21.4 第2课时 二次函数在桥梁建筑等问题中的应用-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(沪科版2012)

6.解：(1)y1=x2-(m+2)x+2m+3=x2-mz x<30,. 3a+60 2x+2m+3-m(-x+2)+x2-2x+3. 2×(-2)≤16..3a+60≤64. 当x=2时，y1=3,则抛物线过定点(2,3)，则不能 4 过A(2,4). 3a≤4.a≤毫又a>00a≤号 把(-1,3)代入y1=x2-(m+2)x+2m+3,得到 1 3=1+3m+5, 9.解：(1)y=-2x+55 解得m=一1，.抛物线的表达式为y=x2-x+1. (2)w=(y-18)·m, (2)①函数y2=nx十k-2n可变形为y=n(x-2)十 1(40-18)(5x+50)(1≤x≤30)， k,该函数的图象恒过点(2，k) 函数y1y2的图象始终经过同一定点M, (-3x+5-1图)6r+501x≤50. 由(1)知，y1过定点(2,3)， 110x+1100(1x30), 对于函数y2=nx十k一2n,当x=2时，y2=k, 整理，得w= .当=3时，两个函数过定点M(2,3). 号x2+160z+1850(31<x≤50 ②k=3,m十n=一1， 当1≤x≤30时，w随x的增大而增大， 设y=y1-y2=x2-(m+2)x十2m+3-(nx+ .x=30时，w取得最大值，此时w=30×110十 k-2n)=x2-(m+n+2)x+2(m+n)=x2- x-2. 1100=4400(元.当31≤x≤50时，w=-2x2+ 令x2-x-2=0,则x=-1或2 1>0,故函数y=x2一x-2的图象开口向上，则 160x+1850=-5 (x-32)2+4410. 当-1<x<2时，y<0,即y1<y2 5 专题二二次函数图象与系数的关系 一2<0，x=32时，w取得最大值，此时0 (含课程标准新增考查内容) 4410元.综上所述，x为32时，当天的销售利润w 1.B2.D3.C4.D5.B6.B7.A8.D 最大，最大利润为4410元. 9.三10.-6<m<611.②③④12.①③⑤ 13.②③④14.C15.B 3)由题，可得w=(y+a-18)·m=-2号x2力 21.4二次函数的应用 (160+5a)x+1850+50a. 第1课时二次函数在面积、利润最值 ,第31天到第35天的日销售利润随x的增大 1.A2.6a 问题中的应用 而增大，且-号<0，对称轴2=一名 2 3.解：根据题意，沿AB方向以2cm/s的速度向点B 160+5a ≥35，得a≥3，故a的最小值为3. 运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s 2x(-) 的速度向点C运动，..AP=2tcm,AQ=tcm, S△APQ=tcm'. 第2课时二次函数在桥梁建筑等 ,0<t≤4，.三角形APQ的最大面积是16cm2. 问题中的应用 4.D 1.4√22.3.253.3 5.解：(1)y=-40x+800 4.解：(1)根据题意将(0,4)，(12,4)代入表达式，得 (2)设每天的销售利润为w元. 1c=4, ①若2<x≤5，则@=600(x-2)=600x一1200. 6×12+126+c=4,解得么2， c=4, 当x=5时，wmx=600×5-1200=1800(元)； ②若5<x≤10，则w=（-40x十800)(x-2)= x-6)2+10, -40(x-11)2+3240, ∴y=- 6x2+2x+4=-1 当x=10时，wmx=-40×1十3240=3200（元）. .顶点坐标为(6,10)， 综上所述，当销售单价为10元/千克时，每天的销售 .拱顶D到地面OA的距离为10米. 利润最大，最大是3200元. 6.C7.450 (2②)当x=6-4=2时，y=-日z-62+10= 8.解：(1)y=60一2x16x30 日×16+10-号>6，如果隧道内设双向行车 1 (2)y=60-2x,.S=xy=x(60-2x)= -2x2+60x=-2(x-15)2+450.,a=-2<0, 道，那么这辆货车能安全通过， .开口向下.对称轴为直线x=15,.当16≤x< 20√3 30时，S随x增大而减小. 5.36.C7.28.3 .当x=16时，S有最大值，最大值为448m2. 9.解：(1)由题意，得点A,B,C的坐标分别是(-10,0)， (3),由题意，得S略=2ay十ax-2a2, (10,0),(0,6). .S种=S一S路 设抛物线的表达式为y=ax2+c =-2x2+60x-[2a(60-2x)+ax-2a2] 将点B,C的坐标代人y=ax2+c得 =-2x2+60x-120a+4ax-a.x+2a2 3 =-2x2+(3a+60)x+2a2-120a. 100a+c=0,解得a=一50' ,种菜部分的面积随x的增大而减小，且16≤ c=6, c=6, 3 抛物线的表达式是y=一02十6。 