精品解析：河北省沧州市2025-2026学年高三上学期10月复习质量监测数学试卷

沧州市普通高中2026届高三复习质量监测 数学试卷 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则：（ ） A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 320 B. 400 C. 480 D. 560 7. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥P－ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D，E为边PA，PB的中点，且△CDE为正三角形.若CA＝CB＝2DE，则点P到平面CDE的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知偶函数满足：当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在区间上有零点 10. 对于集合M中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： ①，； ②，若，则； ③，若，，则. 则称“-”是集合M的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（ ） A. 方程的同解 B. 向量的共线 C. 集合的包含 D. 命题的充要条件 11. 已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据的极差和第70百分位数之和为__________. 13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：上两点A，B关于原点O的对称点分别为点C，D，且四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的外接圆方程为__________. 14. 现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多__________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，平面，. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角为，求. 16. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求a； （2）若的周长为4c，求的面积. 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. （1）求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； （2）现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 18. 已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，其上一点满足. （1）求E的方程. （2）记E的右顶点为B，射线BA上两点P，Q满足. （ⅰ）若点P的横坐标为m，求点Q的坐标（用m表示）； （ⅱ）已知，，若的面积为，求. 19. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，若，求的最大值； （3）若恰有2个零点和3个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州市普通高中2026届高三复习质量监测 数学试卷 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定定义求解即可. 【详解】由命题，故：. 故选：A 2. 设复数在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】令,由复数的除法运算化简，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由题可得,所以，对应点的坐标为, 因为,,所以在复平面对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，又，利用离心率的公式即可求解. 【详解】根据题意有， 所以. 故选：B. 4. 平面直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间距离公式计算，再利用余弦定理即可求得. 【详解】因为，三点不共线， 则， ， ， 由余弦定理，可得. 故选：D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦函数的奇偶性代入求解. 【详解】，所以， 则. 故选:B. 6. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 320 B. 400 C. 480 D. 560 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出首项及公差，再求出前20项的和. 【详解】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 7. 已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 8. 在三棱锥P－ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D，E为边PA，PB的中点，且△CDE为正三角形.若CA＝CB＝2DE，则点P到平面CDE的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设△CDE的面积为S，则△ABC的面积为4S，三棱锥P－ABC的体积为，设点P到平面CDE的距离为h，三棱锥的体积为，进而可得体积比，求得h. 【详解】因为点D，E为边PA，PB的中点， 所以2DE＝AB，因此AB＝CA＝CB，故△ABC也为正三角形， 且其边长为△CDE的边长的两倍，面积是△CDE的面积的四倍， 设△CDE的面积为S，则△ABC的面积为4S. 三棱锥的体积为，设点到平面的距离为h， 三棱锥的体积为.所以三棱锥C－PDE的体积也为， 又因为点D，E为边PA，PB的中点，所以△PDE∽△PAB， 相似比为，面积比为，故三棱锥C－PDE与三棱锥C－PAB的体积之比为， 所以，所以，解得h＝6， 所以点P到平面CDE的距离为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知偶函数满足：当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 函数在区间上有零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义、性质判断ABC；利用零点存在性定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则，B错误； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，则， 当时，，因此，C正确； 对于D，，，即， 因此在区间上有零点，D正确. 故选：ACD 10. 对于集合M中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： ①，； ②，若，则； ③，若，，则. 则称“-”是集合M的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（ ） A. 方程的同解 B. 向量的共线 C. 集合的包含 D. 命题的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】需要逐一分析每个选项，判断其是否满足等价关系的三个条件：自反性，对称性和传递性. 【详解】对于A，①方程本身与其自身同解，②若方程A与方程B同解，则方程B与方程A同解，③若方程A与方程B同解，方程B与方程C同解，则方程A与方程C同解，故方程的同解是等价关系，A正确； 对于B，零向量与任意向量共线，故不符合条件③，B错误； 对于C，若集合A包含集合B，集合B不一定包含集合A，不符合条件②，C错误； 对于D，①命题p是命题p自身的充要条件，②若命题p是命题q的充要条件，则命题q是命题p的充要条件，③若命题p是命题q的充要条件，命题q是命题r的充要条件，则命题p是命题r的充要条件，D正确. 故选：AD. 11. 已知抛物线的焦点为F，C是直线上一点，过点C作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB与x轴交于点P，直线CF与直线AB交于点D，（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断B，应用角平分线定理结合数量积公式计算判断C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断D. 【详解】设，，， 则在A，B处的两条切线可写为， 将代入可得， 所以，在直线上，即直线AB为， 与x轴的交点为，即，故A正确； 对于B，设直线的方程为，其中， 与抛物线联立可得，则，， 若成立，即成立， 由抛物线定义得，，， 所以，故B正确； 对于C，若成立，可知为的平分线，即证明， 等价于证明，即证明， 即证明， 又，，， 代入化简可得， 即， 即，故C正确； 对于D，若成立，则为的平分线， 所以点P到直线AC的距离等于点P到直线BC的距离，即， 即只有当时成立，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据的极差和第70百分位数之和为__________. 【答案】6.6## 【解析】 【分析】根据极差及百分位数定义计算求解即可. 【详解】数据从小到大排列为， 样本数据的极差为， 由于，故样本数据的第70百分位数为第5个数6.1， 所以两数之和为； 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：上两点A，B关于原点O的对称点分别为点C，D，且四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的外接圆方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点再根据C，D两点均在直线：上，再应用点到直线距离得出，进而得出半径即可得出标准方程. 【详解】设，，则，， C，D两点均在直线：上，故直线CD即为. 而直线AB与直线CD的距离，由可知， 故由平面几何知识可得， 由对称性可知正方形ABCD的外接圆圆心为O，半径为1，于是四边形ABCD的外接圆方程为， 故答案为：. 14. 现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多__________种. 【答案】380 【解析】 【分析】根据组合数的定义及分步乘法原理求解. 【详解】由于甲是在6个球中一次性取出3个，从而不同的取法数有种； 对于乙，将小球平均分为A，B两堆有种方法， 而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为， 所以乙的不同取法数为种，故乙的不同取法数比甲多380种， 故答案为：380. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，平面，. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角为，求. 【答案】（1）由平面，平面，可得， 在直三棱柱中， 平面 ，平面，则 ， 又，平面，所以平面， 又平面，可得. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直分别推得，，再由线线垂直证明线面垂直，最后利用线面垂直的性质即可证得； （2）根据（1）的结论，建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，可得. 因四边形是矩形，故四边形是正方形，则， 由（1）已得 平面，， 故可以为坐标原点，，，所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，故， 由题易知平面的一个法向量为， 则， 解得，因，则. 16. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求a； （2）若的周长为4c，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算求出，再应用两角和正弦公式结合正弦定理计算求解； （2）先根据周长化简得出，再应用余弦定理计算求解得出，最后应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 由，可得， 显然，故， 于是， 在中，由正弦定理可知，故. 【小问2详解】 由题可知，又，故， 由余弦定理可知， 即，化简得，故（舍）或， 故的面积. 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. （1）求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； （2）现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【小问1详解】 ，， 故样本相关系数. 【小问2详解】 X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 18. 已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，其上一点满足. （1）求E的方程. （2）记E的右顶点为B，射线BA上两点P，Q满足. （ⅰ）若点P的横坐标为m，求点Q的坐标（用m表示）； （ⅱ）已知，，若的面积为，求. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线定义得出，再把点代入双曲线计算得出即可求解； （2）（ⅰ）先设直线方程进而设点，再根据，计算求参； （ⅱ）应用正弦定理结合两点间距离公式计算得出正弦比. 【小问1详解】 因为，故， 将代入，可得，解得， 故E的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，而，故直线AB的斜率， 于是直线AB的方程为， 故.设点Q的横坐标为n，则，其中 于是， 故，于是点Q的坐标为， （ⅱ）记E的半焦距为c，则，故，. 于是， 故的面积为，解得，故， 于是，，，， 在中，由正弦定理可知， 在中，由正弦定理可知， 又， 两式作比，可得， 于是. 19. 已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，若，求的最大值； （3）若恰有2个零点和3个极值点，证明：． 【答案】（1） . 设，则， 故当时，在区间上单调递增； 当吋，在区间上单调递减， 故． 因此，得证． （2）1 （3） 设， 则， 故当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增， 所以当时，取极小值． 当时，，当时，， 若恰有2个零点，则，得． ，设， 则，由恰有3个极值点，得必有2个正零点， 记为，故， 即， 当，或时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减， 当时，取极大值，当时，取极小值， 由恰有3个极值点，则必有3个正零点， 由有， 故． 因为， 所以必有，即， 由，有，则． 由，有，即， 因为函数在区间上单调递增，若， 则，矛盾， 故得证． 【解析】 【分析】（1）计算得，构造函数，求导得其单调性，则得到其最值，从而判断出其小于等于0； （2）取，分和讨论即可； （3）设，求导得其单调性，再假设新函数，求导后利用极值点个数得到相关不等式，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取，则，由（1）知在区间上单调递减， 故当时，，故必有, 当时，，则， 故当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增， 故，符合题意，因此的最大值是1． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $