第四章 图形的平移与旋转 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年八年级上册数学课时通（鲁教版五四学制）

10.解：答案不唯一，如图所示 ② 11.解：答案不唯一，如图案可看成将正中央的圆向周 围依次平移与半径相等的距离得到，或将正中央的 圆先向外平移与半径相等的距离得到周围的一个 圆，再由此圆绕中心圆的圆心分别旋转60°，120°， 180°，240°，300°前后的所有图形组成的图案. 12.解：(1)A、C、E (2)C (3)图形如图所示。 包 专题五平面直角坐标系中的图形变换 1.B2.(1,1)3.A4.(3,1) 5.C 6.解：(1)点A的坐标为(2,3)，点D的坐标为 (一2，一3)，点B的坐标为(1,2)，点E的坐标为 (-1,一2)，点C的坐标为(3,1)，点F的坐标为 (一3，一1).对应点的横、纵坐标分别互为相反数. g由1为8解行份- 7.解：点P2(1,一1)，P,(1,1).由图可知，每6次对称 变换为一个循环组依次循环， 100÷6=16…4,.P10为第17个循环组的第 4个点，与点P,的坐标相同，∴.P1(1,一3). 8.D9.(2,2) 10.解：(1)如图所示，A1(2,2),B1(3,-2). (2)A2(3,-5),B2(2,-1),C2(1,一3). (3)如图所示，A3(5,3),B3(1,2),C3(3,1). B -1-- 11.解：(1)，(2)如图所示 (3)是，对称中心是(-1，一1). 本章综合提升 【本章知识归纳】 距离相等相等上加下减左减右加角度相 等旋转角重合平分重合平分 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移 方向以及平移距离，即可得出P,的坐标，进而利用中 心对称图形的性质得出P2的坐标. C 【变式训练1】C 【例2】思路分析：如图所示，由旋转的性质可得 ∠PBP'=∠CAB=60°，BP=BP,可证△BPP为等 边三角形，可得BP'=BP=8=PP',∠BPP'=60°， 由勾股定理的逆定理可求出∠APP'=90°，即可求解. 解：如图所示，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得 △BP'A,连接PP', P 根据旋转的性质，知旋转角∠PBP'=∠ABC=60°， BP=BP', △BPP'为等边三角形，.BP'=BP=8=PP' 由旋转的性质，得AP'=PC=10. 在△APP'中，PP'=8,AP=6,AP'=10, 由勾股定理的逆定理，得△APP'是直角三角形， ∠APP'=90. ..∠APB=60°+90°=150° 【变式训练2】解：，在△ABC中，∠C=90°，AC=5, BC=12, ..AB=AC2+BC2=13. 由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直 角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为 AC+BC+AB=30. 【变式训练3】解：(1)是 1 1 2 (2)2a或3a或3a 1 (3)①10t=60+2×60,解得1=9： ②10t=2×60,解得t=12; ③10t=60+2×60,解得t=18, 故当t为9秒或12秒或18秒时，射线PM是∠QPN 的“定分线” 【例3】思路分析：分，点A的对应点为C或D两种情况 考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC,BD,分 别作线段AC,BD的垂直平分线交于点E,点E即为 旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD, BC,分别作线段AD,BC的垂直平分线交于点M,点 M即为旋转中心.此题得解. 解：由A(一1,5)，B(3,3)可确定坐标原点，如图①，② 所示.由题意，对应点无法确定，因此应分情况讨论.① 当点A的对应点为点C时，连接AC,BD,分别作线段 AC,BD的垂直平分线交于点E,如图①所示，E点的 坐标为(1,1).②当点A的对应点为点D时，连接 AD,BC,分别作线段AD,BC的垂直平分线交于 2 点M,如图②所示，M点的坐标为(4,4).综上所述：这 个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4). 0 ① 【变式训练4】(2,3)或(0，-3) 【通模拟】 1.C2.B3.D4.A5.116.5 7.解：(1)如图所示，△A1B1C1为所作 (2)如图所示，△A2B2C2为所作. B (3)(-3,-1) 【通中考】 8.B9.A10.6 第五章 平行四边形 1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形及其边、角的性质 1.平行四边形 2.证明：.∠1=∠2，∴.AB∥CD. ∠3=∠4，∴.AD∥BC, .四边形ABCD是平行四边形 3.C4.D5.D6.D7.70° 8.证明：四边形ABCD是平行四边形， .∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,AB=CD ∠DAF=∠BCE,.∠BAF=∠DCE, .△ABF≌△CDE(ASA), ..BF=DE. 9.证明：四边形ABCD是平行四边形， ..AB//CD,AB=CD..'BE=DF. ∴.AB+BE=CD+DF,即AE=CF ,AB∥CD,∴.∠E=∠F,∠OAE=∠OCF, ∴.△AOE≌△COF(ASA). ..OE=OF. 10.C11.C12.A 13.解：(1)四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADCB,AB∥CD, .∠DAB+∠CBA=180° 又，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA, ∴∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠CBA)-S0 在△APB中，∠APB=180-(∠PAB ∠PBA)=90°. (2).AP平分∠DAB,ABCD, .∠DAP=∠PAB=∠DPA, .'.AD=DP=5 cm. 同理PC=CB=5cm. ∴.AB=DC=DP+PC=10cm. 在Rt△APB中，AB=10cm,AP=8cm, ∴.BP=√102-82=6(cm). .△APB的周长是6+8+10=24(cm). 14.解：(1)△ABB',△AOC和△BB'C (2)证明：在□ABCD中，AB=DC,∠ABC=∠D. 由轴对称，知AB'=AB,∠ABC=∠AB'C..AB CD,∠AB'O=∠D.又.∠AOB'=∠COD, .△AB'O≌△CDO(AAS). 第2课时平行四边形对角线的性质 1.A2.A3.D4.A5.(3,-2) 6.解：，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AC=12,BD=18, ：A0=号AC=6,B0=号BD=9, 1 又：△AOB的周长为23， .AB=23-(AO+B0)=23-(6+9)=8. 7.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC.OD=OB..AF=CE, .OE=OF.又.∠BOE=∠DOF, ∴.△BEO≌△DFO(SAS),∴.BE=DF 8.D9.1<a<710.511.2√/1312.②③ 13.解：(1)AE⊥BD, ∴.∠AEO=90°. ,∠AOE=50, .∠EAO=40°. .AC平分∠DAE, ∴.∠DAC=∠EAO=40°. ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC. ∠ACB=∠DAC=40°. (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC. ,AE⊥BD,CF⊥BD,∴.∠AEO=∠CFO=90. 又.∠AOE=∠COF, ∴.△AEO≌△CFO(AAS), ..AE=CF. 14.解：(1)GF⊥EF,GF=EF. (2)GF⊥EF,GF=EF成立. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥DC, .∠DAB+∠ADC=180° :△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形， ∴.DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG= ∠ADF=∠BAE=45°， ∴.∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+ ∠FDC=180°， ∴.∠EAF+∠CDF=45. .∠CDF+∠GDF=45°，.∠FDG=∠EAF, .△GDF≌△EAF(SAS), ∴.EF=FG,∠EFA=∠DFG ∴.∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA=90°， ∴.∠GFE=90°，∴.GF⊥EF,GF=EF. 23本章综合提升（答案P22) 本章识明纳 定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的 ，图形的这种变化称为平移 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上且 性质 对应线段平行（或在同一条直线上）且 平移 对应角相等 作图 依据 原来图形的位置、平移方向、平移距离 上下平移，横坐标不变，纵坐标；左右平移，纵坐标不变，横坐标 平移 变换 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经 过一次平移得到的 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个，图形的这种变化 定义 称为旋转 图形的平移与旋 对应，点到旋转中心的距离 性质 任意一组对应，点与旅转中心的连线所成的角都等于 旋转 对应线段相等 对应角相等 作图 依据 原来图形的位置、旋转中心、旋转方向、旋转角 在平面内，如果把一个阁形绕着某一点旋转180°后，能与另一个图形 两个图 定义 那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做 形成中 对称中心 心对称 性质 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中 中心 对称 中心对 定义 在平面内，把一个阁形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相 ,那么这个图形叫做中心对称图形，这个就是它的对称中心 称图形 性质 中心对称图形上的每一组对应，点所连的线段都被对称中心 图案的欣赏 分祈阁案的形成过程 图形变化的简单应用 图案设计 运用平移、旋转或轴对称设计简单的阁案 息想方法归纳 1.数形结合思想 链接本章…一 利用平面直角坐标系内的平移、旋转变 换对应的坐标变化规律解决问题， 【例1】在如图所示的正方形网格中， A.(1.4,-1) △ABC经过平移后得到△A,B,C1,已知在AC B.(1.5.2) 上一点P(2.4,2)平移后的对应点为点P1,点P1 C.(1.6,1) 绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2,则P, D.(2.4,1) 点的坐标为() 96 优学·课时通 【变式训练1】(2023·济宁中考)如图所示， 【变式训练2】如图所示，在△ABC中，∠C= 在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个 90°，AC=5,BC=12,求内部五个小直角三角形 单位长度，点A,B,C,D,E均在小正方形方格 的周长的和 的顶点上，线段AB,CD交于点F,若∠CFB= a,则∠ABE等于( 7 【变式训练3】如图①所示，射线O℃在 A.180°-a B.180°-2a ∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、 C.90°+a D.90°+2a ∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另 2.转化思想 一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的 意链接本章… “定分线” 利用图形变换中的全等关系，通过平移 (1)一个角的平分线 这个角的“定 或旋转变换把一个图形转移到一个新的位 分线”.（填“是”或“不是”） 置，使图形中的条件得以重新分布和结合， (2)如图②所示，若∠MPN=a,且射线PQ 把分散的条件集中并转化为与结论有关的 是∠MPN的“定分线”，则∠MPQ= 条件，实现化难为易、变未知为已知、新问题 (用含α的代数式表示出所有可能的结果) 转化为已知的旧问题，从而解决问题. (3)如图②所示，若∠MPN=60°，且射线 【例2】如图所示，等边三角形ABC内有一 PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度 点P,分别连接AP,BP,CP,若AP=6,BP= 逆时针旋转，当PQ与PM成一条直线时停止旋 8,CP=10.求∠APB的度数 转.设旋转的时间为t秒，试求当t为何值时，射 线PM是∠QPN的定分线？ 备用图 一八年级·上册数学，色教版 97 3.分类讨论思想 通模拟 当面临的问题包含多种可能情况时，就把问 题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类 1.(2023·滨州无棣一模)数学世界奇妙无穷，其 进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的 中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学 答案，这种解决问题的思想就是分类讨论思想， 曲线是中心对称图形的是( ) 链接亦章… 在解决有关旋转的问题和探讨坐标系： 中的点时经常会遇到多解问题，如在没有指 明对应关系的情况下求解，必须对各种不同 情况进行讨论，以防漏解造成错误。 【例3】如图所示，A点的坐标为（一1,5）， 2.(2023·威海文登区期末)下列图形是中心对 B点的坐标为(3,3)，C点的坐标为(5,3)，D点 称图形，但不是轴对称图形的是( 的坐标为(3，一1)，小明发现：线段AB与线段 CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某 点旋转一个角度可以得到另一条线段，求这个旋 可以 转中心的坐标. 3.(2023·烟台栖霞期末)如图所示，△ABC与 △A'B'C关于点C(0,一1)或中心对称，若点 A的坐标为(a,b),则点A'的坐标为( D A.(-a,-b) B.(-a,-b-1) C.(-a,-b+1) D.(-a,-b-2) 4.(2023·烟台招远期末)如图所示，△ABC的 顶点A(一8,0)，B(一2,8)，点C在y轴的正 半轴上，AB=AC,将△ABC向右平移得到 △A'BC,若A'B'经过点C,则点C的坐标 为( >c 【变式训练4】已知A,B的坐标分别为 A AO x A(-1,3),B(一2,0)，把线段AB平移，使它的 一个顶点在点D(1,0),则另一个顶点C的坐标 B6,) 为 C.(4,6) D.(6,4) 98 优社学奉·课时通 5.(2024·烟台莱州期中)如图所示，在等边 △ABC中，D是边AC上一点，连接BD,将 △BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE, 8.(2023·济宁中考)在下列图形中，是中心对称 连接ED,若BC=6,BD=5,则△AED的周 图形的是( 长是 6.(2023·东营河口区期末)如图所示，点I为 C D △ABC的三个内角的角平分线的交点，AC= 9.(2023·青岛中考)如图所示，将线段AB先向 4,BC=6,AB=5,将∠ACB平移使其顶点与 左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段 I重合，则图中阴影部分的周长为 绕原点旋转180°得到线段A'B',则点A的对 应点A'的坐标是( 3 7.(2023·济宁任城区期末)如图所示，在平面直 2 角坐标系中，已知A(一2，一4)，B(0,一4)， 5-43-2-1012:3:4:5: C(1,-1). (1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图 形△A1BC1. (2)将(1)中所得△A,B,C1先向左平移4个单 A.(2,-3) B.(-2,3) 位长度再向上平移2个单位长度得到 C.(3,-2) D.(-3,2) △A2B2C2,画出△A2B2C2: 10.(2023·淄博中考)如图所示.在边长为1的 (3)若△A,B2C2可以看作△ABC绕某点旋转 正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边 得来，则旋转中心的坐标为 的图案经过一次平移得到的，则平移的距离 y 是 一八年级·上册数学，色教版 99