精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学月考 一、单选题 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】进行交集的运算求出，然后即可得出的真子集的个数． 【详解】因为，， 将中元素代入，验证可得， 所以的真子集的个数为. 故选：B. 2. 设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再结合充分必要条件分析判断. 【详解】若，可得， 则，所以， 即等价于； 若，等价于， 显然可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的对称和翻折的性即可求解. 【详解】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式化简，然后再化弦为切即可得解. 【详解】解：由得，, 所以,解得. 故选：A. 5. 已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，采用构造数列的方法，，则可以确定数列为等比数列，然后进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 当时， C. 的解集是 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性即可求解时函数的解析式，即可判断；分情况令即可求解函数的零点判断；令求出解集即可判断；分情况对函数求导，判断函数的单调区间即可求得函数的最值，用最大值减最小值即可判断. 【详解】设，则，所以， 因为是奇函数，所以， 所以，即， 所以函数的解析式为，故不正确； 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以函数有三个零点，故不正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以的解集为，故正确； 当时，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 当时，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 当时，， 所以，都有， 所以不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性求出函数的解析式，分情况求解即可. 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定在上的值域为值域的子集，从而求出二者的值域后，列出不等式组，即可求解. 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断AB；利用判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，则，A正确； 对于B，若是等比数列，显然时，否则，不成立， ，且，则，B正确； 对于C，若，则，， ，，数列不是等差数列，C错误； 对于D，若，则，，不满足，D错误. 故选：AB 10. 已知角满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式判断A，根据角的变换及两角差的余弦公式计算判断B，由题意及同角三角形函数的基本关系判断C，由角的变换及两角和的正弦公式计算判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为， 所以，故B正确； 由，，两式相除可得，故C错误； ， 故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A错误； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B正确； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知角α的终边上有一点，则的值为___. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，得解. 【详解】由题可得，， 所以. 故答案为：. 13. 已知数列中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求数列的周期，又，即，最后利用周期即可求解. 【详解】由题意有，又， 所以，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 又由有， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 四、解答题 15. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求A； （2）若，求a的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求解； （2）由余弦定理结合基本不等式求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 整理得，所以或，， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理：， 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 16. 已知数列中，， （1）证明数列 是等比数列； （2）若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和. 【答案】（1）证明：因为，所以，即，为常数， 故数列是等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的概念，计算证明为常数，即可； （2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，从而知，进而得，再采用错位相减法，即可得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以， 故， 所以， 两式相减得，， 所以． 17. 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，. （1）证明：平面平面； （2）设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为? 【答案】（1） 由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故. 同时有，且，故. 由于，，且和在平面内交于点，故平面. 由于在平面内，故. 取的中点，由于分别是和的中点，故，而，故，即. 由于分别是和的中点，可以得到，所以有平行四边形，故. 设和交于点，由于，，， 从而得到全等于，故. 这就得到，从而，即. 而，故. 由于，即，而，和在平面内交于点，故平面. 由于平面，在平面内，故平面平面. （2）存在. 【解析】 【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证明平面，再使用面面垂直的判定定理即可； （2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用表示），再根据夹角条件，解关于的方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 有，又因为平面，和在平面内，故，. 由于两两垂直，故我们能够以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设， 这就得到，，，，，，，. 据题设有，显然，此时. 从而有，，，. 设和分别是平面和平面的法向量，则，. 即，，从而可取，. 此时平面与平面所成的角的余弦值为， 故条件等价于，即，解得， 所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 【答案】（1） （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出直线切线斜率点斜式写出直线方程； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以切线方程为 【小问2详解】 ， 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增. 【小问3详解】 令， 当时，，故无最小值， 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：解题主要方法是分类讨论，结合导函数的正负的得出函数的单调性. 19. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， （i）所以 为定值，得证； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）（i）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论； （ii）法一：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解. 法二：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，易得点是线段的中点，则，其中为点到直线的距离，求出的最大值即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故 联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（i）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为. 法二：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故， 由（i）可知，，故， 所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离， 思路1 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 设直线的方程为，即， 联立方程组整理得， 据，解得（正舍）， 所以平行直线：与直线：之间的距离为 ，即的最大值为， 所以的面积的最大值为. 思路2 因为直线的方程为， 所以， 依题意，，，，故， 所以， 因为在椭圆上，故，即， 所以， 当且仅当时取等号，故， 所以， 即的面积的最大值为. 思路3 因为直线的方程为， 所以， 因为在椭圆上，故， 设，，不妨设， 所以， 当，，时，， 即的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学月考 一、单选题 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 2. 设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 当时， C. 的解集是 D. ，都有 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 10. 已知角满足，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题 12. 已知角α的终边上有一点，则的值为___. 13. 已知数列中，，，，则______． 14. 已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是__________. 四、解答题 15. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求A； （2）若，求a的最小值． 16. 已知数列中，， （1）证明数列 是等比数列； （2）若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和. 17. 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，. （1）证明：平面平面； （2）设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为? 18. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 19. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $