1.2.2一元二次方程（课件）-劳保版第8版《数学 上册》《上好课》

1.2.2 一元二次方程 第一章 运算与方程 ·劳保版第8版 上册· 学习目标 1、理解一元二次方程的定义、一般形式及相关概念 2、掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程 3、理解根的判别式，并能用它判断根的情况 目 录 新课导入 01 探索新知 02 当堂检测 03 课堂小结 04 1.2.2 一元二次方程 新课导入 创设情境，引入新知 思考：(x + 2)² = 25 与一元一次方程有什么不同？ 问题 如图，正方形边长增加 2 cm 后，面积为 25 cm²，求原正方形的边长 2cm 2cm 解 设原边长为x cm，则 x 满足 (x + 2)² = 25 答：(x + 2)² = 25 含有平方项 1.2.2 一元二次方程 探索新知 一元二次方程的概念 概念 等号两边是整式，只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程。使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解（根）。 一般形式 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 其中 ax² 为二次项，a为二次项系数； bx为一次项，b为一次项系数； c为常数项 一元二次方程的概念 判断下列方程是否为一元二次方程 是 不是，次数为1 否，分母含未知数，非整式方程 一元二次方程的概念 思考：a,b,c能否等于0？ 答：a不能等于0，b,c可以等于0（若a = 0，则方程变为 bx + c = 0，是一元一次方程） 总结：一元二次方程的三个关键词 ①整式 ②一元 ③二次 一元二次方程的解法  适用类型：形如的方程（平方项直接等于非负数） 直接开平方法  解法步骤：直接对等式两边开平方，得到，再解两个一元一次方程。   一元二次方程的解法 示例： 直接开平方法  解：开平方，得到  解一次方程 一元二次方程的解法 提问：若 AB = 0，则以下哪个结论是正确的？ （1）A = 0 且 B = 0 （两个都是0） （2）A = 0 或 B = 0 （至少一个因式为0） 因式分解法  依据：若 AB = 0，则 A = 0 或 B = 0 （至少一个因式为0） √ ×  适用类型：方程可化为若 AB = 0的形式（如平方差、完全平方、十字相乘法分解） 一元二次方程的解法 示例：解方程 (2x+3)(2x-3) = 0 因式分解法  解：令因式为0，得 2x+3 = 0 或 2x-3 = 0 解得 ， 一元二次方程的解法  核心思想：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解。 配方法  适用类型：所有一元二次方程（尤其是二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程） 一元二次方程的解法  步骤：① 移项（常数项移到等号右边） 配方法 ④ 开平方求解。 ② 二次项系数化为1（若系数不为1） ③ 配方（在等号两边加“一次项系数一半的平方”） 一元二次方程的解法  示例：解方程 x²-6x-7 = 0 配方法 开平方，得 x-3 = ±4  解：移项 x²-6x = 7 配方（加） x²-6x + 9 = 7+9, 即 (x-3) ² = 16 解得 ， -1 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 一元二次方程的解法 公式法 ② ：方程有两个相等的实数根； ① ：方程有两个不相等的实数根；  求根公式的推导：通过配方法，对一般形式 推导得：当 ≥ 0 时，根为 根的判别式  ③ ：方程无实数根 一元二次方程的解法  示例：解方程 3x²-8x-2 = 0 公式法  解：计算： 代入公式： 即 一元二次方程的解法  思考：解一元二次方程有4种方法，如何进行方法选择？ 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 答：对于不同结构的方程，优先选择最简便的解法（直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法）。 1.2.2 一元二次方程 当堂检测 练习 例1 解方程 (3x+1)² = 4 解题方法：直接开平方法，因是“完全平方=常数”形式 解：直接开平方 3x+1 = ±2 当3x+1 = 2 时，解得 当3x+1 = -2 时，解得 练习 例2 解方程 (x-2)² = 9 解题方法：直接开平方法，因是“完全平方=常数”形式 解：直接开平方 x-2 = ±3 当 x-2 = 3 时，解得 当x-2 = -3 时，解得 练习 例3 解方程 x²-4 = 0 解题方法：因式分解（平方差公式） 解：原式 = (x+2)(x-2) = 0 当 x+2 = 0 时，解得 当x-2 = 0 时，解得 故 x+2 = 0 或 x-2 = 0 练习 例4 解方程 x²+5x+6 = 0 解题方法：因式分解（十字相乘） 解：原式 = (x+2)(x+3) = 0 当 x+2 = 0 时，解得 当x+3 = 0 时，解得 故 x+2 = 0 或 x+3 = 0 练习 例5 解方程 2x²-13x+15 = 0 解题方法：因式分解（十字相乘） 解：原式 = (2x-3)(x-5) = 0 当 2x-3 = 0 时，解得 当x-5 = 0 时，解得 故 2x-3 = 0 或 x-5= 0 配方（加） x²-4x + 4 = 5+4, 即 (x-2) ² = 9 练习 例6 解方程 x²-4x-5 = 0 解题方法：配方法（二次项系数为1，一次项系数为偶数） 解：移项 x²-4x=5 当 x-2 = 3 时，解得 当x-2 = -3 时，解得 开平方，得 x-2 = ±3 练习 例7 解方程 2x²+3x+1 = 0 解题方法：公式法，因题目要求判断根的情况 解：计算, ，故方程有两个不相等的实数根 代入求根公式： 故 1.2.2 一元二次方程 课堂小结 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条（注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方） 1、一元二次方程的定义：整式、一元、二次 2、一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0) 3、解法：优先选直接开平方法、因式分解法，再用配方法、公式法 4、判别式： 用于判断根的情况 ② ：方程有两个相等的实数根； ① ：方程有两个不相等的实数根；  ③ ：方程无实数根 1.2.2 一元二次方程 课后作业 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条（注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方） ① 课本P18知识巩固2 第1~2题 ②《同步练习》基础巩固、能力进阶 谢谢 THANKS $