函数的奇偶性-湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学考点双析卷》第15卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年对口招生考试数学真题编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。 本卷是湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第15卷，主要考查函数的奇偶性的掌握情况。 湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第15卷 函数的奇偶性 教师讲解卷 一、单项选择题（每题4分，共40分） 1．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．设函数，则的值是（   ） A．0 B． C． D． 3．已知函数是上的偶函数，，则（   ） A．7 B． C． D． 4．设函数 为奇函数，且，则（    ） A． B．5 C．0 D．无法确定 5．设点为奇函数图像上的一点，则下列各点中，也在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 6．若函数为偶函数，则实数的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 7．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是奇函数，函数，若，则（   ） A． B．8 C． D．0 9．武汉杨泗港长江大桥是目前世界跨度最大的双层悬索桥，其顶级的“中国质量”令外国人赞叹“中国人把悬索桥玩出了新高度”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程为（其中为常数），当时，该方程是双曲余弦函数，给出双曲正弦函数，则下列结论错误的是（　　） A．双曲正弦函数是奇函数 B．双曲余弦函数是偶函数 C． D． 10．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，共20分） 11．已知函数是奇函数，若，则 . 12．关于轴对称的点的坐标为 13．已知是偶函数，则 . 14．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则 ． 三、解答题（每题10分，共40分） 15．判断函数的奇偶性，并说明理由． 16．判断函数的奇偶性. 17．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 18．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年对口招生考试数学真题编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷一份是学生的练习卷。 本卷是湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》的第15卷，主要考查函数的奇偶性的掌握情况。 湖南省2026年对口招生考试《数学考点双析卷》 第15卷 函数的奇偶性 教师讲解卷 一、单项选择题（每题4分，共40分） 1．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 解得， 故选：. 2．设函数，则的值是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】判断为偶函数，利用得. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又因为对于任意，， 所以为偶函数， 所以，即 故选：A. 3．已知函数是上的偶函数，，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质求得函数值. 【详解】因为函数是上的偶函数，且， 所以， 故， 故选：A. 4．设函数 为奇函数，且，则（    ） A． B．5 C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】由奇函数的定义求解即可. 【详解】由奇函数的定义可知，， 因为，所以 . 故选：A. 5．设点为奇函数图像上的一点，则下列各点中，也在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的图像特点即可解答. 【详解】已知点为奇函数图像上的一点， 由于奇函数的图像特点为关于原点对称， 则点关于原点对称的点为， 所以点也在该函数图像上， 故选：C. 6．若函数为偶函数，则实数的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义即可求解． 【详解】函数为偶函数， 满足， ∴， ． 故选：C． 7．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为当时，， 则， 因为函数为奇函数， 所以， 故选：A 8．已知函数是奇函数，函数，若，则（   ） A． B．8 C． D．0 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，分析求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 又因为，所以， 解得：， 所以， 故选：D. 9．武汉杨泗港长江大桥是目前世界跨度最大的双层悬索桥，其顶级的“中国质量”令外国人赞叹“中国人把悬索桥玩出了新高度”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程为（其中为常数），当时，该方程是双曲余弦函数，给出双曲正弦函数，则下列结论错误的是（　　） A．双曲正弦函数是奇函数 B．双曲余弦函数是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断AB选项，再根据双曲正余弦函数的定义即可判断CD选项. 【详解】A选项，已知双曲正弦函数，其定义域为，关于原点对称， 则， ∴双曲正弦函数是奇函数，A选项正确； B选项，已知双曲余弦函数，其定义域为，关于原点对称， 则 ∴双曲余弦函数是偶函数，B选项正确； C选项，， 根据平方差公式可得，， 而， ∴，C选项正确； D选项，， 根据完全平方公式展开可得：， ∴， 而，不一定等于1， ∴，D选项错误. 故选：D. 10．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和增函数的定义，逐一分析选项. 【详解】选项A，指数函数是增函数，因为，所以函数不是奇函数，故A错误； 选项B，对数函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数， 函数，在区间上单调递增，故B错误； 选项C，函数在R是增函数，因为，是奇函数，故C正确； 选项D，函数定义域为关于原点对称， 因为，所以它是奇函数， 函数在和上单调递增，在和上单调递减，故D错误. 故选：C. 二、填空题（每题5分，共20分） 11．已知函数是奇函数，若，则 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，若， 则. 故答案为：. 12．关于轴对称的点的坐标为 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征即可得解. 【详解】若两点关于轴对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等， 则关于轴对称的点的坐标为. 故答案为：. 13．已知是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合偶函数的性质即可得解. 【详解】， 则， 因为是偶函数，所以， 所以， 故答案为：. 14．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，可得，继而求出，结合，可得，继而求得函数解析式，当时，易得，继而求解. 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数， 所以， 又， 所以，所以， 所以， 所以，解得， 所以， 当时， ， 所以，又， 所以 . 故答案为： 三、解答题（每题10分，共40分） 15．判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】是奇函数，不是偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性的判断，即可求解. 【详解】对于，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，不是偶函数. 16．判断函数的奇偶性. 【答案】奇函数 【分析】根据函数的奇偶性的定义求解. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数. 17．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2). 【答案】(1)偶函数. (2)奇函数. 【分析】（）根据偶函数的定义即可得解. （）根据奇函数的定义即可得解. 【详解】（1）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， ,， ∴为偶函数. （2）的定义域是，定义域关于原点对称， ，又∵， ∴是奇函数. 18．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知得，即，由，知，由此能求出，的值； （2）结合（1）可得，分析可得不等式等价于，结合函数的单调性可得关于t的不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，则，即，解得， 又，则，解得. （2）由（1）可知，任取，且， 则， 所以， 所以函数在上为减函数，又因为为上的奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 试卷第8页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $