21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（答案P2) ←通基础w 知识点2利用根与系数的关系求未知系数或 方程的根 知识点1利用根与系数的关系求关于两根的 7.已知一元二次方程x2十6x十c=0有一个根 代数式的值 为一2，则另一个根为() 1.（天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0 A.-2 B.-3 C.-4D.-8 的两个根，则( 8.(德州德城区三模)已知一元二次方程x2十 A.x1十x2=6 B.x1+x2=-6 bx十c=0的两根分别为x1,x2,且x1十x2= 7 C.x1x2=6 D.x1x2=7 3,x1x2=2,则b,c的值分别是() A.b=3,c=2 B.b=-3,c=2 2.若x1和x2为一元二次方程x2十2x一1=0 C.b=-3,c=-2 D.b=3,c=-2 的两个根，则xx2十x1x号的值为() 9.（湖北中考)已知一元二次方程x2一3x十k= A.4√2 B.2 C.4 D.3 0的两个实数根为x1,x2,若x1x2十2x1十 3.已知x1,x2是一元二次方程x2一x一1=0的 2x2=1,则实数k= 两根，则x号十x2的值为( ) ☆易错点利用根与系数的关系求方程中的待 A.0 B.2 C.1 D.-1 定参数时，忽略△≥0这一前提条件 4.(随州中考)已知关于x的一元二次方程x2一 10.已知关于x的一元二次方程x2一(2m 3x十1=-0的两个实数根分别为x1和x2,则 1)x十m2=0有实数根. x1十x2一x1x2的值为 (1)求m的取值范围. 5.(东营利津期末)如果a,3是一元二次方程 (2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若 x2+3x一6=0的两个根，那么a2+4a+B+ x1十x2=2-x1x2,求m的值. 2021的值是 6.设x1,x2是方程2x2+5x一7=0的两个实数 根，不解方程，求下列式子的值. (1)x+x8; (2)2+1 通能力 》 i1112111111111114 11.下面以3和一1为两根的一元二次方程 是() A.x2+2x-3=0 B.-2x2-4x+6=0 C.3x2-6x-9=0 D.x2-2x+3=0 △九年级·上册·数学.RJi 11 12.已知关于x的一元二次方程mx2一(m+ 通素养 11/1/I/I/1/11I11/I11///1/I/I/d 2).x十=0有两个不等的实数根工1，x2.若 4 19.阅读理解阅读材料： 1+1=4m,则m的值是( 材料1：关于x的一元二次方程ax2+ ) X1 x2 bx十c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系 A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 数a,b,c,有如下关系：x1十x2=- a 13.阅读理解定义运算：a★b=a(1-b).若a, b是方程x2-x十 4m=0(m<0)的两根，则 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的 b★b一a★a的值为( 两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2 A.0 B.1 的值 C.2 D.与m有关 解：，m,n是一元二次方程x2-x一1=0的 14.已知a,b是方程x2+3x一4=0的两根，则 两个实数根， a2+4a+b-3= .∴.m+n=1,mn=-1. 15.(潍坊一模)关于x的方程mx2一4x十1=0 则m2n十mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 的两实数根为x1和x2,若x1十x2十x1x2= 根据上述材料，结合你所学的知识，回答下 列问题： 4m,则m= (1)应用：一元二次方程2x2+3x一1=0的 16.若m,n是一元二次方程x2+3x一1=0的 两个实数根为x1,x2,则x1十x2=一’ 两个实数根，则”的值为 x1x2= (2)类比：已知一元二次方程2x2+3x一1=0 17.若关于x的方程x2-2(m+1)x十m+4=0 的两个实数根为m,n,求m2+n2的值. 两根的倒数和为1，则m的值为 (3)提升：已知实数s,t满足2s2+3s一1=0， 18.推理能力（遂宁中考）已知关于x的一元二 次方程x2-(m十2)x十m-1=0. 2+3t1=0且s≠t,求。-的值 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不等 的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且 x+x-x1x2=9,求m的值. 12 优+学案·课时通△即x1=x2=2√2. 因式分解，得(x-2)(x-1)=0. (3)方程整理，得x2+4x十16=0. 于是得x一2=0，或x-1=0,x1=2,x2=1. a=1,b=4,c=16. (4)因式分解，得2(x-5)(x十3)=0. △=b2-4ac=42-4×1×16=-48<0. 于是得x-5=0,或x十3=0，x1=5,x2=-3. .此方程无实数根. 7.B 8.解：(1)由题意，得△=[-(2m-3)]2-4m2≥0， 8.解：(1)原方程可化为x2=3. 整理，得一-12m十9≥0，解得m≤子， 直接开平方，得x1=√3，x2=一√3. (2)移项，得x2十2x=399. 所以当m≤时，该方程有实数根。 配方，得x2+2x十1=399+1，即(x+1)2=400, 直接开平方，得x十1=20，或x十1=-20， (2)当m=0时，方程为x2+3x=0. 解得x1=19,x2=一21. a=1,b=3,c=0.△=b2-4ac=9>0. (3)因式分解，得(x-2)(x+1)=0. 方程有两个不等的实数根z=一6士VB一4ac 即x-2=0,或x十1=0， 2a 所以x1=2,x2=一1. (4)(3x+2)(x+3)=8.x+15. 二39-33，解得x,=0,z3 2×1 方程整理，得x2+x-3=0,a=1,b=1,c=-3, 9.m=410.B11.B12.D13.A .b2-4ac=12-4×1×(-3)=13, 14=-8-号15416-1<0 x=-1±13 2 17.一1解析：关于x的方程x2一(2k-2)x十2- 1=0有两个实数根， 解得x,1+3 x,=1, 2 2 .判别式△=[-(2k-2)]2-4X1×(k2-1)≥0， 9.C10.D11.D12.4+2√2 整理，得一8k十8≥0，.k≤1， 13.解：(1)(x+1)(x+5)(x+3)(x-5) .k一10,2-k>0, (2)2x2+3x-5=0,(2x+5)(x-1)=0, .√(k-1)7-(√2-k)2 =-(k-1)-(2-k) 2z十5=0，或x-1=0,所以x=一7，x2=1 =-1. (3)3x2-(6+a)x+2a=0,(3x-a)(x-2)=0, 18.解：(1)证明：.△=(2a-2)2-4×(-1)(-a2+ 2a)=4>0,方程有两个不等的实数根. 3x-a=0或x-2=0,所以x1=号x:=2. (2).△=(2a-2)2-4×(-1)(-a2+2a)=4>0, 14.解：6x2+7x一3=0， x=二(2a-2)±2 2X(-1D,x1-ax4=a-2. 拆项，分组，得6x2-2x十9x-3=0, 提公因式，得2x(3x-1)+3(3x-1)=0, 方程只有一个实数根小于3，a一2<a, 再提公因式，得(3x-1)(2x十3)=0， ∴.a-2<3,且a≥3，∴.3≤a<5. 所以3x-1=0,或2x+3=0. 19.解：(1)x=-1是方程的根，.(a十c)×(-1)2 2b+a-c=0..a+c-2b+a-c=0.∴.a-b=0. 即-日-是 ∴.a=b,则△ABC是等腰三角形. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (2),方程有两个相等的实数根， 1.A2.B3.B4.25.2024 ∴.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0. 6.解：，x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个实数根， .4b2-4a2+4c2=0..a2=b2+c2. 7 ∴.△ABC是直角三角形. ∴.x1十x2= 2x1xa=-2 (3)△ABC是等边三角形，a=b=c≠0. ∴.(a十c)x2+2bx十a-c=0可整理为2ax2十 +753 1)原式=(x十x)°-2z1x,-25 4 2ax=0.x2+x=0.4=1,z=-1±1， ，解得 3 2 x1=0,x2=-1. (2)原式=+x号4 53 xIx2 7=-14 21.2.3因式分解法 一2 1.B2.A3.B4.85.x+3=0(或x-1=0) 7.C8.B9.-5 6.解：(1)因式分解，得(x十3)(x-3)=0. 10.解：(1)，关于x的一元二次方程x2-(2m一 于是得x十3=0，或x-3=0,x1=-3,x2=3. 1)x+m2=0有实数根， (2)因式分解，得x(x十2)=0. ∴.△=b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×m2≥0， 于是得x=0,或x十2=0，x1=0,x2=一2. 1 (3)原式变形，得x(x-2)-(x-2)=0. 解得m≤4 (2).关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+ 方程有两个不等的实数根， m2=0的两个根分别为x1,x2, .x1十x2=2m-1,x1x2=m2. x=4结2_4生3=2士5. 2×1 2 ,x1十x2=2-x1x2,即2m-1=2-m2, x1-2+√3，x2=2-3, 整理，得m2+2m-3=0,.(m+3)(m一1)=0， (3)x2+3x-2=0,x2+3x=2. 解得m1=-3,m2=1(不合题意，舍去). 故m的值为-3. (+2》-+ 2 11.C12.A13.A14.-215.-2516.317.2 18.解：(1)证明：x2一(m+2)x+m-1=0, 解得，=7-3，=7-3 2 2 这里a=1,b=-(m+2),c=m-1, (4)x(x-7)=8(7-x),x(x-7)+8(x-7)=0. △=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1) (x-7)(x+8)=0. =m2+4m+4-4m+4=m2+8. x-7=0,或x十8=0，解得x1=7,x2=-8. m2≥0，∴.△>0. 16.解：(1)a≠0，△=b2-4ac=(a+2)2-4a=a2+ ∴.无论m取何值，方程都有两个不等的实数根. 4a+4-4a=a2+4.a2>0,.△>0..方程有两 (2)设方程x2-(m+2)x十m-1=0的两个实数 个不等的实数根 根为x1,x2,则x1十x2=m十2，x1x2=m一1. (2)方程有两个相等的实数根， x1+x2-x1x2=9,即(x1十x2)2-3x1x2=9, .△=b2-4a=0. .(m+2)2-3(m-1)=9. 若b=2,a=1,则方程变形为x2十2x十1=0，解得 整理，得m2十m一2=0. x1=x2=一1.（答案不唯一） ∴.(m+2)(m-1)=0.解得m1=-2,m2=1. 17.解：(1)由根与系数的关系可知a+b=6,ab= ∴.m的值为-2或1. m-3. 19解：1-号 -2 ,a,b分别为矩形的两条对角线的长， ∴.a=b,.a=b=3,.m-3=3X3=9, (2)一元二次方程2x2+3x一1=0的两个实数 .∴.m=12. 根分别为m,n, (2)由根与系数的关系可知ab=m一3. 1 m十n=-2,mn=一2， ,a,b分别为菱形的两条对角线的长，且菱形的面 m+n=m+n)P-2mm=9+1-8 积为4方46=4，m-3)-4,解得m=1. 4 18.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-5x十k=0 (3),实数s,t满足2s2十3s一1=0,2t2十3t-1= 有实数根， 0,且s≠t, .△=(-5)2-4X1Xk≥0， ∴.s,t是一元二次方程2x2十3x一1=0的两个实 数根，s十t=一 3 1 ,5t=-2 解得及<织，故及的取值花同是<孕 (2)由(1)知， :1-)=+s2-4=(》-4× 符合条件的最大整数的值为6. 将=6代入x2-5x十k=0,得x2-5x十6=0， ()-7-=± 21 解得x1=2,x2=3. ,关于x的一元二次方程(m一1)x2十x十m一4=0 ±I7 与方程x2-5x十k=0有一个相同的根， 2 =土√17. ∴.当x=2时，4(m-1)+2+m-4=0, 1 2 解得m=号：当z=3时，9(m-D+3+m-4=0, 阶段检测一(21.1~21.2) 1.B2.D3.B4.D5.A6.C7.C8.C 解得m-1.m-1≠0，n1,im的值为号。 9.202110.-311.312.413.714.321 (3)方程x2-5x十k=0的两个实数根为x1,x2, 15.解：(1)4(6x-1)2=25,(6x-1)2=25 .x1十x2=5,x1x2=k. 4 又：1+1=3， x1 x2 4 (2)原方程整理为x2-4x十1=0. 1十2=3，则5 5 x172 =3，解得k=3 a=1,b=-4,c=1. △=b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0. :5、25 5 “3≤…k的值为 3