第二十一章 一元二次方程 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

本章综合提升（答案P5) ///// ·本章知识归纳· /111/1I 定义：等号两边都是 只含有 末知数，未知数的最高次数是2 一般形式 基本概念 解：使方程左右两边 的未知数的值 配方法：左边配成 的形式，右边为常数 公式法：x= 解法 因式分解法：使方程的右边为0，对其左边进行因式分解 一元二 次方程 △>0·一方程有 的实数根 △=0一方程有 的实数根 判别式 △<0+→方程 实数根 x1+x2 根与系数 的关系 x1x2= 列一元二次方程 步骤：1.找，2.设，3.列，4.解，5.检，6答 解决实际问题 ·思想方法归纳 LEKEE1 当y=1时，x2-1=1,x2=2,.x=士√2； 当y=4时，x2-1=4,x2=5,.x=±√5 1.转化思想 在数学研究中，常常将复杂问题转化为简单 .原方程的解为x1=一√2，x2=√2，x3=一√5， 问题，将生疏问题转化为熟悉问题，把未知问题 x4=√5. 转化为已知问题，这种思想在数学中称为转化 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的， 思想 体现了转化的思想. Q链接本章 运用上述方法解答下列方程： 在本章中，各种解一元二次方程的方法 (1)x4-3x2-4=0. 都是通过“降次”转化为一元一次方程求解； (2)(x2+2x)2-(x2+2x)-6=0. 高于二次的方程，也可以通过转化思想进行 降次求解. 【例1】阅读理解解方程(x2-1)2- 5(x2一1)十4=0时，我们可以将x2一1视为一 个整体，设x2-1=y,则y2=(x2一1)2，原方程 化为y2-5y+4=0,解此方程，得y1=1,y2=4. 24 优+学案·课时通△ 【变式训练1】 a2+1的值. (重庆垫江期末)阅读理解：已知m2一2mn十 2024a-2025 2n2-8n+16=0,求m,n的值 解：.m2-2mn+2n2-8n+16=0, .(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0. ∴.(m-n)2+(n-4)2=0. ∴.(m-n)2=0,(n-4)2=0. 【变式训练2】 .n=4,m=4. 关于x的一元二次方程x2-3x-mx十m一 方法应用：(1)已知a2+b2-10a十4b十29= 1=0. 0,求a,b的值. (1)试判断该方程根的情况并说明理由. (2)已知x+4y=4. (2)若x1,x2是该方程的两个实数根，且 ①用含y的式子表示x: 3x1一x1x2十3x2=12,求该方程的解. ②若xy一之2一6z=10,求y+的值. 3.分类讨论思想 分类讨论就是根据所研究对象的性质差异， 2.整体思想 分各种不同的情况予以分析解决，且做到“不重 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出 复、不遗漏” 对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整 Q链接本章 体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子 (1)在已知方程解的情况下求字母系数 或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进 的值或取值范围，往往需要分类讨论 行有目的、有意识地整体处理， (2)一元二次方程的根作为三角形的边 长时，往往需要分类讨论求解. Q链接本章 (1)对于一些与一元二次方程有关的求 代数式的值的题目，运用整体代入法，仔细 【例3】推理能力已知关于x的方 观察所求的代数式与已知条件的关系，通过 程m.x2-(m十2)x十2=0. 变形，整体代入计算，可起到化繁为简的 (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根. 目的. (2)若方程的一个根是2，求m的值及方程 (2)根与系数关系的有关问题大多采用 的另一个根. 整体代入法， 【例2】模型观念已知a是一元二次方程 x2一2025x+1=0的一个根，试求a2 △九年级·上册·数学.RJ 25 【变式训练3】 4.(西安碑林区模拟)如图所示，在长为28米、宽 已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x 为10米的矩形空地上修建如图所示的道路 的一元二次方程x2-(2k+3)x十k2十3k十2=0 (图中的阴影部分)，余下部分铺设草坪，要使 的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC 得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的 是等腰三角形，求△ABC的周长. 方程，并化为一般式： 5.几何直观（合肥蜀山区期末）为了节省材料， 某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够 长)为一边，用总长为120米的围网在水库中 围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这 三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中 ←通模拟 a的值为 1.(济南历下区期末)下列是关于x的一元二次 a米 区域① 方程的是( ) 区域② 区域③ A.x2-1=2021 B.x(x+6)=0 x 岸堤 C.a2x-5=0 D.4x-x3=2 6.(安庆太湖期末)用配方法解方程：2x2十5x一 2.(威海乳山期末）若a,b,c满足 12=0. |a+b+c=0, 则关于x的方程ax2十bx十 4a-2b+c=0, c=0(a≠0)的两个根的平方和是() A.2 B.3 C.5 D.8 3.跨学科·物理根据物理学规律，如果把一个 小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么 小球经过xs离地面的高度（单位：m)为 10x一4.9x2.根据该规律，下列对方程10x一 4.9x2=5的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解 释正确的是(） A.小球经过约1.02s离地面的高度为5m 7.(扬州高邮模拟)某初中学校要新建一块篮球 B.小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s 场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽 C.小球经过约1.16s离地面的高度为5m,并 分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建 将继续上升 宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域 D.小球两次到达离地面的高度为5m的位置， 的总面积为640m2. 其时间间隔约为0.28s (1)求安全区域的宽度. 26 优+学案·课时通△ (2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单12.（烟台中考）若一元二次方程2x2一4x一1=0 位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最 的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值 终以32万元达成一致.若两次降价的百分率 为 相同，求每次降价的百分率。 13.(青岛中考)如图所示，某小区要在长为16m、 宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花 坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为 空地面积的一半，则小路宽为 m. 16m 12m 花坛 14.（青海中考)(1)解一元二次方程：x2一4x+ 3=0. (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程 ←通中考m恤 的根，求第三边的长， 8.(东营中考)用配方法解一元二次方程x2 2x-2023=0,将它转化为(x+a)2=b的形 式，则a的值为() A.-2024B.2024C.-1D.1 9.（潍坊中考)已知关于x的一元二次方程 x2一m,x-n2+mn十1=0，其中m,n满足m 2=3,关于该方程根的情况，下列判断正确的 是() A.无实数根 15.（内江中考)已知关于x的一元二次方程x2 B.有两个相等的实数根 px十1=0(p为常数)有两个不等的实数根 C.有两个不等的实数根 x1和x2: D.无法确定 (1)填空：x1十x2= 10.(宿迁中考)规定：对于任意实数a,b,c,有 【a,b】★c=ac十b,其中等式右面是通常的乘 法和加法运算，如【2,3】★1=2×1+3=5.若 (3)已知x十x=2饣十1，求p的值 关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个 不等的实数根，则m的取值范围为() 1 A.m<4 1 B.m>4 Cm>4且m≠0 D.m<行且m0 11.(深圳中考)一元二次方程x2一4x+a=0的 一个解为x=1,则a=· △九年级·上册·数学.RJ 275.56.C7.D 本章综合提升 8.解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为 【本章知识归纳】 (34-x)米、宽为(20一x)米的矩形， 整式一个a.x2+bx十c=0(a≠0)相等 根据题意，得(34一x)(20-x)=480, 整理，得x2-54x+200=0, 完全平方式 -b±V6-4ac(（62-4ac≥0) 解得x1=4,x2=50(不符合题意，舍去). 2a 答：车道的宽度为4米. 两个不等两个相等没有一b￡ 9.解：(1)当t=3时，CP=10-2×3=4(cm), aa CQ-8-1×3=5(cm), 【思想方法归纳】 【例1】 1 △PQC的面积为2CP,CQ=2×4×5-10(cm). 解：(1)x4-3x2-4=0,(x2)2-3x2-4=0, 1 令x2=y,则y2-3y2-4=0. (2)当0<1≤5时，2×(10-21)(8-t)=2, (y-4)(y+1)=0,∴.y-4=0,或y+1=0, 解得6= 13+√17 解得y1=4,y2=-1(不合题意，舍去)， 2 (不合题意，舍去)，t2= 则x2=4,∴x1=2,x2=一2. 13-√17 (2)设y=x2+2x,则y2-y-6=0, 2 .(y-3)(y+2)=0,y1=3,y2=-2. 当y=3时，x2+2x-3=0,x1=-3,x2=1； 当5<4≤8时，号(21-10)(8-t)=2, 当y=一2时，x2十2x十2=0，无解. 解得t1=6,t2=7. 故方程的解为x1=一3，x2=1. 13-√☑或6或7时，△PQC的 【变式训练1】解：(1)，a2+b2-10a+4b十29=0， 综上所述：当t为°2 .(a2-10a+25)+(b2+4b+4)=0, 面积为2cm2. ∴.(a-5)2+(b十2)2=0， 特色素养专题（一） 传统文化专题 .(a-5)2=0,(b+2)2=0,a=5,b=-2. (2)①4-4y 1.D2.D3.C4.C ②xy-z2-6z=10,.y(4-4y)-z2-6z=10, 特色素养专题（二）跨学科专题 .4y-4y2-z2-6z=10, 1.102.23.C4.x2=10(x-3)+x ∴.4y2-4y+x2+6z+10=0, 5.解：设装裱后左、右两边的边宽均为xcm,则天头长 .(2y-1)2+(x+3)2=0, 与地头长均为5xcm, 1 9(60+5x+5x)24+x+x), 心y=22=-3,x=2,y+= =2 由题意，得60X24= 2 【例2】 整理，得x2+18x-88=0, 解：由题意，把x=a代入方程x2-2025x+1=0中， 解得x1=4,x2=一22（不符合题意，舍去）. 得a2-2025a+1=0, 答：装裱后左、右两边的边宽均为4cm. .a2+1=2025a,a2-2025a=-1, 数学活动 n个 a2-2024a2025=a-2024a-g023a 2025 =a2- 解：(1)由①+②，可得2S=(n+1)+(n+1)+…+(n+1), 2024a-a=a2-2025a=-1, 2S=n(n十1)，则S=n(n+1) a2-2024a-2025的值为-1. 2 即1+2+3+4+5+…十n=nn+1) 【变式训练2】解：(1)该方程有两个不等的实数根. 2 理由：x2-3x-mx十m-1=0, (2)由题知，a(a十1) x2+(-3-m)x+m-1=0, 2 =136,解得a1=16,a2=一17. △=(-3-m)2-4×1×(m-1)=m2+2m+13= 因为a>0,所以a=16. (m+1)2+12. (3)这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300. .不论m为何值，(m十1)2≥0，.△>0， 理由：令梯形点阵中的前b行的点数之和为S, 即该方程有两个不等的实数根。 则S=2+3+…十(b十1)，根据(1)中的计算方式可知， (2):x1,x2是方程x2-3x-mx十m-1=0的两个 s=66+3》,则56+3》 =300, 实数根，.x1十x2=3十m,x1x2=m一1. 2 2 3x1-x1x2十3x2=12,.3(x1十x2)-x1x2=12, 即62+3b-600=0,解得b=-3±V2409 .3(3+m)-(m-1)=12,解得m=1. 2 方程为x2-4x=0,解得x1=0,x2=4. 又b为正整数，故方程的解不符合题意， 【例3】 所以这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300. 解：(1)证明：当m=0时，方程变形为一2x+2=0,解 得x=1,方程有实数根； .p2-2=2p十1，解得1=3，p2=-1. 当m≠0时，△=[-(m+2)]2-4m·2=(m-2)2≥0， 当p=3时，△=p2一4=9一4=5>0； 方程有两个实数根. 当p=-1时，△=p2-4=-3<0. 所以不论m为何值，方程总有实数根. p=3. (2)设方程的另一个根为t, 第二十二章 二次函数 2 根据题意，得2+t二”，2= 22.1二次函数的图象和性质 则2十t=1十2t,解得t=1,所以m=1, 22.1.1二次函数 即m的值为1，方程的另一个根为1. 1.B2.-33.B4.y=18(1-x)25.B 【变式训练3】解：x2一(2k十3)x十k2+3k+2=0, 6.B7.C8.y=xR2+30xR x1=k十1，x2=k十2. 9.解：(1)由y=(m-4)xm2-m+2x2-3x-1是关于 △ABC是等腰三角形，①k十1=k十2，不成立； 工的一次函数，得m一n2,解得m=2. ②k+1=4,∴.k=3,.k十2=5，周长为4+4十5=13； m-4+2=0, ③+2=4，.k=2,.k+1=3,周长为3+4+4=11. 所以当m=2时，它是y关于x的一次函数 .△ABC的周长为11或13. (2)由y=(m-4)xm-m+2x2-3x-1是关于x的 【通模拟】 二次函数， 1.B2.C3.D4.x2-38x+37=05.30 得①m一4=0，解得m=4; 6.解：2x2+5x-12=0, ②m2-m=1,解得m=1士5 移项，得2z2+5x=12,x2+z=6 2 ③m-n二2解得m=-1: 瓦方得24管莞可e》-瑞， (m-4+2≠0， ④m2-m=0,解得m=0或m=1. 开方，得x+-士是解得x-2:=-4 综上所述当烟4成或-1或0或1时，它是 7.解：(1)设安全区域的宽度为x米，由题意得(28十 y关于x的二次函数. 2x)(16+2x)=640,整理，得x2+22x-48=0, 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 解得x1=2,x2=-24(不符合题意，舍去). 1.C2.B3.减小4.m>1 答：安全区域的宽度为2米. 5.解：列表： (2)设每次降价的百分率为a, x …-3-2一10123… 由题意得50(1一a)2=32, 1 4 解得a1=1.8(舍去)，a2=0.2=20%. 3 答：每次降价的百分率为20%. 4 0 3 【通中考】 8.D9.C10.D11.312.613.2 描点画图，得函数y= 1 3x,y=- 3x2的图象如图 14.解：(1)x2-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0, 所示. x-1=0,或x-3=0,x1=1,x2=3. (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边的长为 √32-1=2√2， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边的长 ---4 ---上-- 为√12+32=√10， -1--- -1---- ∴.第三边的长为2√2或√10. 15.解：(1)p1 643-20人2.3.4.55x (2)x1十x2=p,x1x2=1, ----3 -1- +-= ----上 -- ,关于x的一元二次方程x2一px十1=0（力为常 数)有两个不等的实数根x1和x2, 两条抛物线的对称轴都是y轴，顶点都是(0,0). 1=p x-px1十1=0，.x1十 抛物线y=3的开日向上，当x>0时，y随x的 (3)由根与系数的关系，得x1十x2=p,x1x2=1. 增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小. :x+x=2p+1, .(x1十x2)2-2x1x2=2p+1, 抛物线y=一 3x的开口向下，当x<0时，y随x 6