4.2认识一次函数 举一反三 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

4.2认识一次函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】一次函数的识别 3 【题型2】列一次函数关系式 6 【题型3】根据一次函数的定义求字母的取值 9 【题型4】一次函数的实际应用 10 【题型5】正比例函数的识别 15 【题型6】列正比例函数关系式 16 【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值 19 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数． 1.（2024秋•靖西市期末）下列函数为一次函数的有（　　） ①y=2x+4；②y-4x=8（x-2）；③y=x2-2x+3；④y=x4-x3+2x；⑤y=4x. A．①②④ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①② 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义“若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数”判断即可． 【解答】解：①y=2x+4是一次函数， ∴①符合题意； ②y-4x=8（x-2）经整理，得y=12x-16，是一次函数， ∴②符合题意； ③y=x2-2x+3中x的最高次数是2，不是一次函数， ∴③不符合题意； ④y=x4-x3+2x中x的最高次数是4，不是一次函数， ∴④不符合题意； ⑤y=4x是一次函数， ∴⑤符合题意． 综上，①②⑤是一次函数． 故选：C． 【知识点2】正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． 当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象． 1.（2025春•新华区校级月考）下列函数（1）y=πx；（2）y=-2x+1；（3）；（4）y=x2-1；（5）y=kx（k为常数）中，正比例函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）y=πx是正比例函数，符合题意； （2）y=2x+1，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； （3）不是正比例函数，不符合题意； （4）y=x2-1不是正比例函数，不符合题意； （5）y=kx（k是常数），当k=0时，不是函数，不符合题意； 所以是正比例函数的个数有1个， 故选：A． 【题型1】一次函数的识别 【典型例题】下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A.y＝x2+2x B.y＝ C.y＝x D.y＝+1 【答案】C 【解析】A.y＝x2+2x是二次函数，故此选项不符合题意； B.y＝是反比例函数，故此选项不符合题意； C.y＝x是一次函数，故此选项符合题意； D.y＝+1不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有①y＝﹣8x；⑤y＝0.5x﹣3． 故选：B． 【举一反三2】下列函数关系式中，属于一次函数的是（　　） A.y＝﹣1 B.y＝x2+1 C.y＝kx+b（k.b是常数） D.y＝1﹣2x 【答案】D 【解析】A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意； B．y＝x2+1是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； C．当k＝0时，y＝kx+b不是一次函数，故本选项不符合题意； D．y＝1﹣2x是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三3】“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（　　） A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.反比例函数关系 D.二次函数关系 【答案】B 【解析】∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而减小，符合一次函数关系． 故选：B． 【举一反三4】下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A.y＝x2﹣5 B.y＝3 C.y＝kx+b D.y＝x﹣1 【答案】D 【解析】A.自变量x的次数是2，不是一次函数，故此选项不符合题意； B.没有自变量，不是一次函数，故此选项不符合题意； C.自变量x的系数k可能为0，故此选项不符合题意； D.是一次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【举一反三5】①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有　　个． 【答案】3 【解析】①当k＝0时原式不是一次函数； ②y＝x是一次函数； ③由于y＝x2﹣（x﹣1）x＝x，则③是一次函数； ④自变量次数不为1，故不是一次函数； ⑤y＝22﹣x是一次函数． 综上，正确的有②③⑤． 故答案为：3． 【举一反三6】①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有　　个． 【答案】3 【解析】①当k＝0时原式不是一次函数； ②y＝x是一次函数； ③由于y＝x2﹣（x﹣1）x＝x，则③是一次函数； ④自变量次数不为1，故不是一次函数； ⑤y＝22﹣x是一次函数． 综上，正确的有②③⑤． 故答案为：3． 【举一反三7】以下函数中y是x的一次函数的有　　个． ①y＝2x2+x+1；②y＝2πx；③y＝；④y＝；⑤y＝1-；⑥y＝2x． 【答案】4 【解析】①y＝2x2+x+1是二次函数，故①不符合题意； ②y＝2πx是一次函数，故②符合题意； ③y＝不是一次函数，是反比例函数，故③不符合题意； ④y＝x是一次函数，故④符合题意； ⑤y＝1﹣x是一次函数，故⑤符合题意； ⑥y＝2x是一次函数，故⑥符合题意． 函数中y是x的一次函数的有4个． 故答案为：4． 【题型2】列一次函数关系式 【典型例题】李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A.y＝﹣2x+24 （0＜x＜12） B.y＝﹣x+12 （0＜x＜24） C.y＝2x﹣24 （0＜x＜12） D.y＝x﹣12 （0＜x＜24） 【答案】B 【解析】由题意得：2y+x＝24， 故可得：y＝﹣x+12（0＜x＜24）． 故选：B． 【举一反三1】为响应“低碳生活”的号召，李明决定每天骑自行车上学，有一天李明骑了1000米后，自行车发生了故障，修车耽误了5分钟，车修好后李明继续骑行，用了8分钟骑行了剩余的800米，到达学校（假设在骑车过程中匀速行驶）．若设他从家开始去学校的时间为t（分钟），离家的路程为y（千米），则y与t（15＜t≤23）的函数关系为（　　） A.y＝100t（15＜t≤23） B.y＝100t﹣500（15＜t≤23） C.y＝50t+650（15＜t≤23） D.y＝100t+500（15＜t≤23） 【答案】B 【解析】∵用了8分钟骑行了剩余的800米， ∴速度v＝＝100米/分， 则可得y＝1000+100（t﹣15）＝100t﹣500（15＜t≤23）． 故选：B． 【举一反三2】百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（　　） A.y＝8x+0.3 B.y＝（8+0.3）x C.y＝8+0.3x D.y＝8+0.3+x 【答案】B 【解析】依题意得：y＝（8+0.3）x； 故选：B． 【举一反三3】如表格所示，记录了一个皮球从高处落下后弹跳高度b（cm）与下落高度d（cm）之间的关系，则下列关系式可以表示这种关系的是（　　） A.b＝d2 B.b＝2d C.b＝d+25 D.b＝ 【答案】D 【解析】由表格可得2b＝d， 即b＝， 故选：D． 【举一反三4】某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为　　． 【答案】y＝6+0.3x 【解析】因为初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升， 所以k＝0.3，b＝6， 根据题意可得：y＝6+0.3x（0≤x≤5）， 故答案为：y＝6+0.3x． 【举一反三5】某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为　　． 【答案】y＝2.4x+6.8 【解析】依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8． 故答案为：y＝2.4x+6.8． 【举一反三6】如图，A.B两地相距200 km，一列火车从B地出发沿BC方向以120 km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是　　． 【答案】y＝200+120t（t≥0） 【解析】∵A.B两地相距200 km，一列火车从B地出发沿BC方向以120 km/h的速度行驶， ∴离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是y＝200+120t（t≥0）． 故答案为：y＝200+120t（t≥0）． 【举一反三7】某人用面值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3 min内收费2.4元，以后每超过1 min加收1元．若此人第一次通话t min（3≤t≤45），则IC卡的余额y（元）与通话时间t（min）之间的关系式是　　． 【答案】y＝﹣t+50.6 【解析】由题意得：y＝50﹣[2.4+（t﹣3）×1]＝50﹣（t﹣0.6）＝50.6﹣t，（3≤t≤45）． 故答案为：y＝﹣t+50.6． 【题型3】根据一次函数的定义求字母的取值 【典型例题】已知函数y＝（m﹣3）x+2是y关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A.m≠0 B.m≠3 C.m≠﹣3 D.m为任意实数 【答案】B 【解析】根据题意得： m﹣3≠0， ∴m≠3． 故选：B． 【举一反三1】如果函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是（　　） A.k≠0 B.k＜2 C.k＞2 D.k≠2 【答案】C 【解析】∵函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小， ∴2﹣k＜0， ∴k＞2． 故选：C． 【举一反三2】已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A.m＝±3 B.m≠3 C.m＝3 D.m＝﹣3 【答案】D 【解析】∵函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数， ∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故选：D． 【举一反三3】已知y＝m+1是一次函数，则m＝　　． 【答案】2 【解析】由题意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【举一反三4】若函数y＝+5是一次函数，则m的值是　　． 【答案】2 【解析】∵函数y＝+5是一次函数， ∴m2﹣3＝1且m+2≠0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【举一反三5】若关于x的函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1是一次函数，求m的值． 【答案】解由题意得，|m|﹣1＝1， ∴|m|＝2， 解得m＝±2， 又m﹣2≠0， 即m≠2， ∴m＝﹣2． 【题型4】一次函数的实际应用 【典型例题】某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A.容融的速度为60米/分钟 B.墩墩休息了23分钟 C.第80分钟时，墩墩到达终点 D.领先者到达终点时，两者相距200米 【答案】D 【解析】由图象可得， 容融的速度为：3600÷90＝40（米/分钟），故选项A错误，不符合题意； 墩墩休息了：1000÷40＝25（分钟），故选项B错误，不符合题意； 墩墩的速度为：40+1000÷50＝60（米/分钟）， 50+25+（3600﹣60×50）÷60＝85（分钟）， 即第85分钟时，墩墩到达终点，故选项C错误，不符合题意； （90﹣85）×40＝200（米）， 即领先者到达终点时，两者相距200米，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三1】一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A.15 B.32.4 C.40 D.45 【答案】D 【解析】由函数图象可知，农民自带零钱为5元，降价前售出土豆30千克， 降价前每千克售价为＝0.5（元）， ∴降价后每千克售价为0.4元， ∴降价后销售的土豆为＝15（千克）， ∴这个农民一共带了土豆30+15＝45（千克）， 故选：D． 【举一反三2】物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）间有下表的关系．下列说法不正确的是（　　） A.因变量y是自变量x的一次函数 B.当弹簧长度为18 cm时，所挂物体的质量为0.5kg C.随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长 D.所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加2 cm 【答案】B 【解析】有表格得：y＝2x+15，（0≤x≤a，a为弹簧秤的最大限度） ∴A是正确的； 当y＝18时，2x+15＝18， 解得：x＝1.5， 故B是错误的； 在弹性限度内，弹簧随所挂物品的重量的增加，弹簧的长度逐渐变长； 故C是正确的； 在弹簧的限度内，所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加2 cm， 故D是正确的； 故选：B． 【举一反三3】为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票.二日票.三日票.五日票及七日票共五个种类，价格如下表： 某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为　　元． 【答案】80 【解析】连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案 方案①：买一日票6张，费用20×6＝120（元） 方案②：买二日票3张：30×3＝90（元） 方案③：买三日票2张：40×2＝80（元） 方案④：买一日票1张，五日票1张：20+70＝90（元） 方案⑤：买七日票1张：90元 故方案③费用最低：40×2＝80（元） 故答案为80． 【举一反三4】某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表： 其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱． （1）在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？ （2）写出出售7千克瓜子时的售价； （3）写出y与x之间的关系式； （4）商店规定，当一次性购买100千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班.二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共94人，其中一班比二班多2人，每人买1千克，都用1千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免．问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？ 【答案】解（1）根据题意得：在这个变化过程中，自变量是瓜子的质量，因变量是售价； （2）根据题意得：3.6×7+0.2 ＝25.2+0.2 ＝25.4（元）． 答：出售7千克瓜子时的售价为25.4元； （3）根据题意得：y＝3.6x+0.2； （4）当购买94千克瓜子时所需费用为3.6×94＝338.4（元）； 当购买100千克瓜子时所需费用为3.6×0.9×100＝324（元）． ∵338.4＞324， ∴要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花324元． 【举一反三5】“绿水青山就是金山银山”，石家庄市在乡村振兴实施中，在山区发展养殖业，某农村合作社已经用篱笆圈定了如图所示的长方形养殖场ABCD，AB＝300米，BC＝200米，现计划在原有基础上进行扩建，雇佣两名工人同时沿着射线BC，射线BA方向继续匀速修建篱笆，两人工效相同，如表是BF方向的修建进度． （1）求BF的长度y（米）与时间t（天）的函数关系式； （2）直接用含t的关系式写出BE的长　　； （3）两名工人工作若干天后，市政府安排工程队帮助合作社沿图2中的虚线修建好篱笆，最终将养殖场扩建成以BF.BE为邻边的长方形，面积为120000平方米，问两名工人各工作了几天？ 【答案】解（1）根据表格数据可知，工人每天修建10米， ∴y与t的函数关系式为y＝10t+300． （2）根据题意，得BE＝10t+200． 故答案为：BE＝10t+200． （3）∵BE＝10t+200，BF＝10t+300，BE•BF＝120000， ∴（10t+200）（10t+300）＝120000，即t2+50t﹣600＝0，解得t1＝10或t2＝﹣60（舍去）． ∴两名工人各工作了10天． 【题型5】正比例函数的识别 【典型例题】在下列函数中是正比例函数的是（　　） A.y＝3x﹣4 B.y＝﹣2x+1 C.y＝3x D.y＝4 【答案】C 【解析】A．y＝3x﹣4为一次函数，但不是正比例函数，所以A选项不符合题意； B．y＝﹣2x+1为一次函数，但不是正比例函数，所以B选项不符合题意； C．y＝3x是正比例函数，所以C选项符合题意； D．y＝4为常函数，所以D选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A.y＝2x+1 B.y＝2x2 C.y2＝2x D.y＝2x 【答案】D 【解析】A.y＝2x+1是一次函数，不是正比例函数，故本选项不合题意； B.y＝2x2属于二次函数，故本选项不合题意； C.y2＝2x不是表示y是x的正比例函数，故本选项不合题意； D.y＝2x符合正比例函数的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三2】下列函数中，是正比例函数的是（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝2 【答案】B 【解析】A.y＝，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意； B.y＝，是正比例函数，符合题意； C.y＝，不是正比例函数，不符合题意； D.y＝2，不是正比例函数，不符合题意． 故选：B． 【举一反三3】下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A.y＝2x+1 B.y＝2x2 C.y2＝2x D.y＝2x 【答案】D 【解析】A.y＝2x+1是一次函数，不是正比例函数，故本选项不合题意； B.y＝2x2属于二次函数，故本选项不合题意； C.y2＝2x不是表示y是x的正比例函数，故本选项不合题意； D.y＝2x符合正比例函数的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型6】列正比例函数关系式 【典型例题】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　） A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝ 【答案】D 【解析】依题意有单价为24÷16＝（元）， 则有y＝． 故选：D． 【举一反三1】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　） A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝ 【答案】B 【解析】∵表格中售价是数量的1.8倍， ∴y＝1.8x． 故选：B． 【举一反三2】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　） A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝ 【答案】D 【解析】依题意有单价为24÷16＝（元）， 则有y＝． 故选：D． 【举一反三3】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　） A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝ 【答案】B 【解析】∵表格中售价是数量的1.8倍， ∴y＝1.8x． 故选：B． 【举一反三4】某人购进一批大庙香水梨到市场上零售，已知卖出香水梨的质量x与售价y的关系如下表： 写出用x表示y的关系式：　　． 【答案】y＝20x 【解析】根据表格可知香蕉的单价为20元/千克，则y＝20x． 故答案为：y＝20x． 【举一反三5】下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）的关系如表： 则y与x之间的关系式为　　． 【答案】y＝2.1x 【解析】∵x＝1时，y＝2+0.1，x＝2时，y＝2（2+0.1），当x＝3时，y＝3（2+0.1）， ∴y＝（2+0.1）x＝2.1x， 故答案为：y＝2.1x． 【举一反三6】宋代词人蒋捷曾在《一剪梅•舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量x（kg）之间的关系式是　　． 【答案】y＝16x 【解析】由题意得，购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量x（kg）之间的关系式是y＝16x， 故答案为：y＝16x． 【举一反三7】张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表： 根据表格中的数据，当卖出柚子的重量为6kg时，售价为　　元． 【答案】8.4 【解析】∵售价y随重量x的改变而改变， ∴重量x是自变量，售价y是因变量． ∵从表中可得：y＝1.4x， ∴当卖出柚子的重量x为6kg时，售价y＝1.4×6＝8.4元． 故答案为：8.4． 【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值 【典型例题】若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A.a≠2 B.b＝0 C.a＝2且b＝0 D.a≠2且b＝0 【答案】D 【解析】∵y＝（a﹣2）x+b是y关于x的正比例函数， ∴b＝0，a﹣2≠0， 解得：B＝0，a≠2． 故选：D． 【举一反三1】若函数y＝﹣2x+m是关于x的正比例函数，则m的值为（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】∵函数y＝﹣2x+m是正比例函数， ∴m＝0， 故选：B． 【举一反三2】已知函数y＝x+k﹣1是正比例函数，则常数k的值为（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.±1 【答案】C 【解析】由题意可得：k﹣1＝0， 解得k＝1， 故选：C． 【举一反三3】若函数y＝kx+k﹣1是正比例函数，则k的值为　　． 【答案】1 【解析】∵y＝kx+k﹣1是正比例函数， ∴k﹣1＝0且k≠0， ∴k＝1． 故答案为：1． 【举一反三4】已知关于x的函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数． 【答案】解∵y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数， ∴|m|﹣2＝1， ∴|m|＝3， ∴m＝±3； 又∵y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数， ∴m﹣3≠0， ∴m≠3， ∴m只能等于﹣3； ∵n﹣2＝0， ∴n＝2． 【举一反三5】已知关于x的函数y＝（m+2）x|m|﹣1+n﹣5，当m，n为何值时，它是正比例函数？ 【答案】解∵y＝（m+2）x|m|﹣1+n﹣5是正比例函数， ∴m+2≠0且|m|﹣1＝1且n﹣5＝0， 解得m＝2，n＝5． 