第18讲 包括与排除（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第18讲 包括与排除 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 “包括与排除”（又称容斥原理）是解决两个或多个集合中元素个数问题的方法，核心是避免重复计算重叠部分，同时不遗漏任何元素。 关键量： 集合A的元素个数（记为A，如“参加语文小组的人数”）； 集合B的元素个数（记为B，如“参加数学小组的人数”）； 集合A和B的重叠部分元素个数（记为，如“两个小组都参加的人数”）； 集合A与B的总元素个数（记为总数量，即“至少参加一个小组的人数”，为A和B的并集）。 2.核心公式 两个集合的容斥原理公式： 总数量 =： 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知A、B、A∩B，求总数量） 技巧：直接套用核心公式“总数量 = ，代入已知数据计算。 例：五（1）班参加语文兴趣小组的有20人（A=20），参加数学兴趣小组的有18人（B=18），两个小组都参加的有5人（A∩B=5），求参加至少一个兴趣小组的人数（总数量）。 总数量 = 20 + 18 - 5 = 33（人）。 题型2：反求重叠型（已知总数量、A、B，求A∩B） 技巧：公式变形，根据“总数量 = A + B - A∩B”推导出“A∩B = A + B - 总数量”，代入数据计算重叠部分。 例：五（2）班有40人，参加体育小组的有25人（A=25），参加音乐小组的有20人（B=20），每人至少参加一个小组，求两个小组都参加的人数（A∩B）。 = 25 + 20 - 40 = 5（人）。 题型3：含无关元素型（需筛选有效数据） 技巧：从题目给出的多个数据中，筛选出计算所需的A、B、总数量或A∩B，忽略无关数据（如总人数中未参加任何小组的人、与集合无关的其他数量等）。 例：五（3）班有50人，其中3人未参加任何兴趣小组，参加绘画小组的有28人（A=28），参加书法小组的有22人（B=22），求两个小组都参加的人数（）。 有效总数量 = 50 - 3 = 47（人，即参加至少一个小组的人数），A∩B = 28 + 22 - 47 = 3（人）。 题型4：实际场景应用型（结合人数、物品等问题） 技巧：将实际问题中的对象抽象为集合（如“参加活动的人”“拥有物品的数量”等），明确A、B、重叠部分的含义，再用容斥公式计算。 例：一个文具店有两种笔：铅笔和钢笔。购买铅笔的有35人，购买钢笔的有28人，两种笔都购买的有12人，这个文具店今天购买笔的顾客有多少人？ 总顾客数（至少买一种笔）= 35 + 28 - 12 = 51（人）。 题型5：多个集合简单拓展（选讲，三个集合基础） 技巧：三个集合容斥原理公式：总数量 = A + B + C - A∩B - BC - AC + A∩B∩C（A∩BC是三个集合的重叠部分），适用于简单三个集合问题（五年级重点掌握两个集合，三个集合作为拓展）。 例：一个班有学生45人，参加语文、数学、英语三个兴趣小组，参加语文的有20人，数学的有18人，英语的有15人，同时参加语文和数学的有5人，同时参加数学和英语的有3人，同时参加语文和英语的有4人，三个小组都参加的有2人，求参加至少一个小组的人数。 总数量 = 20 + 18 + 15 - 5 - 3 - 4 + 2 = 43（人）。 三、常见错误提醒 1.重复计算：直接将A和B相加作为总数量，忘记减去重叠的A∩B（正确：总数量=A+B-A∩B）。 2.反求重叠时公式用错：误算A∩B=总数量+A+B（正确：A∩B=A+B-总数量）。 3.混淆“总数量”范围：未明确“总数量”是否包含未参加任何集合的元素（如“全班人数”可能包含未参加小组的人，需先减去得到有效总数量）。 4.数量类型混淆：A、B、A∩B必须是同一类型的数量（如都是“人数”或“物品数”），避免不同类型数量相加。 5.三个集合漏算或多算重叠：三个集合时，容易漏加 A∩B∩C（三个集合重叠部分）或重复减去重叠部分（正确：减去两两重叠，再加回三个重叠）。 例题讲解 一、基础型 例题1：五（1）班参加科技小组的有15人，参加文艺小组的有12人，两个小组都参加的有3人，求参加至少一个小组的人数。 跟踪练习1：一个水果摊，买苹果的有22人，买香蕉的有18人，两种水果都买的有6人，今天买水果的顾客有多少人？ 二、反求重叠型 例题2：一个班有学生50人，每人至少参加一个课外小组，参加作文小组的有30人，参加科学小组的有25人，求两个小组都参加的人数。 跟踪练习2：一次考试，得优的有18人，得良的有25人，得优或良的共有35人（没有得优和良以外的成绩），求既得优又得良的人数。 三、含无关元素型 例题3：五（3）班有42名学生，其中5人未参加任何兴趣小组，参加美术小组的有20人，参加舞蹈小组的有18人，求两个小组都参加的人数。 跟踪练习3：一个书店有顾客60人，其中10人只看不买（不购买任何书），购买故事书的有28人，购买科普书的有25人，求两种书都购买的人数。 四、实际场景应用型 例题4：学校运动会，参加跑步比赛的有40人，参加跳远比赛的有32人，既参加跑步又参加跳远的有15人，还有10人两项比赛都不参加，这个学校参加运动会这两项比赛的共有多少人？ 跟踪练习4：一个玩具店，购买积木的有23人，购买拼图的有19人，两种玩具都购买的有8人，两种都不购买的有5人，这个玩具店今天的顾客有多少人？ 五、多个集合简单拓展 例题5：一个班有学生50人，参加语文、数学、英语三个兴趣小组，参加语文的有22人，数学的有20人，英语的有18人，同时参加语文和数学的有8人，同时参加数学和英语的有5人，同时参加语文和英语的有4人，三个小组都参加的有2人，求参加至少一个小组的人数。 跟踪练习5：一个水果店有苹果、香蕉、橙子三种水果。购买苹果的有15人，香蕉的有12人，橙子的有10人，同时买苹果和香蕉的有4人，同时买香蕉和橙子的有3人，同时买苹果和橙子的有2人，三种都买的有1人，求购买水果的顾客总数（至少买一种）。 提升练习 1．五（1）班参加作文竞赛的有18人，参加数学竞赛的有20人，两项都参加的有5人，求参加竞赛的总人数。 2．一个班有学生45人，每人至少参加一个兴趣小组，参加音乐小组的有25人，参加美术小组的有22人，求两个小组都参加的人数。 3．学校组织活动，参加跳绳的有30人，参加踢毽子的有25人，两项都参加的有10人，两项都不参加的有8人，求参加活动的总人数。 4．一个图书馆有读者50人，其中8人只看杂志不看书，看小说的有20人，看科普书的有15人，求两种书都看的人数。 5．五（2）班有50人，参加体育达标测试，跳绳达标的有35人，跑步达标的有30人，两项都达标的有20人，求两项都未达标的人数。 6．一次画展，参观油画展的有42人，参观水彩画展的有38人，两种画都参观的有15人，这个画展的参观总人数是多少？（每人至少参观一种画） 7．一个文具店，购买铅笔的有28人，购买橡皮的有22人，两种都购买的有5人，两种都不购买的有10人，求文具店的顾客总数。 8．五（3）班有学生48人，参加语文兴趣小组的有20人，参加数学兴趣小组的有18人，两个小组都不参加的有15人，求两个小组都参加的人数。 9．学校运动会，参加跳高的有15人，参加跳远的有12人，参加跑步的有20人，同时参加跳高和跳远的有4人，同时参加跳远和跑步的有3人，同时参加跳高和跑步的有2人，三个项目都参加的有1人，求参加运动会这三个项目的总人数。（每人至少参加一个项目） 10．一个班有学生30人，参加英语角的有18人，参加奥数班的有15人，两项都不参加的有5人，求两项都参加的人数。 11．五（4）班参加合唱比赛的有25人，参加舞蹈比赛的有20人，其中有8人两项比赛都参加，求参加比赛的总人数。 12．一个书店，购买故事书的有30人，购买漫画书的有25人，两种书都购买的有x人，已知购买书的顾客有45人，求x。 13．学校组织春游，带面包的有40人，带水果的有35人，两样都带的有15人，两样都没带的有5人，求参加春游的总人数。 14．五（5）班有48人，参加数学小组的有28人，参加语文小组的有22人，两个小组都参加的人数是都不参加人数的2倍，求两个小组都不参加的人数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第18讲 包括与排除 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 “包括与排除”（又称容斥原理）是解决两个或多个集合中元素个数问题的方法，核心是避免重复计算重叠部分，同时不遗漏任何元素。 关键量： 集合A的元素个数（记为A，如“参加语文小组的人数”）； 集合B的元素个数（记为B，如“参加数学小组的人数”）； 集合A和B的重叠部分元素个数（记为，如“两个小组都参加的人数”）； 集合A与B的总元素个数（记为总数量，即“至少参加一个小组的人数”，为A和B的并集）。 2.核心公式 两个集合的容斥原理公式： 总数量 =： 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知A、B、A∩B，求总数量） 技巧：直接套用核心公式“总数量 = ，代入已知数据计算。 例：五（1）班参加语文兴趣小组的有20人（A=20），参加数学兴趣小组的有18人（B=18），两个小组都参加的有5人（A∩B=5），求参加至少一个兴趣小组的人数（总数量）。 总数量 = 20 + 18 - 5 = 33（人）。 题型2：反求重叠型（已知总数量、A、B，求A∩B） 技巧：公式变形，根据“总数量 = A + B - A∩B”推导出“A∩B = A + B - 总数量”，代入数据计算重叠部分。 例：五（2）班有40人，参加体育小组的有25人（A=25），参加音乐小组的有20人（B=20），每人至少参加一个小组，求两个小组都参加的人数（A∩B）。 = 25 + 20 - 40 = 5（人）。 题型3：含无关元素型（需筛选有效数据） 技巧：从题目给出的多个数据中，筛选出计算所需的A、B、总数量或A∩B，忽略无关数据（如总人数中未参加任何小组的人、与集合无关的其他数量等）。 例：五（3）班有50人，其中3人未参加任何兴趣小组，参加绘画小组的有28人（A=28），参加书法小组的有22人（B=22），求两个小组都参加的人数（）。 有效总数量 = 50 - 3 = 47（人，即参加至少一个小组的人数），A∩B = 28 + 22 - 47 = 3（人）。 题型4：实际场景应用型（结合人数、物品等问题） 技巧：将实际问题中的对象抽象为集合（如“参加活动的人”“拥有物品的数量”等），明确A、B、重叠部分的含义，再用容斥公式计算。 例：一个文具店有两种笔：铅笔和钢笔。购买铅笔的有35人，购买钢笔的有28人，两种笔都购买的有12人，这个文具店今天购买笔的顾客有多少人？ 总顾客数（至少买一种笔）= 35 + 28 - 12 = 51（人）。 题型5：多个集合简单拓展（选讲，三个集合基础） 技巧：三个集合容斥原理公式：总数量 = A + B + C - A∩B - BC - AC + A∩B∩C（A∩BC是三个集合的重叠部分），适用于简单三个集合问题（五年级重点掌握两个集合，三个集合作为拓展）。 例：一个班有学生45人，参加语文、数学、英语三个兴趣小组，参加语文的有20人，数学的有18人，英语的有15人，同时参加语文和数学的有5人，同时参加数学和英语的有3人，同时参加语文和英语的有4人，三个小组都参加的有2人，求参加至少一个小组的人数。 总数量 = 20 + 18 + 15 - 5 - 3 - 4 + 2 = 43（人）。 三、常见错误提醒 1.重复计算：直接将A和B相加作为总数量，忘记减去重叠的A∩B（正确：总数量=A+B-A∩B）。 2.反求重叠时公式用错：误算A∩B=总数量+A+B（正确：A∩B=A+B-总数量）。 3.混淆“总数量”范围：未明确“总数量”是否包含未参加任何集合的元素（如“全班人数”可能包含未参加小组的人，需先减去得到有效总数量）。 4.数量类型混淆：A、B、A∩B必须是同一类型的数量（如都是“人数”或“物品数”），避免不同类型数量相加。 5.三个集合漏算或多算重叠：三个集合时，容易漏加 A∩B∩C（三个集合重叠部分）或重复减去重叠部分（正确：减去两两重叠，再加回三个重叠）。 例题讲解 一、基础型 例题1：五（1）班参加科技小组的有15人，参加文艺小组的有12人，两个小组都参加的有3人，求参加至少一个小组的人数。 答案：24人 解析：直接套用两个集合容斥公式，总数量=A+B-A∩B。其中A=15（科技小组），B=12（文艺小组），A∩B=3（都参加），总数量=15+12-3=24（人）。 跟踪练习1：一个水果摊，买苹果的有22人，买香蕉的有18人，两种水果都买的有6人，今天买水果的顾客有多少人？ 答案：34人 解析：总顾客数=22+18-6=34（人）。 二、反求重叠型 例题2：一个班有学生50人，每人至少参加一个课外小组，参加作文小组的有30人，参加科学小组的有25人，求两个小组都参加的人数。 答案：5人 解析：由容斥公式“总数量=A+B-A∩B”可得，A∩B=A+B-总数量。其中总数量=50（全班人数，每人至少参加一个小组），A=30（作文小组），B=25（科学小组），A∩B=30+25-50=5（人）。 跟踪练习2：一次考试，得优的有18人，得良的有25人，得优或良的共有35人（没有得优和良以外的成绩），求既得优又得良的人数。 答案：8人 解析：8+25-35=8（人）。 三、含无关元素型 例题3：五（3）班有42名学生，其中5人未参加任何兴趣小组，参加美术小组的有20人，参加舞蹈小组的有18人，求两个小组都参加的人数。 答案：1人 解析：首先筛选有效总数量（参加至少一个小组的人数）=全班人数-未参加任何小组的人数=42-5=37（人）。再由A∩B=A+B-总数量，其中A=20（美术小组），B=18（舞蹈小组），A∩B=20+18-37=1（人）。 跟踪练习3：一个书店有顾客60人，其中10人只看不买（不购买任何书），购买故事书的有28人，购买科普书的有25人，求两种书都购买的人数。 答案：3人 解析：有效总数量（购买至少一种书的顾客）=60-10=50（人），A∩B=28+25-50=3（人）。 四、实际场景应用型 例题4：学校运动会，参加跑步比赛的有40人，参加跳远比赛的有32人，既参加跑步又参加跳远的有15人，还有10人两项比赛都不参加，这个学校参加运动会这两项比赛的共有多少人？ 答案：67人 解析：先求参加至少一项比赛的人数=跑步人数+跳远人数-两项都参加的人数=40+32-15=57（人），再加上两项都不参加的10人，总人数=57+10=67（人）。 跟踪练习4：一个玩具店，购买积木的有23人，购买拼图的有19人，两种玩具都购买的有8人，两种都不购买的有5人，这个玩具店今天的顾客有多少人？ 答案：40人 解析：至少买一种玩具的顾客=23+19-8=34（人），总顾客数=34+5=39（人）。 五、多个集合简单拓展 例题5：一个班有学生50人，参加语文、数学、英语三个兴趣小组，参加语文的有22人，数学的有20人，英语的有18人，同时参加语文和数学的有8人，同时参加数学和英语的有5人，同时参加语文和英语的有4人，三个小组都参加的有2人，求参加至少一个小组的人数。 答案：45人 解析：用三个集合容斥公式：总数量=A+B+C-A∩B-BC-AC+A∩BC。其中A=22（语文），B=20（数学），C=18（英语），A∩B=8，BC=5，AC=4，A∩BC=2，总数量=22+20+18-8-5-4+2=45（人）。 跟踪练习5：一个水果店有苹果、香蕉、橙子三种水果。购买苹果的有15人，香蕉的有12人，橙子的有10人，同时买苹果和香蕉的有4人，同时买香蕉和橙子的有3人，同时买苹果和橙子的有2人，三种都买的有1人，求购买水果的顾客总数（至少买一种）。 答案：29人 解析：总数量=15+12+10-4-3-2+1=29（人）。 提升练习 1．五（1）班参加作文竞赛的有18人，参加数学竞赛的有20人，两项都参加的有5人，求参加竞赛的总人数。 【答案】33人 【分析】总人数=参加作文竞赛人数+参加数学竞赛人数-两项都参加人数=18+20-5=33（人）。 2．一个班有学生45人，每人至少参加一个兴趣小组，参加音乐小组的有25人，参加美术小组的有22人，求两个小组都参加的人数。 【答案】2人 【分析】A∩B=25+22-45=2（人）。 3．学校组织活动，参加跳绳的有30人，参加踢毽子的有25人，两项都参加的有10人，两项都不参加的有8人，求参加活动的总人数。 【答案】53人 【分析】至少参加一项的人数=30+25-10=45（人），总人数=45+8=53（人）。 4．一个图书馆有读者50人，其中8人只看杂志不看书，看小说的有20人，看科普书的有15人，求两种书都看的人数。 【答案】3人 【分析】有效总数量（看书的读者）=50-8=42（人），A∩B=20+15-42=3（人）。 5．五（2）班有50人，参加体育达标测试，跳绳达标的有35人，跑步达标的有30人，两项都达标的有20人，求两项都未达标的人数。 【答案】5人 【分析】至少一项达标的人数=35+30-20=45（人），未达标的人数=50-45=5（人）。 6．一次画展，参观油画展的有42人，参观水彩画展的有38人，两种画都参观的有15人，这个画展的参观总人数是多少？（每人至少参观一种画） 【答案】65人 【分析】总人数=42+38-15=65（人）。 7．一个文具店，购买铅笔的有28人，购买橡皮的有22人，两种都购买的有5人，两种都不购买的有10人，求文具店的顾客总数。 【答案】55人 【分析】至少购买一种的人数=28+22-5=45（人），总顾客数=45+10=55（人）。 8．五（3）班有学生48人，参加语文兴趣小组的有20人，参加数学兴趣小组的有18人，两个小组都不参加的有15人，求两个小组都参加的人数。 【答案】5人 【分析】至少参加一个小组的人数=48-15=33（人），A∩B=20+18-33=5（人）。 9．学校运动会，参加跳高的有15人，参加跳远的有12人，参加跑步的有20人，同时参加跳高和跳远的有4人，同时参加跳远和跑步的有3人，同时参加跳高和跑步的有2人，三个项目都参加的有1人，求参加运动会这三个项目的总人数。（每人至少参加一个项目） 【答案】39人 【分析】总人数=15+12+20-4-3-2+1=39（人）。 10．一个班有学生30人，参加英语角的有18人，参加奥数班的有15人，两项都不参加的有5人，求两项都参加的人数。 【答案】8人 【分析】至少参加一项的人数=30-5=25（人），A∩B=18+15-25=8（人）。 11．五（4）班参加合唱比赛的有25人，参加舞蹈比赛的有20人，其中有8人两项比赛都参加，求参加比赛的总人数。 【答案】37人 【分析】总人数=25+20-8=37（人）。 12．一个书店，购买故事书的有30人，购买漫画书的有25人，两种书都购买的有x人，已知购买书的顾客有45人，求x。 【答案】10 【分析】由45=30+25-x，解得x=10。 13．学校组织春游，带面包的有40人，带水果的有35人，两样都带的有15人，两样都没带的有5人，求参加春游的总人数。 【答案】65人 【分析】至少带一样的人数=40+35-15=60（人），总人数=60+5=65（人）。 14．五（5）班有48人，参加数学小组的有28人，参加语文小组的有22人，两个小组都参加的人数是都不参加人数的2倍，求两个小组都不参加的人数。 【答案】4人 【分析】设都不参加的人数为x，则都参加的人数为2x。至少参加一个小组的人数=48-x，可得28+22-2x=48-x，解得x=4。 15．一次考试，得A的有12人，得B的有18人，得A或B的共有25人，求既得A又得B的人数。 【答案】5人 【分析】A∩B=12+18-25=5（人）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $