3.4 分式方程-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

3.4分式方程 第1课时 分式方程及其解法（答案P13) ←通基础 6,小明和小亮解答“解分式方程：2江十3-1- 知识点1分式方程的定义 x一1”的过程如下，对他们的解答过程有以下 1.抽象能力在下列方程中，是分式方程的 判断，判断正确的是( 是() 小明的解法： A+-1 1 B.x十1=2 小亮的解法： 解：去分母，得2x+3= 解：去分母，得2x+3= 1-(x-1),① C.2x=x-5 D.x-4y=1 x-(x-1),① 去括号，得2x+3=1一 2.教材73练习T1变式在下列方程中，哪些 去括号，得2x十3=x x+1,② x+1,② 是分式方程？哪些是整式方程？ 移项，得2x+x=1十 移项，得2x=一3十 (1)x-2x 元2(3)21 x=2:(2)y= 1-3,③ 3x-12x: 1,③ 合并同类项，得3x= 合并同类项，得2x= (4)21 5子8-多62x=1 -1,④ 一2，④ m2 m y 1 系数化为1，得x=一3⑤ 系数化为1，得x= (7)1+1=2. -1,⑤ y 经检验x=一 是原分 经检验x=一1是原分 式方程的解.⑥ 式方程的解.⑥ A.小明正确，小亮错误 B.小明错误，小亮正确 C.两人都正确 知识点2分式方程的解法 D.两人都错误 3.在下列方程中，解为x=一1的是( ☆易错点去分母时，常数项漏乘最简公分母导 A.4=1 B+1 =0 "x-1 x x2-1 致错误 2 7.运算能力解下列分式方程： 1 C.x-z+2=0 2 D.x+1x+2=0 2一3 12十12z 千7的解是( 4.(无锡中考)分式方程上=2 A.x=1 B.x=-2 1 C.x=2 D.x=2 (2)x3 5(知台芝米区期中)分式方程，一一3名 Wx-1x+1=1. 去分母后，正确的是() A.x-3=k B.x-3=-k C.x-3(x-1)=k D.x-3(x-1)=-k 54 优+学案·课时通△ 通能力 II/11l1111I/11lIIl11/1I/I/1/1L 15.关于x的方程x+1 x-2 =-1的解是正数，则a x一2+2」 8把分式方程 1 一化为整式方程，正 的取值范围是 2- 确的是( 16若关于立的分式办程，受-5与 13 A.x+2=1 B.x+2(x-2)=1 的解相同，求m的值. C.x+2(x-2)=-1D.x+2=-1 9.运能力若代数式产与代数式互为 相反数，则x的值是() A写 B.5 C.7 D.11 10.阅读理解题目：当a卡b时，定义一种新运 通素养mM恤 a-6a>b), 2 17.推理能力关于x的方程： 算：F(a,b)= 例：F(3,1)= 2b x+=c+。的解为x=c或x= 1 (a<b). b-a 2 3是=1，P(-1,0==8若P(m, 2 x+ =c十。的解为x=c或z=2 x 3 3 x+ 3 2)-F(2,m)=1,求m的值.小明的答案 =c十。的解为x=c或x= … 是m=专，小亮的答案是m=0,下列判断正确的 根据材料解决下列问题： 是() ()方程x+1=5 2一2的解是 A.只有小明的正确 (2)猜想方程x+”=c十”(m≠0)的解，并 B.只有小亮的正确 C.小明，小亮的答案合在一起才正确 将所得的解代入方程中检验. D.小明，小亮的答案合在一起也不正确 (3)请用上面的规律解关于x的方程：x十 1,在方程123+}-2号-名=0… 2 x-1=a+ 2 a-1' 工=1中，分式方程有 个 12.结论开放请写出一个未知数是x的分式方 程，并且当x=1时没有意义： g十1=3的好是 13.方程2 14.如图所示，点A,B在数轴上，它们所表示的 数分别是-4经，且点A到原点的距离 是点B到原点的距离的2倍，则 x= A B -40 △八年级·上册·数学.QD 55 第2课时 分式方程的增根（答案P14) ←通基础MM 通能力 LEKEKKKK11K1411411111111 知识点1解是增根的分式方程 3 6对于分式方程，二=2+有以下说法。 1.分式方程马1=a-x十2的解 ①最简公分母为(x一3)；②转化为整式方程 为() 为x=2十3，解得x=5;③原方程的解为x= A.x=1 B.x=-1 3;④原方程无解.其中说法正确的有() C.无解 D.x=-2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.解分式方程： 7.教材P79习题3.4T10变式若关于x的分式方 4,十1= 程之二”=m-1无解，则m的值为( ) x2-1 x+1 A.0 B.2 C.0或2D.士2 8.运算能力已知关于x的分式方程 mx 1 知识点2分式方程的增根 (x-1)(x+2)x+2 一512 3.若分式方程之一6 (1)若方程的增根为x=1,求m的值. 5-x 有增根，则的值 (2)若方程无解，求m的值. 为() C.-1 D.1 4.(宁波海曙区期末)小颖在解分式方程工一？ x-3 ←通素养m 二3+2时，“△”处被污染看不清，但正确答 9.推理能方小华在解分式方程。22十3=2 .1 案是：此方程无解.请你帮小颖猜测一下“△” 时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚 处的数是 (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个 ☆易错点使最简公分母为0的未知数的值不一 分式方程. 定都是方程的增根 (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程 5若关于：的为程，士年23有增根， 3 的增根是x=2,原分式方程无解.”请你求出 原分式方程中“？”代表的数是多少 求增根和k的值. 56 优+学案·课时通△ 第3课时 分式方程的应用（答案P14) 通基础 VEMAAKKKKKKK111141114111411211 ☆易错点忽略验根，解题过程不严密 3.（东莞一模)电动汽车在保障能源安全，改善空 知识点列分式方程解应用题 气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过 1.(潍坊期中)“行人守法，安全过街”体现了对生 对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发 命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映 现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平 了城市的文明程度.在某路口的斑马线路段 均每公里的加油费少0.45元.若充电费和加 A一B一C横穿双向车道（如图所示），其中， 油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程 AB=2BC=10米，在人行绿灯亮时，小刚共用 是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里 时10秒通过AC,其中通过BC的速度是通过 的充电费 AB的1.3倍，求小刚通过AB的速度.设小刚 通过AB的速度为x米/秒，则根据题意列方 程为( A. 5 x1.3x =10 + 10 =10 C 20+10 =10 x1.3x -=10 2.为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环， 某市决定对一条长860m的道路进行拓宽改 ←通能力 造.为了减轻施工对城市交通造成的影响，实 4.模型观念某文具店购进A,B两种款式的书 际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加 包，其中A种书包的单价比B种书包的单价 10%,结果提前6天完成任务.求实际每天改 低10%.已知店主购进A种书包用了810元， 造道路的长度与实际施工天数.珍珍同学根据 购进B种书包用了600元，且所购进的A种 题意列出方程8 860 xx(1+10%)=6:文文同学 书包的数量比B种书包多20个.设文具店购 进B种款式的书包x个，则所列方程正确的 根据题意列出方程6°二y86×①+10%).已 是() 810600 知两人的答案均正确，则下列说法正确的 A. x+20 ×10% 是() 00810 A.x,y代表相同的含义 B. xx+20 ×10% B.x表示实际每天改造道路的长度 _600 C860 C810 ·y十6表示实际每天改造道路的长度 x+20 (1-10%) 810 x(1-10%)= D. D.y表示实际施工天数 600×(x+20) △八年级·上册·数学.QD 57 5.模型观念A,B两地航程为48千米，一艘轮8.下运算能力如图所示，某书法家的作品装裱前 船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆 是一个长为2.4米、宽为1.4米的长方形，装 流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为 裱后，整幅字画长与宽的比是13：8，且四周边 4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 衬的宽度相等，求边衬的宽度 x千米/时，则可列方程() 边衬 5-9 滋致静寧 B.96+96 =9 x+4x-4 C48 8 +4x-4=9 48 .48 9 D.4十x+4-x 6.抽象能力为提升晚高峰车辆的通行速度，某 通素养m 市设置潮汐车道，首条潮汐车道从市政府广场 9.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有 到人民公园，全程约3千米.该路段设置潮汐 独特魅力的茶文化.某茶店用4000元购进了 车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的 A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若 行驶速度平均提升25%，行驶时间平均减少2 干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且 分钟.设设置潮汐车道之前，在晚高峰期间通 B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的 过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可 列方程为 1.4倍 (1)A,B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ 7.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长 为3000米的污水排放管道，为了减少施工对 (2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 A,B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶 城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工 效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺 叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每 盒400元.两种茶叶各售出一半后，为减少库 设任务.求原计划与实际每天铺设管道各多 存，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二 少米. 次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因 素)，求本次购进A,B两种茶叶各多少盒， 58 优+学案·课时通△x2 1 所以x-x+6 x (2)0由2-2x=2=4,知x≠0， 所以-2x-2=1 所以x-2-2=1 =4, 所以x-2=9 x-4 81一2 4 16 16,所以x-6x+449 8.解：由分-日-2，可知a=26,c=24, 所以2+b2b+6 a-626-6=3, c-d 2d-d 1 c+d 2d+d 3 9.解：由已知条件可得x一y=4xy, 原式=2(x-y)-3xy_8xy-3xy=5 (x-y)+2xy 4xy+2xy 6 10.解：原式=aCa-6)+6(a十b)_62 a2-b2 a2-b2a2-b2 _a'-ab+ab+62-b2a" a2-b2 a2-b2 因为a2=2b2, 所以原式 2b2 2626=2. 阶段检测一（3.1~3.3) 1.C2.D3.D4.B5.B6.A7.B 3 8.49.-610.-2m-6 x+1 1.解：(1)原式=3-xx+1D·+2 x+1 -(x+2)(x-2)x+1 x+1 +2列之二2 x+21 (2)原式= +22-②x千2]÷ 「(x-2)2 x+2 )异导品 .x+22 31 12.解：1)立※2y= x 2y =3·2y_x 2xy 2xy 6y-x 2xy (2)(x+1)※(x一2) =3(x+1)-1 -2 =3(x+1)(x-2) 1 x-2 x-2 =3z2-3x-7 x-2 (3】※(x+y)-y 2y x-y 31 2y x-yx十yx2-y 3(x+y) (x-y) 2y (x-y)(x+y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y) =3(x+y)-(x-y)-2y (x-y)(x+y) 2(x+y) =(-y)(x+y】 =2 x-y a+2 1 13.解：原式=a+20a-2)‘a(a-3)a-2 1 = 1 (a-2)(a-3)Ta-2 1 a-3 a-2)(a-3)+(a-2)(a-3) a-2 1 =(a-2)(a-3)-a-3 因为a与2,3构成三角形的三边， 所以1<a<5. 又因为a为整数，a(a十2)(a-2)(a-3)≠0，所以a=4. 1 当a=4时，原式=4-31. 14.解：(1)①真 ②x+5 x-3 （2)2+2红-13-x2-3x+5x-13 x-3 x一3 -3)+5(x-3)+2=x+5+23 x-3 因为x为整数，要使这个假分式的值为整数，即2能被x一3 整除，所以x=1或2或4或5. 3.4分式方程 第1课时分式方程及其解法 1.B 2.解：(1)(3)(4)(5)(7)是分式方程，(2)(6)是整式方程 3.C4.A5.D6.B 7.