第一章 2 第2课时 矩形的判定-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

第2课时 矩形的判定（答案P3) 通基础 6.如图所示，延长平行四边形ABCD的边DC到 >>2>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 点E,使CE=DC,连接AE交BC于点F,连 知识点1有一个角是直角的平行四边形是 接AC,BE. 矩形 (1)求证：△ABF≌△ECF. 1.如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分， (2)若AD=AE,求证：四边形ABEC是矩形， 要使它成为矩形，需要添加的条件是( A.AB∥CD B.AD=BC C.∠AOB=459 D.∠ABC=90° B 第1题图 第2题图 2.如图所示是一个平行四边形的活动框架，对角 线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也 随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当 知识点3，有三个角是直角的四边形是矩形 ∠a= 时，活动框架是矩形 7.模型观念》在数学活动课上，老师要求同学们 3.如图所示，在□ABCD中，对角线AC⊥BC,过 判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某 点D作DE⊥BC于点E. 合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正 求证：四边形ACED是矩形， 确的是() A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量对角线是否互相垂直 D.测量其内角是否有三个直角 8.如图所示，口ABCD的四个内角的平分线分别 相交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH是 知识京2对角线相等的平行四边形是矩形 矩形 4.（2023·保定清苑区月考)如 图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点 B O,OA=2.若要使平行四边形ABCD为矩形， 则BD的长应该为() A.4 B.3 C.2 D.1 5.应用意识》工人师傅在做门窗或矩形零件时， 不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还 要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图 形是矩形.这依据的道理是 一九年级·上册·数学，5 10 通能力 通素养》99 9.如图所示，在平行四边形ABCD中，M,N是 13.抽象能力》如图所示，在四边形ABCD中，点 BD上两点，BM=DN,连接AM,MC,CN, H是BC的中点，作射线AH,在线段AH及 NA,添加一个条件，使四边形AMCN是矩形， 其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF. 这个条件是( (1)当BE∥CF时，求证：△BEH≌△CFH. (2)连接BF,CE,在(1)的条件下，当BH与 EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？ 请说明理由. A.OM-2AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 10.如图所示，直线EF∥MN,PQ交EF,MN于 A,C两点，AB,CB,CD,AD分别是∠EAC, ∠MCA,∠ACN,∠CAF的角平分线，则四 边形ABCD是( ) A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 E 第10题图 第11题图 11.如图所示，连接四边形ABCD各边中点，得 到四边形EFGH,还要添加 条件，才 能保证四边形EFGH是矩形 12.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是角 平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分 ∠FAC,DE∥BA交AE于点E.求证：四边 形ADCE是矩形. 11 优计学案·课时通一.△ABC≌△AOG, BE∥CF,.∠BEH=∠CFH. ∴.∠AOG=∠ABC=90°， 在△BEH和△CFH中， ∴.AC⊥EF,.平行四边形AECF是菱形 |∠BEH=∠CFH, 12.解：(1)DE∥BC,EF∥DC,.四边形DCFE是平行四边 ∠BHE=∠CHF, 形，∴.EF=CD=3,CF=DE BH=CH, CD⊥BE,∴.EF⊥BE, ∴.△BEH≌△CFH(AAS) ∴.BC+DE=BC+CF=BF=√BE2+EF=5. (2)当BH=EH时，四边形BFCE是矩形.理由如下： (2)如图所示，连接AE,CE.,·四边形ABCD是平行四 △BEH≌△CFH,.BE=CF,EH=FH.BE∥CF, 边形， .四边形BFCE是平行四边形 ∴.AB=DC,AB∥DC. 又BH=EH,.BC=EF,.四边形BFCE是矩形 ,四边形ABEF是矩形， 第3课时矩形的性质与判定的综合运用 ∴.AB=FE,AB∥FE,BF=AE, .DC∥FE,DC=FE, 1.D2.A3.C4.25°5.2 1 .四边形DCEF是平行四边形， 6.解：(1)证明：△AOB为等边三角形，∴OA=OB,四边形 .CE∥DF,CE=DF. ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD,.OA=OB= .AC=BF=DF,..AC=AE=CE, OC=OD,.BD=AC,.平行四边形ABCD为矩形 .△ACE是等边三角形， (2)在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4, .∠ACE=60.CE∥DF, .AC=2AB=8,.BC=√82-4=4V3.矩形ABCD的 .∠DGC=∠ACE=60° 面积为4√3×4=16√3. 7.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC= AC,OB=OD=号BD.'AE⊥BD于点E,DFLAC于 1 点F,.∠AEO=∠DFO=90°.在△AEO和△DFO中， ∠AEO=∠DFO,∠AOE=∠DOF,AE=DF,.△AEO≌ ADFO(AAS),..OA=OD,..AC=BD, 第2课时矩形的判定 ,平行四边形ABCD是矩形. 1.D2.90° (2)由(1)，得四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠BAD= 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,.AD∥ 90°，OA=OB,.∠OAB=∠OBA.AE⊥BD于点E, CE.AC⊥BC,DE⊥BC,.AC∥DE,.四边形ACED是 ∴.∠AEO=90°..∠BAE:∠EAD=2:3,∴.∠BAE=36°， 平行四边形.：∠E=90°，∴.平行四边形ACED是矩形. ∴.∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，∴.∠EA=∠OAB 4.A5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∠BAE=54°-36°=18°， 6.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB= ∴.∠AOE=90°-∠EAO=90°-18°=72° CD,∴.∠ABC=∠ECB.CE=DC, 8.A9.8 .CE=AB.在△ABF和△ECF中，∠ABC=∠ECB, 10.解：(1)证明：，FD∥CA,BC∥DE,∴.四边形ECFD为平行 ∠AFB=∠EFC,AB=CE, 四边形.又，∠C=90°， ∴.△ABF≌△ECF(AAS). ∴.平行四边形ECFD为矩形. (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.,AB∥CE, (2)过点C作CH⊥EF于点H,如图所示 AB=CE,.四边形ABEC是平行四边形. 在Rt△ECF中，CF=2,CE=4, ·AD=AE=BC,∴.平行四边形ABEC是矩形（对角线相等 ∴.EF=√CE2+CF2=2√5. 的平行四边形是矩形). 7.D :SARCP-2 XCF·CE= 8.证明：四边形ABCD是平行四边形， 1 ∴.∠BAD+∠ABC=180°， XEF·CH, ∠BAD+∠ADC=180°. 又AE平分∠BAD,BF平分∠ABC, .CH=CF CE_45 EF 5, ∴.∠BAF+∠ABF=90°， ∴.∠AFB=90°，∴.∠EFG=90°.同理可得∠AED=90°， ∠BGC=90°，∴，四边形EFGH是矩形. 点C到EP的E海为g5 11.解：(1)四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC=8cm,AD∥ 9.A10.C11.AC⊥BD BC,∠B=90°，.BQ∥AP.当BQ=AP时，四边形ABQP 12.证明：，AB=AC,AD是角平分线， 是平行四边形.又∠B=90°，.平行四边形ABQP是 ∴.∠B=∠ACB,AD⊥BC.,AE平分∠FAC, ∴.∠FAE=∠EAC.∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC, 矩形. .∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴AE∥BC.又DE∥ 此时，t=8-t,解得t=4. 答：当t=4时，四边形ABQP是矩形. AB,.四边形AEDB是平行四边形，∴.AE∥BD,AE=BD (2).AP=CQ=8-t,APCQ,.四边形AQCP是平行四 .AD⊥BC,AB=AC,,BD=DC,.AE∥DC,AE=DC 边形.当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形.设t秒后， .四边形ADCE是平行四边形.又∠ADC=90°，∴.平行四 边形ADCE是矩形. AQ=CQ,即√/4+t2=8一t时，四边形AQCP为菱形. 13.解：(1)证明：点H是BC的中点， 解得t=3. ∴.BH=CH 答：当t=3时，四边形AQCP是菱形，