第一章 1 因式分解-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

第一章因式分解 大单元建构 互逆 定义 与整式乘法的关系 因式分解 互逆 一提 (捉公因式法：a1bm1cn-n(abc》 步骤 方法 平方差公式：2-b=(ab(a-b) 公式法 三检在 元全平方公式：a+2ab+b2=(a+b)2 2-2ah+b2=(a-b)2 ≈本章核心素养 学科核心素养 具体内容 经历将一个多项式表示成几个整式乘积的形式的过程，体会因式分解的意义.认识整式乘法与因 抽象能力 式分解的关系，体会数学知识之间的相互联系.类比因数分解理解因式分解，进一步体会用字母 表示数的思想.理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式 几何直观 通过经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用 能用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接利用公式不超过二次）进行因式分解，发展运 运算能力 算能力 利用因式分解对整式进行变形，进行相关的推理证明，如证明数或式的整除性，证明代数关系，证 推理能力 明几何图形的形状等 创新意识 进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力 有意识地利用平方差公式和完全平方公式的意义和特点，形成判断能力，全面观察问题，分析问 应用意识 题和逆向思维能力 通过学习公式法，利用公式法分解因式，进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想， 模型观念 明确公式法分解因式是乘法公式的逆用，提高代数式的恒等变形能力，并能解决生活中的很多实 际问题 一八年级·上册数学，色教版 1因式分解（答案P1) 通基础 6.观察下列各式从左边到右边的变形：①(x十 1)·(x-2)=x2-x-2;②(a+2)(a-2)= 知识点1因式分解的定义 a2-4;③12a.x-12ay=12a(x-y);④x2 1.(2023·泰安新泰区期末)在下列等式中，从左 4xy+4y2=(x一2y)2.其中是因式分解的 到右的变形是因式分解的是( 是 ;是整式乘法的是 A.2a2-3a+1=a(2a-3)+1 7.根据2ab(2a2b2+3a-b)=4a3b3+6a2b-2ab2, Rw11》 将4a3b3+6a2b-2ab2分解因式得4a3b3+ 6a2b-2ab2= C.(a+1)(a-1)=a2-1 8.结论开放》一个多项式，把它因式分解后有一 D.-4-x2y2+4xy=-(2-xy)2 个因式为(x十1)，请你写出一个符合条件的多 2.教材P2做一做变式》请你根据如图所示的图 项式： 形，写出一个与因式分解相关的等式： 易错固对因式分解的意义理解不透 9.(2023·济南天桥区期末)下面式子从左边到右 边的变形是因式分解的是() A.x2-x-2=x(x-1)-2 bb bb B.(a+b)(a-b)=a2-b2 知识2因式分解与整式乘法的关系 C.x2-4=(x十2)(x-2) 3.根据因式分解与整式乘法的关系，判断下列因 式分解不正确的是( Dx-1=(1-2) A.m2-16=(m-4)(m+4) 通能力沙 B.m2+4m=m(m+4) 10.利用因式分解可以简便计算57×99+44× C.m2-8m+16=(m-4)2 99一99，下列分解正确的是( ) D.m2-9=(m-3)2 A.99×(57+44) B.99×(57+44-1) 4.下列多项式因式分解的结果是一(a十2b)· C.99×(57+44+1)D.99×(57+44-99) (a-2b)的是( ) 11.已知多项式a.x2+bx+c因式分解的结果为 A.a2-4b2 B.a2+4b2 (x一1)(x+4),则abc为( C.-a2-4b2 D.-a2+4b2 A.12 B.9 5.如果(15x2-7x-2)÷(3.x-2)=5x十1，那么 C.-9 D.-12 多项式15.x2一7x一2可分解为() 12.(2024·济宁任城区月考)若将多项式x2 A.-(5.x+1)(3x-2) a.x+b因式分解为(x-2)(x+5),则 B.(5.x+1)(3.x-2) (-3a十b)2025的值为() C.-(5x-1)(3x+2) A.0 B.-1 D.(5x-1)(3x+2) C.1 D.1或-1 优*学秦·课时通 13.下列由左边到右边的变形是因式分解的17.阅读理解》仔细阅读下面例题，解答问题： 是 .(填序号) 已知二次三项式x2一4x+m有一个因式是 (1)(x-y)2=x2-2xy+y2 x十3，求另一个因式以及m的值. (2)am+b=am+ 解：设另一个因式为x十， 则x2-4x十m=(.x十3)(x十n), (3)8a2b3=8a2·b3 x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n. (4)x2-9+6.x=(x+3)(x-3)+6x m+3=-4, (5)a2-4b2=(a+2b)(a-2b) m=3n. 14.几何直观净如图所示，从边长为a的正方形中 n=-7, 挖掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下 解得 m=-21. 的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分 ∴.另一个因式为x-7,m的值为-21. 的面积，验证了一个多项式因式分解的等式， 仿照以上方法解答下面问题： 则这个等式是 已知二次三项式2x2+3x一k有一个因式是 (2x一5)，求另一个因式以及k的值. 15.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因 看错了一次项系数而将其分解为2(x一 1)(x一9)，乙同学因看错了常数项而将其分 解为2(x一2)(x一4)，试将正确的二次三项 式写出来 通素养》a 16.运算能力》已知在x2十m.x-16=(x十a)· (x十b)中，a,b为整数，能使这个因式分解过 程成立的m值有( A.4个 B.5个 C.8个 D.10个 一八年级·上册：数学，色教版 3》优计学案 参考答案 心课时通] 八年级·上册·数学·曾教版 第一章因式分解 19.解：D2ma 1 1 1因式分解 ,1 1 1.D (2)1ma十Tnb+1mc=号m(a+b+c) 2.a2+5ab+4b2=(a+b)(a+4b) 当m=8.48,a=41,b=34,c=25时， 3.D4.B5.B6.③④①② 7.2ab(2a2b2+3a-b) 原式=号×848×(41+34+25)=号×848× 8.x2一1（答案不唯一） 100=424(平方米). 9.C10.B11.D12.B13.(5) 答：这块空地的面积为424平方米. 14.a2-b2=(a+b)(a-b) 20.解：.x2-2x-1=0,x2-2x=1. 15.解：2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x .2.x3-7x2+4x-2026 20x+18. =2x3-4x2-3x2+4x-2026 =2x(.x2-2.x)-3.x2+4x-2026 :甲同学看错了一次项系数，∴原二次三项式中不 =6.x-3.x2-2026 含-20x,含有18,2.x2. =-3(x2-2x)-2026 2(.x-2)(.x-4)=2(.x2-6.x+8)=2x2-12x+ =-3-2026=-2029. 16.,乙同学看错了常数项，.原二次三项式中不 第2课时提多项式公因式 含16，含有2x2,一12x.∴.正确的二次三项式为2x2- 1.D2.C 12x+18. 3.-x(x+y)2或x(x十y)2 16.B 4.D5.D6.A 17.解：设另一个因式为x十a,得 7.解：(1)原式=(b十c)(2a一3). 2x2+3.x-k=(2x-5)(x+a), (2)原式=x(x+1). 则2x2+3.x-k=2x2+(2a-5)x-5a, (3)原式=3(3a+b)(.x-y)2. /2a-5=3, 8.B9.C10.D11.C12.x+113.0 -5a=-k, 14.(x-1)(x-2) 解得低一 15.解：(a-b)(a+b)2-(a+b)(a-b)2+ 2b(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a+b-a+b)+ 故另一个因式为x十4，k的值为20. 2b(a2+b2)=2b(a2-b2)+2b(a2+b2)=2b(a2-b2+ 2提公因式法 。+6)=a6.当a=15,6=号时，原式=4X15× 第1课时提单项式公因式 1 1.D2.2a3.8ab4.D5.B 3-30. 6.x(x-2)7.2a(a-1)8.a(a十b-1) 16.解：(19x-31)(13.x-17)-(17-13.x)(11x-23) 9.解：(1)-4b2+2ab=-2b(2b-a). =(19x-31)(13x-17)+(13x-17)(11x-23) (2)xm-1十xm-xm+1=xm-1(1十x-x2). =(13x-17)(30.x-54) (3)3a.x-12bx+3.x=3.x(a-4b+1). =(a.x+b)(30x+c). (4)6ab3-2a2b2+4a3b=2ab(3b2-ab+2a2). ∴.a=13,b=-17,c=-54, 10.2xy2(3-4xy) .a+b+c=-58. 11.B12.B13.A14.6.xmy”15.-8 17.x(x-17)(3x-5) 16.解：(1)原式=3.14×(21+62+17)=314. 18.解：(1)(1十x)(1十x)(1+x)"+ (2)x-1-x(x-1)+x(x-1)2-x(x-1)3+ (2)原式=(139-71+32)×0.156=15.6. x(x-1)4 17.解：S=3.14×45×25+3.14×55×25=3.14× =(x-1)-x(x-1)+x(x-1)2-x(x-1)3+ 25×(45+55)=314×25=7850. x(x-1)4 18.解：，边长为a,b的矩形的周长为14，面积为10， =-(x-1)(x-1)+x(x-1)2-x(x-1)3+ .a+b=7,ab=10, x(x-1) ,∴.a2b+2ab+ab =(x-1)2(-1+x)-x(x-1)3+x(x-1) =ab(a+2+b) =(x-1)3(1-x)+x(x-1) =10×(7+2) =(x-1)(x-1) =90. =(x-1)°.