空间中的平行关系 专项训练-2024-2025学年高一下学期人教B版数学必修第四册

专项训练1　空间中的平行关系 1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则点D1与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,有下列四个结论:①AP与CM是异面直线;②AP,CM,DD1相交于一点;③MN∥BD1;④MN∥平面BB1D1D.其中正确结论的个数是(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 3.在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是线段AP,BC上的点,且=,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　) A.AB∥CD　　　　 B.AD∥BC C.BC∥平面PAD　　　　D.AB=AD,CB=CD 4.设A1,B1,C1,D1分别是四棱锥P-ABCD的侧棱PA,PB,PC,PD上的点.给出以下两个命题:①若四边形ABCD是平行四边形但不是菱形,则四边形A1B1C1D1可能是菱形;②若四边形ABCD不是平行四边形,则四边形A1B1C1D1可能是平行四边形.则(　　) A.①为真命题,②为真命题 B.①为真命题,②为假命题 C.①为假命题,②为真命题 D.①为假命题,②为假命题 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,=3,=λ,直线BF∥平面ACE,则λ=　　　　.  6.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为平行四边形,O为AC与BD的交点. (1)求证:A1O∥平面B1CD1; (2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1; (3)设平面B1CD1与底面ABCD的交线为l,求证:BD∥l. 7.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,点E是棱PB上一点,且PD∥平面EAC. (1)求证:点E是PB的中点; (2)在棱BC上是否存在点G,使得平面EOG∥平面PCD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,O,E,F分别是BD,PA,BC的中点. (1)证明:OE∥平面PBC; (2)若平面α经过点F,D,E,且与棱PB交于点H,请在图中画出H在棱PB上的位置,并求出的值. 9.如图所示,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折. (1)求证:当F,A,D三点不共线时,直线MN总平行于平面ADF; (2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗?如果正确,请证明;如果不正确,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由. 答案 1.D　如图,连接D1A,AC,D1C. 因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF是△ABC的中位线,所以EF∥AC. 因为EF⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,所以EF∥平面ACD1. 因为E,G分别为AB,C1D1的中点,所以AE􀱀D1G, 所以四边形AEGD1为平行四边形,所以EG∥AD1. 因为EG⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,所以EG∥平面ACD1. 又EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG, 所以平面ACD1∥平面EFG,所以点P在线段AC上, 则点D1与满足题意的点P构成的平面截长方体所得的截面为△ACD1. 在△ACD1中,AD1=,AC=2,CD1=2,所以=××=. 2.B　对于①,连接AC,A1C1,MP,则AC∥A1C1, ∵M,P分别是C1D1,A1D1的中点,∴MP∥A1C1,MP=A1C1, ∴MP∥AC,MP=AC,∴四边形ACMP是梯形, ∴AP与CM是相交直线,∴①错误; 对于②,∵平面A1ADD1∩平面C1CDD1=DD1,AP⊂平面A1ADD1,CM⊂平面C1CDD1,且AP与CM是相交直线,∴AP,CM,DD1相交于一点,∴②正确; 对于③,设AC∩BD=O,连接ON,OD1,∵M,N分别是C1D1,BC的中点, ∴ON=CD=D1M,ON∥CD∥D1M,∴四边形MNOD1是平行四边形,∴MN∥OD1, ∵OD1与BD1相交,∴MN与BD1不平行,∴③错误; 对于④,∵MN⊄平面BB1D1D,OD1⊂平面BB1D1D, ∴MN∥平面BB1D1D,∴④正确. 3.A　连接AC,在其上取一点M,满足=,连接EM,FM,则EM∥PC.因为EM⊄平面PCD,PC⊂平面PCD,所以EM∥平面PCD,所以要使EF∥平面PCD,则需平面EMF∥平面PCD,而平面EMF∩平面ABCD=MF,平面PCD∩平面ABCD=CD,所以需使MF∥DC. 对于A,在四边形ABCD中,由AB∥CD,==,得MF∥AB∥DC,故A符合. 对于B,因为AD∥BC,==,但AD与BC不一定相等,所以四边形ABCD不一定是平行四边形,所以不一定得到MF∥DC,故B不符合. 对于C,因为BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,结合B中分析可知C不符合. 对于D,结合B中分析知D不符合. 4.C　对于①,如图1,四边形ABCD为平行四边形,四边形A1B1C1D1也为平行四边形. 若平面ABCD与平面A1B1C1D1不平行, 则四边形A1B1C1D1中必有一边与底面ABCD相交. 不妨设直线A1D1与底面相交,则直线B1C1也与底面相交. 在平面PAD中过P作A1D1的平行线,交AD的延长线于T,则PT∥B1C1. 因为P∈平面PBC,B1C1⊂平面PBC,所以PT⊂平面PBC,即T∈平面PBC,又平面PBC∩平面ABCD=BC,所以T∈BC,又T∈AD,所以BC,AD相交,与四边形ABCD为平行四边形矛盾. 故平面ABCD∥平面A1B1C1D1,故==. 若四边形A1B1C1D1为菱形,则A1B1=A1D1,则AB=AD,故四边形ABCD为菱形,故①是假命题. 对于②,如图2,四棱锥P-A1B1C1D1为正四棱锥,延长各侧棱,使PA=2PA1,PB=2PB1,PC=3PC1,PD=3PD1,那么AB∥CD,AB≠CD,此时四边形ABCD是梯形,不是平行四边形,故②是真命题. 5.答案　 解析　如图,在线段PE上取点H,使得=3. 连接HF,DF,BD,记AC∩BD=M,CE∩DF=N,连接MN. 因为BF∥平面ACE,且平面BDF∩平面ACE=MN,所以MN∥BF. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以M为线段BD的中点,所以N为线段DF的中点. 因为=3,=3,所以==,所以HF∥CE,即NE∥HF. 因为N为线段DF的中点,所以E是线段DH的中点, 所以DE=HE,所以=,则λ=. 6.证明　(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1O1OC,∴四边形A1OCO1为平行四边形,∴A1O∥O1C, 又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,∴A1O∥平面B1CD1. (2)∵BB1AA1DD1, ∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴BD∥B1D1. ∵BD⊄平面B1CD1,B1D1⊂平面B1CD1, ∴BD∥平面B1CD1. 由(1)得A1O∥平面B1CD1, 又BD∩A1O=O,BD,A1O⊂平面A1BD, ∴平面A1BD∥平面B1CD1. (3)由(2)得,BD∥平面B1CD1, ∵BD⊂平面ABCD,平面B1CD1∩平面ABCD=l, ∴BD∥l. 7.解析　(1)证明:因为PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=EO,PD⊂平面PBD,所以PD∥EO. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是BD的中点,故点E是PB的中点. (2)当点G为棱BC的中点时,平面EOG∥平面PCD.理由如下: 因为平面EOG∥平面PCD,PC⊂平面PCD,所以PC∥平面EOG. 又平面EOG∩平面PBC=EG,PC⊂平面PBC,所以PC∥EG. 因为点E是PB的中点,所以点G是BC的中点. 所以当点G为棱BC的中点时,平面EOG∥平面PCD,此时=. 8.解析　(1)证明:连接AC,则O为AC的中点. 因为E为PA的中点,所以OE∥PC. 又OE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,所以OE∥平面PBC. (2)过P作直线l与BC平行,则l∥AD,故l,AD共面. 延长DE,交l于点G,连接FG,则FG与PB的交点即为点H.连接FD,EH,则平面EDFH即为平面α. 因为底面ABCD是正方形,F是BC的中点, 所以AD∥BC,且AD=2FB. 因为E是PA的中点,所以PG=AD,所以PG=2FB, 所以==2. 9.解析　(1)证明:在平面图形中,连接MN,设MN与AB交于点G. 由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD=AF,∴AD∥BE且AD=BE, ∴四边形ADBE是平行四边形. 又AM=DN,∴根据比例关系得到MN∥AD. 折叠之后,MG∥AF,NG∥AD,MG∩NG=G, ∴平面ADF∥平面GNM. 又MN⊂平面GNM,∴MN∥平面ADF. ∴当F,A,D不共线时,直线MN总平行于平面ADF. (2)结论不正确. 要使结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点. 根据面面平行的性质定理,由平面GNM∥平面ADF可知,要使MN∥FD总成立,只要FD与MN共面即可. 连接FM,要使FD与MN共面,只要FM与DN相交即可. 由平面图形知,若DN与FM共面,应有DN与FM相交于点B.折叠后的图形如图所示. 由FM∩DN=B,可知它们确定一个平面, 即F,D,N,M四点共面. 又平面FDNM∩平面GNM=MN,平面FDNM∩平面ADF=FD,∴MN∥FD. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $