精品解析：山东省青岛市胶州市阜安中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

八年级数学核心素养测评 （时间：120分钟；满分：120分） 第Ⅰ卷（共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. ，， C. 1.5，2，2.5 D. ，， 4. 如图是由边长为1m的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点A滚动到点B，则小球滚动的最短路程是（　　） A. 2m B. 4m C. D. 5m 5. 满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 6. 下列判断正确的是（　　） A. 27的立方根是 B. 正数a的算术平方根是 C. 的算术平方根是4 D. 7. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ） A. 1000m B. 1100m C. 1200m D. 1300m 9. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 10. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（ ） A. 小正方形的面积为4 B. C. D. 11. 如图，是直角三角形，是直角．点C在数轴上对应的数为，，若以点C为圆心，为半径画弧，交数轴于点M，则M点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 12. 实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 13. 的平方根是______． 14. 如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是_____． 15. 若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为_____． 16. 如图，等腰三角形的面积是______． 17. 有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 18. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有空白的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为___________． 19. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 20. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为___________． 21. 和是正数的两个平方根，则的值为______． 22. 已知实数x、y满足值是___________． 23. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为_______． 24. 如图，在长方形中，，，在边上取一点，将沿折叠后点恰好落在边上的点处，则的长为______． 三、作图题：（本小题满分4分） 25. 如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． （1）的长为______． （2）在所给方格纸中画出． 四、解答题（本大题共5小题，共44分） 26. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 27. 已知. （1）计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． （2）猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． （3）请说明（2）中猜想的合理性． 28. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 29. （1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程． （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 30. 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） （2）观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； （3）请证明你的猜想； （4）应用运算规律计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学核心素养测评 （时间：120分钟；满分：120分） 第Ⅰ卷（共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数以及算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的概念，分母有理化，解题的关键是熟练掌握概念． 根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据这个求倒数，然后进行分母有理化即可得到答案． 【详解】解：根据倒数的定义可得， 则， 故选：A． 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. ，， C. 1.5，2，2.5 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．满足的三个正整数，称为勾股数，由此验证即可． 【详解】解：A、∵， ∴9、40、41是一组勾股数，故本选项符合题意； B、， ∴不是一组勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5和2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意； D、∵和不是正整数， ∴，，不是一组勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图是由边长为1m的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点A滚动到点B，则小球滚动的最短路程是（　　） A. 2m B. 4m C. D. 5m 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段性质，勾股定理，由线段性质可得：两点之间的连线中，线段最短；再根据勾股定理求解． 【详解】解：如下图，由题意得，小球滚动的最短路程为 (m）， 故选：C． 5. 满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或当两边的平方和等于第三条边的平方时，可得出它是直角三角形，对每个选项分别判定即可． 【详解】解：A、∵，设 ∴， ∴，，即中最大内角为， ∴不是直角三角形，选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，选项不符合题意； D、∵，可设 ∴， ∴是直角三角形，选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，三角形内角和定理和勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用定理是解决问题的关键． 6. 下列判断正确的是（　　） A. 27的立方根是 B. 正数a的算术平方根是 C. 的算术平方根是4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由立方根的含义可判断A，由算术平方根的含义可判断B，C，根据化为最简二次根式的方法可判断D，从而可得答案． 【详解】解：27的立方根是3，故A不符合题意； 正数a的算术平方根是，描述正确，故B符合题意； 没有算术平方根，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，立方根的含义，化为最简二次根式，掌握以上基础知识是解本题的关键． 7. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 8. 如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ） A. 1000m B. 1100m C. 1200m D. 1300m 【答案】D 【解析】 【分析】先证，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， 即A，C两点之间的距离为1300m， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用—方向角问题等知识；证明是解题的关键． 9. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 10. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（ ） A. 小正方形的面积为4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，故B错误， ， ，故D错误， ，故A错误， ， ∴， ，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键学会用整体恒等变形的思想，属于中考常考题型． 11. 如图，是直角三角形，是直角．点C在数轴上对应的数为，，若以点C为圆心，为半径画弧，交数轴于点M，则M点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，利用数轴上的点表示无理数，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．利用勾股定理求出，根据即可求出点M表示的数． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴， ∵， ∴点M表示的数为， 故选：B． 12. 实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断a，b的取值范围，并分别判断，的符号，再根据算术平方根的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，绝对值的性质，求一个数的立方根以及整式的加减运算，解题的关键是根据数轴位置判断代数式的正负． 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 13. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的意义，先求出，再由的平方根是，即可得出结论． 【详解】解：， 的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为． 14. 如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，结合无理数范围的估算方法，即可得到该正方形的边长最接近的整数值． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最接近的整数为3． 故答案为：3． 15. 若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．分两种情况，①当边长8为直角三角形的直角边时，②当边长8为直角三角形的斜边时，分别由勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：分两种情况： ①当边长8为直角三角形的直角边时，， ②当边长8为直角三角形的斜边时，； 综上所述，m的值为10或， 故答案为：10或． 16. 如图，等腰三角形的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式，通过作等腰三角形的高，利用等腰三角形三线合一的性质得到底边的一半，再运用勾股定理求出高，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：过点C作，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 故答案为：12． 17. 有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是无理数； 所以最后输出的数是． 18. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有空白的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为4，8，6，则正方形D的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果，本题考查的是勾股定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握股定理，即可完成． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形E的面积为， 则正方形D的面积， 故答案为：． 19. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 20. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图（见解析），把圆柱体展开，连接，然后可知，，进而可由两点之间线段最短可得即为所求，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，展开得： 连接， 圆柱的高为，底面圆的周长为， ，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为， 故答案为：． 21. 和是正数的两个平方根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：∵和是正数的两个平方根， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的性质，掌握一个是正数的平方根有两个，它们互为相反数解题的关键． 22. 已知实数x、y满足值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴，则， ∴． 故答案为：． 23. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，，， ∴的面积， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 24. 如图，在长方形中，，，在边上取一点，将沿折叠后点恰好落在边上的点处，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出，利用折叠的性质，表示出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 由翻折可知：． ． ． 在中． ， ． ． 的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解题的关键． 三、作图题：（本小题满分4分） 25. 如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． （1）的长为______． （2）在所给方格纸中画出． 【答案】（1）5 （2） 为所求： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理． （1）通过方格水平垂直距离结合勾股定理求的长度； （2）先确定C点格点位置再画图． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，． 故答案为：5． 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共5小题，共44分） 26. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）0 （3） （4）6 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （3）运用乘法公式展开，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 27. 已知. （1）计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． （2）猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． （3）请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】（1）；；， （2） （3） 因为， 所以 ，， 因为 ，， 所以 ， 因为 ， 所以， 所以， 即． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把的值分别代入计算即可求解； （2）根据（1）所得结果即可判断求解； （3）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证． 【小问1详解】 解：当时，，； 当时， ，； 当时， 故答案为：；；，； 【小问2详解】 猜想：无论为任何非负实数，始终成立， 故答案为：． 【小问3详解】 略 28. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 29. （1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程． （3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）13cm；（2）最短路程为cm；（3）13（cm） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ∵ ∴最短路程为； （3）高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 将容器侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 30. 小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） （2）观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； （3）请证明你的猜想； （4）应用运算规律计算：． 【答案】（1）； （2）； （3） 解：， 等式左边 等式右边； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【小问1详解】 解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $