12.1 函数-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

第12章函数与一次函数 /1111A111 大单元建构· /1/1/111 图象及画法 正比例函数 性质 概念 常量与变量 数 列表法 表示 图象及画法 函数与一 川待定系数法 方法 解析法 次函数 求数解析式 性质 图象法 次函数的应川 与一元一次方程、 元一次不等式的关系 与二元次方程、一 元一次方程组的关系 毁 方案决策 /A1/1H17 本章核心素养。 LL17717 学科核心素养 具体内容 价值 由实际问题抽象出函数的概念、一次函数的概念，一 感悟数学抽象对于数学产生与发展的作 抽象能力 次函数和二元一次方程的关系，培养学生的抽象 用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意 能力. 义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣. 待定系数法求函数表达式，以及利用函数表达式求 运算能力有助于形成规范化思考问题的品 运算能力 函数值或自变量的值，由函数图象计算图形面积，增 质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度. 强运算能力. 由函数图象理解函数的增减性.根据函数图象得到 几何直观有助于把握问题的本质，明晰思 几何直观 元一次方程的根，以及不等式的解集.根据函数图 维的路径 象比较函数值的大小、进行方案决策， 根据函数图象确定系数的取值范围，推断函数图象 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻 推理能力 共存问题，由函数图象获取信息，或实际问题推断函 辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度 数的图象，发展学生的推理能力和数学思维。 与理性精神。 应用意识有助于用学过的知识和方法解决 应用一次函数的性质比较函数值的大小，选择最大 应用意识 简单的实际问题，养成理论联系实际的习 利润、最优方案等，发展应用数学解决问题的能力. 惯，发展实践能力. 根据实际问题建立一次函数模型，根据描点得到的 模型观念有助于开展跨学科主题学习，感 模型观念 图象（或已有图象）建立一次函数模型解决问题，增 悟数学应用的普遍性. 强数学模型观念， 14 12.1 函数 第1课时 变量与函数（答案P3) 法正确的是( ) 通基础 VLEEEEE4J411111111141141 A.30是常量 B.x是常量 知识点1常量和变量 C.30是变量 D.x,y是常量 1.教材P26练习T1变式球的体积是V,球的 5.若每上5级台阶升高1米，则上S级台阶升 半径为R,则V-专xR,其中变量和常量分 高h米，写出h与S之间的函数表达式，并指 出其中的变量与常量. 别是( ) A,变量是V,R;常量是 元 B变量是R,:常量是号 C变量是V,R,x:常址是 6.在一昼夜中人的体温是随时间变化而变化 D.变量是V,R3;常量是π 的，如图所示是某人一昼夜体温变化的图象， 知识点2函数的概念 根据图象回答下列问题： 2.轴象能力下列说法不正确的是( 体温y/℃ A.圆的面积S是半径R的函数 37 B.某地一天的气温T是时间t的函数 C.一个正数的平方根是这个数的函数 D.匀速运动的火车，时间是路程的函数 (024681012141618202224时问x/时 3.一石激起千层浪，一枚石子投入 (1)这个人的最高体温和最低体温分别是多 水中，会在水面上激起一圈圈圆 少摄氏度？在什么时刻达到最高或最低？ 形涟漪，如图所示（这些圆的圆 (2)若用x表示时间（时），y表示体温（℃）， 心相同). 将相应数据填入下表： (1)当半径由2cm增加到5cm时，面积增加 时 4 12 16 182022 了 cm,面积随 的变化而 变化. y/℃ (2)在这个变化过程中，自变量是 (3)y是x的函数吗？ 是半径的函数， 通能力yMu 4.要画一个面积为30cm2的长方形，其长为 xcm,宽为ycm,在这一变化过程中，下列说 △八年级·上册·数学.1H 15 第2课时 函数的表示方法一列表法和解析法（答案P4) 通基础 LMIELI141141111L 知识点3求函数值 6.已知y是x的函数，且当x=1时，y=一1，那 知识点1列表法与解析法 么该函数的表达式可以是() 1.某汽车油箱中盛有油100L,装满货物行驶的 A.y=x B.y=-2x 过程中每小时耗油8L,则油箱中的剩油量 C.y=x-2 D.y=-x+2 Q(L)与时间t(h)之间的关系式是() 7.求下列函数当x=2时的函数值： A.Q=100+8t B.Q-8t (1)y=2.x-5; C.Q=100-8t D.Q=8t-100 (2)y=-3x2; 2.如图所示，三角形ABC的高AD=4,BC=8, 2 点E在BC边上，连接AE.若BE的长为x, (3)y= x-1 三角形ACE的面积为y,则y与x之间的关 (4)y=√2-x. 系式为 知识点2自变量的取值范围 3.(六安霍邱月考)函数y一2元中自变量x的取 ☆易错点求自变量的取值范围时考虑不全而 值范围是( 致错 A.x≥0B.x≠0 C.x≤0 D.x>0 2 4.(六安金安区月考)在函数y=√x+3中，自 8.若函数y= 有意义，则自变量x的取 x-2 变量x的取值范围是 值范围是( 5.教材P27例1变式写出下列函数中自变量 A.x≠2 B.x≥2 x的取值范围： C.x≤2 D.x>2 (1)y=2x2-3.x+1; AM2ERB4BM1118111218411114181 C) 通能力 十1 9.(六安金安区期中)根据如图所示的计算程序 (3)y=√/4-x; 计算变量y的值，若输入m=4,n=3时，则 (4)y=√x-1 输出y的值是( x-2 输人，n 是 否 门. y=2m+5 =3n-2 输出y A.13 B.7 C.10 D.11 16 1 :+(x一5)-2中自变量x的 (3)当四边形ABCE的面积为35时，求DE 10.函数y= √x-3 的长 取值范围是() A.x≥3且x≠5 B.x>3且x≠5 C.x>3 D.x≥3 11.一水池的容积是90m3,现有水10m3,用水 管以每小时5m3的速度向水池中注水，直 到注满为止，则水池水量Vm3与注水时间 th之间的表达式为 自变量t的取值范围是 12.按图①~③的方式摆放餐桌和椅子，照这样 ←通素养 的方式继续摆放，如果摆放的餐桌为x张， 15.推理能力如图所示，图①是棱长为a的小正 摆放的椅子为y把，那么y与x之间的函数 方体，图②，图③是由这样的小正方体摆放 表达式为 而成的图形.按照这样的方法继续摆放，自 上而下分别叫第一层，第二层，…，第层， 第n层的小正方体的总数记为S,解答下列 13.跨学科·物理某校的气象活动小组为了研 问题： 究气温随高度变化的关系，在该校附近的一 座小山上实地测量了以下不同高度的气温， 测得的结果如下表所示 ② 高度h/m 气温T/℃ (1)按要求填表： 0 25 2 3 4 100 24.4=25-0.6 200 23.8=25-1.2 3 6 300 23.2=25-1.8 (2)S关于n的函数表达式是 400 22.6=25-2.4 S- (1)气温T(℃)与山的不同高度h(m)之间 (3)当n=10时，求S的值. 的函数关系式是 (2)当山的高度为350m时的气温 是 ℃. 14.如图所示，在长方形ABCD中，BC=8, CD=5,点E为边AD上一动点，连接CE, 随着点E的运动，四边形ABCE的面积也 发生变化 (1)写出四边形ABCE的面积y与AE的长 x(0<x<8)之间的函数表达式. (2)当x=3时，求y的值. △八年级·上册·数学.1H 17 第3课时 函数的表示方法一图象法（答案P4) 通基础 是( LHIIELLE4E11114111 …0.5 1 1.5 22.5 3.5 4 知识点1图象法表示函数 3 2 1.教材P30练习T3变式下列分别给出了变 量x与y之间的对应关系，其中y不是x函 A.(1,6) B.(2,3) C.(3,2) D.(4,1) 数的是( 5.两个变量x(x>0),y(y>0)满足某种函数关 系，部分对应值如下表， 女 2 6 3 2 1.5 1.2 2.下列选项中与所给的函数表格对应的函数图 请用描点法在下图中画出相应函数的图象. 象是( 6 2 01234567x 1.1i 通能力 LEELH111112118111218 -10 2 10 2 6.在下列函数中，图象一定经过原点的函数 B 是( 2 1,2) A.y=3.x-2 B.y=1 x 1 C.y=x2+2x D.y=x2+1 10 -10/ 12x 7.已知P(2,0),Q(3,-1),M(-2,4),N(2,-2)四 点，若其中两点不可能在同一个函数图象上， 则这两点是() 知识点2函数图象上的点的坐标和画函数 A.点P和点Q B.点Q和点N 图象 C.点P和点V D.点M和点N 3.以下四点中，在函数y=一3x十2图象上的点 8.如图所示是某生物实验小组根据检测到的温 是( 室中二氧化碳的含量所绘制的图象.其中横 A.(-1,1) B.(-1,5) 坐标x表示时间，纵坐标y表示二氧化碳的 C.(-2,0) D.(0,-2) 含量，则y (填“是”或“不是”)x的 函数. 4.小明在画函数y=6(x>0)的图象时，首先进 行列表，如表是小明所列的表格，由于不认真 列错了一个不在该函数图象上的点，这个点 1824 18 14111431141111114141h 9.已知点P(x,y)在第一象限，且x十y=6, (2)若一辆汽车以每小时72km的速度行驶 A(4,0),B(0,2),设△PAB的面积为S. 时突然失控撞到柱子上，求撞击影响I. (1)求S与x之间的函数表达式，并写出x的 -----1----- 取值范围， 60 50 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函 数S的图象，并写出S的取值范围. 30 20 1 10 ----1--上-L--1- 123456/m/nin -+---}--} 012345678910x 。通素养一MM 12.小莉根据学习函数的经验，对函数y= xx一2一3的图象与性质进行了探究. 下面是小莉的探究过程，请补充完整： 10.已知等腰三角形周长为24cm,若底边长为 (1)下表是x与y的几组对应值.请直接写 y(cm),一腰长为x(cm). 出：m= ,n= (1)写出y与x之间的函数表达式 0 2 3 (2)求自变量x的取值范围 … -6m 2 -3n 5 (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出这 (2)如图所示，在平面直角坐标系中，描出上 个函数的图象 表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画 出函数的图象. A (3)由图象可知，当y=一2.7时，对应的自 变量有 个值. 6炉 3 --i...i2..... 65-43210123456主 1-1----1-- -i---1--1--- ------- -t--i- 11.应用意识当行驶中的汽车撞到物体时，汽车 --- -i------ 的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量.汽车 6 的撞击影响I与汽车行驶速度vkm/min之 间的函数表达式是I=202. (1)请用描点法在图中画出该函数图象， △八年级·上册·数学.1 19 第4课时 从图象中获取信息（答案P5) 通基础 HLiIELEAEL11E111411111111 y(m/s)与路程x(m)之间的观测数据绘制成 曲线如图所示 知识点1根据实际问题选择函数图象 (1)y是关于x的函数吗？为什么？ 1.(合肥蜀山区期中)某人驾车从A地上高速公 (2)“中途期”结束时，小明的速度为多少？ 路前往B地，中途在服务区休息了一段时间. (3)根据图中提供的信息，给小明提一条训练 出发时油箱存油40升，到达B地后剩余4升，则 建议 油箱中所剩的油y(升)与时间t(h)之间的函 4y/(m/s) 数图象大致是( 11.1 10.7 10.4 40 6.5 01530 80100 x/m B 7 40 40 知识点2从函数图象中获取信息 2.几何直观如图所示记录的是某型号光伏发电 装置某天从6时到18时之间，发电功率(W) 通能力L 随时间(h)变化的函数图象，下列说法错误的 4.新情境如图①所示，小亮家、报亭、羽毛球馆 是( ) 在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打 ↑功率八W 300 羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮 277 212 离家距离y与时间x之间的关系如图②所 115 示.下列结论错误的是( 681012141618 时问间 y/km 1.0 A.时间越接近12时，发电功率越大 0.4 B.8时和16时，发电功率相同 小完一报亭一羽毛 C.从10时到14时发电功率在逐渐增大 0)7 球偏 37455561x/mim D.发电功率超过200W的时间超过8小时 ① ② A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 3.推理能力根据数学家凯勒的“百米赛跑数学 B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米 75米 为“中途期”，80米100米为“冲刺期”.校田 C.报亭到小亮家的距离是400米 径队把运动员小明某次百米跑训练时速度 D.小亮打羽毛球的时间是37分钟 20 5.推理能力如图①所示（图中各角均为直角）， (2)若沿途只有一处嘉琪遇到了一位同学停 动点P从点A出发，沿A→B→C→D→E路 下来交谈了2分钟，并且嘉琪在遇到同学的 线匀速运动，△AFP的面积y(cm)随点P 前后，始终保持速度不变，请你求出： 运动的时间x(s)之间的函数关系图象如图② ①嘉琪遇到同学的地方离出发点的距离. 所示，已知AF=6cm,下列说法错误的 ②嘉琪返回起点O的时间. 是( s/米 100 12 () 11分钟 ① ② (046 1216x/s ① ② A.动点P的速度为1cms B.a的值为30 C.EF的长度为10cm ←通素养 D.当y=15时，x的值为8 8.推理能力甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽 6.(济南章丘区期中)甲、乙两工程队分别同时开 挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米) 车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自 到达终点后停止，甲、乙两人间的距离skm 与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下 与甲行驶的时间th之间的关系如图所示， 列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2 (1)以下是点M,点N,点P所代表的实际意 天后，每天挖60米；③甲队比乙队提前2天完 义，请将M,N,P填入对应的横线上. 成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100 ①甲到达终点 米时，x=6.正确的有 ②甲、乙两人相遇点 ↑W米 600 ③乙到达终点 500 (2)A,B两地之间的路程为 千米 300 (3)求甲、乙各自的速度， (4)甲出发 h后，甲、乙两人相距 6 /天 180千米. 7.(石家庄正定期中)嘉琪在一个半圆形的花园 +s/km 240 的周边散步，如图①所示，嘉琪从圆心O出 发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下 120 列三条线路：①线段OA,②半圆弧AB,③线 h 段BO后，回到出发点.嘉琪离出发点的距离 s(嘉琪所在位置与O点之间线段的长度)与 时间t之间的图象如图②所示，请据图回答下 列问题（圆周率的值取3）， (1)请直接写出：花园的半径是 米 嘉琪的速度是 米分，a= △八年级·上册·数学.l 216.解：(1)(3，一2)(2)如图所示 () (3)四边形ABCD的面积为2×3X5+ 2×(4+ 5)×3=21. 7.解：如图示，作DE⊥AB于点E,CF⊥AB于点 F,四边形ABCD的面积为S△ADE十S梯形DEFC十 SABPC= 2×2×7+2 ×(5+7)X(7-2)+ 2 ×5× 2=42. 02,7) C(7,5) E B ()0.0) F9,0)t 专题二平面直角坐标系中的规律探究问题 1.(1012,1)2.(2025,1)3.(-2,0) 4.(-25,50) 5.20226.604n2-2n+1 本章综合提升 【本章知识归纳】 原点右上P(x,y) 纵横绝对值绝对值正北正南加减 加减 【思想方法归纳】 【例1】D 【变式训练1】D 【例2】解：(1)如图所示，三角形A'OC'即为所求. 5 4 3 -T- 1- -5-42-012345 - 小小」 (2)由图知，A'(2,4),C(3,2). (3)三角形A'OC'的面积为 1 1 1 3×4 2 ×2×4一 ×3X2-2×1×2=4. 【变式训练2】解：四边形ABCD如图所示， 2 C T-C- -1-T ()1-51t-+-1-1-+-4- D x 计算其面积：有两种方法，①用“补形”法。 Saaw=16×8-号×8×6-号×2X1- 2X8× 2-2×3=128-9-11-8-6=94. ②用“分割”法。 1 2×8X SH边形ACD=2X3X6十 ×(6+8)×11+ 2=9+77+8=94, 【例3】解：(1)m=2n.理由：因为将线段AB平移得到的 线段记为线段A'B',A(m,n),B(2n,m),A'(3m,n), B'(6,m), 所以3m-m=6n-2n,所以m=2n. (2)因为将线段AB平移得到的线段记为线段A'B', 点A,B,A',B'的坐标分别为A(m,n+1),B(n一1， n-2),A'(2n-5,2m+3),B'(2m+3,n+3), 所uga0++g-2 解得m=6,n=9, 所以点A的坐标为(6,10)，点B的坐标为(8,7). 【变式训练3】 解：(1)根据平面直角坐标系可得A(一1,4)，B(2,3), C(1,1),A1(-4,1),B1(-1,0),C1(-2,-2). (2)三角形ABC先向下平移3个单位长度，再向左平 移3个单位长度（或先向左平移3个单位长度，再向下 平移3个单位长度)得到三角形AB,C1. （3)根据题意，得m302:解得m一2 n+1-3=2n-4, n=2, 所以点P的坐标是（号3）。 【通模拟】 1.A2.A3.C4.B5.D6.A7.(1,-2) 8.(-5,3) 9.解：(1)由题意，得n十1=3，所以n=2. （2由题意得”，家得0- 10.解：(1)如图所示. 少+ (2)若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四 子，则符合题意的落子处的坐标可以为(5,4)或(4， 4).(答案不唯一) 第12章函数与一次函数 12.1函数 第1课时变量与函数 1.A2.C3.(1)21π半径(2)半径面积 4.A 5.解：h=5,变量是，S,常量是日 6.解：(1)由图象可知：这个人在18时体温最高，约为 37.5℃，在0时体温最低，约为35.3℃. (2) x/时2481216182022 y/℃35.5363736.53737.53736.5 (3)因为当x取某一值时，y有唯一的值与之对应， 故y是x的函数. 第2课时函数的表示方法一列表法和解析法 1.C2.y=-2x+163.B4.x≥-3 5.解：(1)全体实数.(2)x≠2.(3)x≤4.(4)x≥1且 x≠2 6.C 7.解：(1)当x=2时， y=2x-5=2×2-5=4-5=-1. (2)当x=2时， y=-3.x2=-3×22=-3×4=-12. (3)当x=2时， 2 22 y=x-12-11 =2. (4)当x=2时， y=√2-x=√/2-2=0. 8.D9.B10.B 11.V=10+5t0≤t≤1612.y=4x+2 13.(1)T=25-0.006h(2)22.9 14.解：(1)因为梯形的面积=（上底+下底）×高÷2， 所以y=号×5x+8)=2+200<82. 5 所以四边形ABCE的面积y与AE的长x之间的 函数表达式为y二x十20(0<x<8 (2)当x=3时，y= 55 2 ×3+20= 2 3)由题意可知y=35,即2x+20=35. 解得x=6,即AE=6, 所以DE=AD-AE=BC-AE=8一6=2. 15.解：(1)填表如下： 2 3 4 5 … 3 610 15… (2)1+2+3+…+n或”(m+1) 2 (3)当n=10时，S=1+2+3+…+10= 55(或S=10X10+D-55). 2 第3课时函数的表示方法一图象法 1.D2.A3.B4.D 5.解：函数图象如图所示. 7 6 ----7---- --- 2 1 01234567x 6.C7.C8.是 9.解：(1)已知点P(x,y)在第一象限，且x十y=6,所 以y=6-x, 所以x>0,6一x>0 所以0<x<6. 因为A(4,0),B(0,2),设△PAB的面积为S, S=号x+061 2×4×2-2(6-x-2)·x =-x十8， 答：S与x之间的函数表达式为S=一x十8，x的取 值范围为0<x<6. (2)因为0<x<6,所以2<-x+8<8. 所以2<S<8. 如图所示即为函数S的图象. 6* 答：S的取值范围为2<S<8. 10.解：(1)由题意，得2x十y=24, 变形，得y=-2x十24， 所以y与x之间的函数表达式为y=一2.x十24. (2)由三角形的三边关系可知，x一x<y<x十x, 即0<-2x+242.x,解得6<x<12, 故自变量x的取值范围为6<x<12. (3)在函数y=-2.x+24(6< x<12)中， 当x=7时，y=10: 当x=8时，y=8; 「8 当x=9时，y=6; 4 -841048112161x 当x=10时，y=4; -4 当x=11时，y=2: -8 .该函数图象经过点(7,10)， --L (8,8),(9,6),(10,4),(11,2), 其图象如图所示。 11.解：(1)列表如下： v/(km/min) 0 1234 281832… 描点：以上表中各对数据(0，)作为点的坐标，在平 面直角坐标系中描出各点， 画出图象如图所示. 60- 50------- - 40-1- l 20 1-- 10-1- 123456/krm/mim) (2)因为v=72kmh=1.2km/min, 所以1=2u2=2×1.22=2.88. 12.解：(1)-3 0 (2)列表： -1 0 2 6 -3 -2 -3 0 描点，连线，画出函数图象如图所示. 61% y=xlx-21-3 --- -- 65-432-10123456元 - (3)3 第4课时从图象中获取信息 1.C2.C 3.解：(1)y是关于x的函数， 理由：对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应. (2)“中途期”结束时，小明的速度为10.7m/s. (3)由题图可知，小明在80米左右时速度下降明显， 建议增加耐力训练，提高成绩.（合理即可） 4.D5.D6.①③ 7.解：(1)100508 (2)①由已知，第11分时嘉琪继续前进，则行进时间 为9分钟，路程为450米， 全程长100+300+100=500（米）， 所以500-450=50（米）， 则嘉琪遇到同学的地方离出发点的距离为50米. ②嘉琪返国起点0的时间为0+2-12（分钟）. 8.解：(1)①P②M③N(2)240 (3)甲：240÷6=40(km.h). 乙：240÷3=80(km/h). 12.2一次函数 第1课时正比例函数的图象和性质 1.C2.D3.A4.C5.C 6.解：列表. 0 2 y=2x 0 .1 y=-2 0 -1 描点，连线，如图所示. y 3 1上0 6-5-4-3-223456 -2 -3 7.A8.C9.一3（答案不唯一，小于一2的数都满足） 10.解：(1)由题意得m-1≠0， 解得m≠1. (2)由题意，得m2-1=0,且m-1≠0， 解得m=一1. 11.A12.D13.B14.315.2 16.解：(1)由y=(m-2)x3-m十m十7是一次函数， 得3-m=1解得m=一2. m-2≠0， 故当m=一2时，y=(m-2)x3-m十m十7是一 次函数. (2)由(1)知当m=一2时，函数是一次函数，易得 函数的表达式为y=-4.x+5. 当y=3时，3=-4x十5，解得x=2 1 故当x=时y的值为3， 17.解：(1)因为正比例函数y=kx的图象上有一点B (6,m),所以m=6k. 因为三角形0BC的面积=2X6×6k=36,所以 k=2, 所以m=12. (2)因为点P为函数y=2x图象上异于点B的点， 所以设点P(a,2a), 当点P在线段OB上时，过点P作PD⊥BC于点 D,如图①所示， 则PD=6-a. 因为三角形BPC的面积=BC·PD=1S, 所以2×12×(6-a)=18, 解得a=3,所以P(3,6). B 联D O/ 0 ② 当点P在点B右侧时，过点P作PE⊥BC交CB 延长线于点E,如图②所示， 则PE=a-6. 因为三角形BPC的面积=2BC·PE=18, 所以2×12×(a-6)=18. 解得a=9, 所以P(9,18) 综上所述，点P的坐标为(3,6)或(9,18) 第2课时一次函数图象的画▣法及平移 1.D2.C3.C4.D5.A 6.解：(1)-63 (2)函数图象如图所示. y ----1 大2x-6 01 ------ t---1--6-- 1-----