第12讲 长方体和正方体（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

该小学数学讲义聚焦长方体和正方体小升初考点，以掌握棱长总和、表面积、体积的计算及应用为核心教学目标。通过知识点系统梳理、六大核心题型分类解析、常见错误警示及分层练习设计，帮助学生构建完整知识体系，夯实基础并突破重难点。 特色在于立足小升初实战，创新融合空间观念与推理意识培养。如拼合图形型通过计算重合面面积减少量，引导学生用数学眼光观察立体图形关系，反求棱长题型强化公式变形推理，综合应用中的“水箱倒水”问题培养模型意识。分层练习覆盖基础到提升，助力学生高效掌握，为教师提供精准教学路径。

五年级奥数培优讲义：第12讲 长方体和正方体 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 长方体和正方体是常见的规则立体图形，由6个面、12条棱和8个顶点组成。 关键量： 长方体：长（记为）、宽（记为）、高（记为）、棱长总和（记为）、表面积（记为）、体积（记为）； 正方体（特殊的长方体，长=宽=高）：棱长（记为）、棱长总和（记为）、表面积（记为）、体积（记为）。 2. 核心公式 类型 棱长总和公式 表面积公式 体积公式 长方体 （12条棱，4组长宽高） （6个面，相对面面积相等） （长×宽×高） 正方体 （12条棱都相等） （6个面都是正方形，面积相等） （棱长×棱长×棱长） 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知棱长求棱长总和/表面积/体积） 技巧：直接套用公式，明确长、宽、高（或棱长），代入计算。 长方体：已知，求、、； 正方体：已知，求、、。 题型2：反求棱长型（已知棱长总和/表面积/体积求棱长） 技巧：公式变形，根据已知量反推未知量。 长方体：已知和，求；已知和，求； 正方体：已知，求；已知，求（五年级可描述为“的算术平方根”）；已知，求（五年级可描述为“的立方根”，如，则）。 题型3：拼合图形型（多个图形拼合后求表面积/体积） 技巧：拼合后体积不变（等于各小图形体积之和），表面积减少（重合的面不再计入表面积，减少的表面积=重合面面积×2×重合次数，每重合1个面，表面积减少2个面的面积）。 例：2个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼成长方体： 沿“长×宽”面拼（上下重合）：新长方体长5cm、宽4cm、高cm，体积cm³（原2个体积和cm³），表面积减少cm²（重合1个面，减少2个“长×宽”面）。 题型4：分割图形型（一个图形分割后求表面积总和/体积总和） 技巧：分割后体积总和不变（等于原图形体积），表面积总和增加（增加的表面积=分割面面积×2×分割次数，每分割1次，增加2个分割面的面积）。 例：一个长10cm、宽6cm、高4cm的长方体，沿长平均分成2个小长方体，每个小长方体长5cm、宽6cm、高4cm，总表面积cm²，比原表面积增加cm²（分割1次，增加2个“宽×高”面）。 题型5：含多余条件型（需筛选有效数据） 技巧：从多个数据中筛选计算所需条件（求棱长总和/表面积/体积均需长、宽、高或棱长），忽略无关数据（如质量、颜色、材质等）。 题型6：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题转化为棱长总和、表面积或体积计算，如“包装问题”（求表面积，重合面越多越节省材料）、“容积问题”（求体积，注意单位换算：1L=1dm³，1mL=1cm³）、“浸水体积问题”（物体体积=上升水的体积）。 二、常见错误提醒 1.公式混淆：误将表面积公式用于体积计算（如用求体积），或体积公式用于表面积计算（如用求表面积）。 2.单位不统一：长用“米”、宽用“厘米”，未统一单位直接计算（需先统一为相同长度单位，如都换算成厘米）。 3.单位类型错误：表面积用体积单位（如“立方厘米”），体积用面积单位（如“平方厘米”）。 4.拼合时多算重合面：2个正方体拼成长方体，表面积减少2个面（而非1个），误算为减少1个面。 5.分割时漏算增加面：一个长方体分割成2个小长方体，表面积增加2个分割面（而非1个），误算为增加1个面。 6.反求时公式变形错误：长方体已知体积、长、宽，求高，误算为（正确：）。 例题讲解 一、基础型 例题1：一个长方体长8cm、宽5cm、高3cm，求它的棱长总和、表面积和体积。 跟踪练习1：一个正方体棱长6dm，求它的棱长总和、表面积和体积。 二、反求棱长型 例题2：一个长方体棱长总和是80cm，长10cm、宽6cm，求高。 跟踪练习2：一个正方体表面积是54dm²，求它的棱长和体积。 三、拼合图形型 例题3：3个棱长2cm的正方体拼成长方体，求拼成的长方体表面积和体积。 跟踪练习3：2个长6cm、宽4cm、高2cm的长方体，沿“宽×高”面拼合，求新长方体的表面积。 四、分割图形型 例题4：一个棱长8cm的正方体，沿长、宽、高各切1刀（平均分成8个小正方体），求8个小正方体的表面积总和。 跟踪练习4：一个长10cm、宽5cm、高5cm的长方体，沿长平均分成2个小长方体，求每个小长方体的表面积。 五、含多余条件型 例题5：一个长方体，长5dm、宽3dm、高2dm，质量10kg，求它的体积。 跟踪练习5：一个正方体，棱长4cm，颜色红色，求它的表面积。 六、综合应用型 例题6：用包装纸包装一个长10cm、宽8cm、高5cm的长方体礼盒，接头处需100cm²，至少需要多少包装纸？ 跟踪练习6：一个长方体水箱长5dm、宽4dm、高3dm，装满水后倒入棱长5dm的正方体水箱，水深多少？ 提升练习 1．一个长方体的玻璃鱼缸。从里面量长5.5分米，宽2.4分米，高3分米。它的容积是多少升？ 2．一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 3．波妞把送给外婆的礼物包装盒捆扎起来，如果打结处彩带长20厘米（如图）。一共需要彩带多少厘米？ 4．食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 5．厨房间的长方体水槽，长25厘米，宽18厘米，放了9厘米深的水，现在放入几个土豆，土豆完全浸没在水中，这时水面上升到11厘米。这几个土豆所占的空间有多大？ 6．爸爸买回一个长12分米、宽5分米、高8分米的鱼缸，往鱼缸里倒入360升水，水面距离缸口多少分米？此时水和鱼缸的接触面积是多少平方分米？（玻璃厚度忽略不计） 7．有一张宽20厘米的长方形铁皮，先从它的四个角分别裁去一个边长5厘米的正方形，然后将剩余铁皮焊接成一个无盖的盒子。如果盒子的容积是1200立方厘米，那么原来这张铁皮的面积是多少平方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 8．张师傅给长方体A的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。王师傅要给长方体B的表面刷油漆，长方体B的长、宽、高正好都是长方体A长、宽、高的2倍。王师傅说：我去购买两桶张师傅这样的油漆就够了。王师傅说的对吗？说说你的理由。 9．张师傅做了两个外形大小一样的长方体木盒（如图），这两个木盒的容积相等吗，为什么？ 10．一个长2分米、宽16厘米、高12厘米的长方体玻璃缸中浸入一块棱长8厘米的正方体铁块，当取出铁块时，玻璃缸中的水会下降多少厘米？ 11．我们平顶教室的长是8米，宽6.5米，高4米，教室门窗和黑板的面积一共是35.8平方米。要粉刷教室的顶面和四周墙壁，粉刷的面积有多少平方米？ 12．妈妈买了一个四层书架，如图。书架外包装标明“书架尺寸：6分米×4分米×20分米”。做这个书架，至少需要木板多少平方分米？（木板材质相同，厚度忽略不计） 13．将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。 14．一间教室长8米、宽6米、高3米，现在要用涂料粉刷它的四壁和顶棚（除去门、窗和黑板24平方米）。如果每平方米用涂料0.15千克，一共需要多少千克涂料？ 15．一个长方体食品盒（如图），长8厘米，宽8厘米，高15厘米。如果沿食品盒的四周贴满一圈商标纸，商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 16．测量不规则物体体积时，可以把该物体放进盛有水的长方体容器里测量。一个长方体容器长10厘米，宽8厘米，高9厘米，里面水的高度是6厘米，现把一个马铃薯放进去后完全沉没于水中，这时水面高度是8厘米，这个马铃薯的体积是多少立方厘米？ 17．一个巧克力盒的长、宽、高如图所示，将这样的3盒巧克力包装成一个礼包，从节约出发，至少需要多大面积的包装纸？（重叠处不计）（单位：厘米） 18．航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 19．在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 20．在科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。在一个长8分米，宽4分米，高7分米的长方体玻璃水槽中装有一些水（如图一），小航放入4个同样大的小球后（如图二），水面上升了0.6分米。每个小球的体积是多少立方分米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第12讲 长方体和正方体 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 长方体和正方体是常见的规则立体图形，由6个面、12条棱和8个顶点组成。 关键量： 长方体：长（记为）、宽（记为）、高（记为）、棱长总和（记为）、表面积（记为）、体积（记为）； 正方体（特殊的长方体，长=宽=高）：棱长（记为）、棱长总和（记为）、表面积（记为）、体积（记为）。 2. 核心公式 类型 棱长总和公式 表面积公式 体积公式 长方体 （12条棱，4组长宽高） （6个面，相对面面积相等） （长×宽×高） 正方体 （12条棱都相等） （6个面都是正方形，面积相等） （棱长×棱长×棱长） 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知棱长求棱长总和/表面积/体积） 技巧：直接套用公式，明确长、宽、高（或棱长），代入计算。 长方体：已知，求、、； 正方体：已知，求、、。 题型2：反求棱长型（已知棱长总和/表面积/体积求棱长） 技巧：公式变形，根据已知量反推未知量。 长方体：已知和，求；已知和，求； 正方体：已知，求；已知，求（五年级可描述为“的算术平方根”）；已知，求（五年级可描述为“的立方根”，如，则）。 题型3：拼合图形型（多个图形拼合后求表面积/体积） 技巧：拼合后体积不变（等于各小图形体积之和），表面积减少（重合的面不再计入表面积，减少的表面积=重合面面积×2×重合次数，每重合1个面，表面积减少2个面的面积）。 例：2个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼成长方体： 沿“长×宽”面拼（上下重合）：新长方体长5cm、宽4cm、高cm，体积cm³（原2个体积和cm³），表面积减少cm²（重合1个面，减少2个“长×宽”面）。 题型4：分割图形型（一个图形分割后求表面积总和/体积总和） 技巧：分割后体积总和不变（等于原图形体积），表面积总和增加（增加的表面积=分割面面积×2×分割次数，每分割1次，增加2个分割面的面积）。 例：一个长10cm、宽6cm、高4cm的长方体，沿长平均分成2个小长方体，每个小长方体长5cm、宽6cm、高4cm，总表面积cm²，比原表面积增加cm²（分割1次，增加2个“宽×高”面）。 题型5：含多余条件型（需筛选有效数据） 技巧：从多个数据中筛选计算所需条件（求棱长总和/表面积/体积均需长、宽、高或棱长），忽略无关数据（如质量、颜色、材质等）。 题型6：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题转化为棱长总和、表面积或体积计算，如“包装问题”（求表面积，重合面越多越节省材料）、“容积问题”（求体积，注意单位换算：1L=1dm³，1mL=1cm³）、“浸水体积问题”（物体体积=上升水的体积）。 三、常见错误提醒 1.公式混淆：误将表面积公式用于体积计算（如用求体积），或体积公式用于表面积计算（如用求表面积）。 2.单位不统一：长用“米”、宽用“厘米”，未统一单位直接计算（需先统一为相同长度单位，如都换算成厘米）。 3.单位类型错误：表面积用体积单位（如“立方厘米”），体积用面积单位（如“平方厘米”）。 4.拼合时多算重合面：2个正方体拼成长方体，表面积减少2个面（而非1个），误算为减少1个面。 5.分割时漏算增加面：一个长方体分割成2个小长方体，表面积增加2个分割面（而非1个），误算为增加1个面。 6.反求时公式变形错误：长方体已知体积、长、宽，求高，误算为（正确：）。 例题讲解 一、基础型 例题1：一个长方体长8cm、宽5cm、高3cm，求它的棱长总和、表面积和体积。 答案：棱长总和64cm，表面积158cm²，体积120cm³ 解析： 棱长总和：cm； 表面积：cm²； 体积：cm³。 跟踪练习1：一个正方体棱长6dm，求它的棱长总和、表面积和体积。 答案：棱长总和72dm，表面积216dm²，体积216dm³ 解析： 棱长总和：dm； 表面积：dm²； 体积：dm³。 二、反求棱长型 例题2：一个长方体棱长总和是80cm，长10cm、宽6cm，求高。 答案：高4cm 解析：根据棱长总和公式，变形得，即cm。 跟踪练习2：一个正方体表面积是54dm²，求它的棱长和体积。 答案：棱长3dm，体积27dm³ 解析：正方体1个面的面积dm²，棱长dm，体积dm³。 三、拼合图形型 例题3：3个棱长2cm的正方体拼成长方体，求拼成的长方体表面积和体积。 答案：表面积56cm²，体积24cm³ 解析： 拼合方式：只能沿棱长拼（1行3列），新长方体长cm、宽2cm、高2cm； 体积：cm³（等于3个正方体体积和：cm³）； 表面积：原3个正方体表面积和cm²，重合2个面（每个面面积cm²），减少表面积cm²，新表面积cm²（或直接用公式：cm²）。 跟踪练习3：2个长6cm、宽4cm、高2cm的长方体，沿“宽×高”面拼合，求新长方体的表面积。 答案：表面积cm² 解析：原2个长方体表面积和cm²，重合1个“宽×高”面（面积cm²），减少表面积cm²，新表面积cm²。 四、分割图形型 例题4：一个棱长8cm的正方体，沿长、宽、高各切1刀（平均分成8个小正方体），求8个小正方体的表面积总和。 答案：768cm² 解析： 每个小正方体棱长cm，1个小正方体表面积cm²，8个总和cm²； 原正方体表面积cm²，分割3次（长、宽、高各1次），每次增加2个面，共增加个面，每个面面积cm²，增加表面积cm²，总表面积cm²。 跟踪练习4：一个长10cm、宽5cm、高5cm的长方体，沿长平均分成2个小长方体，求每个小长方体的表面积。 答案：150cm² 解析：每个小长方体长cm、宽5cm、高5cm，表面积cm²。 五、含多余条件型 例题5：一个长方体，长5dm、宽3dm、高2dm，质量10kg，求它的体积。 答案：30dm³ 解析：计算体积只需长、宽、高，忽略质量，体积dm³。 跟踪练习5：一个正方体，棱长4cm，颜色红色，求它的表面积。 答案：96cm² 解析：只需棱长，表面积cm²。 六、综合应用型 例题6：用包装纸包装一个长10cm、宽8cm、高5cm的长方体礼盒，接头处需100cm²，至少需要多少包装纸？ 答案：440cm² 解析：包装纸面积=礼盒表面积+接头处面积，礼盒表面积cm²，总包装纸cm²。 跟踪练习6：一个长方体水箱长5dm、宽4dm、高3dm，装满水后倒入棱长5dm的正方体水箱，水深多少？ 答案：水深2.4dm 解析：水的体积=长方体水箱体积dm³，正方体水箱底面积dm²，水深=水的体积÷底面积dm。 提升练习 1．一个长方体的玻璃鱼缸。从里面量长5.5分米，宽2.4分米，高3分米。它的容积是多少升？ 【答案】39.6升 【分析】根据题意，结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据计算即可，算出结果再换算单位。 【详解】5.5×2.4×3 ＝13.2×3 ＝39.6（立方分米） 39.6立方分米＝39.6升 答：它的容积是39.6升。 2．一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】280厘米 【分析】根据题意，一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，需切5－1＝4（次），每切一次增加2个正方形的截面，一共增加4×2＝8个截面，每个截面有4条棱，一共增加8×4＝32条棱长； 已知这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，用增加的棱长之和除以32，即是正方体的棱长； 根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出每个正方体的棱长总和，再乘5，求出5个正方体的棱长总和，最后减去320，即是原来长方体的棱长总和。 【详解】（5－1）×2×4 ＝4×2×4 ＝32（条） 正方体的棱长：320÷32＝10（厘米） 5个正方体的棱长之和：10×12×5＝600（厘米） 原来长方体的棱长总和：600－320＝280（厘米） 答：原来长方体的棱长总和是280厘米。 3．波妞把送给外婆的礼物包装盒捆扎起来，如果打结处彩带长20厘米（如图）。一共需要彩带多少厘米？ 【答案】130厘米 【分析】观察上图可知，彩带的长度＝长方体的长×2＋长方体的宽×2＋长方体的高×4＋打结处彩带长度，代入数据进行解答即可。 【详解】25×2＋18×2＋6×4＋20 ＝（25＋18）×2＋6×4＋20 ＝43×2＋24＋20 ＝86＋24＋20 ＝110＋20 ＝130（厘米） 答：一共需要彩带130厘米。 4．食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 【答案】5盒 【分析】按图中月饼盒的摆放，先用计算装入正方体中，第一层能放多少盒，用45除以30；再看能放多少层，用45除以长方体的高，再用长、宽、高所放的盒数相乘，得到正放有几盒。因为正方体纸盒还有空余，刚好是15厘米，月饼盒的高也是15厘米，而空余处的另外两条边是45厘米，足够存月饼盒的另外两条边。以月饼盒“15cm，30cm”的侧面为底，还分别可放2个1盒，所以用正放的盒数加上侧放的盒数，即可得解。 【详解】45÷30＝1（盒）……15（cm） 45÷15＝3（盒）           （盒） （盒） 答：最多能装5盒。 5．厨房间的长方体水槽，长25厘米，宽18厘米，放了9厘米深的水，现在放入几个土豆，土豆完全浸没在水中，这时水面上升到11厘米。这几个土豆所占的空间有多大？ 【答案】900立方厘米 【分析】求这几个土豆所占空间的体积，就是求水面上升（11－9）厘米部分的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】25×18×（11－9） ＝450×2 ＝900（立方厘米） 答：这几个土豆所占的空间有900立方厘米。 6．爸爸买回一个长12分米、宽5分米、高8分米的鱼缸，往鱼缸里倒入360升水，水面距离缸口多少分米？此时水和鱼缸的接触面积是多少平方分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】2分米；264平方分米 【分析】根据1升＝1立方分米，把360升转化为以立方分米为单位； 先根据公式h＝V÷S，用水的体积除以鱼缸的底面积，求出水的深度；再用鱼缸的高度减去水的深度，即可求出水面距离缸口的距离； 求水和鱼缸的接触面积就是把水看成一个长12分米、宽5分米、高等于水的深度的长方体，计算这个长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和。据此解答。 【详解】升立方分米 （分米） （分米） （平方分米） 答：水面距离缸口2分米；此时水和鱼缸的接触面积是264平方分米。 7．有一张宽20厘米的长方形铁皮，先从它的四个角分别裁去一个边长5厘米的正方形，然后将剩余铁皮焊接成一个无盖的盒子。如果盒子的容积是1200立方厘米，那么原来这张铁皮的面积是多少平方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】680平方厘米 【分析】由图可知，这个长方体盒子的高为5厘米、宽为（20－5×2）厘米，根据长方体的体积＝底面积×高可以求出这个盒子的底面积，再用底面积除以宽就可以得到这个长方体盒子的长，那么铁皮的长就等于盒子的长度＋2×5厘米，最后根据长方形的面积＝长×宽求得这个原来这张铁皮的面积是多少平方厘米。据此解答即可。 【详解】盒子的底面积：1200÷5＝240（平方厘米） 盒子的宽：20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 盒子的长：240÷10＝24（厘米） 铁皮的长：24＋5×2 ＝24＋10 ＝34（厘米） 铁皮的面积：34×20＝680（平方厘米） 答：原来这张铁皮的面积是680平方厘米。 8．张师傅给长方体A的表面刷油漆，正好用了一桶油漆。王师傅要给长方体B的表面刷油漆，长方体B的长、宽、高正好都是长方体A长、宽、高的2倍。王师傅说：我去购买两桶张师傅这样的油漆就够了。王师傅说的对吗？说说你的理由。 【答案】不对；理由见详解 【分析】设长方体A的长是3米，宽是2米，高是1米，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体A的表面积，也就是一桶油漆刷的面积；长方体B的长是3×2＝6米，宽是2×2＝4米，高是1×2＝2米，代入长方体表面积公式，求出长方体B的表面积，再用长方体B的表面积÷长方体A的表面积，即可求出长方体B需要油漆的桶数，进而解答。 【详解】设长方体A的长是3米，宽是2米，高是1米； 则长方体B的长是：3×2＝6（米），宽是：2×2＝4（米），高是：1×2＝2（米）。 [（6×4＋6×2＋4×2）×2]÷[（3×2＋3×1＋2×1）×2] ＝[（24＋12＋8）×2]÷[（6＋3＋2）×2] ＝[44×2]÷[11×2] ＝88÷22 ＝4（桶） 王师傅说得不对，需要4桶油漆。 答：王师傅说得不对。 9．张师傅做了两个外形大小一样的长方体木盒（如图），这两个木盒的容积相等吗，为什么？ 【答案】不相等；理由见详解 【分析】容积是指容器所能容纳物体的体积。长方体的容积＝木盒里面的长×木盒里面的宽×木盒里面的高，从图上可见，两个木盒外壁的厚度并不一样，据此解答。 【详解】木盒的容积是木盒里面的长宽高的积，从图中可以看出，盒壁厚度不一样，木盒里面的长宽高也不一样，所以这两个木盒的容积不相等。（答案不唯一） 10．一个长2分米、宽16厘米、高12厘米的长方体玻璃缸中浸入一块棱长8厘米的正方体铁块，当取出铁块时，玻璃缸中的水会下降多少厘米？ 【答案】1.6厘米 【分析】水面下降的体积就是正方体铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出水面下降的体积，水面下降的高度＝下降的体积÷玻璃缸底面积，据此列式解答。注意统一单位。 【详解】2分米＝20厘米 8×8×8÷（20×16） ＝512÷320 ＝1.6（厘米） 答：玻璃缸中的水会下降1.6厘米。 11．我们平顶教室的长是8米，宽6.5米，高4米，教室门窗和黑板的面积一共是35.8平方米。要粉刷教室的顶面和四周墙壁，粉刷的面积有多少平方米？ 【答案】132.2平方米 【分析】求粉刷的面积相当于求长方体表面积，地面不粉刷，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板的面积，据此列式解答。 【详解】8×6.5＋8×4×2＋6.5×4×2－35.8 ＝52＋64＋52－35.8 ＝132.2（平方米） 答：粉刷的面积有132.2平方米。 12．妈妈买了一个四层书架，如图。书架外包装标明“书架尺寸：6分米×4分米×20分米”。做这个书架，至少需要木板多少平方分米？（木板材质相同，厚度忽略不计） 【答案】400平方分米 【分析】由图可知，需要木料的面积包含5个长×宽的面，2个宽×高的面，1个长×高的面，把这些面的面积全部相加即可。 【详解】6×4×5＋4×20×2＋6×20 ＝120＋160＋120 ＝400（平方分米） 答：至少需要木板400平方分米。 13．将下面的长方体切成两个完全一样的小长方体，使这两个小长方体的表面积之和最小，你来画一画，并算出一个小长方体的表面积。 【答案】图见详解；90平方厘米 【分析】根据题意，将长方体切成两个完全一样的小长方体，则表面积会增加两个截面的面积；因为5×2＜10×2＜10×5，所以平行于长方体的左右面切割增加的表面积最小，据此画图。 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个小长方体的表面积。 【详解】如图： 10÷2＝5（厘米） （5×5＋5×2＋5×2）×2 ＝（25＋10＋10）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：一个小长方体的表面积90平方厘米。 14．一间教室长8米、宽6米、高3米，现在要用涂料粉刷它的四壁和顶棚（除去门、窗和黑板24平方米）。如果每平方米用涂料0.15千克，一共需要多少千克涂料？ 【答案】16.2千克 【分析】先求出粉刷的面积，粉刷的面积就是长方体教室5个面的面积和减去门、窗和黑板的面积；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出粉刷的面积，再乘每平方米需要涂料的重量，即可解答。 【详解】[8×6＋（8×3＋6×3）×2－24]×0.15 ＝[48＋（24＋18）×2－24]×0.15 ＝[48＋42×2－24]×0.15 ＝[48＋84－24]×0.15 ＝[132－24]×0.15 ＝108×0.15 ＝16.2（千克） 答：一共需要16.2千克涂料。 15．一个长方体食品盒（如图），长8厘米，宽8厘米，高15厘米。如果沿食品盒的四周贴满一圈商标纸，商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 【答案】480平方厘米 【分析】求商标纸的面积，就是求这个长方体食品盒的侧面积，根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（8×15＋8×15）×2 ＝（120＋120）×2 ＝240×2 ＝480（平方厘米） 答：商标纸的面积至少有480平方厘米。 16．测量不规则物体体积时，可以把该物体放进盛有水的长方体容器里测量。一个长方体容器长10厘米，宽8厘米，高9厘米，里面水的高度是6厘米，现把一个马铃薯放进去后完全沉没于水中，这时水面高度是8厘米，这个马铃薯的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】根据题意，把一个马铃薯浸没在一个有水的长方体容器里，水的高度由6厘米变成8厘米，水面上升了（8－6）厘米，则水上升部分的体积就是这个马铃薯的体积； 根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，即可求出这个马铃薯的体积。 【详解】10×8×（8－6） ＝10×8×2 ＝160（立方厘米） 答：这个马铃薯的体积是160立方厘米。 17．一个巧克力盒的长、宽、高如图所示，将这样的3盒巧克力包装成一个礼包，从节约出发，至少需要多大面积的包装纸？（重叠处不计）（单位：厘米） 【答案】2088平方厘米 【分析】将20×18的面相连接，组成一个长是20厘米，宽是18厘米，高是6×3＝18厘米的长方体表面积最小，再根据长方体表面积公式表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】将3盒摞在一起，包装成长是20厘米，宽是18厘米，高是6×3＝18（厘米）的礼包最节省包装纸。 （20×18＋20×18＋18×18）×2 ＝（360＋360＋324）×2 ＝（720＋324）×2 ＝1044×2 ＝2088（平方厘米） 答：从节约出发，至少需要2088平方厘米包装纸。 18．航模组的同学在特长活动的时候制作模型，把一个长方体的6个面都涂上蓝色，然后把这个长方体切割成棱长为1厘米的小正方体。如果长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、5厘米，那么3面、2面、1面涂色的小正方体各有多少个？ 【答案】3面涂色的有8个；2面涂色的有60个；1面涂色的有136个。 【分析】3面涂色的小正方体在长方体的顶点位置，共8个；2面涂色的小正方体在每条棱的中间，即在每条棱除顶点处的两个小正方体外的中间位置，共有（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4＝60（个）；1面涂色的小正方体在每个面上除棱上的小正方体外的中间位置，在长10厘米、宽6厘米的面上，一面涂色的小正方形组成一个长10－2＝8（厘米）、宽6－2＝4（厘米）的长方形，这个长方形中共有8×4÷（1×1）＝32（个）小正方形，同理可求出在长10厘米、宽5厘米的面上和长6厘米、宽5厘米的面上涂色的小正方形的个数。小正方形的个数即小正方体的个数，所以1面涂色的小正方体有（10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2＝136（个）。 【详解】（10－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4 ＝8×4＋4×4＋3×4 ＝32＋16＋12 ＝48＋12 ＝60（个） （10－2）×（6－2）×2＋（10－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2 ＝8×4×2＋8×3×2＋4×3×2 ＝32×2＋24×2＋12×2 ＝64＋48＋24 ＝112＋24 ＝136（个） 答：3面涂色的有8个，2面涂色的有60个，1面涂色的有136个。 19．在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）0.9升 （2）0.5立方分米 【分析】（1）观察左图，根据长方体体积公式，长方体玻璃容器的长×宽×水面高度＝水的体积，据此列式解答，注意统一单位； （2）观察右图，用竖起来的长方体玻璃容器底面积×现在水的高度，求出水和土豆的体积，再减去原来水的体积就是土豆的体积。 【详解】（1）30×10×3＝900（立方厘米）＝0.9（立方分米）＝0.9（升） 答：玻璃容器原来盛了0.9升水。 （2）10×10×14－900 ＝1400－900 ＝500（立方厘米） ＝0.5（立方分米） 答：该土豆的体积是0.5立方分米。 20．在科学课上，同学们分组做物体的沉浮实验。在一个长8分米，宽4分米，高7分米的长方体玻璃水槽中装有一些水（如图一），小航放入4个同样大的小球后（如图二），水面上升了0.6分米。每个小球的体积是多少立方分米？ 【答案】4.8立方分米 【分析】由题意可知，上升部分水的体积就是4个小球的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出上升部分水的体积，最后用除法求出1个小球的体积即可。 【详解】8×4×0.6÷4 ＝32×0.6÷4 ＝19.2÷4 ＝4.8（立方分米） 答：每个小球的体积是4.8立方分米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $