计算强化专练 一元二次方程的解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

计算强化专练 类型1 直接开平方法 方法指导 形如x2=n(n≥0)或(a.x十m)2=n(a≠0，n≥0) 的一元二次方程，用直接开平方法求解。 1.用直接开平方法解下列方程： (1)(x-1)2=4; (2)4(x-2)2-121=0. 类型2配方法 方法指得 当一元二次方程的二次项系数化为1后，一次项 系数为偶数时，用配方法求解， 2.用配方法解下列方程： (1)x2-32=4x; 11名师测控·数学九年级上册 元二次方程的解法 (2)2x2+8x-10=0. 类型3公式法 方法指导 如果一元二次方程易化为它的一般形式且系数 的绝对值较小，那么用公式法求解较简便 求根公式：x=二b士F一4ac 2a 3.用公式法解下列方程： (1)3x2-6.x+4=0; (2)2x2+7x+3=0. 类型4因式分解法 方法指导 可化为形如(x十a)(x十b)=0的一元二次方程， 用因式分解法求解， 4.用因式分解法解下列方程： (1)x-7-x(x-7)=0; (2)3x-6=x(x-2), 类型5换元法 方法指导 如果方程中出现一些相同的代数式，那么用换元 法求解的方法是：构造元和假设元 5.阅读理解方法型阅读材料，解答问题， 解方程：(2.x-4)2-12(2x-4)十32=0. 解：把2x一4视为一个整体，设2x一4=y, 则原方程可化为y2一12y+32=0. 解得y1=4,y2=8. .2x-4=4,或2x-4=8. ∴.x1=4,x2=6. 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的 目的，体现了转化的思想。 请仿照材料解方程：(3x一1)2一8(3x一1)十 15=0. 类型6解含绝对值的一元二次方程 6.阅读下面的例题 范例：解方程x2一x一2=0. 解：①当x≥0时，原方程化为x2一x一2=0， 解得x1=2,x2=一1（不符合题意，舍去）； ②当x<0时，原方程化为x2十x一2=0，解 得01=一2，x2=1(不符合题意，舍去). ∴.原方程的根是x1=2,x2=一2. 请参照例题解方程：x2一x一1一1=0. 第二十一章一元二次方程12能力提升 8.C9.-210.解：(1)因式分解，得(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0,(5x+2)(x+2) =0.于是得5x十2=0，或十2=0，=-号=-2：(2)移项整理，得2(x-3)1 (x十3)(x一3)=0.因式分解，得(x-3)[2(x-3)-(x十3)]=0，(x-3)(x-9)=0.于 是得x-3=0,或x-9=0,x=3,x2=9.11.解：m☆1=m十2-n,.x☆(x-1) =x(x-1)+x2-(x-1)=2x2-2x+1.x☆(x-1)=1,∴.2x2-2x+1=1,即x2-x =0,∴.x(x-1)=0.解得x1=0,x2=1. 微专题 解：①因式分解，得(x十2)(x+5)=0,于是得x+2=0,或x十5=0，∴.x1=-2,x2= -5;②因式分解，得(x-6)(x十1)=0，于是得x-6=0,或x十1=0，.m=6,2=-1. 计算强化专练一元二次方程的解法 1.解：(1)x-1=±2，即x-1=2,或x-1=-2.=3,2=-1;(2)4(x-2)2=121. （一2沙r9x一2=士号即一2号或x一2=号号=-子 2.解：(1)移项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十22=32十22，(x-2)2=36.由此可得 x一2=士6,0=8,2=一4；(2)移项，得2x2十8.x=10.二次项系数化为1，得x2十4x= 5.配方，得x2+4x十22=5+22，(x+2)2=9.由此可得x十2=±3，x1=1,x2=-5. 3.解：(1)a=3,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无实数 根；(2)a=2,b=7,c=3.△=b-4ac=72一4×2×3=25>0.方程有两个不等的实数根 x=b±延=-二7压-7，即=-3，=一号，4解：1)因式分 1 2a 2×2 4 解，得(x-7)(1一x)=0.于是得x-7=0,或1一x=0,x=7,x2=1;(2)原方程可变形 为3(x一2)-x(x-2)=0.因式分解，得(x一2)(3-x)=0.于是得x-2=0,或3-x= 0,x=2,2=3.5.解：把3x-1看作一个整体，设3x一1=y,则原方程可化为y2 8十15=0，解得n=30=5∴3x-1=3,或3x-1=5.=号0=26解：① 当x一10时，此时x≥1，原方程化为x2一x=0,即x(x一1)=0，解得=1,2=0（不符合 题意，舍去)：②当x-1<0时，此时x1,原方程化为x2十x一2=0，即(x十2)(x一1)=0，解 得=一2,2=1（不符合题意，舍去..原方程的根是0=1,2=一2. 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 b c aa 例题引路 【例1】解：(1a十=-3，西=1：(2)十=号4=-子：(3)a十=0， 2 x2= 号：(0m十=一号a=0.【例2】解：根据根与系数的关系，得十 3 =号=1)原式=(a+)户-2=(2)-2-(2)原武 十迎= 25 C1T2 1 2 基础过关 1.A2.-73.B4.05.A6.-67.3 能力提升 8D9B10nK2且m≠011.解：“a是关于x的-元二次方程2+(2k-1)z 一k-1=0的两个实数根，△=(2k-1)2-4(-k-1)=4k2+5>0,∴.x十2=一(2k 1Da西=-发-1.“十-4知=2-(2k-1)-4(-发-10=2，解得=一是 12.解：(1)，△=[一(k+4)]一4(2k+4)=k2≥0，∴.无论k为何值，方程总有实数根； (2)由根与系数的关系可得，x1十x2=k十4，x1x2=2k十4，∴.（一2）(x2一2)=0x2一 2(x+x2)+4=2k+4-2(k+4)+4=0. 第4页（共60页） 思维拓展 13.解：（①）-号一令(2)”-元二次方程2x+3x-1=0的两根分别为m,m 十= ，m=-合㎡+r=(m+w)-2m=(-是)°-2X(合)=是+1 3 =只：(3)实数s满足2+35-1=0,22+3-1=0，且s≠4，s1是-元二次方 程2x+3一1=0的两个实数根∴s+1=-号=-合：(1-)P=叶)-4= 17 ()-4x()是+2子-=±--- 2 s st 1 士√7. 重点突破专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C2.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】m<5且m≠4【变式3】m≤5 3.解：(1)[-4,3]￥[2，一6]=-4×2-3×(-6)=10：(2)根据题意，得x(mx+1) m(2x-1)=0.整理，得1.x2+(1-2m)x十m=0.'关于x的方程[x,2x-1]￥[m.x十 1,m]=0有两个实数根，∴4=B-4ac=(1-2m)P-4m·m≥0且m≠0，解得m≤号 且m≠0.4D5.号6.解：(1)：关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x十m2+5 =0有实数根，∴.△=[-2(m+1)]2-4×1×(m+5)≥0，整理，得8m-16≥0，解得m ≥2；(2)01,2是一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的解，.十x2=2(m十 1),1x2=m2+5.(1-1)(x2-1)=28,整理，得0x2-(m十x2)十1=28，即+5 2(m十1)+1=28，整理，得7-2m-24=0.解得m=6,2=一4..m≥2，∴.m的值为6. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 例题引路 【例111(x-1)(x-）(27xx-1）=4X7(3)m=-7,=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)+x]=736.整理，得 x2-5.x十6=0.解得x1=2,=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5- 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.D2.(m十1)[m(m十1)](m十1)23.D4.解：设该校数学社团共有x名九年 级学生.根据题意，得2(x-1)=55.整理，得2-x一110=0.解得0=1，=一10 (不符合题意，舍去).答：该校数学社团共有11名九年级学生.5.C6.x2一7x十12 =0 能力提升 7.B8.C9.14410.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根 据题意，得60x2=24000.解得x1=20,2=一20（不合题意，舍去）.答：每轮分裂中平 均每个有益菌可分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植 后有480000个有益菌. 思维拓展 11.解：1)根据题意，得2(m3)=14.整理，得心-31一28=0.解得n=7或1=一4. ,n≥3，∴.n=4不合题意，舍去.∴.n=7,即这个多边形的边数是7；(2)A同学的说 法不正确.理由如下：当2n1-3)=10时，整理，得-31-20=0.解得m=3±，/8」 2 .符合方程一31一20=0的正整数n不存在，∴.多边形的对角线不可能有10条，即 A同学的说法不正确. 第5页（共60页） 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】解：设这两年的年平均增长率为x.根据题意，得100(1十x)2=144.解得=0.2 =20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：这两年该药材铺商洛丹参销售量的年平均 增长率为20%.【例2】解：设每件售价提高x元.根据题意，得(10+x一8)(200一0.5 ×10)=640.解得x1=2,x2=6.又要减少进货量，∴.x=6,.售价定为10十6= 16(元)比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润为640元. 基础过关 1.D2.301(1+x)2=5003.解：设该种商品每次降价的百分率为x.根据题意，得 200(1一x)2=128.解得m=0.2=20%,2=1.8(不符合题意，舍去).答：该种商品每 次降价的百分率为20%.4.解：(1)(100+10x)(2)根据题意，得(20一x)(100+ 10x)=2160.整理，得x2一10x+16=0.解得x=2,x2=8.要尽可能让顾客得到实 惠，∴x=8.答：每个模型应降价8元 能力提升 5.B6.解：设每千克茶叶应降价x元.根据题意，得（400-x一240)(200十品×40）= 43200.整理，得x2-110x+2800=0.解得0=40,2=70.·为了尽可能让利于顾 客，赢得市场，∴x=70.答：每千克茶叶应降价70元.7.解：(1)设这两个月中，该景 区游客人数的月平均增长率为x.根据题意，得1.6(1+x)2=2.5.解得x1=0.25= 25%,=一号（不合题意，舍去）.答：这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为 25%:(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人.根据题意，得2.125十10a 2.5(1十25%).解得a≤0.1.答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 思维拓展 8.解：(1)设日均销售量y(桶)与销售单价x(元/桶)的函数关系为y=kx十b(k≠0)，将 7.500.12.250)f代人)6红+6.得7+6-500解得怎0又：经营部规定销 12k+b=250, 1b=850. 售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴.7≤x≤12，∴.日均销售量y(桶)与销 售单价x(元/桶)的函数关系为y=一50.x十850(7≤x≤12)；(2)根据题意，得(x一5) (-50x十850)=1600.整理，得x2一22+117=0.解得x1=9,x2=13(不符合题意，舍 去).答：销售单价是9元/桶 第3课时几何图形问题 基础过关 1B2.x(x一2)=1003.解：设灌溉渠的深度为xm.根据题意，得2(x十2十x十 0.4)x=1.6.整理，得x2+1.2x一1.6=0.解得x=0.8,x2=一2（不符合题意，舍去）. 答：灌溉渠的深度为0.8m.4.A5.解：设彩色纸带的宽度为xcm.根据题意，得 (100一5x)(40一2x)=640×4.整理，得x2一40x+144=0.解得x1=4,x2=36(不符合 题意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm.6.解：四边形ABCD是矩形，∴.设AB= CD=xm,则AD=BC=(20-2x)m.根据题意，得(20-2x)x=48.整理，得x2一10x+ 24=0.解得x=4,2=6.当AB=4m时，BC=20-2x=20-2×4=12.当AB=6m 时，BC=20-2x=20-2×6=8.答：学校有两种方案：AB=4m,BC=12m或AB= 6 m,BC=8 m. 能力提升 7.B8.A9.3610.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70-2x十2= (72-2x)m.根据题意，得x(72-2x)=640.整理，得x2-36x十320=0.解得x1=16, x2=20.当x=16时，72-2x=72-32=40.当x=20时，72-2x=72-40=32.答：当 羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m的 羊圈；(2)不能.理由如下：根据题意，得x(72-2x)=650.整理，得x2一36x十325=0. .△=（一36）2一4×325=一4<0，.该一元二次方程没有实数根，∴.羊圈的面积不能 达到650m. 第6页（共60页）