1.1探索勾股定理 举一反三 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

1.1探索勾股定理 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】直接运用勾股定理求三角形边长 4 【题型2】与勾股定理有关的面积关系 8 【题型3】勾股定理的证明 11 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2025春•东光县期末）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值为（　　） A．6 B．1 C．8 D．7 【答案】D 【分析】由正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：每个正方形中的数字及字母S表示所在正方形的面积， S=3+4=7， 故选：D． 2.（2025春•康乐县校级月考）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB===5， 故选：C． 【知识点2】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024•晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是（　　） A．欧几里得 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽 【答案】D 【分析】根据题意，可知这位数学家是赵爽，本题得以解决． 【解答】解：如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是赵爽， 故选：D． 【知识点3】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2024春•瑞金市期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（　　） A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米 【答案】C 【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1=CB1-CB即可求得BB1的长度． 【解答】解：在直角△ABC中，已知A B=2.5m,B C=0.7m, 则， ∵AC=AA1+CA1，AA1=0.4m, ∴CA1=2m, ∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边， ∴， ∴BB1=CB1-CB=1.5m-0.7m=0.8m, ∴梯足将外移的长度为0.8m, 故选：C． 【题型1】直接运用勾股定理求三角形边长 【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【解析】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， 由勾股定理知：AB＝＝＝20． ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E． ∴AE＝BE＝AB＝10． 故选：C． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是斜边的高，则CD的长为（　　） A. B. C.5 D.10 【答案】A 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10， ∴△ABC的面积为×6×8＝×10×CD， ∴CD＝． 故选：A． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 【答案】B 【解析】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5， ∵CD⊥AB于点D， ∴△ABC的面积＝BC•CA＝AB•CD， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝2.4， ∴BD＝1.8， ∵E是AB的中点， ∴BE＝AB＝2.5， ∴DE＝BE﹣BD＝0.7． 故选：B． 【举一反三3】如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A.15 B.16 C.18 D.20 【答案】D 【解析】解：∵AD⊥BC， ∴∠D＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12， ∴CD＝5， ∵BC＝11， ∴BD＝BC+CD＝11+5＝16， 在Rt△ABD中，AB＝20， 故选：D． 【举一反三4】如图，直角三角形中未知边的长度为（　　） A. B. C.5 D.7 【答案】B 【解析】解：42﹣32＝x2． x2＝16﹣9＝7． ∵x为边长． ∴x＝． 故选：B． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，求边BC的长． 【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13， ∴BD＝CD，CD＝5， ∴BC＝2CD＝10． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC，垂足为D， 求：（1）BC的长； （2）AD的长． 【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝＝5， 故BC的长为5； （2）∵AD⊥BC于点D， ∴S△ABC＝AB•AC＝BC•AD， ∴×3×4＝×5•AD， ∴AD＝， 故AD的长为． 【题型2】与勾股定理有关的面积关系 【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A.225 B.200 C.150 D.无法计算 【答案】A 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225， ∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225， 故选：A． 【举一反三1】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A.16 B.25 C.144 D.169 【答案】B 【解析】解： 根据勾股定理得出：AB＝， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（　　） A.8 B.50 C.64 D.136 【答案】C 【解析】解：连接BD， 根据勾股定理可得AD2+AB2＝BD2，BC2+CD2＝BD2， 即S1+S4＝S2+S3， ∴S2＝100﹣36＝64， 故选：C． 【举一反三3】下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， ∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意； B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意； C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意； D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意； 故选：D． 【题型3】勾股定理的证明 【典型例题】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】A 【解析】解：直角三角形较短的直角边为＝6， 所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4． 故选：A． 【举一反三1】勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　） A.120 B.110 C.100 D.90 【答案】B 【解析】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图2所示： 则四边形AOLP是矩形， ∴∠BOF＝∠BAC＝90°， ∵四边形BCGF是正方形， ∴BC＝BF，∠CBF＝90°， ∴∠ABC+∠OBF＝90°， 又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠OBF＝∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC＝OB， 同理：△ACB≌△PGC（AAS）， ∴PC＝AB， ∴AB+OB＝PC+AC， 即OA＝AP， ∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7， ∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， ∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110， 故选：B． 【举一反三2】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A.48 B.64 C.96 D.112 【答案】B 【解析】解：由题意可得， 图2中阴影部分的直角三角形的两条直角边为6和4，中间小正方形的边长为4， ∴S＝×6×4×4+4×4＝48+16＝64， 故选：B． 【举一反三3】如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 　             　cm． 【答案】32． 【解析】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm， ∴BC＝7﹣3＝4（cm）， 由勾股定理得：AC＝＝5（cm）， ∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）． 故答案为：32． 【举一反三4】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A，E，D在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于a，b，c的代数恒等式，则这个恒等式是                                                               . 【答案】a2+b2＝c2． 【举一反三5】学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 【答案】证明：如图，连接BF， ∵AC＝b， ∴正方形ACDE的面积为b2， ∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a， ∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b， ∵∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠BAE＝90°， ∵∠BAC＝∠EAE， ∴∠EAF+∠BAE＝90°， ∴△BAF为等腰直角三角形， ∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2）， ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， ∴b2＝c2+（b2﹣a2）， ∴b2＝c2+b2﹣a2， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2． 【举一反三6】如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c．把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处（如图）． （1）S△ADC＝，S△AB′C′＝，S△ACC′＝；（用a、b、c有关代数式表示）S四边形CDB′C′＝；（用a、b有关代数式表示） （2）由（1）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2； （3）若a+b＝7，c＝5，求S△ADC的值． 【答案】解：（1）∵∠CAD＝∠C′AD′，∠CAC′＝∠CAB+∠BAC′，∠BAC+CAD＝90°， ∴∠ACC′＝90°， ∴△ACC′为直角三角形， ，； S四边形CDB′C′＝； 故答案为：，，，； （2）由图形可知S四边形CDB′C′＝S△ACC′+S△ADC+S△AB′C′， 则， ∴． 因此，a2+b2＝c2． （3）∵a2+b2＝c2， ∴（a+b）2＝c2+2ab， ∵a+b＝7，c＝5， ∴ab＝12， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1探索勾股定理 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】直接运用勾股定理求三角形边长 3 【题型2】与勾股定理有关的面积关系 5 【题型3】勾股定理的证明 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2025春•东光县期末）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值为（　　） A．6 B．1 C．8 D．7 2.（2025春•康乐县校级月考）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【知识点2】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024•晋中一模）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，第14届国际数学教育大会（1CME-14）将于2021年7月在上海举办，这是我国第一次承办此项大会．如图是这次大会的会标，会标蕴含了丰富的数学元素，其中会标中心的弦图是三国时期一位数学家所给出勾股定理的一个绝妙证法．这位数学家是（　　） A．欧几里得 B．杨辉 C．祖冲之 D．赵爽 【知识点3】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2024春•瑞金市期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（　　） A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米 【题型1】直接运用勾股定理求三角形边长 【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是斜边的高，则CD的长为（　　） A. B. C.5 D.10 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 【举一反三3】如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A.15 B.16 C.18 D.20 【举一反三4】如图，直角三角形中未知边的长度为（　　） A. B. C.5 D.7 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，边BC上的中线AD长为13，求边BC的长． 【举一反三6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC，垂足为D， 求：（1）BC的长； （2）AD的长． 【题型2】与勾股定理有关的面积关系 【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　） A.225 B.200 C.150 D.无法计算 【举一反三1】如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A.16 B.25 C.144 D.169 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝100，S3＝36，则S2的值是（　　） A.8 B.50 C.64 D.136 【举一反三3】下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　） A. B. C. D. 【题型3】勾股定理的证明 【典型例题】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 【举一反三1】勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　） A.120 B.110 C.100 D.90 【举一反三2】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A.48 B.64 C.96 D.112 【举一反三3】如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 　             　cm． 【举一反三4】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A，E，D在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于a，b，c的代数恒等式，则这个恒等式是                                                               . 【举一反三5】学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 【举一反三6】如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c．把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处（如图）． （1）S△ADC＝，S△AB′C′＝，S△ACC′＝；（用a、b、c有关代数式表示）S四边形CDB′C′＝；（用a、b有关代数式表示） （2）由（1）的结论证明勾股定理：a2+b2＝c2； （3）若a+b＝7，c＝5，求S△ADC的值． 学科网（北京）股份有限公司 $