品设抛物线L/表达式为y=一寻(x一m)+2, (2)据题意可设点F的坐标为(5，yF),.yr= 1 把(8,1)代入y=一 一50×52+6=4.5，·支柱EF的长度是10 3 （x-m)+2,得-子(8 m)2+2=1, 4.5=5.5(米). 解得m=6或m=10(舍去)，.抛物线L'的对称轴 10.解：(1)该抛物线型构件的底部宽度OM=12米， 为直线x=6. 顶点P到底部OM的距离为9米， 12.解：(1)由题意，得 .顶点P的坐标为(6,9)，点O的坐标为(0,0)，点 M的坐标为(12,0)， 点A(-4,-4+）点00,0，点B8,-1D. 设抛物线的表达式为y=a(x一6)2十9，将(0,0) 设函数表达式为y=ax2, 代入， 代人点A坐标，解得a=二) 得0=a(0-6)2+9,解得a=-1 4 六该抛物线的函数表达式为y=一（红-6）+9， ∴聪物线的表达式为y=一日之 即y=子2+8x. (2把红=3代人y=一行，得y=-1, 即点B在抛物线上，∴.此篮球能投中. (2)方案二的内部支架节省材料.理由如下： (3)由题意，得y=-4+3.19=-0.81, 方案一：，OB=BN=NC=CM,OM=12米， .OB=3米，OC=9米， 将y=-081代人y=-日， 当x=3时，y=-8-6+g- 4,即AB= 解得x1=-2.7,x2=2.7(舍)， 4-2.7=1.3(米)， 米， ∴.乙在距甲身前1.3米以内盖帽才能成功. 第4课时二次函数在给定图表问题中的应用 x=9时，y=一是(0-6+9= 4,即CD= 10510s解标：步长一阳=0.5（米）.设点A为 米 原，点，AF所在直线为x轴，则B(140,0),C(180,0),D (360,0). .方案一内部支架材料长度为AB+NP+CD= 设AB段所在抛物线的表达式为y=a(x一70) +9+2745 27 +b, 4=2(米). 将(140,0)代入得a(140-70)2+b=0, 方案二：OB'=B'C'=C'M,OM=12米， .b=-702a, ∴.OB'=4米，OC'=8米，EF=B'C'=4米， AB段所在抛物线的表达式为 y=a(x-70)2-702a. x=4时，y=4(4-6)2十9=8，即A ,三条抛物线的形状相同，C,D的中点为(270,0)， 设CD段所在抛物线的表达式为 8米， y=a(x-270)2+c. 当x=8时，y=一 4(8-6)2+9=8,即C'D'= 将(180,0)代入，得a(180-270)2+c=0,∴.c= -902a, 8米， .CD段所在抛物线的表达式为y=a(x-270) .方案二内部支架材料长度为A'B'+EF十C'D' -902a, 8+4+8=20(米). 解方程a(x-270)2-90a=a(x-70)2-702a, :45 >20,方案二的内部支架节省材料. x=162, 即点M的横坐标为162，由对称性知点N的横坐标 第3课时二次函数在抛物线形运动 为270×2-162=378， 问题中的应用 .MN=378-162=216(步)，216×0.5=108（米）. 1.A2.B3.D4.A5.A6.67.3 2.解：(1)由表格中数据，可知y与x之间为一次函数 8.2209.①10.4 关系， 1.1y=子x-402+5 设y=x+b(k≠0)，将(10,40)，(12,30)代入，得 (2)x=6解析：.点A在抛物线L上，当y=1 9十08：解得格30 12k+b=30, 1 时，-4(x-4)+5=1,解得x1=0,x2=8, y与x的函数表达式为y=-5x十90. (2)设该产品的销售利润为@， ∴.A(8,1) 由题意，得=y(x-8)=（-5x十90)(x-8)= 开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高 -5x2+130x-720=-5(x-13)2+125. 度的二，抛物线L'项点纵坐标为2 一5<0，.当x=13时，w最大，最大值为 125(万元). 8第2课时 二次函数在桥梁建筑等问题中的应用（答案P7) 通基仙 >23>2>>>>>>>>%>9>2>> 立平面直角坐标系，抛物线可用y=二x2十 知识点1二次函数在桥梁问题中的应用 bx十c表示. 1.几何直观》如图所示是抛物线形拱桥，当拱顶 (1)求抛物线的函数表达式和拱顶D到地面 离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m后， OA的距离， 水面宽度增加为 m. (2)一辆货运汽车载集装箱后高为6m,宽为 4m,如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车 能否安全通过？ 2.(2023·黄山期中)某桥底呈抛物线，以O为原 点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系 (如图所示)，桥面CB∥OA,其抛物线表达式 1 为y=一320(x-80)2+20,抛物线上点A离 桥面距离AB=22米，若存在一点E使得 知识点3二次函数在其他建筑中的应用 E三8CB,则点E到抛物线的距离ED 5.模型观念》某菜农搭建 了一个横截面为抛物线 的大棚，尺寸如图所示， 若菜农身高为1.8米，他在不弯腰的情况下， 在棚内的横向活动范围是 米 知识京2二次函数在涵洞隧道问题中的应用 通能力》>2>>>>>>> 3.(教材P38练习T1变式) 6.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的 如图所示，一个横截面为 6米 抛物线形的隧道宽12米、 抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要 12米 高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须在中 在间距0.4m处加设一根不锈钢的支柱，防护 心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶， 栏的最高点距底部0.5m(如图所示)，则这条 防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少 并保持车辆顶部与隧道有不少于3米的空隙， 为( 则通过隧道车辆的高度限制应为 米 4.如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形构 2m 94 成，长方形的长OA为12m,宽OB为4m,建 A.50mB.100mC.160m D.200m 27 优计学案·课时通 7.创新意识》如图所示，我校为科技节获奖的同 通素养》2 学举办颁奖典礼，颁奖现场入口为一个抛物线 10.某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如 形拱门.小丽要在拱门上顺次粘贴“科”“技” 图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM= “之”“星”（分别记作点A,B,C,D)四个大字， 12米，顶点P到底部OM的距离为9米.将 要求BC∥AD,最高点的五角星（点E)到BC 该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x 的距离为0.25米，BC=2米，AD=6米，则点 轴上.其内部支架有两个符合要求的设计 C到AD的距离为 米 方案： 方案一是“川”字形内部支架（由线段AB, PN,DC构成)，点B,N,C在OM上，且 OB=BN=NC=CM,点A,D在抛物线上， 8.如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线 AB,PN,DC均垂直于OM; 形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大 方案二是“H”形内部支架（由线段A'B, 孔水面宽度AB为20m,顶点M距水面6m D'C',EF构成)，点B',C'在OM上，且 (即MO=6m),小孔顶点N距水面4m(即 OB'=B'C'=C'M,点A',D'在抛物线上， NC=4m).当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助 A'B',D'C均垂直于OM,E,F分别是A'B', 图中的平面直角坐标系，可以得出此时大孔的水 D'C的中点。 面宽度EF是 米 (1)求该抛物线的函数表达式， (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这 种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材 料？请说明理由 9.模型观念》一座拱桥的轮廓是抛物线形（如 y/m y/m 图①所示)，拱高6m,跨度20m,相邻两支柱 间的距离均为5m. (1)将抛物线放在所给的平面直角坐标系中 B N C Mx/m 0 Mx/m 方案 方案 (如图②所示)，求抛物线的表达式. (2)求支柱EF的长度， 20 ① ② 一九年级上册数学 28