6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，通过问题1推导数量积公式，延伸至模长、垂直及夹角的坐标表示，以推导过程为基础，结合例题和练习构建从公式到应用的学习支架，帮助学生逐步掌握相关知识。 其亮点在于以问题驱动和分层应用为主线，注重数学思维（如公式推导的逻辑推理）和数学眼光（如几何问题代数化）的培养。例如例1用代数法和几何法判断三角形形状，例4在矩形中通过坐标运算求向量数量积，体现学科特色的“推导-例题-应用”教学方法。这既帮助学生提升运算与推理能力，也为教师提供清晰的教学路径，便于高效教学。

问题1：已知两个非零向量 怎样用坐标表示 呢？ 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. y A(x1,y1) B(x2,y2) O x ∴ ∵ 2 解： 已知 则 (　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 练一练 B 问题2：若 如何计算向量的模 呢？ 或 问题3：若A(x1,y1),B(x2,y2)，如何表示计算向量 的模(即A,B两点间的距离)？ 两点间距离公式 模长公式 问题5：设 都是非零向量， 如何用坐标判断 ？ 解：ΔABC是直角三角形，证明如下 例1：若点A(1，2),B(2，3),C(­2，5),则ΔABC是什么形状？证明你的猜想. 因此，ΔABC是直角三角形. 法二： 所以△ABC是直角三角形． 例1：若点A(1，2),B(2，3),C(­2，5),则ΔABC是什么形状？证明你的猜想. 向量夹角的坐标表示 ( 是非零向量) 我们可以利用向量的数量积的坐标形式判断夹角的范围，三角形的形状 自主研读：P35 例12，记录疑问 启示：向量的数量积问题（或求角的余弦），可以利用向量知识 1. 几何法：在几何图形中找到与角相关的两个向量，利用向量的分解合成求数量积（或用夹角公式求余弦） 2. 坐标法：建立坐标系，把与角相关的两个向量坐标化，再计算 要点概括整合 平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 平面向量垂直、夹角的坐标表示 平面向量模的坐标表示 课堂检测 课本：P36 练习 1，2，3（求余弦） P36 习题 8 作业 课本：P36 10 P60 4 7（从cosA，cosB，cosC 中选一个做） 8 平面向量数量积的坐标表示 6．3.5 问题4：如何求 方向的单位向量的坐标？ 例2：已知 ，且 ，则 . 解：由 得： 所以x=4，则 . 当 时， 当 时， 当 时，. 例3：已知 ， ，则 【解析】　设 ，则 ＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，解得x＝－5，y＝12，故 ＝(－5，12)，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(16,65).. 例4：如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且eq \o(DF,\s\up16(→))＝2eq \o(FC,\s\up16(→))，则eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(BF,\s\up16(→))的值是________． 【解析】　方法一：∵eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))，eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))， ∴eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(BF,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→)))·(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CF,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))·eq \o(CF,\s\up16(→)) ＝0＋eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋0 ＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))2＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))2＝－eq \f(1,3)×2＋eq \f(1,2)×4＝eq \f(4,3). 方法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． ∵AB＝eq \r(2)，BC＝2， ∴A(0，0)，B(eq \r(2)，0)，C(eq \r(2)，2)，D(0，2)． ∵点E为BC的中点，∴E(eq \r(2)，1)． ∵点F在边CD上，且eq \o(DF,\s\up16(→))＝2eq \o(FC,\s\up16(→))， ∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，2))，∴eq \o(AE,\s\up16(→))＝(eq \r(2)，1)，eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),3)，2))， ∴eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(BF,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3)＋2＝eq \f(4,3). $