精品解析：湖北省襄阳市第二十中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

二十中2026届九年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟记只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；根据一元二次方程的定义逐项判定即可． 【详解】解：、是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、， 整理得，，是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、不是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的概念，把方程的根代入方程，求解即可． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数 顶点坐标是进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标是， ∴二次函数图象的顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 4. 一元二次方程的两根分别为、，则（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入计算求值即可． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， 故选：C． 5. 三角形的两边长分别为3，5，第三边是方程的根，则三角形的周长是（　　） A. 4 B. 4或8 C. 12 D. 12或16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论． 因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案． 【详解】解：解方程可得或， 当第三边为4时，则三角形的三边长为3、4、5，满足三角形三边关系，其周长为12； 当第三边为8时，则三角形的三边长为，不满足三角形三边关系，舍去． 则此三角形的周长为12． 故选：C． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题关键． 由二次函数的图像可得，根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案． 【详解】解：由图象可知，中，当时，， ∴， ∴的图象经过一、二、三象限，与y轴交于正半轴， 故选A． 7. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设参加此次活动的同学人数为人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设参加此次活动的同学人数为人， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：C． 8. 将二次函数的图象向右平移4个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（　　） A. 持续向上 B. 持续向右 C. 先向上再向下 D. 先向下再向上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数向右平移的过程中，分析其与y轴交点纵坐标的变化情况即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点为， ∴向右平移t个单位后，函数变为， 当平移过程中与y轴交于点P时，令，得， ∴当t从0增加到4时，从2变为，平方项先减小到0（当时），再增大到4， ∴y的值从先减小到，再增大到， ∴动点P的纵坐标先减小后增大，即运动轨迹为先向下再向上， 故选D． 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由停车场的长为40米，宽为19米．车道长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】解：依题意得， 故选：A． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，，给出以下判断：①；②；③；④对于任意的实数，都有．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向、与轴的交点以及对称轴可得出，，，即可判断①；根据图象可得当时，，即可判断②；根据对称轴可得，即可判断③；根据抛物线的图象及对称轴可得当时，最大，从而可得当为任意实数时，即可判断④，从而得到答案． 【详解】解：①抛物线的开口向下，与轴的交点在正半轴， ，， ∵图象过点，， ∴抛物线的对称轴是直线， ， ， ，故①正确，符合题意； ②由图象可得：当时，，故②正确，符合题意； ③由①可得：， ，故③正确，符合题意； ④由图象可得：当时，最大， 当为任意实数时，， ，即，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有：①②③， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴的交点． 二、填空题 11. 把一元二次方程化成的形式，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程----配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：， ， ， ． 所以． 故答案为：4． 12. 若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 _____． 【答案】m≤1且m≠0． 【解析】 【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥0，再由二次项系数不等于0，建立不等式即可求出m的取值范围. 【详解】解：y＝mx2+2x+1是二次函数， ∴m≠0， 由题意可知：△≥0， ∴4﹣4m≥0， ∴m≤1 ∴m≤1且m≠0 故答案为m≤1且m≠0． 【点睛】本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键. 13. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解答关键是利用数形结合思想解答问题． 先根据二次函数的性质得抛物线开口向下，再得到开口向下时，离顶点越近的点，函数值越大即可解答． 【详解】解：在中，，顶点坐标为， ∴抛物线开口向下， ∴开口向下时，离顶点越近的点，函数值越大， ∵顶点横坐标为， ∴点到的水平距离； ∴点到的水平距离； ∴点到的水平距离， ∵抛物线开口向下，离顶点越近，函数值越大， ∴距离从小到大为， ∴函数值从小到大为， 故答案为：． 14. 已知实数满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是通过设元将复杂的四次方程转化为简单的一元二次方程，再结合判别式检验解的合理性，确定最终答案． 设，将原方程转化为；解这个一元二次方程得的两个可能值，再分别将代入，通过计算一元二次方程的判别式检验是否有实数解，排除无实数解的情况，得到的值． 【详解】解：设， 则原方程可化为； 因式分解得， 解得，； ①当时，即，整理为， 判别式，方程有实数解； ②当时，即，整理为， 判别式，方程无实数解，舍去； 故， 故答案为： 15. 如图，正方形的边长为4，为边上一点，连接、，以为边向右侧作正方形． （1）若，则正方形的面积为_______； （2）连接、，则面积的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，确定，利用勾股定理即可解决问题． （2）连接、．设，则，根据，构造函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为4，以为边向右侧作正方形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 故答案为：20． （2）解：如图，连接、．设， 则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴有最小值， 故当时，的面积最小，且最小值为6． 三、解答题 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 17. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握一元二次方程的应用是解题的关键．设雕像的下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解∶设雕像的下部高为，则上部长为， 根据题意可得∶ 整理得∶， 解得∶， (舍去) 故答案为∶． 18. 已知二次函数． （1）求证：该二次函数图象与轴有两个交点； （2）当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 【答案】（1） 证明：对于二次函数， 其中，，， ∴ ∵， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， 即二次函数的图象与轴有两个交点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质，以及不等式的求解，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质并会转化二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式判断即可； （2）先表示出二次函数解析式，再画出二次函数的图象，根据图象解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，二次函数为， 即， 令，则， 解得，， ∴函数与轴的交点为和， 二次函数中， ∴抛物线开口向上， 结合函数图象为： 当时，的取值范围是或． 19. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能 设后，的面积等于根据题意，得， ， ． 此方程无实数根， 的面积不能等于． 【解析】 【分析】本题通过动点的形式考查一元二次方程求解及利用判别式判定是否存在实数根； （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求得时间； （2）根据题意列出一元二次方程，用判别式求解方程根的情况，即可说明是否存在． 【小问1详解】 解：设后，的面积等于根据题意，得 解得，． 当时，不合题意，舍去， 答：后，的面积等于； 【小问2详解】 略 20. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙长），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了两扇宽为的小门．设花圃的一边的长为． （1）若花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （2）所能围成花圃的最大面积是多少？ 【答案】（1）长为，宽为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据花圃的面积刚好为列方程求解即可； （2）设花圃的面积为w，列出函数解析式，利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 设花圃的一边的长为，则， 由题意得，， 整理得，， 解得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长为，宽为； 【小问2详解】 设花圃的面积为w，由题意，得 ， ∵， ∴函数开口向下， ∵， ∴当时，w取得最大值． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． 【小问2详解】 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． 【小问3详解】 ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 23. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【解析】 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）最大值为4 【解析】 【分析】（1）中把点、的坐标代入函数解析式列出关于、的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点的横坐标； （3）过点作轴交直线于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 即， 令，则， 解得：或3， ， ， ， ， ， 点为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二十中2026届九年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. 2 C. 1 D. 3. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两根分别为、，则（　　） A. B. C. 4 D. 5. 三角形的两边长分别为3，5，第三边是方程的根，则三角形的周长是（　　） A. 4 B. 4或8 C. 12 D. 12或16 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 8. 将二次函数的图象向右平移4个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（　　） A. 持续向上 B. 持续向右 C. 先向上再向下 D. 先向下再向上 9. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，，给出以下判断：①；②；③；④对于任意的实数，都有．其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②③ 二、填空题 11. 把一元二次方程化成的形式，则______． 12. 若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 _____． 13. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”表示）． 14. 已知实数满足，则______． 15. 如图，正方形的边长为4，为边上一点，连接、，以为边向右侧作正方形． （1）若，则正方形的面积为_______； （2）连接、，则面积的最小值为______． 三、解答题 16. 解方程： 17. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？（结果保留根号） 18. 已知二次函数． （1）求证：该二次函数图象与轴有两个交点； （2）当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 19. 如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）在问题（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 20. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙长），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了两扇宽为的小门．设花圃的一边的长为． （1）若花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （2）所能围成花圃的最大面积是多少？ 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 23. 综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $