第二章 2 第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程（答案7） 通基>922>92>2>>2>2 7.把方程x2+8x一3=0化成(x+m)2=n的形 式，则m,n的值分别是() 知识点1直接开平方法 A.4,13 B.-4,19 1.若一元二次方程x2=m有解，则m的取 C.-4,13 D.4,19 值为() 8.已知方程x2一8.x十q=0可以配成(x一4)2= A.正数 B.非负数 7,那么x2一8x十q=2可以 C.一切实数 D.零 配成 2.方程(x十1)2=0的根是() 9.用配方法解方程x2一6x一1=0时，可将方程变 A.x1=x2=-1 B.x1=x2=1 化成(x一m)2=n,则m+n的值是 C.x1=-1,x2=1 D.无实根 10.运算能力》用配方法解方程： 3.已知方程x2-m=0的一个实数根为√3，则 (1)x2-6x-15=0; 一个实数根为 4.如图所示是一个简单的数值运算程序，则输人 x的值为 输入风一-的一x-3列 一输出-27 5.运算能力》解方程： (1)(x-1)2=36; (2)x2=3-2x. (2)2(x-1)2=16; (3)(2y-3)2-64=0. 易错医对底数的符号把握不清 11.若用配方法解方程x2一kx十9=0时，x2 x十9是一个完全平方式，则k= 通能力 >>>>>>>>>>>>>>3>5>>>2>> 知识点2用配方法求解二次项系数为1的一 元二次方程 12.如图所示，这是一个简单的数值运算程序，则 6.(2023·赤峰中考)用配方法解方程x2一4x 输入x的值为( ) 1=0时，配方后正确的是( 输入x→(x-1)2 →×2→输出8 A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 A.x1=2,x2=-2 B.x1=3,x2=-3 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 C.x1=-3,x2=-1D.x1=3,x2=-1 -九年级·上册·数学，BS 30 13.关于x的方程(x一2)2=1一m无实数根，那 通素第>》沙》 么m满足的条件是() A.m>2 B.m<2 17.阅读下面材料，解决后面的问题： C.m>1 D.m<1 我们知道，如果实数a,b满足a2十b2=0,那 14.规定：a⑧b=(a十b)b,如2☒3=(2+3)× 么a=b=0.利用这种思路，对于m2一2mn十 3=15.若2☒x=3,则x= 2n2一6n+9=0,我们可以求出m,n的值. 15.(2023·东营河口区期末)如图所示，是一个 解法：.m2-2m十2n2-6n十9=0， 长为30m,宽为20m的矩形花园，现要在花 ∴.(m2-2mn+n2)+(n2-6n+9)=0, 园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草. 即，.(m-n)2+(n-3)2=0, 如图所示，要使种植花草的面积为468m,那 ∴.m-n=0,n-3=0. 么小道进出口的宽度应为 ..m=n=3. m. 30 根据这样的解法，完成： (1)若x2+y2+8x-2y+17=0,求x+3y 20 的值 (2)若等腰△ABC的两边长a,b满足a2十 16.运算能力》解方程： b2=6a+8b-25,求该△ABC的周长. 2y+2y-6=0: (2)x2、2 x-1=0 (3)(x-1)(x-2)=12. 31 优计学案·课时通一(2)在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°， (2):(m-3)xm2-7+(m-2)x十5=0是一元一次方程， BC=6,∴，△BCD为等边三角形，∴.AD=DB=CD=6, ∴.①当m2-7=1时，m=士2√2，此时 ∴.AB=12,由勾股定理得AC=6√3， m一3≠0，m一2≠0，m-3十m-2≠0，符合题意 四边形DBCE是平行四边形，.DE=BC=6. ②当m一3=0且m一2≠0时，解得m=3. ∴.S菱形ADCE AC·ED_63×6-=185. 故当m为3或士2√2时，方程是一元一次方程. 2 2 11.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， 11.证明：a2-8a十20=(a-4)2+4≥4，.无论a取何值， ∴.AD=BC,∠DBC=∠ADB=45°. a2一8a十20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都 .'CG∥AP,.∠BGC=∠BFP. 不会等于0，.关于x的方程(a2-8a十20)x2+2ax+1= .'∠BFP=∠AFD,∴.∠AFD=∠BGC 0,无论a取何值，该方程都是一元二次方程. I∠AFD=∠BGC, 第2课时一元二次方程的解的估算 在△ADF和△CBG中，{ ∠ADB=∠CBD, 1.D2.5 AD=BC, 3.解：当x=0时，a2-1=0,解得a1=-1,a2=1. ∴.△ADF≌△CBG(AAS). 又：原方程为一元二次方程，∴.a≠1，.a=一1. (2)四边形AGCF是菱形.理由如下： 4.C5.x=46.A7.B8.x=-3 连接AC,设AC与BD交于点O,如图所示， 9.解：根据题意知a2=3a十4，∴a2-3a=4,则 D (a+4)(a-4)-3(a-1)=a2-16-3a+3=a2-3a-13 4-13=-9. 10.(1)31121.61.7 (2)1.7 2用配方法求解一元二次方程 ,四边形ABCD是正方形， 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 ,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 由(1)知△ADF≌△CBG, 1.B2.A3.-√34.4或-2 .DF=BG,..OB-BG=OD-FD 5.解：(1)两边开平方，得x-1=6或x-1=-6, ..OG=OF..OG=OF,OA=OC, 解得x1=7,x2=一5. .四边形AGCF为平行四边形. (2)两边同除以2，得(x一1)2=8. :AC⊥FG,,平行四边形AGCF是菱形. 两边开平方，得x一1=士2√2， 【通中考】 .x1=1+22,x2=1-22. 12.C13.2514.√2 (3)移项，得(2y一3)2=64. 15.证明：(1)∠ABO=∠DCO=90°，AB/CD,∠A=∠D. 两边开平方，得2y一3=±8， 在△AOB与△DOC中， 即2y一3=8或2y-3=-8, ∠A=∠D, ∠ABO=∠DCO, y1=5.5,y2=-2.5. OB=CO, 6.C7.D8.(x-4)2=99.13 ∴.△AOB≌△DOC(AAS), 10.解：(1)移项，得x2-6x=15, ∴.AO=D0. 配方，得x2-6x十9=15+9，(x-3)2=24, 点E,F分别是AO,DO的中点， 开方，得x-3=±26， ∴0E=0A,0F=0D∴0E=0F. ∴.x1=3+2V6,x2=3-2W6. (2)移项，得x2+2x=3, (2)OB=OC,OE=OF,.四边形BECF是平行四边形 配方，得x2+2x十1=3十1，(x十1)2=4， “∠A=30,∴0B=20A=0E.:0E=0F,0B=0C, 开方，得x+1=士2， ,BC=EF,.平行四边形BECF是矩形 x1=1,x2=-3. 第二章一元二次方程 11.±612.D13.C 14.1或-315.2 1认识一元二次方程 16.解：(1)整理，得(y十2)2=12， 第1课时一元二次方程 两边开平方，得y+2=士2√3 1.D2.B3.B4.65.A 6.1000(1+x)2=1440 y1=25-2,y2=-2W3-2. 7.C8.B （8移项，得x-号1 9.(11-2x)(7-2x)=21 10.解：(1)：(m-3)xm2-7+(m-2)x十5=0是一元二次方 配方，得-号+（侣》=1+（层）月 程，m2-7=2且m-3≠0，解得m=一3. 故当m为一3时，方程是一元二次方程. 即(》广-9 1 两边开平方，得x一3 (1)根据勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2,(6-t)2十(2t)2= 3 36,5t2-12t=0.解得t1=0,t2=2.4,t≠0，∴.t=2.4. ∴.t=2.4时，PQ=6cm. 10或x-3=√10 即x-3=3 3 (2)根据三角形的面积公式，得2PB·BQ=8,(6-)=8, x,-1+10 1-/10 3一x2= t2-6t+8=0,(t-3)2=1,解得t=2或4. 3 ∴.t=2或4时，△PBQ的面积等于8cm2 (3)原方程可化为x2-3x=10. 3用公式法求解一元二次方程 配方，得x-x+()=10+(名)广， 第1课时用公式法求解一元二次方程 (》广-9 1.B2.D3.A 5 4.3x2-8x+5=0x1=3x2=1 两边开平方，得x一昌-士 7 5.x1=-8,x2=2 6.解：(1)，a=5,b=2,c=-1, 六x=-6±y6=4ac=-2士26=-1±6】 x1=5,x2=-2. 2a 2×5 5 17.解：(1)x2+y2+8x-2y+17=0, -1+√6 -1-√6 .(x+4)2+(y-1)2=0. x1= 5 一，xz= 5 .x=-4,y=1. (2)原方程可化为2x2-6x十3=0. .x+3y=-1. 'a=2,b=-6,c=3, (2)a2+b2=6a+8b-25, .△=(-6)2-4×2×3=12>0， ∴.a2-6a+9+b2-8b+16=0, .∴.(a-3)2+(b-4)2=0. z=6±2_6±233±5 2×2 4 2 ∴.a=3,b=4. ,a,b是等腰△ABC的两边长， x1= 2 .当a是腰，b是底时，△ABC的周长为3十3十4=10： 7.A8.C9.a>9 当b是腰，a是底时，△ABC的周长为4十4十3=11. 10.解：(1)根据题意，得k≠0且△=(-6)2-4k·9>0,解得 综上所述：△ABC的周长为10或11. k<1且k≠0. 第2课时用配方法求解较复杂的 (2)根据题意，得k≠0且△=(-6)2一4k·9=0,解得 一元二次方程 k=1. 1.B2.C3.A4.115.14 1 (3)根据题意，得k≠0且△=（一6）2一4k·9<0,解得 k>1. 6.解：(1)原方程化为2x2-3x=-1, 11.D12.D13.A (e-》-6=12 1 7 14.215.直角三角形 (2)原方程化为3x2-23x十1=0， 16.解：(1)原方程可化为y2一9y+2=0, ∴.a=1,b=-9,c=2, (W3x-1)2=0,x1=x2=3 ∴.b2-4ac=(-9)2-4×1×2=73>0, 7.1士√58.2+25 -(-9)±√73 .y= 9.解：设十位上的数字为x,则个位上的数字为x十2. 2 根据题意得3x(x十2)=10x十(x十2)， y=9+ 9-√73 ,y2= 整理得3-5x-2=0,(）”-0 2 2 (2)原方程可化为3x2-6x十2=0， 1 a=3,b=-6,c=2, 解得x1=2,x:=一3（不合题意，舍去）， .b2-4ac=(-6)2-4X3×2=12>0, .x十2=4， 3-√3 ∴这个两位数为24. ..= -（-0生厘，，=3+5， 2×3 3 3 10.C11.A12.6 17.解：(1)由题意，得△=b2-4ac=(-3)2-4k≥0， 13.解：(1)a2+b2-10a-12b+61=0, .a2-10a+25+b2-12b+36=0, 部4≤号 .(a-5)2+(b-6)2=0. (a-5)2≥0，(b-6)2≥0， (2)由(1①得A≤？，且及是行合条件的最大整数，返=2 .a-5=0,b-6=0, 将k=2代入x2-3x十k=0,得x2-3x十2=0，解得x1=1, 解得a=5,b=6. x2=2. a,b,c是△ABC的三边长， ①当两个方程相同的根为1时，将x=1代入(m一1)x2+ ∴.6-5<c<6+5, 即1<c<11. z十m-3=0,解得m=2 (2)由题意，得P-Q=2x2+4y+13-(x2-y2+6x-1)= ②当两个方程相同的根为2时，将x=2代入(m一1)x2十 x2-6x+9+y2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0, x十m-3=0,解得m=1,此时m-1=0,即二次项系数为 ∴.P>Q. 0,与题意不符. 14.解：根据题意，可知BP=AB一AP=(6-t)cm,BQ= 综上所述，m=2 3 2t cm. 8