8.重难题型卷(三)相似三角形-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）陕西专版

、真题圈数学 6.(月考·22-23西工大附中)如图，正方形ABCD的边BC恰 类比探究 步调研卷（上） 九年蚊 好在△ECG的边EC上，点D在边EG上，AB与EG交于点E (2)如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC 8.重难题型卷（三）】 (1)求证：△FAD∽△FBE. G =∠ADE=90°，连接BD,CE,则 CE 相似三角形 (2)若正方形的边长为5，EF: 拓展提升： FD:DG=2:1:1,求△ECG的 E (3)如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC= 图出 题型一 相似基本模型(A字、8字) 面积. 第6题图 ∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD,CE 1.(期中·23-24西安八十五中)如图，在△ABC中，D,E为边 AB的三等分点，EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交点.若 ①球2的值， AC=6,则DH=() ②设CE交AB于点F,延长CE交BD于点G,求∠BGC的大小 A.1 B.2 C.1.5 D.3 第1题图 第2题图 第3题图 2.(月考·21-22西工大附中)如图，点D是△ABC的边BC上 第9题图 一点，AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,若△ABD的面积为 30.则△ACD的面积为( ) 题型二共顶点旋转模型 A.10 B.12 C.15 D.30 7.(开学考·22-23西安滨河学校)如图，如果∠BAD=∠CAE, 3.(月考·23-24陕师大附中)如图，在口ABCD中，点E在CD 那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的 上，EC:DC=1:3,连接AE交BD于点F,则△DEF与 是() △BAF的周长之比为(） A.∠B=∠D B.ABBC AD DE A.4:9 B.1:3 C.1:2 D.2:3 C.∠C=∠AED D.4=49 4.（期中·23-24宝鸡一中)如图，线段AB,CD的端点都在正 AD AE 方形网格的格点上，它们相交于点M若每个小正方形的边长 都是1，则%的值是 第7题图 第8题图 题型三一线三等角模型 8.(月考·23-24西安高新一中改编)如图，点B,D,E在一条 阳图 直线上，E与4C相交于点R,8=能=若F= 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,P是边AD上一动 点（不与端点A,D重合，E是边AB上 图 第4题图 第5题图 CF,△AEF的周长等于多，则△CBF的周长为 一点，连接PC,PE,CE,设BE=a若 鼠 5.(期中·22-23西安爱知中学)如图，点D,E分别是△ABC的 9.(月考·22-23陕师大附中) 存在唯一一点P,使∠EPC=90°，则a 边AB,BC上的点，DE∥AC,AE,CD交于点F,若= 问题呈现： 的值是( 子，则之肛的值是 (1)如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，连接BD, AI B 第10题图 SAACF CE.求证：BD=CE. C.3 D.6 -25- 11.(期中·22-23西安高新一中)如图，在等边△ABC中，点D 题型五分类讨论思想 题型六最值问题 是AB边上的一个动点（不与点A,B重合，以CD为边作等 14.(月考·22-23西安西光中学)如图，已知 18.(月考·22-23西安高新一中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC 边△EDC,AC与DE交于点F,连接AE. 点P是边长为4的正方形ABCD内一点， =90°，AB=3,BC=5,点P为BC (1)求证：△ADFn△BCD. 且PB=3,BF⊥BP于点B,在射线BF 边上任意一点，连接PA,以PA,PC为 (2)若AB:BD=5:2,且AB=20,求 上找一点M,使以点B,M,C为顶点的三 邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,B △ADF的面积. 角形与△ABP相似，则BM的值为( 则PQ长度的最小值为 第18题图 A.3 第14题图 19.（月考·23-24西安滨河学校)如图，在矩形 第11题图 B.号 ABCD中，AB=8,AD=6,在平面内有一点 C.3或4 D.3或9 E,BE=5,过点E作FE⊥BE于点E,且 15.(月考·22-23西工大附中)如图，在 EF=3,连接BF,DE,DF,H为线段DF上 两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC =90°，AC=√6，AD=2.当AB= 一点，且DH=各DF,连接EH,则EH的最 时，△ABC与△ACD 小值为 第19题图 相似。 20.(月考·20-21西工大附中)如图，在边长 A D 第15题图 16.(月考·23-24陕师大附中)如图，在△ABC中，BA=BC 为4的正方形ABCD内有一动点P,且 =10cm,AC=l5cm,点P从点A出发，沿AB方向以 BP=√2.连接PC,将线段PC绕点P逆 4cm/s的速度向点B运动；同时点Q 时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ,DQ, 从点C出发，沿CA方向以3cms的 4Q,则DQ+CQ的最小值为 第20题图 速度向点A运动，当其中一点到达终 21.(月考·22-23西安铁一中)如图，在 点时，另一点也随之停止运动.设运 题型四内接矩形模型 动时间为x(x>0)s.当△APQ与 △ABC中，AB=6,AC=2,以BC 12.(月考·23-24西安铁一中改编)如图，矩形EFGH内接于 第16题图 为斜边向下构造直角三角形BCD,且 △CQB相似时，x的值为 △ABC,且边FG落在BC上，若AD⊥BC,BC=3,AD=2, 17.(开学考·23-24西安铁一中)如图.P点在BD上，AB⊥ ∠BCD=60°，连接AD,则AD的最 第21题图 EF=是EH,则EH的长为(） BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D. 大值为 B c号 D (1)若AB=4,BP=3,PC=10,CD=6,求证：AP⊥PC 22.(开学考·23-24西安交大附中)如图，在△ABC中，∠ABC (2)若AB=6,CD=4,BD=14,点P在BD上移动，当 =90°，AB=BC=2,作直线AD∥BC,点E为直线 D △PCD与△ABP相似时，求PB的长， AD上的一个动点，连接CE,在 CE右侧作等腰直角三角形CEF, 使得∠CEF=90°，EC=EF,连 接AF,则△ACF周长的最小值 第22题图 P D B P P,P QQ Q C 为 第12题图 第13题图 第17题图 23.(月考·22-23西安滨河学校)如图，在边长为3，面积为6的 13.(期中·22-23西安高新一中)如图，在△ABC中，AB=AC 菱形ABCD中，P为边AD上不与点A,D重合的一动点，Q =3V5,BC=6,现分别作△ABC的内接矩形PQ,M,N, 为边BC上任意一点，连接AQ, D PQMN,PQ,M,N,设这三个内接矩形的周长分别为C, DQ,过点P作PE∥DQ交AQ于 C,C,则C+C+C的值是(） 点E,作PF∥AQ交DQ于点F,则 A.18B.185 C.18+95 D.36 △PEF面积的最大值是 第23题图 -26答案与解析 ,△ABC为等边三角形，.AB=4 又0-8瓷=1，△ADB∽△CDG, 由(I)知△ADB∽△DEC, ·2=提即品=名CE=3 六品=2∠D4B=∠cG,cG=64g AD2 :'∠ADE=∠DCB,∴.∠DCB+∠DCG=90°， 24.【解】：CD⊥BG,FG⊥BG,∴.∠CDE=∠FGE=90°. ∴.∠BCG=90°， 又：∠CED=∠FEG,.△CDE∽△FGE, “品=器 BG=BC+CG,AC=100+64CD AD2 CD=4,FG=1.6,EG=2.4, 小王的设计可达到要求.理由： “能=总解得DE=6 CD>AD,∴.AC2>164>12.82=163.84, ∴.AC>12.8cm,.小王的设计可达到要求. :BD=57,.BE=BD+DE=57+6=63. AB⊥BG,CD⊥BG,∴.∠ABE=∠CDE=90° 8.重难题型卷（三）相似三角形 又：∠AEB=∠CED,∴.△ABE∽△CDE, ÷品=品即給=合解得4B=2, 1.A【解析】：D,E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC, .BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF, ∴.凌霄塔的高度AB为42m. 25.【解(1)设经过xs,△PCQ的面积为8cm2. AB=3BE,DH是△AEF的中位线，.DH=)EF 由题意得，AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm, .EF∥AC,∴.△BEF∽△BAC 则号(6-x)·2x=8,整理得x2-6x+8=0, “器=器即零=解得F=2 解得x1=2,x2=4. DH=号EF=)×2=1故选A 所以点P,Q同时出发，经过2s或4s,△PCQ的面积为8cm2. 2.A【解析】：∠DAC=∠B,∠C=∠C,.△ACD∽△BCA. (2)设经过ts,以P,C,Q为顶点的三角形与△ABC相似，则 AB=4,AD=2, PC =(6-t)cm,CQ =2t cm. 当△P0△4CB时，器-瓷。 ÷-(品-(-即s。w=5 SABCA BC Sm=Se 即66=台解得1=号 5· 当AP00ABC1时，瓷-器， SaIm=号Sam=10,故选A 一AC 3.D【解析】，四边形ABCD为平行四边形，.DC∥AB,易得 即6g=若解得1=肾 △DFE∽△BFA. 综上可得，经过号s或s,以P,C,0为顶点的三角形与 .EC:DC=1:3,.DE:DC=2:3, .DE:AB=2:3, △ABC相似. 26.【解】(1)AD=V3BE C△DEFC△M=2:3.故选D, (2):AC=3CE=多BC=6, 4.号【解析】如图，取格点J,K,设AB交K于点O. .·AU∥BK,易得△AJO∽△BKO BC=4,CE=2, ∴.JO:OK=AJ:BK=1:3, .AB=√BC2+AC2=V16+36=213 :将△ADE绕点A顺时针旋转a(0°<a<360°)得到△ANM, 0K= 4 .AE=AM,AD=AN,∠BAC=∠MAN, ÷0D=DK+OK=子 ∴.∠CAM=∠BAN DO∥BC, .'DE⊥AC,∠ACB=90°，.BC∥DE, 易得△DOM∽△CBM, 4S=4g=4w=6=3 D 7 AB AD AN 213 13' …20-2--0 第4题答图 .△ACM∽△ABN, 器=器“赢=39 “%=号故答案为号 :BN=正k 5号【解析：=方BE:BC=1:2, S△CDE 3 ∴.BE:BC=1:3. (3):DE⊥AB,E是AB的中点， G “DE∥AC,·△BDE∽△BAC,DS=B5=号 AD=DB,∠ADE+∠DAB= AC-BC=3 又：DE∥AC,.∠DEF=∠CAF 90° 又∠DFE=∠CFA, 如图，将△ACD绕点D逆时针旋 ∴.△DEF∽△CAF, 转得到△BGD,连接CG, .AC=BG,CD=DG,∠ADC ·二-（器-周-，故答秦为） S△ACF =∠BDG, B 6.(1)【证明】：四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADB=∠CDG, 第26题答图 ∴.∠A=∠ABC=∠ABE=90°. 真题圈数学九年级 :∠EFB=∠DFA,.△FAD∽△FBE. ∴.∠EDC=∠ABC=∠BAC=60°， (2)【解】如图，过点G作GH .∠ADF+∠BDC=120°，∠BDC+∠BCD=120°， ⊥EC,交EC的延长线于 ∴.∠ADF=∠BCD 点H,则BF∥CD∥HG 又∠DAF=∠CBD,∴.△ADF∽△BCD. “器-=2， B (2)【解】如图，过点C作CH⊥AB .BE=10,.CE=15. 于点H. 第6题答图 CD∥HG, ,·△ABC是等边三角形，AB:BD H .△CDE∽△HGE, =5:2,AB=20, D 器-瓷即品=Gm=9 .BD 8,AC=BC AB= ·△ECG的面积=号CE·GH=分×15×29=50 20,.AD=12. 在Rt△BCH中，∠B=60°， 第11题答图 7.B &5【解折：光-器-怨△AC△DE, ÷∠BCH=30°，÷BH=号BC=10, :CH=BC2-BH2=103, .∠E=∠C.又∠AFE=∠BFC, ÷S6c=号8D·CH=克x8x105=405. ∴.△AFE∽△BFC, 由(1)知△ADF∽△BCD, 2 9 C△CBF =5. --喝- S△BDC 故答案为5. 9.(1)【证明：△ABC和△ADE都是等边三角形， 即80芳-是5w-号5. .AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°， 12.A【解析】如图，设AD交EH于点K, .∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, :四边形EFGH是矩形，且边 .∠BAD=∠CAE. FG落在BC上，.EH∥BC, AB=AC. ∠KEF=∠EFD=90°. 在△BAD和△CAE中，{∠BAD=∠CAE, :AD⊥BC于点D, AD=AE, .∠AKE=∠KDF=90°， ∴.△BAD≌△CAE(SAS),∴.BD=CE. ∴AK⊥EH,四边形EFDK是 B FD G (2)2 矩形， 2 第12题答图 分析：，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， :DK=Er=号EM ·4P==,LDAE=∠BAC=45°， AE=AC=友1 、”A班∽△ABC,4=6,盟-二1 3 2 .∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, ∴∠BAD=∠CAE,∴.△BAD∽△CAE, :EH=多故选A A “器是-方竖 13.D【解析】如图，过点A作AD⊥BC 于点D N (3)【解①：∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°， .AB=AC=35,BC=6, N, “怨=是-9 ·BD=CD=3BC=3,∠B :∠CAE=∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB=∠BAD, =∠C,.AD=VAB2-BD2= N 六△CAEB0,“器=器=号 V35)2-32=6. ,四边形PQ,MN,是矩形， B P:P P D QQ Qs C ②由①得△CAE∽△BAD, 第13题答图 .∠ACE=∠ABD. .PQ=MN,NP MQ, NP,⊥BC,.NP,∥AD, ∠AFC=∠BFG,∴.∠BGC=∠BAC=30° 10.B【解析】∠EPC=90°，∠APE+∠DPC=90°. ∴△BNP1∽△BAD, :BP BD NP AD,.NP=2BP .∠D=90°，∴.∠DCP+∠DPC=90°， ∠B=∠C, .∠APE=∠DCP 在△BPN,和△CQ,M,中，{∠BPN,=∠CQM1=90°， 又∠4=∠D=0,△MPE△DcP,=祭 NP=MQ, 设AP=x,则DP=10-x,AE=6-a. .△BPN≌△CQ,M,(AAS), ÷言=602.即-10+36-6a=0 .BP =CQ, 由题意，得4=0，即100-144+24a=0, CI N P+P Q+MQ+MN=2BP +2P Q+2BP =2(BP 解得a=名故选B +PQ,+BP)=2(BP+PQ,+CQ,)=2BC=2×6=12. 11.(1)【证明】△ABC与△EDC为等边三角形， 18同理，c=G=℃=12 答案与解析 .C+C+C3=36.故选D. 综上所述，PB=8.4或2或12. 14.D【解析，四边形ABCD是正方形， 18号【解析如图，设PQ交AC .∠ABC=90°，AB=BC=4. 于点O,在Rt△ABC中， 又∠PBF=90°，∴∠ABP=∠CBF=90°-∠CBP ∠BAC=90°，AB=3,BC=5, 若以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似，分两种情况： 可得AC=4. B ①如国①.3-兴：∠8P=∠c8F :四边形APCQ是平行四边 第18题答图 :△ABP△MBC,即号=Y,解得BM=9; 形，∴.PO=QO,CO=AO=2,故PQ最短也就是PO最短 34 ②如图@，品=8品：∠p=∠c0R、 如图，过点O作BC的垂线OP,垂足为P :∠ACB=∠PCO,∠CPO=∠CAB=90°， :△ABPn△CBM,即号=品，解得BM=3. .△CAB∽△CPO, 综上所述，满足条件的BM的值为3或， 3 ∴瓷=品，即品0P=导， 故选D ·PQ的最小值为20P=兰， 5 故答案为号 19.6【解析】在线段BF上取点M,使BM=子BF,连接BD, EM,MH(图略). 由题可得BD=√AB2+AD2=10,BF=√BE2+EF2=2N3, 则8M=9·器=2器=2， ① ② ·器-器 第14题答图 又，∠EBM=∠FBE, 15.3或3√2【解析】∠ACB=∠ADC=90°，AC=√6，AD= 2,∴CD=2. △BMn△PBE,学=器=分∠BMB=∠PEB= ①当AB:AC=AC:AD时，△ABC∽△ACD, 90,∴.EM=多，EMLBF 六后=9解得8=， 易知架-票-，同理可得△MF∽△BDP, ②当AB:AC=AC:CD时，△ABC∽△CAD, %-器-Nm=号 “得-9解得8=5 当M,E,H三点共线时，EH有最小值，且最小值为MH-EM =6故答案为6（也可延长FE至点N,使E=寻E,连接 故答案为3或32 BD,ND,NB,构造相似三角形解决问题) 16多或号【解析D当△MQn△CQB时，有铝=号，即發 20.5【解析】如图，连接AC M =1503x,解得x=多： :∠ACB=∠QCP=45°， 10 ②当△AP0n△CB0时，有铝-器， ∴.∠ACQ=∠BCP 即4=15,3江，解得x=多或x=-5(舍去). “袋=柴=方 10 3x .△BPC∽△AQC, 综上，x=号或号故答案为或号 第20题答图 ..AQ=2 BP=2. 17.(1)【证明】：CD L BD,PC=10,CD=6, 在AD上取一点M,使得AM=1,连接MQ. .'PD=PC2-CD2=8, :∠0=∠00，岩-器- AB:BP=4:3,PD:CD=8:6=4:3, “部=器 △M0A△0DA,MQ=号D0, 又.∠ABP=∠PDC=90°， ÷(20+c0=0:c0)=Mc=MD+nc=5 min .△ABP∽△PDC,∴.∠A=∠DPC 故答案为5. :∠A+∠APB=90°， 21.3+√3【解析】如图，以AB为斜边构造直角三角形ABE,使 .∠DPC+∠APB=90°， ∠AEB=90°，∠BAE=60°，连接DE .∠APC=90°，AP⊥PC (2)【解】分情况讨论： ①当△ABP△CDP时，则8=路，即=4B 解得PB=8.4; ②当△ABP△PDC时，则号-器即4P西=学， 解得PB=2或12. 19 第21题答图 真题圈数学九年级 ,∠BCD=60°，∠BDC=90°， △BME么B0器=后提-器 Somr=(S△A0oSA-SaAe）=3-号2-号3-)2 :0=86,∠ABE=∠CBD, ×分-号r=-x-+是即S-是 ∴∠ABC=∠EBD,.△ABC∽△EBD, :.△PEF面积的最大值是子， 小%能=箭=清E=学c=5 故答案为 当点A,E,D共线时，AD最大， :AE=2AB=3, 9.第五章学情调研 AD的最大值为AE+DE=3+√3. 1.A2.A3.A 故答案为3+√5. 4.D【解析】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行.则正方形 22.2√2+2√10【解析】如图，连接BE,作点C关于AD的对称 纸板在太阳光下的投影应是平行四边形或特殊的平行四边形 点C,连接BC交AD于点E,连接CE,.CE+BE=CE+ 或线段，不可能为梯形.故选D BE'≥BC',当E点与E'点重合时，EC+EB=E'B+E'C= 5.C【解析】当小红走到灯下之前时，1随s的增大而减小；当小 BC,即BE+EC最小. 红走到灯下后再往前走时，1随s的增大而增大.故选C C 6.C 7.C【解析】如图，设树在第一级台阶上面的部分 为xm,则4-44平02解得x=15, D ∴.树高是11.5+0.3=11.8(m) 8.D【解析】由俯视图易得最底层有5个小立 方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方 0 体，最少有1个小立方体，那么小立方体的个 0.3.44 0.2 第22题答图 数可能是6或7或8.故选D. 第7题答图 :AD∥BC,AB⊥BC,.CC'L BC. 9.主视图左视图 .AB=2,..CC=4,..BC=BC2+CC2=25 10.越大【解析】当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子越 ,△ABC,△ECF是等腰直角三角形， 大.故答案为越大 11.8√3【解析】：该几何体是底面为正三角形的直三棱柱， 又：∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+∠ACE,∠ACF=∠ACE+ .底面等边三角形的高为2√3，根据勾股定理可得底面等边三 ∠ECF=45°+∠ACE, 角形的边长为4， .∠BCE=∠ACF,∴.△BCE∽△ACF, 底面面积=7×4×25=45 ·骺-器-能=， ,直三棱柱的高为2， .当△ACF的周长最小时，△BCE的周长最小， ∴.直三棱柱的体积=4vV5×2=8√5 ∴.△ACF周长的最小值为△BCE周长的√2倍 故答案为8√5. :BE+EC的最小值为BC'=2√5， 12.40【解析】：等的高度=水塔的高度 竿的影长 水塔的影长 ·.△BCE周长的最小值为BC+BC=2+2W5, ,△ACF周长的最小值为√2×(2+2√5)=2W2+210. :水塔的高度=率蔡×水塔的影张= .5 ×30=40(m). 故答案为2√2+2W10 故答案为40. 23?【解析]设PD=x,Sa=y,菱形ABCD的高为点， 13.34【解析】由题意得，这个几何体的主视图有3列，每列小正 方形数目分别为2,2,2；左视图有2列，每列小正方形数目分 ,菱形ABCD的边长为3，面积为6， ·S640=号9m=3, 别为2,2，所以这个几何体的表面积为(2+2+2)×2+(2+2+2) ×2+5×2=12+12+10=34.故答案为34. 号x3xh=3,h=2 14.【解】“卯”的三视图如图所示 PE∥DQ,∴.∠PEF=∠QFE,∠EPF=∠PFD. 又：PF∥AQ,∴.∠PFD=∠EQF, .∠EPF=∠EQF EF=FE,∴.△PEF≌△QFE(AAS). 主视图 左视图 PE∥DQ,∴△AEP∽△AQD. 同理，△DPF∽△DAQ, :S0=3,S=号，S= 俯视图 (3-x)2, 20 第14题答图