2.重难题型卷(一)特殊平行四边形-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

真题圈数学 题型二计算问题 9.(月考·23-24太原成成中学)如图，在△ABC中，∠BAC的 刷步调研卷（上） 九年短3B 4.(月考·22-23太原三十八中)如图，在矩形ABCD中，0是 平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC 2.重难题型卷（一） BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm,则 (1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由 特殊平行四边形 AB的长为() (2)若∠BAC=90°，且AD=2√2，求四边形AFDE的面积 A.15 cm B.10 cm C.7.5 cm D.5cm 图州 题型一 证明问题 D 1.(期中·23-24晋中榆次区)木艺活动课上有一块平行四边形 木板，现要判断这块木板是不是矩形，以下测量方案正确的 是() 第4题图 第5题图 第9题图 A.测量两组对边是否相等 5.如图，延长正方形ABCD的边BA至点E,使AE=BD,则∠E B.测量一组邻边是否相等 为() C.测量对角线是否相等 A.22.5 B.25 C.30° D.45 D.测量对角线是否互相垂直 6.(期中·23-24晋中榆次区)某校的校门是如图①所示的伸缩 2.(期末·22-23晋中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 门，伸缩门中的每一行有18个菱形，每个菱形的边长为0.3m, 相交于点O,添加下列条件，能使菱形 校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图②），当校门打 ABCD成为正方形的是() 开时，每个菱形的锐角度数都缩小（如图③），此时伸缩门的宽 A.AC=BD B.AC⊥BD 度为25m,则校门打开了 C.AD=AB D.AC平分∠DAB 第2题图 题型三直角三角形斜边中线的性质 3.(期末·22-23太原)如图，在△ABC中，点M和N分别在边 10.如图，一根竹竿AB,斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，A'B AB和AC上，MB=NC,连接MN,BW,CM,点D.E,F,G分 表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹 别是MN,BN,BC,CM的中点，求证：四边形DEFG是菱形 竿AB滑动过程中OP的变化情况为() 18个 18个 A.下滑时，OP增大 B.上升时，OP减小 ① ② 第6题图 C.无论怎样滑动，OP不变 D.只要滑动，OP就变化 7.(月考·23-24太原师院附中)如图， 在矩形ABCD中，对角线BD的垂 第3题图 直平分线MN分别交AD,BC于点 第7题图 M,N.若AB=1,AD=8,连接BM,DN,则MD的长为 8.(月考·22-23山西现代双语学校)如图，五个边长为1的小 月 正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接AB,过 第10题图 第1题图 第12题图 顶点C作CD⊥AB,垂足为D,“十字”"形被分割成了①②③ 11.(月考·22-23太原三十六中改编)如图，在菱形ABCD中 固 三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩 对角线AC和BD相交于点O,E为AB边的中点，若菱形的 形，则这个矩形的对角线长为 周长为20，则OE的长为( A.10 B.5 C.2.5 D.1 12.(期中·21-22太原)如图，BE和CD是△ABC的高，G,F 分别是DE,BC的中点，连接DF,FE,FG.若BC=6,DE=4, 则FG的长为() 第8题图 A.3 B.5 C.2 D.3 一5 13.(中考·2021山西)综合与实践 题型四最值问题 19.(期中·23-24太原小店区)综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①， 14.(月考·23-24太原三十六中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB 问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的 在口ABCD中，BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点，连接 =90°，AC=3,BC=4点D是AB边上的动点，过点D作 旋转”为主题开展数学活动.已知，在正方形ABCD中，AB EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明 边AC,BC的垂线，垂足分别为E,E连接EF,则EF的最小 =2,点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE,将 独立思考：(1)请解答老师提出的问题. BE绕点E顺时针旋转90°得到FE,连接DF 值为() 实践探究：(2)希望小组受此间题的启发，将口ABCD沿着 特例分析：(1)如图①，当点E与点D重合时，求∠ADF的 BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应 A.3 B.2.4 度数。 点为C,连接DC并延长交AB于点G,请判断AG与BG的 C.4 D.2.5 深入谈及：(2)当点E不与点D重合时，(1)中的结论是否 数量关系，并加以证明 仍然成立？若成立，请在图②与图③中选择一种情况进行证 明：若不成立，请说明理由 问题解决：(3)如图④，当点E在线段CD上，且DF=DA 时，请直接写出线段BF的长 第14题图 第15题图 15.(月考·21-22山西省实验)如图，平面内三点A,B,C,AB 第13题图 =4,AC=3,以BC为对角线作正方形BDCE,连接AD,则 AD的最大值是() A.25 B.36 c号 D35 3 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在AD上，点 精品 Q在BC上，且AP=CQ,连接CP,QD,则PC+QD的最小 ① ③ ④ 值为 第19题图 金皇牧停 鹅盗国 第16题图 第17题图 17.如图，在△ABC中，AB=3+√3，∠B=45°，∠C= 105°，点D,E,F分别在AC,BC,AB上，且四边形ADEF 为菱形，若点P是AE上的一个动点，则PF+PB的最小值 为 题型五旋转问题 18.(期末·21-22大同)如图，正方形ABCD与 正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕 顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE的大小可以是 第18题图 一 6答案与解析 又，∠BEF+∠AEB=180°，∴.∠BEF=90°， 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF2=AB2+BF2=1+(V2 ,四边形BEFE是矩形. -1)2=4-2√2，.MW=AF2=4-2√2. 由旋转可知BE=BE,∴.四边形BEFE是正方形 (2):四边形BEFE是正方形，∴.BE=BE=EF, 2.重难题型卷（一）特殊平行四边形 BC=EB2+EC,.100=EB2+(EB+2)2, 1.C .EB=6,.EF=BE=6,.CE=6+2=8=AE. 2.A【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一 如图，过点D作DH⊥AE于点H,.∠DHA=90°=∠AEB, 即可，(1)有一个内角是直角，（2)对角线相等.故选A. ·∠DAH+∠EAB=∠DAH+D 3.【证明】：点D,E,F,G分别是MN,BN,BC,CM的中点， ∠ADH=90°， ∴.DE是△BMN的中位线，FG是△BCM的中位线. .∠ADH=∠BAE, 又DA=AB, ·.DE=3BM,DE∥BM,GF=BM,GF∥BM H .△ADH≌△BAE(AAS), ∴.DE=GF,DE∥GF∴.四边形DEFG是平行四边形 .AH=BE=6,DH=AE A B 同理可得DG=)NC =8,HE=2, 第22题答图 .BM=CN,.DE=DG..四边形DEFG是菱形 ∴.DE=VDH2+H2=√64+4=217. 4.D【解析】在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°， 23.【解】(1)67.5 根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO,则OA=OD,∠DAO 分析：：四边形ABCD是正方形， =45°，所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB.由矩形 AC⊥BD,∠BA0=45°，∠G0A=90°. ABCD的周长为30cm,得30=2AB+2×2AB,解得AB=5cm 由折叠的性质得∠EAF=∠BAF=22.5°， 故选D 在△GA0中，∠AGD=180°-∠G0A-∠EAG=67.5°. 5.A【解析】如图，连接AC,:四边形ABCD是正方形， (2)四边形BGEF是菱形.理由如下： ∴.AC=BD,且∠CAB=45° :四边形ABCD是正方形， .BD=AE,.AE=AC, .∠BAD=∠ABC=90°，AC⊥BD. ∴.∠E=∠ACE. 由折叠可知，∠AEF=∠ABF=90°，BF=EF, .·∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E ∴.∠AEF+∠BOC=180°，.EF∥BG. =45°，.∠E=22.5° 第5题答图 ,'四边形ABCD是正方形，.∠BAC=45° 故选A. 由折叠可知，∠BAF=∠CAF=∠BAC=22.5”, 6.2.9【解析】当伸缩门关闭时，连接AC(图略)，：四边形 .∠AFB=∠AGD=90°-22.5°=67.5°. ABCD是菱形，.AB=BC.:∠B=60°，.△ABC是等边 ∠BGF=∠AGD,.∠AFB=∠BGF,∴.BG=BF, 三角形，∴.AC=AB=0.3m,∴.当校门关闭时，伸缩门的宽度为 BG=EF,四边形BGEF是平行四边形， 0.3×18=5.4(m). ∴.平行四边形BGEF是菱形 当校门打开时，伸缩门的宽度为2.5m,.校门打开了5.4-2.5 (3)如图，过点N作NK⊥AB于点K,交AF于点I, =2.9(m.故答案为2.9. 则∠AKN=∠NKM=90°. A ?答【解析】：对角线BD的垂直平分线MW交AD于点M交 ,四边形ABCD是正方形， K BC于点N,.MB=MD.设MD的长为x,则MB=DM=x, .∠BAD=∠ADC=90°，AD= AM=8-x.在Rt△AMB中，BM=AM+AB2,即x2=(8- 'O、E AB,.四边形ADNK是矩形， 241,解得x=名“MD的长为瓷故答案为铝 16 .'KN=AD=AB. 由折叠可知，MN⊥AF,∴.∠BAF+ &5【解析1如图所示，连接AC,BC,AB,B,DE,可得四边 第23题答图 ∠AIK=∠KNM+∠FN=90° 形ACBE是正方形，C,D,E三点在同 一直线上，AB与CE是正方形的对角 ② :∠AIK=∠FIN,.∠BAF=∠KNM. D ∠BAF=∠KNM, 线，正方形的边长为√，则CD=DE ① 在△ABF和△NKM中，{AB=NK, =AD=BD=0,则拼成的这个矩 ∠ABF=∠NKM, 2 ∴.△ABF≌△NKM(ASA),∴.AF=MW 形梢长与宽分别为V而，严， 第8题答图 .AB =1,.BD=4B2+AD2=2. 10 =5y2 由(2)得∠GAD=∠BAD-∠BAF=90°-22.5°=67.5°， ∴.这个矩形的对角线的长 2 ∠AGD=67.5°，∴.∠AGD=∠GAD, 故答案为5y2 .'DG=AD=1, .BG=BD-DG=√2-1，∴BF=BG=2-1. O9.【解(1)四边形AFDE是菱形.理由： :DE∥AB,DF∥AC,四边形AFDE是平行四边形 真题圈数学九年级3B :AD平分∠BAC,.∠FAD=∠EAD. ,·四边形ABCD是平行四边形， DE∥AB,.∠EDA=∠FAD, ∴DC L AB,.四边形DGBF是平行四边形， ∴.∠EDA=∠EAD,∴.AE=DE, ·BG=FD,BG=3AB,·AG=BG .平行四边形AFDE是菱形. 14.B【解析如图，连接CD,,∠ACB=90°，AC=3,BC=4, (2),∠BAC=90°，.四边形AFDE是正方形， ..AB=AC2+BC2=32+42 AD=2,AF=DF=DE=AE-2=2, √2 =5. ∴.四边形AFDE的面积为2×2=4. ,DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB 10.C【解析J:AO⊥B0,点P是AB的中点，OP=)AB, =90°， ∴.∠DEC=∠ACB=∠DFC D .在滑动的过程中OP的长度不变.故选C =90°，.四边形CEDF是矩 第14题答图 I1.C【解析】：四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD= 形，，CD=EF由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD AD,AC⊥BD,AO=CO,∴.∠AOB=90° 最短，则线段EF的值最小，此时SAc=号BC·AC=方AB· ,菱形ABCD的周长为20，AB=5. CD,即号×4×3=)×5×CD,CD=24,EF的最小值 :E为AB边的中点，OE=)AB-25.故选C 为2.4.故选B. 12.B【解析】：BE和CD是△ABC的高， 15.C【解析】如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到 ∴.∠BDC=∠BEC=90°. △CDM,连接AM :F是BC的中点，DF=3BC,EF=号BC 由旋转不变性可知AB=CM=4,DA=DM,∠ADM=90° .BC=6,.'.DF=EF=3. 在Rt△ADM中，AMP=AD+DMP,.AMP=2AD2, G是DE的中点，且DE=4, ÷AD=号AM,当AM的值最大时，AD的值最大。 :FGLDE,DG=EG=]DE=]x4=2. AM≤AC+CM,AC=3,CM=4,∴.AM≤7， .FG=√DF2-DG2=√32-22=√5.故选B. .AM的最大值为7， 13.【解(1)EF=BF证明如下： 如图①，分别延长AD,BF相交于点M·四边形ABCD是平 2.故选C 行四边形，∴.AD∥BC,∠2=∠C,∠M=∠1. D F为CD的中点，DF=CF,∴.△MDF≌△BCF, Q ·FM=FB,即F为BM的中点，∴BF=BM =M BE⊥AD,∠BEM=90°， 8 B A ·在R△BEM中，EF=3BM,.EF=BE 第15题答图 第16题答图 M 16.213【解析】如图，连接BP,在矩形ABCD中，AD∥BC, AD =BC=4,.AP CQ,.'.AD-AP BC-CQ,.'.DP=QB. DP∥BQ,∴四边形DPBQ是平行四边形，.PB∥DQ, PB=DQ,则PC+QD=PC+PB,则PC+QD的最小值即PC+PB 的最小值.在BA的延长线上截取AE=AB=3,连接PE,则 BE=2AB =6. ③ PA⊥BE,∴.PA是BE的垂直平分线， 第13题答图 .PB=PE,..PC+PB=PC+PE. (2)AG=BG.证明如下： 连接CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE. 如图②，连接CC交FB于点N ,CE=VBE2+BC2=V62+42=2V13, 由折叠可知FC=FC,CC⊥FB,∴.∠CNB=90°. .PC+QD的最小值为2√13.故答案为213 :F为CD的中点，FC=FD=3CD, 17.√0【解析如图，P为AE上一点，连接PF,PB,PD,BD,作 .FC=FD,.∠1=∠2. DH⊥AB于点H,EG⊥AB于点 G.:四边形ADEF是菱形， D 、E ,FC=FC,.∠FCC=∠FCC 在△DCC中，∠1+∠DCC+∠DCC=180°， 点F,D关于直线AE对称， A≤ G .PF=PD. .∠1+∠2+∠FC"C+∠FCC=180°， ∴.PF+PB=PD+PB. 第17题答图 .2∠2+2∠FCC=180°， :PD+PB≥BD,∴.PF+PB的最小值是线段BD的长 ∴.∠2+∠FCC=90°，∴.∠DCC=90°， 设AF=EF=AD=x, ,.∠DCC=∠CNB,.DG∥FB. ∠CAB=180°-105°-45°=30°， 答案与解析 i.DI-EG-G BC=CD,∴.∠FGD=∠C,∠CBE+∠BEC=90°」 由旋转的性质可知EF=BE,∠BEF=90°，∴.∠BEC+∠FEG ZEBG=45,EG LBG,EG=BG=x =90°，∴.∠FEG=∠EBC,∴.△FGE2△ECB(AAS), 9+=3#5=2 .'FG=EC,EG=BC=CD, ∴DH=1,AH=√3，BH=3,.BD=VP+32=V10, ∴.EG+DE=CD+DE,即CE=DG,.FG=DG .PF+PB的最小值为V10.故答案为0 又∠FGD=90°，∴.∠FDG=45°. 18.15°或165°【解析]①当正三角形AEF在正方形ABCD的内 :∠ADC=90°，∴.∠ADF=180°-∠FDG-∠ADC=45° 部时，：正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE (3)BF的长为23. AB=AD, 分析：如图③，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G,则 =DF时，在△ABE和△ADF中，：{BE=DF, ∠FGD=90°，：四边形ABCD是正方形，∴.∠C=∠ADC= AE=AF, 90°，BC=CD,.∠FGD=∠C,∠CBE+∠BEC=90°. .△ABE≌△ADF(SSS),.∠BAE=∠FAD. 由旋转的性质可知EF=BE,∠BEF=90°， :∠EAF=60°，.∠BAE+∠FAD=30°， ∴.∠BEC+∠FEG=90°，∴∠FEG=∠EBC, ∴.∠BAE=∠FAD=15°. ∴.△FGE≌△ECB(AAS,∴.FG=EC,EG=BC=CD, ②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，如图. .EG-DE CD-DE,DG CE, ∴.FG=DG,∴.△DFG是等腰直角三角形 又FG4DG=PD2,FG=DF=竖AD=号AB 2 √2，∴CE=FG=V2 :BC=AB=2,.BE=VBC2+CE2=√6， ∴.BF=V2BE=2V5 G --------、G D G E 第18题答图 D D :正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合， (AB=AD, 当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，，{BE=DF, AE=AF, .△ABE≌△ADF(SSS),.∠BAE=∠FAD. B :∠E4=609,∠BME=(360°-90°-60)×+60°= 9 ② 第19题答图 165°，∴.∠BAE=∠FAD=165°.故答案为15或165°」 19.【解(1)：四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∠A=90°， 3.第二章学情调研 ·∠ADB=∠ABD=180°∠4=450. 2 1.C 由旋转可知∠BDF=90°，.∠ADF=90°-45°=45°. 2.D【解析】原方程可化为3x2-2x+3=0,二次项系数为3，一次 (2)仍然成立.证明如下（答案不唯一，选其中一种即可）： 项系数为-2，常数项为3.故选D. 选择题图② 3.D 如图①，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G,则∠FGD 4.D【解析】把x=1代人关于x的方程x2+x+3=0,得1+k+3 =90°，·四边形ABCD是正方形，.∠C=∠ADC=90°， =0,解得k=-4.故选D. BC=CD,∴.∠FGD=∠C,∠CBE+∠BEC=90° 5.B 由旋转的性质可知EF=BE,∠BEF=90°，∴.∠BEC+∠FEG 6.A【解析】.a=1,b=k,c=-9,.=b2-4ac=2+36> =90°，∴.∠FEG=∠EBC,∴.△FGE≌△ECB(AAS), 0,.方程有两个不相等的实数根.故选A. ∴.FG=EC,EG=BC=CD,∴.EG-DE=CD-DE, 7.C8.C 即CE=DG,∴.FG=DG,.∠FDG=45° 9.B【解析如图所示，设BD=8,四边 ,∠ADC=90°，∴.∠ADG=90°，.∠ADF=45°。 形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD 选择题图③. 由x2-10x+24=0,解得x=4或x=6. 如图②，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G,则∠FGD 分两种情况： =90°，：四边形ABCD是正方形，∠C=∠ADC=90°，) ①当AB=AD=4时，4+4=8，AB,AD, 第9题答图