专题04 函数的性质（讲义）-2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河南省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为函数的性质。 2026版河南省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题04 函数的性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 理解函数的单调性、奇偶性和周期性的概念; 2. 能判断一些简单函数的单调性、奇偶性和周期性; 3. 能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 3 判断单调函数 3 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：分值一般在3分左右。 （3）内容：函数的单调性、奇偶性、周期性。 2023 选择题 2 判断奇偶函数、单调函数 3 2022 选择题 3 判断奇偶函数、单调函数 3 2021 选择题 2 根据函数的奇偶性、单调性比较大小 3 选择题 4 根据指数函数的单调性求参数取值范围 3 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河南省对口升学考试可能有1道题目考查函数的性质，题型为单项选择题或填空题，分值3分，共3分。 具体考点可能涉及如下内容： 判断函数的单调性 利用函数单调性求值域 判断函数的奇偶性，用奇偶性解决问题 求函数的周期，用周期求函数值 四、知识梳理 （一）函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 （二）函数的奇偶性 (1)函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (2)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． (3)函数奇偶性与单调性之间的关系 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； 若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． （三）函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 五、10分钟小测验 1．若函数是偶函数，且，则（     ） A．0 B．6 C．3 D． 2．已知函数是定义在上的偶函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．下列函数在R上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数在定义域内是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 6．若函数是奇函数，且，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 7．函数的图象特征是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 8．若函数（为实数）是上的减函数，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是偶函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．不确定 10．已知函数为偶函数，当时，，则（　 ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案解析】 1．C 【分析】根据偶函数的定义求值即可. 【详解】已知函数是偶函数，且， 则， 故选：C. 2．C 【分析】根据偶函数的对称性求解. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，则，， ∵， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确，选项D错误. 故选：C. 3．B 【分析】根据奇函数的定义即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 解得， 故选：. 4．C 【分析】根据一次函数，二次函数，幂函数，反比例函数的单调性逐项分析即可. 【详解】为一次函数，其中， 所以该函数在R上是减函数，故A错误， 为二次函数，其中， 图像开口向上，对称轴为轴， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误， 为幂函数，在R上是增函数，故C正确， 为反比例函数，其中， 所以该函数在上单调递增和在单调递增，故D错误， 故选：C. 5．B 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】对A，令，定义域为，又， 所以是偶函数，故A错误. 对B，令，定义域为，又， 所以是奇函数，故B正确. 对C，令，定义域为，又， 所以不是奇函数，故C错误. 对D，令，定义域为， 又， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：B. 6．A 【分析】根据奇函数的定义求解. 【详解】∵函数是奇函数，∴， 故． 故选：A． 7．B 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，是关于原点对称的区间， 又，所以是偶函数， 则函数的图象关于轴对称. 故选：B. 8．D 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数（为实数）是上的减函数， 所以，解得． 故选：D. 9．A 【分析】根据偶函数的定义，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 即， 所以，解得. 故选：A. 10．A 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】由于函数为偶函数，所以， 当时，，因此. 故选：A. 六、经典例题解析 【考试题型1】判断函数的奇偶性和单调性 【例1】（2024年·河南对口升学高考）下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【详解】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D 【例2】（2023年·河南对口升学高考）下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【考试题型2】根据函数的奇偶性和单调性比较大小 【例6】（23-24高三下·河南·模拟预测）若函数，则和的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性即可判断函数值大小. 【详解】函数在上单调递增， 因为，所以. 故选：A. 【例3】（2021年·河南对口升学高考）已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为在上为增函数， 所以，所以， 故选：B. 【考试题型3】根据函数的奇偶性判断函数的图像特征 【例4】（24-25高三下·河南·模拟预测）函数 与的图像关于（    ） A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．直线 对称 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数图像的对称性，即可求解. 【详解】因为， 所以当自变量x取相同的值时，函数与的函数值互为相反数， 故函数 与的图像关于x轴对称. 故选：C. 【考试题型4】根据函数的单调性求参数或取值范围 【例5】（24-25高三上·河南·模拟预测）已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，是定义在上的增函数， 又， 所以，解得， 即则实数的取值范围是. 故选：B. 【例8】（22-23高三下·河南·模拟预测）已知函数，若，则的值是（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】分别把和代入函数，然后求出的值，即可得出结果. 【详解】因为， ， 则， 又，所以. 故选：B. 【考试题型5】根据函数的奇偶性求函数解析式 【例7】（23-24高三上·河南·模拟预测）定义在R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为奇函数可知，再设得到，即可得到当时的的解析式. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以. 因为当时，， 设，则， 所以， 所以， 即当时，. 故选：A. 【考试题型6】根据函数的周期求函数值 【例9】奇函数的周期是5，当时，，则的值是（   ） A． B． C．3 D．12 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，即可求解. 【详解】由题意知 ， 又因为函数是奇函数， 所以． 故选：B． 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】 求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间.特别注意：单调区间必为定义域的子集． 设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m； 设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m. 在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 【专题内容总结2】 判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断． 已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上． 【专题内容总结3】 应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $