3.3 分式的加法与减法-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

3.3分式的加法与减法 第1课时同分母分式的加法与减法（答案P11) ←通基f础 6.(泰安岱岳区二模)如图所示，一个正确的运算 过程被盖住了一部分，则被盖住的 知识点同分母分式的加法与减法 是 a- a 1.运算能力化简。2-1a二的结果为( 7.计算： A.a B.a-1 C D.a2-a (1)5a+36 2a 2.下列计算正确的是() a2-b2a2-b29 A.atb_a+b mm 2m B.aa =0 x-y y-x C.a,-1_1-ba-b (2)m+2n+n-2m n-m m-n n-m' AxAx 4x y=1 D.y4 ☆易错点计算结果不约分导致错误 通素养 BH13114111114 3.计算： +2 8.结论开放已知P=Q十b 2ab a262,Q a2b2,用 “十”或“一”连接P,Q共有三种不同的形式： P+Q,P一Q,Q一P.请选择其中一种进行化 (2)2-22x+3 简求值，其中a=3,b=2. x2-11-x2 。通能力u 4.计笋a 0 (a一b)z的结果是( b ) 1 1 A.- "a+b B.- "a-b C.a2-b2 D.1 名n=+子，那么m-等 5.如果m=义一之， x y 于() A4B.2 C.0 D.-4 △八年级·上册·数学.QD 43 第2课时分式的通分（答案P11) 通基础 VEMAKKKKKKK111141114111411211 知识点2分式的通分 知识点1最简公分母 6运算能力把。3心通分，下列计算正确的 1分式，器的最简公分母是( 是() A.6c6bc c ac A.3xy B.6x3y2 ab a'b'3abi-3a'b C.6x6y D.x3y3 B.Gc18bc c ac 2送装方分式是年的装简公分号 3 5a2b3a2b2’3ab23a2b C.Gc=18bc ac 是() a2b 3a2b'3ab2 3a2b2 A.x2-1 D. 6c 18bc c B.x(x2-1) a?b 3a2b'3ab?3ab? C.x2-x 7若将分式3x —y与分式2(x”y通分后，分式 D.(x+1)(x-1) 3.下列各题所求的最简公分母不正确的 2(x一y的分母变为2(x一y)(x十y),则分式 是() 3.x2 1与a A3x与62的最简公分母是6x2 x2二y的分子应变为( A.6x2(x-y)2 B.2(x-y) B.、1 3a6与3a2的最简公分母是3a26。 C.6.x2 D.6x2(x+y) 1 2 C.1与1的最简公分母是m一n -2'(z一2)(x+3)'(z十3)通分过程中不 8. m+nm-n 正确的是( ) 1 D.- 1 (r-v)与b(y-x) 的最简公分母是 A.最简公分母是(x一2)(x十3)2 ab(x-y)(y-x) B. (x+3)2 1 x-2(x-2)(x+3)2 4教材P6练习卫变式分式， 2ab’ 1 x+3 56。的最简公分母是 1 C.(x-2(x+3)(x-2)(x+3) 2 2x-2 D 5确定下列分式的最简公分母： (x十3)2(x-2)(x十3)2 1,1,11 ☆易错点忽略符号的改变导致错误 4ab'2a'c'6abi x-33 1 (2) 1 9.通分：-1'1一 2xy'6.x3(x-y) 1 (3) xy2'x(m-n)'y(n-m): a-1 1 1 (4) a2+2a+1'3a2-3a'2a-2 44 优+学案·课时通△ 母子，以最小分母遍乘诸分子及全步，各以其 通能力 MMAEAEKKK111171811221411412113 母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍 61 10.运算能方分式a636的最简公分母 乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法、 置所求步数.以全步积分乘之为实.实如法而 是( ) 一，得从步.”意思是说：要求一组正整数的最 A.a B.ab 小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其 C.3a2b2 D.3a3b3 倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母 1送算方分式2与己的最简公分母 分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母 是() 分别乘各项，再约分…如此类推，直到各项 A.2(x-1) B.x2-1 都为整数止，则首项即为原组正整数的最小 C.x-1 D.2(x-1)2 公倍数.其实，我们还可以用“少广术”，求一 组分式的最简公分母 An 12.若将分式3m与2(m一 m+n 一通分，则分式 例如：求2,3 3m的分子应变为(） 'cy的最简公分母. m+n 23 解：第一步：1，x2y'z: A.6m2-6mn B.6m-6n C.2(m-n) D.2(m-n)(m+n) 第二步w,8 18分式与， 1 的最简公分母 第三步：x2y2,2y,3x. 是 所以号，与的晨商公分母是 12 14.分式3x-3'二1A是这两个分式中分母 请用以上方法解决下列问题： 的公因式，B是这两个分式的最简公分母，且 (1)求二，，名的最简公分母. ab'bc'ac 台=3，试求这两个分式的值， 天2g6”的最简公分母. 3 (2)求。 15 之通素养mu 15.阅读理解求一组正整数的最小公倍数是常 见的数学问题.中国古代数学专著《九章算 术》中便记载了求一组正整数的最小公倍数 的一种方法—少广术.术曰：“置全步及分 △八年级·上册·数学.QDin 45 第3课时异分母分式的加法与减法(答案P11) 通基础 知识点1异分母分式的加法与减法 解：原式 $$= \frac { 2 } { \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) } - \frac { x - 1 } { \left( x - 1 \right) ^ { 2 } } .$$ ·第一步 1.下运算链五计算 $$\frac { 2 } { 1 - m ^ { 2 } } - \frac { 1 } { m + 1 }$$ 的结果是() $$= \frac { 2 } { \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) } - \frac { 1 } { x - 1 } \cdots$$ 第二步 $$A . \frac { 1 } { m + 1 }$$ $$B . - \frac { 1 } { m + 1 }$$ $$= \frac { 2 } { \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) } - \frac { x + 1 } { \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) } \cdots$$ 第三步 $$C . \frac { m + 3 } { m ^ { 2 } - 1 }$$ $$D . \frac { 1 } { 1 - m }$$ $$= \frac { 2 - x + 1 } { \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) } \cdots$$ 第四步 2.计算： $$： \frac { 1 } { 2 a b } + \frac { b } { 4 a } =$$ . $$= \frac { 3 - x } { \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) } \cdots$$ 第五步 3.已知 m+n=3mn， 一的值为 【任务一】填空： 4.计算： ①以下化简步骤中，第一步变形使用的方法 $$\left( 1 \right) \frac { x + 1 } { x } + \frac { 1 } { x - 1 } ；$$ 是； ②第步是进行分式的通分，通分的依 据是； ③第步开始出现错误. 【任务二】请直接写出正确的化简结果： 通能力 $$\left( 2 \right) \frac { x - 1 5 } { x ^ { 2 } - 9 } - \frac { 2 } { 3 - x } .$$ .化简 $$1 - \frac { 1 } { x + 1 }$$ 的结果是() A.0 $$B . \frac { 2 } { x + 1 }$$ $$C . \frac { x } { x + 1 }$$ $$D . \frac { x + 2 } { x + 1 }$$ .