即当m＝2，n＝5时，函数y＝（m+2）x|m|﹣1+n﹣5是正比例函数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2认识一次函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】一次函数的识别 2 【题型2】列一次函数关系式 3 【题型3】根据一次函数的定义求字母的取值 5 【题型4】一次函数的实际应用 5 【题型5】正比例函数的识别 8 【题型6】列正比例函数关系式 8 【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数． 1.（2024秋•靖西市期末）下列函数为一次函数的有（　　） ①y=2x+4；②y-4x=8（x-2）；③y=x2-2x+3；④y=x4-x3+2x；⑤y=4x. A．①②④ B．①③⑤ C．①②⑤ D．①② 【知识点2】正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx． 当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象． 1.（2025春•新华区校级月考）下列函数（1）y=πx；（2）y=-2x+1；（3）；（4）y=x2-1；（5）y=kx（k为常数）中，正比例函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型1】一次函数的识别 【典型例题】下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A.y＝x2+2x B.y＝ C.y＝x D.y＝+1 【举一反三1】在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】下列函数关系式中，属于一次函数的是（　　） A.y＝﹣1 B.y＝x2+1 C.y＝kx+b（k.b是常数） D.y＝1﹣2x 【举一反三3】“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（　　） A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.反比例函数关系 D.二次函数关系 【举一反三4】下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A.y＝x2﹣5 B.y＝3 C.y＝kx+b D.y＝x﹣1 【举一反三5】①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有　　个． 【举一反三6】①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有　　个． 【举一反三7】以下函数中y是x的一次函数的有　　个． ①y＝2x2+x+1；②y＝2πx；③y＝；④y＝；⑤y＝1-；⑥y＝2x． 【题型2】列一次函数关系式 【典型例题】李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A.y＝﹣2x+24 （0＜x＜12） B.y＝﹣x+12 （0＜x＜24） C.y＝2x﹣24 （0＜x＜12） D.y＝x﹣12 （0＜x＜24） 【举一反三1】为响应“低碳生活”的号召，李明决定每天骑自行车上学，有一天李明骑了1000米后，自行车发生了故障，修车耽误了5分钟，车修好后李明继续骑行，用了8分钟骑行了剩余的800米，到达学校（假设在骑车过程中匀速行驶）．若设他从家开始去学校的时间为t（分钟），离家的路程为y（千米），则y与t（15＜t≤23）的函数关系为（　　） A.y＝100t（15＜t≤23） B.y＝100t﹣500（15＜t≤23） C.y＝50t+650（15＜t≤23） D.y＝100t+500（15＜t≤23） 【举一反三2】百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（　　） A.y＝8x+0.3 B.y＝（8+0.3）x C.y＝8+0.3x D.y＝8+0.3+x 【举一反三3】如表格所示，记录了一个皮球从高处落下后弹跳高度b（cm）与下落高度d（cm）之间的关系，则下列关系式可以表示这种关系的是（　　） A.b＝d2 B.b＝2d C.b＝d+25 D.b＝ 【举一反三4】某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为　　． 【举一反三5】某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为　　． 【举一反三6】如图，A.B两地相距200 km，一列火车从B地出发沿BC方向以120 km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是　　． 【举一反三7】某人用面值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3 min内收费2.4元，以后每超过1 min加收1元．若此人第一次通话t min（3≤t≤45），则IC卡的余额y（元）与通话时间t（min）之间的关系式是　　． 【题型3】根据一次函数的定义求字母的取值 【典型例题】已知函数y＝（m﹣3）x+2是y关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A.m≠0 B.m≠3 C.m≠﹣3 D.m为任意实数 【举一反三1】如果函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是（　　） A.k≠0 B.k＜2 C.k＞2 D.k≠2 【举一反三2】已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A.m＝±3 B.m≠3 C.m＝3 D.m＝﹣3 【举一反三3】已知y＝m+1是一次函数，则m＝　　． 【举一反三4】若函数y＝+5是一次函数，则m的值是　　． 【举一反三5】若关于x的函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1是一次函数，求m的值． 【题型4】一次函数的实际应用 【典型例题】某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A.容融的速度为60米/分钟 B.墩墩休息了23分钟 C.第80分钟时，墩墩到达终点 D.领先者到达终点时，两者相距200米 【举一反三1】一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A.15 B.32.4 C.40 D.45 【举一反三2】物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）间有下表的关系．下列说法不正确的是（　　） A.因变量y是自变量x的一次函数 B.当弹簧长度为18 cm时，所挂物体的质量为0.5kg C.随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长 D.所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加2 cm 【举一反三3】为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票.二日票.三日票.五日票及七日票共五个种类，价格如下表： 某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为　　元． 【举一反三4】某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表： 其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱． （1）在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？ （2）写出出售7千克瓜子时的售价； （3）写出y与x之间的关系式； （4）商店规定，当一次性购买100千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班.二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共94人，其中一班比二班多2人，每人买1千克，都用1千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免．问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？ 【举一反三5】“绿水青山就是金山银山”，石家庄市在乡村振兴实施中，在山区发展养殖业，某农村合作社已经用篱笆圈定了如图所示的长方形养殖场ABCD，AB＝300米，BC＝200米，现计划在原有基础上进行扩建，雇佣两名工人同时沿着射线BC，射线BA方向继续匀速修建篱笆，两人工效相同，如表是BF方向的修建进度． （1）求BF的长度y（米）与时间t（天）的函数关系式； （2）直接用含t的关系式写出BE的长　　； （3）两名工人工作若干天后，市政府安排工程队帮助合作社沿图2中的虚线修建好篱笆，最终将养殖场扩建成以BF.BE为邻边的长方形，面积为120000平方米，问两名工人各工作了几天？ 【题型5】正比例函数的识别 【典型例题】在下列函数中是正比例函数的是（　　） A.y＝3x﹣4 B.y＝﹣2x+1 C.y＝3x D.y＝4 【举一反三1】下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A.y＝2x+1 B.y＝2x2 C.y2＝2x D.y＝2x 【举一反三2】下列函数中，是正比例函数的是（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝2 【举一反三3】下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（　　） A.y＝2x+1 B.y＝2x2 C.y2＝2x D.y＝2x 【题型6】列正比例函数关系式 【典型例题】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　） A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝ 【举一反三1】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　） A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝ 【举一反三2】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　） A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝ 【举一反三3】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　） A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝ 【举一反三4】某人购进一批大庙香水梨到市场上零售，已知卖出香水梨的质量x与售价y的关系如下表： 写出用x表示y的关系式：　　． 【举一反三5】下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）的关系如表： 则y与x之间的关系式为　　． 【举一反三6】宋代词人蒋捷曾在《一剪梅•舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量x（kg）之间的关系式是　　． 【举一反三7】张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表： 根据表格中的数据，当卖出柚子的重量为6kg时，售价为　　元． 【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值 【典型例题】若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　） A.a≠2 B.b＝0 C.a＝2且b＝0 D.a≠2且b＝0 【举一反三1】若函数y＝﹣2x+m是关于x的正比例函数，则m的值为（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【举一反三2】已知函数y＝x+k﹣1是正比例函数，则常数k的值为（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.±1 【举一反三3】若函数y＝kx+k﹣1是正比例函数，则k的值为　　． 【举一反三4】已知关于x的函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数． 【举一反三5】已知关于x的函数y＝（m+2）x|m|﹣1+n﹣5，当m，n为何值时，它是正比例函数？ 学科网（北京）股份有限公司 $