精品解析：江苏省华罗庚中学2025-2026学年高一上学期10月阶段性调研数学试卷

江苏省华罗庚中学2025级高一十月阶段性调研数学试卷 2025.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若集合有个子集，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. －2 C. D. 6. 若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 三.填空题：本题共3小题一每小题5分，共15分. 12. 计算：_____________． 13. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 14. 已知正数、满足，则的最小值是_____. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求不等式的解集； （2）若，，集合中有且仅有两个整数,求实数的取值范围； 17. 已知命题，；命题：对任意，且，不等式恒成立； （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 18. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）求的值； （2）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19. 已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省华罗庚中学2025级高一十月阶段性调研数学试卷 2025.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，故， 又因为，故. 故选：A. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 3. 若集合有个子集，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，集合有且只有个元素，对实数的取值进行分类讨论，当时，直接验证即可；当时，可得出，综合可得出实数的值. 【详解】因为集合有个子集，故集合有且只有个元素， 当时，，合乎题意； 当时，则关于的方程有两个相等的实根， 所以，解得. 综上所述，或. 故选：C. 4. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 5. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行计算. 【详解】， 所以. 故选：D 6. 若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据二次函数的两个零点都大于列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】设， 由题意得：， 解之得实数的取值范围为：. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于中档题. 7. 已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得，由此可得出，结合基本不等式可求得答案. 【详解】因为、、均为正实数，则，即，所以， 故 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 8. 设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合“好子集”的定义，分三种情况即可. 【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 10. 已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为，，不妨取，，此时，A错； 对于B选项，因为，所以，， 所以，故，B对； 对于C选项，因为，，故，C对； 对于D选项，因为，则，，所以，， 故，D对. 故选：BCD. 11. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为20 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A由韦达定理可判断选项正误；BD由基本不等式可判断选项正误；C由A选项分析利用二次函数知识可判断选项正误. 【详解】对于A，因的解集为， 则的解为与1，由韦达定理， 则，两式相除，得， 故，则A错误； 对于B，由基本不等式，，当且仅当取等号，故B正确； 对于C，由A，， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD 三.填空题：本题共3小题一每小题5分，共15分. 12. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算、 【详解】原式＝． 故答案为：． 13. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，即当时，，则满足 解不等式组可得x的取值范围． 【详解】，不等式恒成立 即，不等式恒成立 设，即当时， 所以 ，即，解得或 故答案为： 14. 已知正数、满足，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将等式变形为，在等式两边同时乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为正数、满足，即， 所以 （1）， 所以，即， 由题意可知，故（2）， 当且仅当时，即当时，不等式（1）（2）中的等号同时成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可； （2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可. 【小问1详解】 由，解得，即， 由， 解得，即，则， 则； 【小问2详解】 由可知， 若，即时，符合题意； 若，则要满足题意需，解之得； 综上所述实数的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）若，求不等式的解集； （2）若，，集合中有且仅有两个整数,求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，则、为关于的方程的两根，利用韦达定理可得出、与的关系，再利用一元二次不等式的解法可得出不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可知，、为关于的方程的两根， 所以，，可得，， 故不等式即为，即为，解得或. 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，，则不等式即为， 可化为， 当时，则不等式即为，解得，即，不合乎题意； 当时，方程的两根分别为，， ①当时，即当时，，不合乎题意； ②当时，即当时，，不合乎题意； ③当时，即当时，，不合乎题意； 当时，解不等式得，， 因为集合中有且只有两个整数，则、，， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 17. 已知命题，；命题：对任意，且，不等式恒成立； （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围； （3）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质解决不等式能成立问题即可； （2）利用基本不等式计算最小值，再解一元二次不等式即可； （3）利用（1）、（2）的结论，分类讨论计算即可. 【小问1详解】 若命题为真命题，则有， 记，时取得等号，所以； 【小问2详解】 易知， 当且仅当时取得等号，所以， 即，所以； 【小问3详解】 由上可知若命题和命题都是真命题，即且， 所以； 若命题为真命题，命题为假命题，则且， 所以； 若命题为假命题，命题为真命题，则且， 所以； 综上所述若命题和命题中至少有一个为真命题，则. 18. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）． （1）求的值； （2）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）；（2）；（3）投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意时，可得解； （2）由（1）求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解. （2）由（1），利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得， （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2020年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19. 已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解集不是空集列不等式，由此求得的取值范围. （3）化简恒成立的不等式，利用换元法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 由， 得， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 若关于的不等式的解集不为， 即关于的不等式的解集不为， 当时，不等式即，解集为，不为，符合题意. 当时，不等式的解集不为，符合题意. 当时，要使不等式的解集不为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 若对恒成立， 则对恒成立， 由于， 所以则对恒成立， 设，则，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $