5.重难题型卷(二)图形的相似-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（冀教版）河北专版

、真题圈数学 题型二相似模型 (1)若CE=4,求AE的长， 刷步调研卷（上） 九年级90 类型1A字、8字模型 (2)若CD=6,求AB的长 5.重难题型卷（二）】 5.(期中·22-23那台十九中)如图，在△ABC中，点D,E分别 (3)若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积 P 图形的相似 在AB,AC上，∠AED=∠B.如果AE=2,△ADE的面积为4， 四边形BCED的面积为21，那么AB的长为() 出州 题型一 平行线分线段成比例 A.5 B.12.5 1.(月考·23-24石家庄同文中学)如图，直线1∥12∥，直线 C.25 D.√2i AC和DF被1,2，所截，如果AB=3,BC=5,EF=4,那 第10题图 么DE的长是() 号 B32 C. 20 号 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D,AD=3. BD=2,则CD的长为( 第1题图 第2题图 第3题图 A.2 B.3 c D 2.(月考·22-23保定十七中)如图，已知在△ABC中，点D, 7.如图，在△ABC中，AD,BE分别为边BC,AC上的高，AD 类型2一线三等角模型 E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DE∥BC,EF∥AB,且 与BE交于点F,连接ED,则下列结论：①△AEF∽△BDF; 11.(模考·2022秦皇岛海港区一模)如图，在 AD:DB=3:5,那么CF:CB等于() ②△BAF∽△DEF;③∠ABC=∠DEC;④BD·DC= 等边三角形ABC中，点D,E分别在边 A.5:8 B.3:8C.3:5 D.2:5 DF·DA.其中正确的个数为() BC,AC上，且∠ADE=60 3.(月考·23-24石家庄二十七中)如图，在△ABC中， A.4 B.3 C.2 D.1 (1)写出和∠CDE相等的角： DE∥BC,DF∥AC,EG∥AB,且AE:EC=3:2,若BC= 8.(中考·2022河北)如图是钉板示意图，每相邻的4个钉点是 (2)若AB=3,BD=1,则CE的长为 第11题图 10,则FG的长为() 边长为1个单位长度的小正方形的顶点，钉点A,B的连线与 12.探究性问题如图所示，已知边长为1的正方形ABCD,在BC A.1 B.2 C.3 D.4 钉点C,D的连线交于点E,则 边上有一动点E,连接AE,作EF⊥AE,交CD边于点F,连 4.（月考·23-24那台十二中)如图，AD是△ABC的中线，E是 (1)AB与CD是否垂直？ (填“是”或“否”) 接AE 线段AD上的一点，且AD=3AE,连接CE并延长交AB于点E (2)AE= (1)CF的长可能等于吗？说明理由， ①)求荒的值 (2)点E在什么位置时，CF的长为 (2)若AF=2cm,求AB的长 第8题图 第9题图 9.(月考·23-24石家庄八十一中)如图，在△ABC中，∠A= 第4题图 30P,∠B=90,D为B的中点，E在线段4C上，品=瓷。 第12题图 则4E = 10.(月考·22-23北师大石家庄附校)如图，已知AB∥ EF∥CD,AC,BD相交于点E,EF:AB=2:3. -15 类型3共顶点旋转模型 题型三实际应用 题型四动点问题 13.(月考·23-24石家庄四十二中)如图，已知∠1=∠2，那么添 15.情境题古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在 18.(月考·23-24石家庄二十八中)如图， 加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是( 金字塔塔顶A的影子A'处直立一根木杆BC,借助太阳光 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6, A∠C=∠AED 测金字塔的高度，如图所示，木杆BC长2m,它的影长BC 直线I经过C,且I∥AB,P为I上 B.∠B=∠D 是3m,同一时刻测得OA'是201m,则金字塔的高度A0 一个动点，若△ABC与△PAC相似，A C.ABBC ADDE 是 m. 则PC= 第18题图 D"- 19.探究性问题如图，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，矩 第13题图 形OABC的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(12,8)， 14.(期中·21-22张家口宣化区改编)如图，在四边形ABCD中， 现有两动点P,Q,点P以每秒3个单位的速度从点O出发 4C,D相交于点R,点E在BD上.且是=%-S 向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出 (1)如图①，∠1与∠2相等吗？为什么？ 第15题图 第16题图 发向终点B运动，连接PC,PQ,CQ.设运动时间为1(>0)s (2)判断△ABE与△ACD是否相似.并说明理由 16.(期中·23-24邢台信都区)有五本形状为长方体的书放置 (1)点P的坐标为 ,点Q的坐标为 (3)【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC= 在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G (用含1的代数式表示). ∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F, 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm,高度为20cm, (2)请判断四边形APCQ的面积是否会随时间1的变化而变 点D在BC边上，品=5，求=的值 书架宽B1为40cm. 化，并说明理由 (1)CI=cm.(2)FI= cm. (3)若以A,P,Q三点为顶点的三角形与△COP相似，请求 17.(月考·22-23那台十九中)如图，一条东西走向的笔直公路， 出1的值 点A,B表示公路北侧间隔150m的两棵树所在的位置，点 C表示电视塔所在的位置.小王在公路PQ南侧直线行走， 当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P, ② A,C在一条直线上，当他继续走180m到达点Q的位置时， 第14题图 以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔，假设 公路两侧AB∥PQ,且公路的宽为60m,求电视塔C到公 第19题图 路南侧所在直线PQ的距离 第17题图 16答案与解析 (2)(-6,2)(-4,-2) (3)存在，点P的坐标为(19,0)和(3,0). (3)(-2x,-2y) 分析：设点P的坐标是(p,0),则PC=p+6. 20.【解】：∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB, 当△C0D△c8P时，票-瓷，即”6=合解得p= :△DEFn△DCB既=8 19,则点P的坐标是(19,0)： EF=0.3m,DE=0.4m,DC=10m, :瓷-治解得8C=75m 当△c00△CP5时，答-器即6=号解得p=3, 则点P的坐标是(3,0) AB=AC+BC=1.5+7.5=9(m). 综上，点P的坐标是(19,0)和(3,0)： 答：树高AB为9m 24.(1)【证明】：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB= 21.(1)【证明】，CD=CE,.∠CDE=∠CED, AC,.∠B=∠C=45°=∠ADE, ∠AEC=∠BDA. .∠ADB+∠EDC=135°，∠DEC+∠EDC=135°， 又∠DAC=∠B,.△ACEn△BAD .∠ADB=∠DEC,∴.△BDA∽△CED. (2)【解】，AD是△ABC的中线， (2)【解】：四边形ABCD是矩形， ·CD=BD=CE=)BC=3. .∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=3,AD=BC=5. :∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA, 由折叠的性质可得AD=AF=5,∠AFE=∠D=90°， .△ACD∽△BCA, .BF=AF2-AB2=52-32=4,..CF BC-BF 1. 瓷-器即誓=是4c=5 :∠BAF+∠AFB=90°，∠AFB+∠EFC=180°-∠AFE= '△ACE∽△BAD, 90°，.∠BAF=∠EFC,.△ABF∽△FCE, ÷新=骆即=0=55， “咒=器即明是cB=号 22.(1)【证明】如题图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E. DE=CD-CE=3等月 D QC :CE∥0A,80=器∠CMD=∠4CE,∠BMD=∠E (3)【解】能建造出符合要求的三角 :AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD..∠ACE=∠E, 形花园APQ. AE=AC,织=2 在CB上截取CE,使得CE=CQ, AC CD 连接QE,如图. (2)【解：4D是角平分线，“是-韶 B 在菱形ABCD中，∠BAD=60°， 第24题答图 .AB =5 cm,AC=4 cm,BC 7 cm, .∠B=120°，∠C=60°，∴.△CQE是等边三角形， ·=0D解得BD=曾cm ∴.CQ=CE=QE,∠QEC=∠C=60°， (3)【解】：AD是∠BAC的平分线，AB=7,AC=15, .∠PEQ=120°=∠B. “器-是- ∠APQ=120°，∴.∠QPE+∠APB=60°. 15 BC. D=7sBc= :∠B=120°，∴.∠PAB+∠APB=60°. .∠QPE=∠PAB,.△ABP∽△PEQ, :E是BC的中点，.CE=3BC, “器=提=0 11 ,四边形ABCD是菱形，.BC=CD=AB=120m 221 .AP 3PQ,.PE 40 m,BP 3EQ 3EC, :F∥D器=器=5， ∴.3EC+40+EC=120,.CQ=EC=20m, CF-AC=11AF=AC-CF=4. .BP=3EC=60m,DQ=CD-CQ=120-20=100(m). 故能建造出符合要求的三角形花园APQ,此时BP,DQ的长分 23.【解J(1)(12,0)(0,16) (2)AB=VOA+0B2=V122+162=20. 别为60m,100m 作EF⊥x轴于点F(图略)，则△AEF∽△ABO, ÷-怨=8此-品=晋- 5.重难题型卷（二）图形的相似 AB AF=9,EF=12,则OF=12-9=3, 上A【解析直线/6∥5畿-器.：B=3,BC 则点E的坐标是(3,12) =5,P=4,}-9,DE-号故选A 设直线CD的表达式是y=x+b, 2.A【解析】AD:DB=3:5,.BD:AB=5:8 则6k+b=0 4 得k= .DE//BC,.'CE:AC=BD:AB=5:8. 3k+b=12,b=8, .EF∥AB,.CF:CB=CE:AC=5:8.故选A 则直线CD的表达式是y=号x+8, 7AB【解析1：0E∥BC瓷=能.：A:C=3:2, 真题圈数学九年级9G BC=10.-号解得DE=6:DE∥FC,DF∥AC, AC=CF=2. ∠ACM=∠CFD=90°， .四边形DECF为平行四边形，.FC=DE=6 CM=FD=1, :BG∥4B,器-器即-号解得CG=4,PG= ∴.△ACM≌△CFD(SAS), FC-CG=6-4=2.故选B. ∴.∠CAM=∠FCD. 4.【解(1)：AE=5AD, .·∠CAM+∠CMA=90°， ∴DE=AD-AE=AD-号AD=号AD, ∴.∠FCD+∠CMA=90°， AD ∴.∠CEM=90°，∴AB⊥CD.故答案为是 1 (2)过点D作DM∥CF,交AB于点M,如图所示 4 ② M 第8题答图 (2)如图②，在Rt△ABH中， D AB=AH2+BH2=22+4=25 第4题答图 AC∥BD,∴∠CAE=∠DBE,∠ACE=∠BDE, :AD是△ABC的中线，.BD=DC ∴.△ACEn△BDE, :DM∥CR,=2=1,即BM=MR MF DC 小器-品-号“2号= 5 :Dw∥cR架=2器=2， 故答案为4y5 5 ∴.MF=2AF=2×2=4(cm), 9.)或号【解析】如图所示，取AC的中点 ∴.BM=MF=4cm, .4B 4F+MF+BM=2+4+4=10(cm), E,连接DE .AB的长为10cm D为AB的中点，.DE是△ABC的中 5.A【解析】：∠AED=∠B,∠A是公共角， 位线，.DE∥BC,△ADE∽△ABC, D △ADE∽△ACB,AE= AE DE-BC. SAABC AB· :△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21， .△ABC的面积为25. 在AC上取一点F,使得DE=DF,则 B :6=2,“会-（品），解得=5放选人 第9题答图 DF=2BC.'∠A=30,∠B=90°， 6.D【解析】∠BAC=90°，.∠BAD+∠CAD=90 ·∠C=60,BC=)AC.:DE∥BC,∠DEF=60, 'AD⊥BC,∴.∠C+∠CAD=90°，∴.∠C=∠BAD. ∴.△DEF是等边三角形，∴∠DFE=60°=∠A+∠ADE 又：∠BDA=∠ADC=90°，∴.△BDA∽△ADC, :∠A=30°，.∠ADF=∠A=30°，.AF=DF=DE= ·咒=昃，即导=忌，解得DC=号放选D B℃=号×ACAC,·亮=4AC=,当点E在 7.A【解析AD,BE分别为边BC,AC上的高， .∠AEB=∠BDA=90°. 点F处时光=综上，气的值为安好故答案为或行 又，∠AFE=∠BFD,△AEF∽△BDF,故①正确 10.【解】(1)：AB∥EF,.△CEF∽△CAB, “部-隔…紫-既 .EF:AB=2:3=CE:CA. 又：∠AFB=∠EFD,∴.△BAF∽△DEF,故②正确. CE=4,.2:3=4:CA, .∠BAD=∠FED. .CA=6,.AE=CA-CE=6-4=2. :∠BAD+∠ABC=90°，∠DEC+∠FED=90°， (2).'AB∥EF∥CD,.△ABE∽△CDE, .AB:CD=AE:CE. .∠ABC=∠DEC,故③正确. △AEF∽△BDF,.∠DAC=∠FBD, .EF:AB=2:3=CE:CA,.'CE:EA=2:1, 又AD⊥BC,.∠ADC=∠BDF=90°， .'AE:CE=AB:CD=1:2.CD=6,..AB=3. :△FBDCAD,0=8, (3)△CEF的面积为号。 分析：，△CEF∽△CAB, .BD·DC=DF·DA,故④正确.故选A 8.()是(2)【解析1)如图①，在△4CM和△CPD中，8 samw=(需=()=号 答案与解析 SACEE ·SAc+Sa地形F ∴.∠BAD=∠CAE, =9 SACEE 32 △ABD△4cE,·器=0 :∠ADE=30°，∠DAE=90°， 11.(1)∠BAD(2)号【解析】(1)：△ABC是等边三角形， ∴m30-%-9即2-2-5， 31 CE ∠B=∠C=60°， .∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°. 品=52=3 BD :∠ADE=60°， .'∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， ∴.∠CDE+∠ADB=180°-∠ADE=120°， ∴.∠ACB=∠AED=60° .∠BAD=∠CDE, 又，∠AFE=∠DFC,.△AFE∽△DFC, ∴.和∠CDE相等的角为∠BAD.故答案为∠BAD. ·品=器唧架-器 种EF=CF (2)·AB=3,BD=1,△ABC为等边三角形， 又，∠AFD=∠EFC,.△ADF∽△ECF, .'AB BC=3,.'CD=BC-BD=3-1 =2. ÷器=0=3 由(1)得∠B=∠C=60°，∠BAD=∠CDE, 15134【解析】设金字塔的高度40为xm,则六=号，解得x .△ABD∽△DCE, =134,.A0=134m.故答案为134. 六把=2昌运5=号故答案为号 16.(1)20(2)9【解析】由题意得FG=5m,BC=5x4 12.【解(1)不可能.理由：：四边形ABCD为正方形， =20(cm),BI=40cm,EF=20cm,CD⊥BI,BI⊥GI, .∠B=∠C=90°，.∠BAE+∠BEA=90°. EF⊥GF,.CI=BI-BC=40-20=20(cm),∠I=∠ECF ,'EF⊥AE,.∠BEA+∠CEF=90°， =∠EFG=90°，.∴.∠GFI+∠EFC=∠FEC+∠EFC=90°， .∠BAE=∠CEF, :△ABEECF,器=器 .∠GFI=LFEC.在△GFI和△FEC中， ∠I=∠ECF=90, ∠GFI=∠FEC, 设BE=x,则CE=1-x, :△Gn∽AFBC,品=器.设F1=xem,则CF= ·=aCF=4x Bl-BC-fH1=40-20-x=(20-cm.高=0，解得CE 若CF的长等于，则子=-+x, =4x.在Rt△FEC中，CF2+CE2=EF2,即(20-x)2+(4x)2 整理得-+子0， =20,解得x=9或x=0(不符合题意，含去，即川= :b-4ac=(-1)2-4x1×是<0， 9cm故答案为1)20；2)9 ·CF的长不可能等于 17.【解如图，作CE⊥PQ于点E,交AB于点D. （2)由(1)得，当CF的长为2时，=+x, AB∥PQ,∴CD⊥AB, 北 设CD为xm,则CE=(x+60)m. 解得x=或x=子， 3 AB∥PQ,.△ABC∽△PQC, 当E=或E-时，CF的张为器 “器=得 13.c 即x+60-10解得x=30, ,‘A BD 14.【解(1)∠1与∠2相等，理由如下： P 在△ABC和△AED中， 经检验，x=300是分式方程的解， 第17题答图 :船=器=折△Ac△ABD, 且符合题意。 .∴.CE=x+60=300+60=360(m) .∠BAC=∠EAD, 答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360m. .∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2. 18.6.4或10【解析】：在Rt△ABC中，AC=8,BC=6, (2)△ABE与△ACD相似.理由如下： .AB=V82+6=10. 由器-%得光=% 分情况讨论：①当△ABC∽△CPA时，AB:PC=AC:AC,即 在△ABE和△ACD中， 10:PC=8:8,解得PC=10 :怨2=%∠1=∠2△A0E△4cD 经检验，PC=10是方程的解，且符合题意 (3)如图，连接CE. ②当△ABC∽△CAP时，AB:AC=AC:PC,即10：8=8：PC, '∠BAC=∠DAE=90, 解得PC=6.4. B ∠ABC=∠ADE=30°， 经检验，PC=6.4是方程的解，且符合题意 △ABC∽△ADE,.4=AD 第14题答图 综上，若△ABC与△PAC相似，则PC=6.4或10. AC AE 故答案为6.4或10. :∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 真题圈数学九年级9G 19.【解】(1)(31,0)(12,2) 经检验，EG=2.8m是方程的解，且符合题意.故选B. (2)四边形APCQ的面积不会随时间t的变化而变化 11.A【解析】由“和谐”方程的定义可知，方程的一个根为x=1. 理由：因为S形Pw=S矩形oMBc-S△ocpS△Bc0 因为方程有两个相等的实数根，所以x,=x2=1. =12x8-7×8×31-3×12×(8-2)=48, 由根与系数的关系可得-名=x场=2，即6=-20， 所以四边形APCQ的面积不会随时间1的变化而变化 日=X=1,即c=a故选A (3)分情况讨论：①当△COP∽△PAQ时， 12.D【解析】如图，过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N, S-6即2=器解得1=9 9 延长GF交BC于点H. 经检验，1=9是方程的解，且符合题意。 .AB=AC,AD=AG,.AD:AB AG:AC. :∠BAC=∠DAG,∴.△ADG∽△ABC, ②当△COP∽△QAP时， .∠ADG=∠B,∴DG∥BC 6-张即登=2” 2t-12-3t ,'四边形DEFG是正方形， E B 懈得t=2V5-2或t=-25-2(舍去). ∴.FG⊥DG,GF=DG=6, 第12题答图 经检验，t=2√5-2是方程的解，且符合题意. .FH⊥BC,AN⊥DG. 综上所述，：的值为29或25-2 .AB=AC=18,BC=12 BM=BC=6,AM =AB-BM =12. 6.阶段学情调研（一） :△ADG∽△ABC,4=PS AM-BC 1.A2.A3.D “能=合：N=6,N=AMN=65, 4.C【解析】如图，过点A作五条平行 .FH=MW-GF=6V2-6.故选D. 横线的垂线，交第三、四条直线分 13.-5【解析】由题意可知2-2mn-5n=0,.n≠0，，∴.n-2m-5 别于D,E.根据题意得AD=2DE. B/D =0,.2m-n=-5.故答案为-5. :0∥c∴能=提=2 E 14.61【解析从小到大排列的五个数x,3,6,8,12的中位数是 又：AB=3BC=3AB=号 6,,再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位 故选C. 第4题答图 数相等，∴加入的这个数是6.：这六个数的平均数与原来五 5.B【解析】(x-3)2=1,开方，得x-3=±1，解得x=4或x= 个数的平均数相等，号x+3+68+12)=名x+3+6+6+8+12), 2.故选B. 解得x=1.故答案为6；1. 6.A【解析】A.因为没有指明这个45的角是顶角还是底角，所 15.DE(75-25V5)【解析】：C是线段AB的黄金分割点， 以无法判定这两个三角形相似； BC=AC·AB.:D,E分别是AC,BC的中点，∴CD= B.由已知我们可以得到这是两个等边三角形，从而可以根据两 AC.CE-BC.DE =AB.CB DC-DE,:C 角对应相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似； C.已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就 是线段DB的黄金分割点.：BC=51AB=50(5- 2 可以根据两角对应相等的两个三角形相似判定这两个三角形 1)cm,.AC=(150-50W5)cm.:D是AC的中点，.DC= 相似； (75-25√5)cm故答案为DE;(75-25√5). D.因为是等腰直角三角形，所以我们可以根据两角对应相等的 16.4【解析】在Rt△ABC中，AB=6,AC=8, 两个三角形相似来判定这两个三角形相似.故选A. 根据勾股定理，得BC=10. 7.A △ABcn△ADE,8=器， &A【解折】等式两边同除以，得1头+6=0，设为 DE-%·0-g40-号4D 则1-5a+6a2=0,因式分解可得(2a-1)(3a-1)=0,解得a,= ∠BAC=∠DAE=90°， 24,=号则yx=或故选A .∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,∴.∠BAD=∠CAE. 9.A【解析】.小刚在解关于x的方程a2+br+c=0(a≠0)时， △ABC△ADE,8-. .△ABD△ACE,∠ABD=∠ACE. 只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1,.(-12-3+c .'∠BAC=90°，∴.∠ABD+∠ACB=90°， =0,解得c=2,故原方程中c=4,则b4ac=9-4×1×4 =-7<0,则原方程不存在实数根.故选A .∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=90° 10.B【解析】由题图②可得，AF=BG=2.4m,EF=(EG-1.6)m. :点P为线段DE的中点，∴CP=-)DE CD⊥AF,EF⊥AF,.CD∥EF, △4 DCAAFE,器=0. :DE-号AD,CP=3×号AD=名AD 要使CP最小，则使AD最小，当AD⊥BC时，AD最小 :a=30cm=0.3m,b=60cm=0.6m, “互06=9会解得5G=28m 10 :Sax=3AB·AC=)BC·AD,