第07讲 二次函数的概念与特殊二次函数的图象（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册满分全攻略备考系列

第07讲 二次函数的概念与特殊二次函数的图象（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次函数 2.二次函数y=ax²的图像 3.二次函数y=ax²+k的图像 4.二次函数y=a（x-h）²的图像 5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 题型巩固 一、列二次函数关系式 二、二次函数的识别 三、根据二次函数的定义求参数 四、y=ax²的图象和性质 五、y=ax²+k的图象和性质 六、y=a（x-h）²的图象和性质 七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 分层强化 一、单选题（） 二、填空题（） 三、解答题（） 知识梳理 知识点1.二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 知识点2.二次函数y = ax2的图像 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2） 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 2.二次函数的图像 抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 知识点3.二次函数y=ax²+k的图像 一般地，二次函数y=ax²+k的图像是抛物线，称为抛物线y=ax²+k，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到． 抛物线y=ax²+k（其中a、k是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点4.二次函数y=a（x-h）²的图像 一般地，二次函数y=a（x-h）²的图像是抛物线，称为抛物线y=a（x-h）²，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线y=a（x-h）²（其中a、h是常数，且）的对称轴是过点（-h，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -h；顶点坐标是（-h，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 二次函数y=a（x-h）²+k（其中a、h、k是常数，且）的图像即抛物线y=a（x-h）²+k，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线y=a（x-h）²+k（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 题型巩固 题型一、列二次函数关系式 1．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 3．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    题型二、二次函数的识别 4．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．已知那么= ． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、根据二次函数的定义求参数 7．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 8．（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 9．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 题型四、y=ax²的图象和性质 10．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 12．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 题型五、y=ax²+k的图象和性质 13．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 15．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 17．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 18．已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 19．已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 21．已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 分层强化 一、单选题 1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线（    ） A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2 3．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（    ） A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22 C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2 4．已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 5．当函数是二次函数时，a的取值为（　　） A． B． C． D． 6．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向下 B．当时，有最小值为3 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 7．关于二次函数y＝(x+1)2的图象，下列说法正确的是(    ) A．开口向下 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0) 8．下列说法中错误的是（　　） A．在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0 B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大 C．抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大 D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标为 ． 10．若是关于的二次函数，则的值为 ． 11．已知点，，均在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为 ． 12．下列各式：；其中是的二次函数的有 （只填序号） 13．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 14．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是 （填写正确结论的序号）． 三、解答题 15．若是二次函数，求m的值． 16．函数为开口向下的抛物线，求m的值． 17．已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 18．已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 19．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数的概念与特殊二次函数的图象（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次函数 2.二次函数y=ax²的图像 3.二次函数y=ax²+k的图像 4.二次函数y=a（x-h）²的图像 5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 题型巩固 一、列二次函数关系式 二、二次函数的识别 三、根据二次函数的定义求参数 四、y=ax²的图象和性质 五、y=ax²+k的图象和性质 六、y=a（x-h）²的图象和性质 七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 分层强化 一、单选题（） 二、填空题（） 三、解答题（） 知识梳理 知识点1.二次函数 1、二次函数： 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 2.二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）依据定义判断一个函数是不是二次函数时，解析式中表示函数的这个代数式应是最简的。例如这个函数不是二次函数。 （3）在具体问题中，有时只研究函数解析式，需要研究函数的定义域时，如果未加说明，那么函数的定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。 （4）在实际应用问题中，要注意函数的定义域，自变量x的取值应符合实际意义。 知识点2.二次函数y = ax2的图像 的图像 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … （2） 描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数的图像就称为抛物线． 2.二次函数的图像 抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点．当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点． 知识点3.二次函数y=ax²+k的图像 一般地，二次函数y=ax²+k的图像是抛物线，称为抛物线y=ax²+k，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到． 抛物线y=ax²+k（其中a、k是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点4.二次函数y=a（x-h）²的图像 一般地，二次函数y=a（x-h）²的图像是抛物线，称为抛物线y=a（x-h）²，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 抛物线y=a（x-h）²（其中a、h是常数，且）的对称轴是过点（-h，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x = -h；顶点坐标是（-h，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 知识点5.二次函数y=a（x-h）²+k的图像 二次函数y=a（x-h）²+k（其中a、h、k是常数，且）的图像即抛物线y=a（x-h）²+k，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线y=a（x-h）²+k（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 题型巩固 题型一、列二次函数关系式 1．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积． 【详解】解：圆的面积公式是， 原来的圆的面积=， 挖去的圆的面积=， ∴圆环面积． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式． 2．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 3．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．    【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30） 【知识点】列二次函数关系式 【分析】由铁丝的长是60cm，一边长xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式． 【详解】∵铁丝的长是60cm，一边长xcm， ∴另一边长是（30-x）cm， ∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）. 【点睛】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑． 题型二、二次函数的识别 4．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．已知那么= ． 【答案】4 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据题意，令x=2，代入二次函数求值． 【详解】解：． 故答案是：4． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将自变量的值代入求解． 6．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 题型三、根据二次函数的定义求参数 7．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 8．（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 9．已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项。 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点睛】本题考查二次函数定义及相关基础问题，熟练掌握二次函数的定义并准确的找到二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项是解题的关键． 题型四、y=ax²的图象和性质 10．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 11．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意可知，在对称轴左侧y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵拋物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴拋物线在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 题型五、y=ax²+k的图象和性质 13．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 【详解】解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数 (a，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 15．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 17．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的开口方向确定的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 18．已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 19．已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 20．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 21．已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 【答案】(1)开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数有最大值 (3)当，随x的增大而减小 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可； （2）根据开口方向和顶点坐标得出最值； （3）由对称轴和开口方向得出增减性． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为，对称轴为直线； （2）抛物线开口向下，函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值-4； （3）对称轴，开口向下 ∴当，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键． 分层强化 一、单选题 1．在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A. 是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B. 最高次项是3次，不是二次函数，故此选项不合题意； C. 是二次函数，故此选项符合题意； D. 没有说明，故此选项不一定是二次函数，故此选项不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．熟知二次函数的定义是解题关键． 2．抛物线的对称轴是直线（    ） A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：对称轴为直线； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（    ） A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22 C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2 【答案】B 【分析】先根据抛物线解析式判断出抛物线在当－1≤x≤1的增减性即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为y＝－3（x－2）2＋5， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，a=-3＜0 ，即抛物线开口向下 ∴当-1≤x≤1，y随着x的增大而增大 ∵-1＜1， ∴当x=1时，y有最大值2，当x=-1时，y有最小值-22． 故选B． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，正确判断出抛物线的增减性是解题的关键． 4．已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 5．当函数是二次函数时，a的取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题. 【详解】解：∵是二次函数, ∴a-1≠0, 解得：a≠1, 故选你D. 【点睛】本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键. 6．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向下 B．当时，有最小值为3 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：， 图象开口向下，故A正确，不符合题意； 又， 对称轴为y轴，顶点为，故C正确，不符合题意； 当时，有最大值为3，故B错误，符合题意； ，对称轴为y轴， 当时，随的增大而减小，而时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 7．关于二次函数y＝(x+1)2的图象，下列说法正确的是(    ) A．开口向下 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0) 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质由a=得到图象开口向上，将x=0代入求出相应的y值即可判断是否经过原点，由抛物线的性质可判断对称轴右侧图象的变化情况，根据顶点式即可得到顶点坐标，由此即可得答案. 【详解】二次函数y＝(x+1)2中a=>0，所以抛物线开口向上， 当x=0时，y=，所以图象不经过原点， 因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的， 由解析式可知顶点坐标为(-1，0)， 所以选项A、B、C是错误的，D是正确的， 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其y=a(x-h)2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线(a≠0)的开口向下． 8．下列说法中错误的是（　　） A．在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0 B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大 C．抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大 D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点 【答案】C 【详解】由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故A正确； 由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B正确； 根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的绝对值越大，函数图象开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而开口最大，故不正确； 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，正确. 故选C. 【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2的图像的特点． 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标的计算，掌握顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为： ． 10．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义解答． 【详解】是关于的二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，牢记二次函数的一般形式是关键． 11．已知点，，均在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的增减性可求，，的大小关系 【详解】解：∵二次函数（为常数）， ∴图象开口向上，对称轴为y轴， ∴与关于轴对称， ∵当时，随的增大而增大，且 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，利用二次函数的增减性解决问题是本题的关键． 12．下列各式：；其中是的二次函数的有 （只填序号） 【答案】②⑤⑥ 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥． 故答案是：②，⑤，⑥． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）． 13．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 14．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是 （填写正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据题意分别求出两个二次函数的解析式，根据函数的对称轴判定①；令x=0，求出y2的值，比较判定②；观察图象，判定③；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④． 【详解】∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=-2，x=3， ∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确； ∵抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3）， ∴2+n=3，即n=1； ∴y2=（x﹣3）2+1， 把x=0代入y2=（x﹣3）2+1得，y=≠5，②错误； 由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，∴x＞3时，y1﹣y2＞0，③正确； ∵抛物线y1=a（x+2）2+m过原点和点A（1，3）， ∴， 解得 ， ∴. 令y1=3，则， 解得x1=-5，x2=1， ∴AB=1-（-5）=6， ∴A（1，3），B（-5，3）； 令y2=3，则（x﹣3）2+1=3， 解得x1=5，x2=1， ∴C（5，3）， ∴AC=5-1=4， ∴BC=10， ∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值． 三、解答题 15．若是二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】利用二次函数定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 16．函数为开口向下的抛物线，求m的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数开口方向与系数的关系．根据抛物线的定义和开口向下即可得到，由此进行求解即可． 【详解】解：∵函数为开口向下的抛物线， ∴， ∴， ∴解得． 17．已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见解析 【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可； （2）由表中的点，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由抛物线可知， a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）； ②描点、连线： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质． 18．已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案； （2）利用二次函数的性质得出m的值； （3）利用二次函数的性质得出m的值. 【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数， ∴m2+m﹣4=2， 解得：m1=2，m2=﹣3； （2）当m=2时，抛物线有最低点， 此时y=4x2+1， 则最低点为：（0，1）， 由于抛物线的对称轴为y轴， 故当x＞0时，y随x的增大而增大； （3）当m=﹣3时，函数有最大值， 此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1， 由于抛物线的对称轴为y轴， 故当x＞0时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键． 19．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 20．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0； (2)小 【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 先列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）列表： x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： 二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0． （2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小． 学科网（北京）股份有限公司 $