22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

得x=1,方程有实数根； .p2-2=2p十1，解得1=3，p2=-1. 当m≠0时，△=[-(m+2)]2-4m·2=(m-2)2≥0， 当p=3时，△=p2一4=9一4=5>0； 方程有两个实数根. 当p=-1时，△=p2-4=-3<0. 所以不论m为何值，方程总有实数根. p=3. (2)设方程的另一个根为t, 第二十二章 二次函数 2 根据题意，得2+t二”，2= 22.1二次函数的图象和性质 则2十t=1十2t,解得t=1,所以m=1, 22.1.1二次函数 即m的值为1，方程的另一个根为1. 1.B2.-33.B4.y=18(1-x)25.B 【变式训练3】解：x2一(2k十3)x十k2+3k+2=0, 6.B7.C8.y=xR2+30xR x1=k十1，x2=k十2. 9.解：(1)由y=(m-4)xm2-m+2x2-3x-1是关于 △ABC是等腰三角形，①k十1=k十2，不成立； 工的一次函数，得m一n2,解得m=2. ②k+1=4,∴.k=3,.k十2=5，周长为4+4十5=13； m-4+2=0, ③+2=4，.k=2,.k+1=3,周长为3+4+4=11. 所以当m=2时，它是y关于x的一次函数 .△ABC的周长为11或13. (2)由y=(m-4)xm-m+2x2-3x-1是关于x的 【通模拟】 二次函数， 1.B2.C3.D4.x2-38x+37=05.30 得①m一4=0，解得m=4; 6.解：2x2+5x-12=0, ②m2-m=1,解得m=1士5 移项，得2z2+5x=12,x2+z=6 2 ③m-n二2解得m=-1: 瓦方得24管莞可e》-瑞， (m-4+2≠0， ④m2-m=0,解得m=0或m=1. 开方，得x+-士是解得x-2:=-4 综上所述当烟4成或-1或0或1时，它是 7.解：(1)设安全区域的宽度为x米，由题意得(28十 y关于x的二次函数. 2x)(16+2x)=640,整理，得x2+22x-48=0, 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 解得x1=2,x2=-24(不符合题意，舍去). 1.C2.B3.减小4.m>1 答：安全区域的宽度为2米. 5.解：列表： (2)设每次降价的百分率为a, x …-3-2一10123… 由题意得50(1一a)2=32, 1 4 解得a1=1.8(舍去)，a2=0.2=20%. 3 答：每次降价的百分率为20%. 4 0 3 【通中考】 8.D9.C10.D11.312.613.2 描点画图，得函数y= 1 3x,y=- 3x2的图象如图 14.解：(1)x2-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0, 所示. x-1=0,或x-3=0,x1=1,x2=3. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边的长为 √32-1=2√2， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边的长 ---4 ---上-- 为√12+32=√10， -1--- -1---- ∴.第三边的长为2√2或√10. 15.解：(1)p1 643-20人2.3.4.55x (2)x1十x2=p,x1x2=1, ----3 -1- +-= ----上 -- ,关于x的一元二次方程x2一px十1=0（力为常 数)有两个不等的实数根x1和x2, 两条抛物线的对称轴都是y轴，顶点都是(0,0). 1=p x-px1十1=0，.x1十 抛物线y=3的开日向上，当x>0时，y随x的 (3)由根与系数的关系，得x1十x2=p,x1x2=1. 增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小. :x+x=2p+1, .(x1十x2)2-2x1x2=2p+1, 抛物线y=一 3x的开口向下，当x<0时，y随x 6 的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. x2+1 6.解：解法1：由二次函数y=ax2的性质知， (1)抛物线y=ax2的开口大小由|a决定. 2 |a越大，抛物线的开口越窄； 5-4-3-2-012345元 |a越小，抛物线的开口越宽. (2)抛物线y=ax2的开口方向由a决定. 当a>0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴 -4 =-32-1 5 上方； 当a<0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴 1y=名女+1与y=子-1图象的相同点：形 下方. 状都是抛物线，对称轴都是y轴， 根据以上结论知：a>b>0,0>c>d. 所以a>b>c>d. 不同点题物线y-弓+1开口向上，顶点是0,1 解法2：如图所示，因为直线x=1与四条抛物线的 交点从上到下依次为(1，a),(1,b),(1,c),(1,d), 范物线y=号-1开口向下，顶点是0，-》 所以，a>b>c>d. (2)性质的相同点：开口大小相同. 不同点：抛物线y=3x十1，当x<0时，y随x的 增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.抛物 线y=-言-1，当x<0时y随x的塔大而增 大；当x>0时，y随x的增大而减小.（答案不唯一） 3.C 7.A8.C9.C10.1611.72 4.y=一2x2+2解析：把抛物线y=ax2十c向下 12.解：(1)根据题意得m+2≠0且m2十m一4=2， 平移3个单位长度后得到抛物线y=一2x2一1， 解得m1=2,m2=一3， .a=-2,c-3=-1,.c=2, 所以满足条件的m的值为2或一3. .平移前的抛物线的函数解析式为y=一2x2十2. (2)当m+2>0时，抛物线有最低点，所以m=2, 5.-316.A7.A8.C9.A 抛物线的函数解析式为y=4x2, 10.a<-211.-2 所以抛物线的最低点坐标为(0,0)，当x>0时，y 12.解：当x=0时，y=ax2+3=3, 随x的增大而增大. 则点A的坐标为(0,3). (3)当m=一3时，抛物线开口向下，函数有最 BC∥x轴，∴.点B,C的纵坐标都为3. 大值； 抛物线的函数解析式为y=一x2, 当y=3时，日=3解得z1=3=-3, 所以二次函数的最大值是0，这时，当x>0时，y ∴.点B的坐标为（一3,3），点C的坐标为(3,3)， 随x的增大而减小 .BC=3-(-3)=6. 13.解：(1)，正方形的周长为Ccm, 13.解：(1)△ABC为等边三角形，BC=10, C AO⊥CB, ”正方形的边长为cm,∴正方形的面积S一， 0B=0C=2BC=2X10=5,AC=BC=10, (2)作图如图所示. 10 S/em ∴.A0=√JAC2-OC=√102-5=5√5， 8 ∴.A(0,5√3)，B(-5,0),C(5,0).将点A,B的坐 标代入y=ax2+k, 65432. 得/k=53, 解得 5 25a+k=0, =5√5， -101234567891012Cm (3)由图象可得C=4cm. “抛物线的函数解析式为y=一万x十5 (4)由图象可得C≥8cm. (2).C(5,0),A(0,5√3)， 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 ∴.直线AC的函数解析式是y=一√3x+5√3， 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 ∴.D(t,-3t+53). 1.C 2.解：如图所示. P(,-+5小22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（答案P6) 通基础 LAKKKKK111114111 ☆易错点比较抛物线y=ax2的开口大小时， 弄混规律而出错 知识点二次函数y=ax2的图象和性质 6.一题多解如图所示，四个二次函数的图象 1.教材P32练习变式对于函数y=一5x2,下 中，分别对应的是①y=ax2;②y=bx2; 列结论正确的是( ③y=cx2;④y=dx2,求a,b,c,d的大小 A.y随x的增大而增大 关系。 B.图象开口向上 C.图象关于y轴对称 D.无论x取何值，y的值总是负的 2.(黄冈浠水月考)在同一平面直角坐标系中作函 数y=3xy=-3,y=女的图象，这些 图象的共同特点是() A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是 原点 C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是 原点 D.都是关于y轴对称，抛物线开口向下 3.已知二次函数y=x2,当x<0时，y随x的 通能力 增大而 ·(填“增大”或“减小”) 4.如果二次函数y=(m一1)x2+x(m是常数) 7.若二次函数y=ax2的图象经过点P(一2,4)，则 的图象开口向上，那么m的取值范 该图象必经过点( ) 围是 A.(2,4) B.（-2,-4) 5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y= C.(-4,2) D.(4,-2) 1 8.几何直观二次函数y=ax2与一次函数y= 320=一3x2的图象，并分别指出它们的 1 ax十a在同一平面直角坐标系中的大致图象 对称轴、顶点坐标、开口方向和y随x的增大 为( 而变化的情况 乡木内 9.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3) 都在函数y=x2的图象上，则( ) A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 30 优学率·课时通△ 10.已知二次函数y=x2,在一1≤x≤4内，函数 通素养 1/1I1I11/11/11I11/1/A//I/1/I/I/d 的最大值与最小值的差为 11.如图示，正方形的边长为12，以正方形的 13.应用意识已知正方形的周长为Ccm,面积 中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 为Scm2. (1)求S与C之间的二次函数关系式 y左2与y三一。x2的图象，则阴影部分 (2)画出它的图象 的面积是 (3)根据图象，求出当S=1cm2时，正方形 的周长， (4)根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2. 12.推理能力已知函数y=(m十2)xm+m-4是 关于x的二次函数， (1)求满足条件的m的值. (2)当为何值时，抛物线有最低点？求出 这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x 的增大而增大？ (3)当m为何值时，函数有最大值？最大值 是多少？这时x为何值时，y随x的增大而 减小？ △九年级·上册·数学.RJi 31