7.第二十六章 解直角三角形学情调研-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（冀教版）河北专版

真题圈数学 7.(期中·21-22那台襄都区)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，则下列选 同步调研卷（上） 九年级9G 项中不能表示tanB的是() 最 A B品 c 7.第二十六章学情调研 D.BC (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分） 第7题图 第8题图 第9题图 1.(期末·22-23石家庄裕华区)在Rt△ABC中，∠C=90°，若各边都扩大为原来的2倍，则锐角 8.(月考·22-23邢台十九中改编)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则si∠ACB的值 A的正弦值( 为() A扩大为原来的2倍 B,缩小为原来的号 A号 B. c.30 10 D. C.不变 D.无法确定 9.(期中·22-23邯郸永年区)如图，在△ABC中，BC=√5+1，∠B=45°，∠C=30°，则△ABC的 2.(期中·21-22邢台信都区)如图，若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能 面积为( 落在图中的段( A.① B.② C.③ D.④ A3-1 2 +1 C.3+1 2 D.5+1 10.(期中·23-24石家庄十七中)已知在△ABC中，AB=125,AC=13,cosB=5,则BC的 2 长为( 0.5 0.7 D.9 A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 第2题图 第4题图 第6题图 11.(期中·22-23石家庄二十八中)如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 3.(期末·22-23秦皇岛海港区)在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，如果+bP 2,那么下列结论正确的是( 169,小正方形的面积为49，则sina·cosa=( 49 30 A.bcos B=c B.atan A=b B.i c器 D. C.csinA =a D.ctan B=b 4.(月考·22-23石家庄二十三中)如图，AB是河堤横断面的迎水坡.坡高AC=1.水平距离BC= √3，则斜坡AB的坡度为( A9 B.5 C.309 D.60 第11题图 第12题图 =0,∠A,∠B都是锐角， 12.情境题某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面！，于点A,BE与水平线！，的夹角为a (0°≤a≤90°)，EF∥1∥2，若AB=1.4m,BE=2m,车辆的高度为h(单位：m,不考虑闸 匹0 则∠C的度数是( 阳图 口与车辆的宽度，给出下列说法： A.750 B.90° 图 C.1059 D.120 ①当a=90时，h小于3.3m的车辆均可以通过该闸口： 最品 6.(月考·23-24石家庄外国语)如图，在平面直角坐标系内，点P与原点0的距离OP=3,线段 ②当a=45时，h等于2.9m的车辆不可以通过该闸口： OP与x轴正半轴的夹角为a,且cosa=号，则点P的坐标是() ③当a=60°时，h等于3.1m的车辆不可以通过该闸口 A.(2,3) B.(2,V5) 其中正确的个数为() C.(V5,2) D.(2,V5) A.0 B.1 C.2 D.3 21 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 18.情境题（期末·23-24石家庄二十八中）(6分)某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖 区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，河旁有一座小山，山高BC=80m,点C,A与河岸 13.计算：3tan30°- E,F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE=45°，∠DBF= 14.(月考·23-24邢台七中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，连接CD.若 31°.若在此处建桥，求河宽(EF的长).（结果精确到1m) BC=4,CD=3,则cos∠DCB的值为 (参考数据：sin31°≈0.52，c0s31≈0.86，an31°≈0.60) 第18题图 第14题图 第15题图 第16题图 15.(期中·23-24石家庄四十中)将45的∠AOB按如图所示的方式放置在一把带有刻度的直尺上， 顶点O与直尺下沿的端点重合，OA与直尺下沿重合，OB与直尺上沿的交点B在直尺上的读数为 2©m,若按相同的方式将22.5°的∠A0C放置在该刻度尺上，OC与直尺上沿的交点为点C,则 DC的长为cm. 16.如图，已知点A的坐标为（√5,1），B为x轴正半轴上一动点，则∠AOB的度数为 ,在点 B运动的过程中，AB+号OB的最小值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19.(月考·23-24石家庄同文中学)(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，AB=5 17.(8分)计算：(1)（期中·22-23石家庄四十八中节选）2sin30°-4cos45°+tan60°+√8 AC=3. 金星牧停 (1)求AD的长 (2)求sin∠DAB的值. 2月考·2-23释台+九中)2cos45°-(x+1吾+()+m450 D 第19题图 一22 20.数学归纳(8分)嘉琪在某次作业中得到如下结果： 2.(期中·23-24张家口宣化区)(10分)如图，tan∠ABC=号，DA1BA于点A,DC1BC于点C, sin27°+sin83°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018， DA=3.DC=7. 梁 sin229°+sin261°≈0.482+0.87=0.9873，sin237°+sin2530≈0.602+0.802=1.0000， (1)求cos∠ABC,sin∠ABC的值 sim245°+sin245°= (2)连接BD,求BD的长. 据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=a,有sin2a+sin(90°-a)=1. (1)当a=30时验证sin2a+sin2(90°-a)=1是否成立. (2)请你对嘉琪的猜想进行证明 第22题图 21.(期中·22-23石家庄二十入中)(10分)如图，某轮船沿正东方向以30km/h的速度航行，在A处 测得岛C在北偏东60°方向，20mm后轮船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛 盗印必究 关爱学子 C周围9km内有暗礁. 指绝器到 参考数据：V3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259. (1)B处离岛Ckm. (2)如果轮船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由 (3)如果轮船在B处改为向东偏南15方向航行，有无触礁危险？请说明理由 0 5 第21题图 -23 23.(10分)【网格中的锐角三角函数】 24.(月考·23-24石家庄十七中)(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=10,AD=15,tanA 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形，在网格中更有利 =},P为AD边上任意一点，连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ. 于我们发现或构造一些直角三角形， (1)当∠DPQ=20时，∠APB= (1)如图①，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点 (2)当tan∠ABP:tanA=3:2时，求点Q与点B间的距离.（结果保留根号） 都在格点上，则cos∠ABC的值为 (3)若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上，直接写出B,Q两点之间的距离 (2)如图②，在每个小正方形的边长为1的网格中，连接DN和EC,DN和EC相交于点P,结合 下面的分析，直接写出an∠CPN的值为 Q 【分析】 观察发现问题中的∠CPW不在直角三角形中，可利用画平行线等方法实现角的转移，从而解决 此类问题，比如连接MN,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到 第24题图 Rt△DMW中 备用图 (3)如图③，在每个小正方形的边长为1的网格中，AW与CM相交于点P,则si∠CPN的值 为 ② 3 第23题图 精品 盗印必究 关学子 金星收停 绝篇国 -24真题圈数学九年级9G AC⊥AD,∴.∠BEA=∠DAC=90° 在Rt△ABD中，∠B=45°，∴.BD=AD 又：∠EOB=∠AOD,∴.△EOB∽△AOD, 在Rt△ACD中，∠C=30°，.CD=√5AD ·鹘%-器 BD+CD BC,.AD+3 AD=3+1,.AD 1. 80:0D=1:38-器=写 ∴.SAARC= ×BCAD=5.故选C 2 A0=35,.E0=V5,.AE=4W3, 10.D【解析】：cosB= 要，“∠8=450分情况讨论 ,∠ABC=∠ACB=75°， ①当△ABC为钝角三角形时，如图①.·AB=12√2，∠B= ∴.∠BAC=30°，AB=AC,∴.AB=2BE. 45°，.AD=BD=12.,'AC=13,∴.由勾股定理得CD=5, 在Rt△AEB中，BE2+AE=AB2, 即BE+(4V5)2=(2BE)2,解得BE=4(负值已舍去). ∴.BC=BD-CD=12-5=7.②当△ABC为锐角三角形时， 如图②，易得BC=BD+CD=12+5=17.故选D ..AB=2BE=8. 7.第二十六章学情调研 1.C2.A 3.C【解析】a2+b2=c2,△ABC是直角三角形，且∠C= 90°，∴.sinA=g,即csinA=a,∴.C选项正确.故选C 4.A【解析】：坡高AC=1,水平距离BC=√5，.斜坡AB的 ① 技度为m8=发瓷-方-9滋法A 第10题答图 12 11.B【解析】如图，：小正方形的面积为49，大正方形的面积为 &C【解新抽题意可得血4-牙，个9-m-0, 2 2 169,.小正方形的边长是7，大正方 a9-=0,9B=0,a4-9, 形的边长是13.在Rt△ABC中， 2 2 cos B =3 AC2+BC2 AB2,AC2+(7+AC)2= 又：∠A,∠B都是锐角，.∠A=45°，∠B=30°， 132,整理得AC+7AC-60=0,解得 .∴.∠C=180°-∠A-∠B=105° AC=5或AC=-12(舍去)，.BC= 故选C. 75=12,i恤a=%=言osa 第11题答图 6.D【解析】过点P作x轴的垂线，交x轴于点A(图略)，：OP 60 =3,cosa=号，0sa=8器号=号01=2A= =%-号，则sma·cosa= 故选B 12.C【解析】由题意知，限高曲臂道路闸口的高度为(1.4+2· V32-22=√5，.点P的坐标是(2，√5).故选D sin a)m. 7.D【解析】：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上 ①当a=90°时，h<(1.4+2)m,即h<3.4m的车辆可以通过该 的高， 闸口，故①正确 .△ABC,△ADB,△ADC均为直角三角形 又：∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，∴.∠B=∠DAC 回当a=45时，h31.4+2×号m, 在△ABC中，mB=号放A可以表示amB: 即h<(1.4+√2)m的车辆可以通过该闸口， 在Rt△ABD中，amB=品放B可以表示mB; :2.9>1.4+V2 在R△ADC中，amB=m∠DAC=光放C可以表示amB: .h等于2.9m的车辆不可以通过该闸口，故②正确 D不能表示tanB.故选D. ③当a=60时，h1.4+2×5 m, 8.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点 即h<(1.4+√3)m的车辆可以通过该闸口， D.设每个小正方形的边长为1，在 3.1<1.4+V3, Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=3, .h等于3.1m的车辆可以通过该闸口，故③不正确. DC=1,∴.AC=√AD2+DC2=V0, 故选C ·sin∠ACB=4D=3=3o 40=i0=0· 13.V5-4 第8题答图 故选C. 14.号【解析：在△ABC中，LACB=90,D为AB边的中点， 9.C【解析]如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. AD=BD=CD=)AB,·LDCB=LB.又：CD=3, ∴AB=6,“cos∠DCB=cosB=%=君=号故答案为号 15.(2+2√2)【解析】由题意得BC∥OA,∠BD0=90°，DB 第9题答图 12=2cm,i∠DB0=∠40B=45,0B=02Dg COS∠DBO 答案与解析 2√2cm.:∠A0C=22.5°，∴.∠B0C=∠AOB-∠AOC =+1， =22.5°，∠BC0=∠A0C=22.5°，.∠B0C=∠BC0, .当a=30时，sin2a+sin2(90°-a)=1成立 .BC=B0=2√2cm,.DC=BD+BC=(2+2√2)cm (2)【证明】如图，在△ABC中，∠C=90°， 故答案为(2+2√2). 不妨设∠A=a,则∠B=90°-a, 16.30°√3【解析】过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作 .∴.sin2a+sin2(90°-a) BG⊥OA于点G,如图. _BC2+AC2 :点A的坐标为(V3,1),.AC= -(+( AB2 第20题答图 1,oc=5.tam∠40B=怒 =袋=1 -=9:∠108=30e 21.【解】(1)10 /B F、 分析：如图，过点C作CM1AB,垂足为M ·∠DA0=60,BG=)0B, 北 ·AB+OB=AB+BG.延长AC 第16题答图 到点D,使AC=CD,过点D 600 30 作DE⊥OA于点E,与x轴交于点F,连接BD,则CD=AC M A B 15可 =I,BD=AB,∴AB+BG=BD+BG.当点B与点F重合 N F 时，AB+2OB=DF+EF=DE=AD·si血60°=(AC+CD): 第21题答图 由题意得，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBM=90°-30°= sin60°=5.根据“垂线段最短”知，此时AB+号OB最小.故 60°，∴.∠ACB=∠CAB=30°， 答案为30°；√3. 1.解101)原式=2×号4×竖+5+25 AB=BC=30×28=10(km) (2)有触礁危险.理由：在Rt△BCM中，BC=10km,∠CBM =1-2W2+√5+2W2 =60,÷CM=BC·sin60°=5BC=55≈8.6(lkm). =1+√5 2)原武=2x号-1+号2 8.66<9,∴.有触礁危险 (3)没有触礁危险.理由：如图，过点C作CN⊥BF于点N =2-1+2-2+1 在Rt△BCN中，∠CBN=∠CBM+∠MBW=60°+15°=75°， -5-3 BC 10 km, 18.【解]在Rt△BCE中，BC=80m,∠BEC=∠DBE=45°， ∴.CN=BC·sin75°≈9.66km ∠CBE=45°，.∠BEC=∠CBE=45°， 9.66>9,∴.没有触礁的危险. .'CE BC=80 m 22.【解】1)延长CD,BA,相交于点E,如图。 在Rt△BCF中， ,DC⊥BC于点C, BC=80m,∠BFC=∠DBF=31°，tan∠BFC=BC .∴.∠BCE=90°. ÷2≈Q60CF≈133m :tan ZABC=等，tan∠ABC= .EF=CF-CE≈133.3-80=53.3≈53(m). 第22题答图 答：河宽(EF的长)约为53m 设CE=4k(k>0),则BC=3k, 19.【解】(1)：∠C=90°，AB=5,AC=3, .BE=VCE2+BC2=√(4)+(3k)2=5k, .BC=AB2-AC2=52-32=4. os∠Ac=器=s血∠ABC=器-号 “D是BC的中点，CD=号BC=2, (2)DA⊥BA于点A,.∠E+∠ADE=90°. .AD=√AC2+CD2=V32+22=V3. :DC⊥BC于点C,∴.∠E+∠CBE=90°， (2)过点D作DE⊥AB,垂足为E(图略). ∠ADE=∠CBE, :D为BC的中点， Acos∠ADE=0CBE--号 六S&4CD=S△Am=2 ACxCD=3, :cs上ADE=是是-号 AD 3 S△Hm=专ABX DE=-3,DE=号 AD=3,.DE=5, .CE=CD+DE=7+5=12 im∠DMB=器=是=6怨 :m∠CE=号m∠C86-是荒-号Bc=9, 20.(1)【解】当a=30时，sin2a+sin2(90°-a) .BD=√BC2+CD2=92+7=√30. =sim230°+sin260°= 13解1号 真题圈数学九年级9G (2)2 QG⊥AD,交AD的延长线于点G 分析：易得∠DMN=90°，DM=2√2，MN=√2 设PE=x :'CE∥MN,∴.∠MND=∠CPN, 易证△PBE≌△QPG,∴.PE=QG=x,EB=PG=8, ,.tan∠MND=tan∠CPN DG=AE+PE+PG-AD =x-1. ∠DMN=90°， CD∥AB,∴∠GDQ=∠A, im<cv=m∠M0=-2沿-2， 六m∠G00=m4=等-8器高=号=4 故tan∠CPW的值为2. ∴PE=4,.PB=VPE2+BE2=V42+82=45, a)9 .BQ=2 PB =410 ③如图④，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8,BQ= 分析：如图，取格点Q,连接QM, 82. CQ,易得∠CMQ=90°，CQ∥ 综上所述，B,Q两点之间的距离为16或40或8√2 AW,∴.∠CPN=∠QCM,CM= QM=5, M 8.重难题型卷（三）解直角三角形 ∴.△QCM是等腰直角三角形， ∴.∠CPN=∠QCM=45°， 第23题答图 1.A【解析】由题图得∠A0B=609,.s咖∠40B=血60=5 血<cW=m45”=9。 故选A. 24.【解】(1)70°或110° 2.C【解析血A=号，如8=∠么，∠B都是领角， (2)如图①，连接BQ,过点P作PM⊥AB于点M .∠A=45°，∠B=30°，.∠C=180°-45°-30°=105° :am∠4BP:am4=3:2,mA=号am∠ABP=2 故选C 在Rt△APM中，tanA=P兴=4 3.C【解析如图，：将三角尺绕原点O顺 AM-3 设PM=4k(K>0),则AM=3k 时针旋转75°，.旋转后OA'与x轴的夹 30° 在肚△PBM中，m∠ABP=瑞=2， 角为45°..OA=2,.OA'=2,∴.点A MB=2k,∴AB=5k=10, 的横坐标为04·cos45°=2×2 .k=2,.PM=8,MB=4,.PB=V82+42=4V5 √2，纵坐标为-0A'·sin45°=-2× 2 △BPQ是等腰直角三角形，.BQ=√2PB=4V10. =-√2，.点A的坐标为(2，-√2). 即点Q与点B间的距离为410. 第3题答图 故选C. Q C D 6 430°【解析：cosA==6= ,.∠A=30°.故答案 c 22 2 为30° 5.45或60【獬析】.tan2x-(√5+1)tanx+√5=0， B B ∴.(tanx-l)(tanx-V5)=0,.tanx=l或tanx=√5 ① ② 当tanx=1时，x=45°；当tanx=√5时，x=60°. 故x=45°或60°.故答案为45或60. D 6解1)原式-=1-号×（号- 2)原式=3×号-42×9-25-1 2 B ③ ② 7,.B【解析】A.观察图形可得ana=多，不符合题意； 第24题答图 B.观察图形可得ama=号，符合题意； (3)B,Q两点之间的距离为16或4V10或82 分析：分情况讨论：①如图②，当点Q落在直线BC上时，作 C,观察图形可得ama=,不符合题意； BE⊥AD于点E,PF⊥BC于点F,则四边形BEPF是矩形 D.观察图形可得ana=不符合题意。 在R△AB中，：mA==号AB=10, 故选B. 8.C【解析】由题图知，AC=√22+1？=√5，AB=√22+1=5， .BE=8,AE=6,.PF=BE=8. :△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ BC=V32+1=V10. ,AC+AB2=BC,,△ABC是直角三角形，故选项A不符合 .'PF=BF=FQ=8,..BQ=16. ②如图③，当点Q落在CD上时，连接BQ,作BE⊥AD于点E,☑ 题意