计算 $$a - 1 + \frac { 1 } { a + 1 }$$ 的结果是() “知识点2利用分式运算解决实际问题 $$A . \frac { a ^ { 2 } } { a + 1 }$$ $$B . \frac { a } { a + 1 }$$ C.a+1 $$D . a ^ { 2 }$$ 5.小明家和小刚家到图书馆的路程都是3 km，小 .如果 x>y>1， 那么 $$\frac { y - 1 } { x - 1 } - \frac { y } { x }$$ 的值是() 明走的是平路， 骑车的速度是2v km/h.小刚需 A.正数 B.负数 C.零 D.不确定 要走1km的上坡路和2 km的下坡路，在上坡 路的骑车速度是v km/h， 在下坡路的骑车速度 10.对于任意的 x 值都有 $$\frac { 2 x + 7 } { \left( x + 2 \right) \left( x - 1 \right) } =$$ 是3v km/h.如果他们同时出发， 先到图 $$\frac { M } { x + 2 } + \frac { N } { x - 1 }$$ ，则M，N的值为 ) 书馆. ☆易错点分子相减时，减数是多项式忘加括号 A.M=1，N=3 面是小明化简分式 $$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 }$$ 的过 B.M=-1，N=3 C.M=2，N=4 程，请认真阅读并完成相应任务： D.M=1，N=4 46 优十学案·课时通 山提避能力小刚在化简，22一时，把警式 通素养 111/1/1l1/l11lU/ll/1l11/I1/ld M抄错了，得到的化简结果是1 16.阅读理解如果两个分式M与N的和为常 一6，他在核 数，且k为正整数，则称M与N互为“和整 对时发现所抄写的M比原来的M大2b,则 分式”，常数k称为“和整值”.如分式M= 原式的化简结果是( 系N=中MN- x+1 =1,则M A、1 1 "'a+b B b-a 与N互为“和整分式”，“和整值”k=1. 1 c.1 1 tb D.- "a-b a已知分武A-二名B一2红别斯A 与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理 12.若ab=1,m三1十a十1十b,则m2的值与 由；若是，请求出“和整值”k. 为() A.1B.-1 C.2 D.-2 》9c与D (2)已知分式C=3x-4, 1B已蜘日名-3则么8a0的值为 互为“和整分式”，且“和整值”k=3,若x为正 a-2ab-b 整数，分式D的值为正整数t.求t的值. 14.某生产车间制造a个零件，原计划每天制造 x个，后来为了满足供货需要，每天多制造了 b个，则可提前 天完成 15,(烟台芝采区期中)已知：a>0,6>0,号十 6+2=ab. (1)求证：a+b=ab. 2a2 ab2+a2b (2)求2a2262a+2620-26的值. △八年级·上册·数学.QDi L47 第4课时 分式的混合运算（答案P12) ←通基础M 5以下是代数式(3-÷红中排乱 x-1 知识点分式的加减乘除混合运算 的化简步骤： 1.(济宁微山一模)化简分式m-1+2m一6÷ 0=2+x)(2-x).x-1 m2-9 x-1 x-2)②=2+2 2-x m十3的结果是( 2m+2 ③= [3(x+1)(x-1)] ,x-1 x-1 x-1 (x-2)2 A.m ④4x2 x-1 "m+1 B.m x-1(x-2)2 C.2 则正确化简步骤的顺序是() m+3 A.①→③→④→② B.③→①→④→② 2.(北京海淀区开学)如果a一b=3,那么代数式 C.③→④→①→② D.①→④→③→② 信-a小·6的值为( 6.计算： ) （1)+4+4:x+2-1, A.-6 B.-3 x十2 x-2 C.3 D.6 3化份只（信）的结果是( ) A.m-n B.n-m C.1 D.-m-n 220÷1-+ a2-1 4应用识在计算任+)小千时，甲之 两位同学使用的方法不同，但计算结果相同， 则( ☆易错点把乘法的分配律用在除法中导致错误 甲同学：+车一号》× 7.化简一2÷()的结果为( ) x+12x×x+1=2. xx+11 A.之+2 B.-2 x x 乙同学：÷系=便+× C.1 D. 1 x-2 x+2 -×中+1×-， x+1 通能力 EKREHH11 x+1_2x=2. x x 8.a-b(a 2ab-b 的计算结果为( ) a A.甲同学正确 B.乙同学正确 A.(a-b)9 a? B、1 a-b C.两人都正确 D.两人都不正确 C.a-b D.a-b a 48 优+学案·课时通 9.应用意识小明在纸上书写了一个正确的演算 过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所 +二÷（台-a-小，其中 a+1a2-1 示，则撕坏的一角中“口”为( 3 a=-2 x=点 A。4 B.4 a+1 C.a a+1 10.（聊城临清二摸)若1十)÷2z 2x ←通素养 的计算结果为正整数，则对x值的描述最准 14.结论开放解答一个问题后，将结论作为条件 确的是() 之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它 A.x为自然数 称为原问题的一个“逆向”问题.例如：原问题 B.x为大于1的奇数 是“若长方形相邻两边的长分别为3和4，求 C.x为大于0的偶数 长方形的周长”，求出周长等于14后，它的一 D.x为正整数 个“逆向”问题可以是“若长方形的周长为14， 1若-=0，则”号)·与的值 且一边长为3，求与该边相邻的边的长”，也可 以是“若长方形的周长为14，求长方形面积的 为() 最大值” A号 B.3 C.1 D.-1 4 0设A=千2B-,求A与 2已知--3=0则2京 2x3 x十1的值 x B的积. 是() (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个 A日 问题. R司 C.3 D. 13.先化简，再求值： 1+m与）·mn,其中m=2 △八年级·上册·数学.QDi 49=x2-y2 y 当x=2,y=1时，A=3. 2x+y 2x+y 2x十y 19.解-2+yx-》=-》·x-》- 因为一y=6,所以三=y,则原式一部y号-名 20.解：(1)设被手遮住部分的代数式为A, 则A=+1.x」 x2-1 x-1 x x‘x+2x+1气‘++ (2)等式左边代数式的值不能等于0.理由： 若等式左边代数式的值为0，则}-0，即x十1=0。 这使得分式千的分母为零，分式无意义， 所以等式左边代数式的值不能等于0. 3.3分式的加法与减法 第1课时同分母分式的加法与减法 1.A2.D 3.解：(10原式=1+2a-1_2.2 3a 3a3 (2)原式=名+2= x2+2x+1 x2-1 x2-1 (x+1)(x-1) (x+1)2 x+1 (x+1)(x-1)x-11 4.B5.D6.1 5a+3b-2a 3(a+b) 3 7.解：(1)原式=a+b)a-b)(a+b)(a-b)a-b （2原式=m+2n-n-2m_”二m=1, n-m n-m 8.解：答案不唯一，示例：选P十Q进行计算，P+Q=a十6 a2-62+ 2ab a2+62+2ab (a+b)2 atb a2-b3 a2-b2 (a+b)(a-b)a-b" 3+2=5. 当a=3,b=2时，P+Q=3-2 第2课时分式的通分 1.B2.B3.D 4.30a2b3c2 5.(1)12a2b2c(2)6x3y(x-y) (3)xy2(m-n)xy2(n-m) (4)6a(a-1)(a+1)2 6.B7.C8.D 9解：工一3 x-3 :-(x+1)(x-' 3-z+2-可 3(x+1) 1-x 10.C11.A12.A 13.x(x+3)(x-3) 14.解：两个分式中分母的公因式为A=x一1，最简公分母 为B=3(x+1)(x-1), 所以2-3(x十+1)(x-1D A x-1 =3(x十1)=3，即x=0, 则、1 1 3x-3=3 2 2 -10白1-2. 15.解：1)第一步：1，abic'ac c a b c2 a2 第二步：ac,6,6b 第三步：abc,c2,a2,b2. 所以5，品，的最简公分母是ahc。 ab 'bc 'ac 3 15 (2)第一步：12xy2'6y'4x22 第二步：4x2,6r,2x22 0y’3y2,5: 第三步12r,18,2x215y； 第四步：12x3y2z3,18xy,2x2z3,15y2z. 所以2元6。的最简公分号见12ry 3 第3课时异分母分式的加法与减法 1.D 2.2+62 4ab 3.3 4解：(1)原式=x2-1 x2+x-1 x(x-D十x(x-D=x-x x-15 2(x+3) （2）原式=x+3)(2-3)+红+3)(-3 3x-9 3 (x+3)(x-3)x十3 5.小明 6.【任务一】①因式分解②三分式的基本性质③四 【任务】中 7.C8.A9.B10.B11.A12.A 13号 ab 14.x(x+b) +2=ab. 15.解：1因为号+台 所以a2十b2+2ab=(ab)2. 所以(a十b)2=(ab)2. 因为a>0,b>0, 所以a+b=ab. a2 ab2+a'b a2 (2)2a-262a+2b-2a-2b2=2(a-b)2(a+6) ab2+a'b a2(a+b-a+b) ab2+a2b 2(a+b)(a-b) 2(a-b)(a+b) 2(a+b)(a-b) 2a'b ab2+a2b a'b-ab" 2(a-b)(a+b) 2(a+b)(a-b)-2(a-b)(a+b)- ab(a-b) ab 2(a-b)(a+b)-2(a+b) 由(1)，得a十b=ab, 所以原式岛之 -出 16解：1)是.因为A=-7 所似A+B-名+号-一7+2中-号 x-2 x-2 3(x-2) =3, x-2 所以A与B互为“和整分式”，“和整值”k=3. (2)因为C=3x-4 x-2,D G x-4' 所以C+D=号+只= G(3x-4)(x+2) (x+2)(x-2) G 3x2+2x-8+G (x+2)(x-2)(x+2)(x-2) 因为C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=3, 所以3x2+2x-8十G=3(x-2)(x+2)=3x2-12, 所以G=3x2-12-3x2-2x+8=-2x-4, 所以D=二2x-4 -2(x+2) 2 x2-4=(x+2)(x-2)=一x-2 因为分式D的值为正整数t, 所以-(x一2)=1或-(x-2)=2,此时x的值为1或0. 因为x为正整数，所以x的值为1， 所以t的值为2. 第4课时分式的混合运算 1.A2.A3.D4.C5.C +2·+-121=-2 6.解：(1)原式=x+2)2. x-2 x 2a(a-1).a+1-1_2a,a+1 (2)原武-a+Da-D÷a+1a市' =2. a 7.D8.B9.A10.B11.B12.A 1a佩：0原式-（号+）·a+少 m m,(m+1)(m-1) m-1 m =m十1， 当m=2时，原式=2+1=3. (2原式=2a+1+2-2e÷2a-1-(a2-1) -a+1fa2-1 a-1 0+24 a2-1 a-1 a+a”-。 2a+1, a-1 =2a+11 a+1a十1 2a a+1 当a=时，原式 2x(-) =6 3 -2+1 14解：0A·B=(2千)== 2x(x+4) x (x+2)x-2=2z+8. (2)“逆向”问题： 已知A·B=2z十8，B=二4，求A x 解答：A=(A·B)÷B=(2z十8)÷4=(2z十8)， 计塔案不唯) 专题三分式的化简求值 1,解：原式=-2+3.（红-2）2 x-2 x+1 =x+1.(z-2)2 x-2 x+1 =x-2. 当x=3时， 原式=3-2=1. 「a2-1」 a+1 2.解：原式=[2-a+1)]÷2+ (a+1)(a-1-a+3),(a-3)2 a-3 a+1 2(a+1)(a-3)2 a-3 a+1 =2(a-3) =2a-6. 因为a=-1或a=3时，原式无意义， 所以a只能取1或0， 当a=1时，原式=2-6=一4.（当a=0时，原式=一6） 3.解：原式=1- (x+2y)2 ·义=1-+型= x(x-y)x十2y x-x一2y=-2y x 因为x-2|+(3-y)2=0, 所以x一2=0,3-y=0, 解得x=2,y=3. 所以原式= 2×3=-3. 2 4.解：原式= (x-3x+1) 2(x=一3工 4 2 x-3x-3/ = x(x-2) 8 x2-3x 因为x2-3x十1=0， 所以x2-3x=-1, 所以原式=一号一8 3+a-3a-3 5.解：原式=(a十3)(a-3)a a+3a·83 a a2 1 a(a+3) 1 a2+3a1 因为a2+3a-2=0, 所以a2十3a=2, 1 所以原式=2 1 bc= 1 ac= 1 6.解：因为。+b=3'6十c4”a十c5, 所以中-，安 ab 3,6+c=4,a+c-5, ac 1 1+1=5 所以上述三式相加可得子+号+名=12， 所以+6+片=6… 所以c+ac+ab=6, abc abc 1 所以 b+bc+ac6. 1 7解：)由2+3x中6，知x≠0 所以+3x+1=6. 所似+1--1+-(+)-=9-8=6， 12