培优01 第三章代数式全章7大重难题型（专项训练）数学人教版2024七年级上册

培优01第三章代数式全章7大重难题型 题型1列代数式 1. 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 2.列代数式五点注意： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．  ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．  ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．  ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）一件衣服原价为m元，先降价，再提价，现在的价格是（  ） A．m元 B．元 C．元 D．元 2．（2025七年级上·四川成都·专题练习）下列各项中，能用表示的是（　　） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积： 3．（24-25七年级上·浙江·开学考试）某化肥厂第一季度产吨化肥，以后每季度比上一季度增产，则第三季度化肥产量的吨数为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）列式表示下列各量： (1)工程队要修路a米，原计划每天修b米，因天气原因，实际每天少修c米，则实际修了多少天？ (2) 王鑫在长跑比赛中，以的速度跑了后进入冲刺阶段，之后他的速度比先前快了，冲刺阶段他用了多长时间？ 题型2 正（反）比例关系 1.正比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成正比例关系，代数式表示为。 常见正比例场景：速度一定时，路程与时间(，为定值)；单价一定时，总价与数量(总价单价数量，单价为定值)；圆的周长与半径(，为定值)。 2.反比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成反比例关系，代数式表示为()。 常见反比例场景：路程一定时，速度与时间(，为定值)；面积一定时，长方形的长与宽(，为定值)；总工作量一定时，工作效率与工作时间(效率时间总工作量，总工作量为定值)。 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）把一些铅笔，平均分给每个学生，每个学生分到的支数与学生人数（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 6．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是 ．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成 比例关系． 7．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 8．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）科学课实验需要一种铁丝，它的质量和长度的关系如下图，请根据该图像回答以下问题． (1)这种铁丝有4米，它的质量是____克． (2)这种铁丝的长度与质量成____比例．（填“正”或“反”） (3)聪聪通过称质量来确定铁丝的长度，测得这样的一捆铁丝质量是克，这捆铁丝的长度是多少米？ 题型3 代数式求值 1.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． 2.代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种：  ①已知条件不化简，所给代数式化简；  ②已知条件化简，所给代数式不化简；  ③已知条件和所给代数式都要化简． 9．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段练习）若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 10．（12-13七年级上·重庆·期末）若，那么代数式的值等于（    ） A．4 B．3 C． D． 11．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，是最小的正整数，则代数式的值为 ． 12．（24-25七年级上·广东惠州·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示，例如当时，多项式的值记为，则． 已知，且．请解决以下问题： (1)________； (2)若，求的值： (3)若，求的值． 13．（25-26七年级上·全国·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3） 若，，求的值． 题型4 与整式有关的运算程序问题 解决根据运算程序计算求值的问题，必须紧扣程序图中的运算程序进行正向或反向求解，对于有规律 可循的题型，必须多次计算求解，直到找到规律为止. 14．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，第一次输出结果为24，则第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．12 D．2 15．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是501；若输入，输出结果是631．若开始输入的值为整数，最后输出的结果为556，则开始输入的值可能是( ) 16．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个计算程序图： (1)若输入的值为，求输出的结果的值； (2)若输出的结果的值为4，求输入的值； 题型5代数式的变化规律与探究 代数式的规律探究题是近几年命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．7 C．5 D．9 19．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作；……．若，则经过第2025次操作后得到的结果是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·甘肃白银·阶段练习）观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ． (2)计算：． (3)探究并计算：． 22．（24-25七年级上·四川内江·期中）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算 ； (2)计算的值； (3)将算式类比到如下形式，猜想 ． 题型6图形的变化规律 解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形或数 字的变化规律，从而得出答案.这体现了从特殊到一般的数学思想.其主要过程是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 23．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在由点组成的正方形中，每条边上的点数与总点数s的关系如图所示，则当时，s的值为（   ） A．32 B．36 C．38 D．40 24．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 25．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点、沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么他们第一次相遇在边上，请问他们第次相遇在哪条边上 26．（2025七年级上·四川成都·专题练习）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）下图所示的是一组由边长相同的小正方形组成的图案，其中将部分小正方形涂色． 图案标号 第1个 第2个 第3个 第4个 … 涂色小正方形的个数 5 a 13 b … (1)________，________． (2)按照这种规律继续下去，第n个图案中涂色小正方形的个数为________（用含n的代数式来表示）． (3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2025个图案中涂色小正方形的个数． 题型7 列代数式在实际生活中的应用 列式解决生活中的实际问题，应根据题中的数量关系用含有字母的式子将未知量表示出来，再将具体数值代入进行求解. 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 29．（24-25七年级上·重庆·开学考试）某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么当月这户居民就只交10元电费．如果超过了A度，则当月除了要交10元电费外，超过的部分还要按每度元另外交费． (1)该厂某户居民九月份用电90度，超过了规定的A度，则应交电费多少元？（用含A的式子表示） (2)如果规定的A度是60度，该户居民十月份实际用电100度，则应交电费多少元？ 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明房间窗户的装饰物如图①所示，它由两个四分之一的圆组成． (1)用代数式表示图①窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装饰物，如图②所示（由两个四分之一圆和一个半圆组成）．请用代数式表示图②窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (3)图①和图②哪种设计射进阳光的部分的面积更大？ 31．（21-22七年级上·广东·期中）甲、乙两地相距千米，一辆汽车的行驶速度为千米/小时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶多长时间？ (2)若速度增加千米/小时，则需多长时间？速度增加后比原来早到多长时间？分别用代数式表示． 32．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨元收取． (1)某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ (2)若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 33．（24-25七年级上·广东河源·期中）某中学附近一水果超市最近新进了一批百香果，进价每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 40 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期______． (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折（即按每斤单价的计价） 方式二：每斤售价10元． ①顾客买斤百香果，则：按照方式一购买需要______元，按照方式二购买要______元． ②于老师决定买35斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01第三章代数式全章7大重难题型 题型1列代数式 1. 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 2.列代数式五点注意： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．  ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．  ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．  ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）一件衣服原价为m元，先降价，再提价，现在的价格是（  ） A．m元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查列代数式，找到相应等量关系是解答此题的关键．原价降价后商品新单价为元，再按新价提价后单价为元，由此解决问题即可． 【详解】解：衣服原价m元，降价后价格为（元）， 再提价后的价格为：（元）， 故选：B． 2．（2025七年级上·四川成都·专题练习）下列各项中，能用表示的是（　　） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积： 【答案】D 【分析】本题考查用字母表示数．逐一分析各个选项，即可解答． 【详解】解：A、整条线段的长度：；不符合题意； B、整条线段的长度：；不符合题意； C、长方形的周长：；不符合题意； D、整个图形的面积：，符合题意． 故选：D． 3．（24-25·浙江·开学考试）某化肥厂第一季度产吨化肥，以后每季度比上一季度增产，则第三季度化肥产量的吨数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列代数式．根据题意，第二季度的吨数为，第三季度为． 【详解】解：依题意可知：第二季度的吨数为：，第三季度是在第二季度的基础上增加的， 则第三季度化肥产量的吨数为， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）列式表示下列各量： (1)工程队要修路a米，原计划每天修b米，因天气原因，实际每天少修c米，则实际修了多少天？ (2)王鑫在长跑比赛中，以的速度跑了后进入冲刺阶段，之后他的速度比先前快了，冲刺阶段他用了多长时间？ 【答案】(1)实际修了天 (2)冲刺阶段他用了 【分析】本题考查了列代数式，理解题意并正确列式是解题关键． （1）先根据题意得出实际每天修米，再表示出实际修的天数即可； （2）先根据题意得出冲刺阶段的长度为米，速度为，再表示出冲刺阶段的时间即可． 【详解】（1）解：由题意可知，实际每天修米， 则实际修了天； （2）解：由题意可知，冲刺阶段的长度为米，速度为， 则冲刺阶段他用了． 题型2 正（反）比例关系 1.正比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成正比例关系，代数式表示为。 常见正比例场景：速度一定时，路程与时间(，为定值)；单价一定时，总价与数量(总价单价数量，单价为定值)；圆的周长与半径(，为定值)。 2.反比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成反比例关系，代数式表示为()。 常见反比例场景：路程一定时，速度与时间(，为定值)；面积一定时，长方形的长与宽(，为定值)；总工作量一定时，工作效率与工作时间(效率时间总工作量，总工作量为定值)。 5．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）把一些铅笔，平均分给每个学生，每个学生分到的支数与学生人数（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】B 【分析】本题考查正比例和反比例，根据积为定值成反比例，商为定值成正比例即可解答． 【详解】解：∵铅笔总数每个学生分到的支数学生人数，其中铅笔总数为定值， ∴每个学生分到的支数与学生人数成反比例， 故选：B． 6．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，在长方形中，动点沿着边从点移动到点，三角形的面积随动点的运动在不断变化．当时，三角形的面积是，当时，三角形的面积是 ．在点的运动过程中，三角形的面积和线段的长度成 比例关系． 【答案】 48 正 【分析】本题考查了正比例关系，理解题意，掌握正比例关系的含义是关键． 根据三角形面积为得到，再代入三角形面积公式，结合正比例关系的概念判定即可． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 当时，三角形的面积是， ∴， 解得，， ∴当时，， ∵，线段的长不变，三角形的面积随着的长度增大而增大， ∴三角形的面积和线段的长度成正比例关系， 故答案为：①；② 正． 7．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 75 60 50 30 … 录入文字的速度v（字/分） 40 50 60 100 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度，用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)3000字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小 (3)，t与v成反比例关系 【分析】本题考查成反比例关系的量，熟练掌握成反比例关系的量的特征是解题的关键． （1）用录入文字的速度乘完成录入的时间即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的； （3）由于总字数一定，则完成录入的时间t与录入文字的速度v的乘积一定，为3000，则可知t与v成反比例关系． 【详解】（1）解：， 即这篇社会调查报告共有3000字； （2）解：由表可知完成录入的时间随着录入文字的速度变大而变小； （3）解：∵总字数一定，为， ∴， ∴t与v成反比例关系． 8．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）科学课实验需要一种铁丝，它的质量和长度的关系如下图，请根据该图像回答以下问题． (1)这种铁丝有4米，它的质量是____克． (2)这种铁丝的长度与质量成____比例．（填“正”或“反”） (3)聪聪通过称质量来确定铁丝的长度，测得这样的一捆铁丝质量是克，这捆铁丝的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)正 (3)这捆铁丝的长度是米 【分析】本题考查了正比例的意义和根据正比例知识解决实际问题的能力． （1）根据比例的图像，提取长度4米的铁丝质量即可； （2）这种铁丝的质量与长度的比值是一定的，所以这种铁丝的长度与质量成正比例； （3）设这捆铁丝的长度是x米， 列出比例再解比例得解． 【详解】（1）解：由图可知，长度4米的铁丝质量是克． 故答案为：． （2），，，，，． 这种铁丝的质量与长度的比值是一定的，所以这种铁丝的长度与质量成正比例． 故答案为：正． （3）解∶设这捆铁丝的长度是x米．依题意得 答∶这捆铁丝的长度是米． 题型3 代数式求值 1.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． 2.代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种：  ①已知条件不化简，所给代数式化简；  ②已知条件化简，所给代数式不化简；  ③已知条件和所给代数式都要化简． 9．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段练习）若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由绝对值的定义可得，然后分四种情况求值验证各选项即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，，即A选项不符合题意； 当时，，即B选项不符合题意； 当时，，即C选项不符合题意； 当时，，即D选项符合题意． 故选D． 10．（七年级上·重庆·期末）若，那么代数式的值等于（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，添括号，能正确对代数式进行变形是解题关键． 将代数式变形为后将代入即可． 【详解】因为， 所以， 故选：B． 11．（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，是最小的正整数，则代数式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，互为相反数、互为倒数和绝对值的性质.互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，最小的正整数为1，依据这些知识点可分别求出，，m的值，然后代入代数式中求值. 【详解】解：∵，互为相反数，且，，互为倒数，是最小的正整数， ∴，，， 当时， ， 当时， ， ∴代数式的值为或. 故答案为或． 12．（24-25七年级上·广东惠州·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示，例如当时，多项式的值记为，则． 已知，且．请解决以下问题： (1)________； (2)若，求的值： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】此题考查了代数式求值的能力，关键是能根据题意准确变形、计算． （1）将代入可求得此题结果； （2）根据，将可求得结果； （3）由题意得，则可得，最后进行代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ， 故答案为：； （2）∵ ∴ ∴， 即的值是0； （3）， ∴ ∴ ∴， ， 的值是． 13．（25-26七年级上·全国·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入得，化为，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， ． 题型4 与整式有关的运算程序问题 解决根据运算程序计算求值的问题，必须紧扣程序图中的运算程序进行正向或反向求解，对于有规律 可循的题型，必须多次计算求解，直到找到规律为止. 14．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，第一次输出结果为24，则第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．12 D．2 【答案】C 【分析】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键． 先根据运算程序，得出前几次输出的结果，得出从第二次开始，每3次按照12，6，3的顺序循环，即可解答． 【详解】解：当输入的x是48时，输出的结果为； 当输入的是24时，输出的结果为12； 当输入的是12时，输出的结果为6； 当输入的是6时，输出的结果为3； 当输入的是3时，输出的结果为12； 当输入的是12时，输出的结果为6； ……， 由此发现，从第二次开始，每3次按照12，6，3的顺序循环， ∵， ∴第2024次输出的结果是12． 故选：C 15．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）按下面的程序计算： 若输入，输出结果是501；若输入，输出结果是631．若开始输入的值为整数，最后输出的结果为556，则开始输入的值可能是( ) 【答案】22或111 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次方程的应用等知识，根据题意列方程求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如果第一次输入值后结果大于500，输出结果为556，则：，解得： ， 如果前几次的结果都小于500，最后一次输出结果为556，那么在最后一次输出结果时的 值为，输出结果为时的值为：，解得：， 依此类推，，解得：，不是整数， ∴开始输入的的所有可能的值为22或111， 故答案为：22或111． 16．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个计算程序图： (1)若输入的值为，求输出的结果的值； (2)若输出的结果的值为4，求输入的值； 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是程序框图与代数式求值； （1）由，再把代入进行计算即可； （2）由，再分两种情况分别代入解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：当时，， ∴． ∵， ∴； 当时，， ∴． ∵， ∴不符合题意． 综上所述，． 题型5代数式的变化规律与探究 代数式的规律探究题是近几年命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）观察下列等式：，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A．1 B．7 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查数字的规律探索，由题中可以看出，以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的，利用即可知的个位数字，即可得出结论．解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律． 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故选A． 19．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方， 先设，进而得，再求差可得答案. 【详解】解：设， ∴， ，得， ∴， 即. 故选：B. 20．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作；再将作为a的值代入得到，称为第二次操作；……．若，则经过第2025次操作后得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．先根据题干中的式子得到规律，再代入求解． 【详解】解：若， 则， ， ， ， ， ， ， ， 从第1次操作开始，以这两个数不断循环出现， ， ∴， 故选：B． 21．（25-26七年级上·甘肃白银·阶段练习）观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出： ． (2)计算：． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律，有理数的混合运算，结合题意得到规律是解题的关键． （1）结合题干，找到规律，即可解答； （2）利用题干中的规律，分别将原式每项裂开即可解答； （3）利用题干中的规律，分别将原式每项裂开即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 22．（24-25七年级上·四川内江·期中）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答： (1)计算 ； (2)计算的值； (3)将算式类比到如下形式，猜想 ． 【答案】(1)323400 (2)22520 (3) 【分析】本题考查的是探索规律的题目，解答本题的关键是读懂题目信息，学会把乘法算式拆写成两个式子的运算形式． （1）根据三个特殊等式相加的结果，代入公式进行计算即可求解； （2）将变为，整理即可得解； （3）根据题目中算式得出一般规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 故答案为：． 题型6图形的变化规律 解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形或数 字的变化规律，从而得出答案.这体现了从特殊到一般的数学思想.其主要过程是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 23．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在由点组成的正方形中，每条边上的点数与总点数s的关系如图所示，则当时，s的值为（   ） A．32 B．36 C．38 D．40 【答案】B 【分析】本题考查图形规律探究．通过给定的图形，抽象概括出数字规律，是解题的关键． 根据给定的三个图形，抽象概括出相应的规律，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知： 当时，， 当时，， 当时，， ， ∴每条边上的点数与总点数s的关系是：， ∴当时，， 故选：B． 24．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． ∴ 故答案为： 25．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点、沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么他们第一次相遇在边上，请问他们第次相遇在哪条边上 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，解题关键是根据题意找到规律． 设出正方形的边长a，根据甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵乙的速度是甲的速度的3倍，且运动时间相同， ∴甲乙所行的路程比为， 把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： 第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； 第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； 由此得到：四次一个循环． ∵， ∴它们第2025次相遇在边上， 故答案为：． 26．（2025七年级上·四川成都·专题练习）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 【答案】(1)24 (2)最小用型号16 【分析】本题考查图形的规律探究，找到规律是解题的关键． (1)根据图形中的数量关系即可求解； (2)将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：型号1：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号2：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号3：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， ∴型号4可以坐：(人)． （2）由题意得，， 整理得，， 解得， ∵n为整数， ∴最小用型号16． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）下图所示的是一组由边长相同的小正方形组成的图案，其中将部分小正方形涂色． 图案标号 第1个 第2个 第3个 第4个 … 涂色小正方形的个数 5 a 13 b … (1)________，________． (2)按照这种规律继续下去，第n个图案中涂色小正方形的个数为________（用含n的代数式来表示）． (3)按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2025个图案中涂色小正方形的个数． 【答案】(1)9，17 (2) (3) 【分析】（1）观察图形规律，可知第个小正方形阴影有个，第个小正方形阴影有个，第个小正方形阴影有个，以此类推，可知第个为个； （2）第个为， （3）将代入即可． 【详解】（1）观察图形规律，可知第个小正方形阴影有个， 可知第个为个； 故答案为：9，17． （2）观察图形规律，可知第个小正方形阴影有个， 第个小正方形阴影有个， 第个小正方形阴影有个， 以此类推， 第个为， 故答案为：． （3）将代入得， 正方形的个数为． 【点睛】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． 题型7 列代数式在实际生活中的应用 列式解决生活中的实际问题，应根据题中的数量关系用含有字母的式子将未知量表示出来，再将具体数值代入进行求解. 28．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键． （1）根据正方形面积公式，圆的面积公式，长方形面积公式列出代数式即可； （2）分别求出三个区域的面积，再根据各部分的造价，求出该工程总造价即可． 【详解】（1）解：该休闲广场的占地面积为：平方米； （2）解：该工程总造价为： 元． 29．（24-25七年级上·重庆·开学考试）某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么当月这户居民就只交10元电费．如果超过了A度，则当月除了要交10元电费外，超过的部分还要按每度元另外交费． (1)该厂某户居民九月份用电90度，超过了规定的A度，则应交电费多少元？（用含A的式子表示） (2)如果规定的A度是60度，该户居民十月份实际用电100度，则应交电费多少元？ 【答案】(1) (2)34（元） 【分析】此题考查列代数式，有理数混合运算的应用， （1）根据题意找到数量关系，列出代数式； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：该厂某户居民九月份用电90度，超过了规定的A度，则应交电费元； （2）（元）， 规定的A度是60度，该户居民十月份实际用电100度，则应交电费34元． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）小明房间窗户的装饰物如图①所示，它由两个四分之一的圆组成． (1)用代数式表示图①窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (2)为了更加美观，小明重新设计了房间窗户的装饰物，如图②所示（由两个四分之一圆和一个半圆组成）．请用代数式表示图②窗户能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）； (3)图①和图②哪种设计射进阳光的部分的面积更大？ 【答案】(1)； (2)； (3)图②的设计射进阳光的部分的面积更大． 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据题意用含，的代数式分别表示出两个图形中能射进阳光的部分的面积是解题的关键． （1）长方形的面积减去半圆的面积即可； （2）长方形的面积减去一个圆的面积即可； （3）由（1）（2）所得代数式比较即可． 【详解】（1）解：由图①可知，能射进阳光的部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积， 即； （2）解：由图②可知，能射进阳光的部分的面积为长方形的面积减去一个圆的面积， 即； （3）． 故图②的设计射进阳光的部分的面积更大． 31．（21-22七年级上·广东·期中）甲、乙两地相距千米，一辆汽车的行驶速度为千米/小时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶多长时间？ (2)若速度增加千米/小时，则需多长时间？速度增加后比原来早到多长时间？分别用代数式表示． 【答案】(1)小时 (2)从甲地到乙地需小时，可早到小时 【分析】（）根据时间路程速度列出代数式即可； （）由题意得现在速度变为千米/小时，进而可表示出现在从甲地到乙地需要的时间，再用提速前的时间减去提速后的时间可表示出早到的时间； 本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，汽车从甲地到乙地需行驶小时； （2）解：由题意得，现在速度变为千米/小时， ∴从甲地到乙地需小时，可早到小时． 32．（19-20七年级上·浙江绍兴·期中）某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨元收取． (1)某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ (2)若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 【答案】(1)10月份：元；11月份：48元 (2)时，交元；时，交元 【分析】考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．关系为：应交水费=城市供水费+污水处理费． （1）根据一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元，一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费和污水处理费每吨元，列式计算即可； （2）分两种情况讨论，当时和时，分别根据已知条件列式整理即可． 【详解】（1）（1）10月份：（元） 11月份： （元） （2）当用水量不超过10吨时，水费为（元） 当用水量超过10吨时，水费为 元 33．（24-25七年级上·广东河源·期中）某中学附近一水果超市最近新进了一批百香果，进价每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 40 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期______． (2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折（即按每斤单价的计价） 方式二：每斤售价10元． ①顾客买斤百香果，则：按照方式一购买需要______元，按照方式二购买要______元． ②于老师决定买35斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)六 (2)这一周超市出售此种百香果盈利元 (3)①，；②选择方式一购买更省钱，理由见解析 【分析】本题考查了正负数的应用及列代数式等知识，解题的关键是看懂图表并理解图表． （1）通过图表分别计算这周每天的每斤价格，可直接得结论； （2）分别相对于标准价格出售的盈亏情况，再计算按标准价格的收益情况，然后求和即可； （3）①根据题意列出代数式即可；②计算两种购买方式，比较得结论． 【详解】（1）解：根据题意，星期一超市售出的百香果单价为（元）， 星期二超市售出的百香果单价为（元）， 星期三超市售出的百香果单价为（元）， 星期四超市售出的百香果单价为（元）， 星期五超市售出的百香果单价为（元）， 星期六超市售出的百香果单价为（元）， 星期日超市售出的百香果单价为（元）， ∵， ∴这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六， 故答案为：六； （2）（元）， （元）， （元）， 所以这一周超市出售此种百香果盈利元； （3）①方式一：元； 方式二：（元）； 故答案为：，； ②方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $