到60m2. (2)存在，若方程的一个实数根是1，则k-(k+1)+ 40, 6.5米7.A8.100cm9,4 解得=4，符合条件. 即当k=4时，方程有一个实数根为1. 10.解：设BC=xm,BE=am,则AE=2am,AB=3am.根 5.解：(1)证明：.a=1,b=一m,c=-2m2, 据题意，得2x十8a=160, .b2-4ac=(-m)2-4X1×(-2m2)=9m2. ∴a=20-子，AB=a=(60-是+）m, ,不论m为何值，总有m2≥0，即9m2≥0，.b2-4ac≥0， ∴.不论m为何值，该方程总有两个实数根. (0子)=120. (2),x=1是x2-m.x-2m2=0的根，∴.1-m-2m2=0,即 2m2+m=1,.4m2+2m+5=2(2m2+m)+5=2×1+ 解得x1=x2=40. 5=7. ∴.当BC=40m时，矩形ABCD的面积为1200m2。 6.证明：方程x2+2x-m十1=0没有实数根， 11.解：(1)设与墙垂直的一面为x米，则另一面长为(26-2x十 ,△=22-4(-m+1)<0,∴.4m<0,.m<0. 2)米. :方程x2十mx=1-2m可化为x2+mx+2m-1=0, 根据题意得x(28-2x)=80, .△=m2-8m+4.m2>0,-8m>0, 整理得x2-14x+40=0, .m2-8m+4>0,∴.△>0， 解得x1=4,x2=10, ,方程x2十mx=1一2m一定有两个不相等的实数根， 当x=4时，28-2x=20>12(舍去)， 7.解：此三角形为直角三角形.理由如下：方程整理，得(b十c)· 当x=10时，28-2x=8<12, x2-2ax一(b一c)=0.,方程有两个相等的实数根， .长为10米，宽为8米 .△=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0, (2)设小路的宽为a米，根据题意得(8一2a)(10一a)=54, .a2十b2=c2,.此三角形为直角三角形. a2-14a+13=0, 8.解：方程有两个相等的实数根，.△=0，即(a十2)2 解得a1=13>10(舍去)，a2=1. 答：小路的宽为1米. 4x1x(-4a+7）=0, 专题三一元二次方程根的判别式的应用 ∴.a2+5a-24=0, 1.解：(1)y2-2y+1=0, ∴.a1=-8,a2=3.,a是正数，.a=3 在等腰三角形ABC中， :4=(-2)2-4×1×1=0, ①当b=5为底时，则a=c=3,此时△ABC的周长为3十3+ .此方程有两个相等的实数根 5=11. (2)(2x-1)2+x(x+2)=0, ②当b=5为腰时，c=b=5.此时△ABC的周长为 方程可变形为5x2一2x+1=0. 5+5+3=13.综上可知△ABC的周长为11或13. 4=(-2)2-4×5×1=-16<0, 9.解：(1)方程x2+(2m+1)x十m2一4=0有两个不相等的 ∴.此方程没有实数根。 实数根， 2.解：△=(2c)2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b). ∴.△>0，即(2m+1)2-4×1×(m2一4)>0， :a,b,c分别是三角形的三条边长， ..a+b>c,a+b+c>0;c-a-6<0, 如十17>0，解得m>呈当0>号时，方程有两个 ∴.4(c+a+b)(c-a-b)<0,即△<0， 不相等的实数根， .方程(a十b)x2+2cz+(a十b)=0没有实数根. (2),·方程的两个根分别是四边形的一组邻边的长，且该四边