解：(1)原方程去分母，得x一2=3(2x一1)， 去括号，得x一2=6x一3， 移项、合并同类项，得一5x=一1， 系数化为1，得=日， 经检酸上=吉是分式方程的解， 1 故原方程的解为x=5· (2)原方程去分母，得x(x十1)-3(x-1)=x2-1, 去括号，得x2+x-3x十3=x2-1, 移项、合并同类项，得一2x=一4， 解得x=2, 经检验，x=2是分式方程的解， 所以原分式方程的解为x=2. 8.C9.D10.B 1.312.1 气=6（答案不唯一）13.x=-3 14.-115.a>-1且a≠-1 2 16.解：解方程2x十1 x-1 3,得x=4, 经检的区=4是原力程-3的解， 把x=4代入方程3-=5， x-2 7 解得m=一4 13 17.解：(1)z=2或x=之 1 (2)方程x+ =c+公(m≠0)的解为x=c或x=公 x 检验：当工=c时，左边=c十”=右边，故工=c是方 的解； 当x=时，左边=+”=”十c=右边，故=”也 c m c c 方程的解： (3)原方程x十2 2 一a+a一可化为 x-1+2 -1=a-1+ 2 -1 所以x-1=a-1或x-1=2 -1 解得x=a或x=a+l a-1 经检验：=。或：=：是原方程的解 第2课时分式方程的增根 1.C 2.解：去分母，得4+x2一1=x2一2x十1， 解得x=-1. 检验：当x=一1时，(x一1)(x+1)=0, 所以，x=一1是方程的增根，原方程无解。 3.B4.1 5.解：方程两边都乘(x一2)(x+2),得x十2+k(x-2)=3. 因为原方程有增根，所以最简公分母(x一2)(x十2)=0. 以x=2或一2. 把x=2代入整式方程，得4=3，故矛盾，所以x≠2. 把x=一2代入整式方程，得=一3 4 所以，增根是x=一2，k=一3」 41 6.A7.C 8.解：去分母，得2(x+2)十mx=x-1, 整理，得(m十1)x=一5. (1)将x=1代人(m+1)x=一5， 解得m=一6. (2)因为方程无解， 当x=1时，m=6; 将x=-2代人(m+1)x=-5, 解得m-, 当m+1=0时，m=-1; 所以满足条件的m的值有2或一6或-1. 9解：1)当？”猪成5时，原分式方程为，52十3=2 方程两边同时乘(x一2)，得5十3(x-2)=一1， 解得x=0. 经检验，x=0是这个分式方程的解. (2)设“？”为m,原分式方程为”2+3=2是 方程两边同时乘(x一2)，得 m+3(x-2)=-1. 由于x=2是原分式方程的增根， 所以把x=2代人整式方程，得m十3×(2一2)=一1， 解得m=一1.所以，原分式方程中“？”代表的数是一1. 第3课时分式方程的应用 1.A2.D 3.解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车 平均每公里的加油费为(x+0.45)元， 根据题意，得300-300 工x+0.45X4, 3 解得x=20 经检验=易是原方程的解，且符合感意， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.15元， 4c5c6是 3 2 (1+25%)x=60 7.解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1十 25%)x=1.25x米， 根据题意，得300+15=300， 1.25x 解得x=40, 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意， 所以1.25x=50, 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米. 8.解：设边衬的宽度为x米，则装裱后的长为(2.4十2x)米，宽 为(1.4+2x)米， 由题意可角子4计经号 解得x=0.1, 经检验，x=0.1是原分式方程的解，且符合题意. 答：边衬的宽度为0.1米 9.解：(1)设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价 为1.4x元. 依题意，得8400_4000=10. 1.4x 解得x=200, 经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，所以1.4x=280. 答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为 280元. (2)设第二次购进A种茶叶m盒，则第二次购进B种茶叶 (100-m)盒.依题意，得(300-20)×2+(300X0.7-20)× 空+(40-20)×102"+(400×0.7-280)×1020- 2 5800, 解得m=40,所以100一m=60. 答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒. 专题四巧用分式方程的解求字母的值 1.B 2解：把2代人z并得0=3， a21 所以原式= a2-a a2-a (a+1)(a-1) a(a-1) a 当a=3时，原式=a十1-4 a 3 3.B4.±15.k>- 名且0 14