第04讲 长方形、正方形的周长（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第04讲 长方形、正方形的周长 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 周长是指封闭图形一周的长度。长方形和正方形是典型的规则四边形，其周长计算有固定公式。 关键量： 长方形：长（记为）、宽（记为）、周长（记为）； 正方形：边长（记为）、周长（记为）。 2.核心公式 长方形周长公式：（长与宽的和的2倍）； 正方形周长公式：（边长的4倍）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知边长求周长） 技巧：直接套用周长公式，明确长、宽或边长，代入计算。 长方形：已知长和宽，周长； 正方形：已知边长，周长。 题型2：反求边长型（已知周长求边长） 技巧：公式变形，根据周长反推长、宽或边长。 长方形：已知周长和长，求宽；已知周长和宽，求长； 正方形：已知周长，求边长。 题型3：拼合图形型（多个图形拼合后求周长） 技巧：先确定拼合方式（沿长拼或沿宽拼），计算拼合后图形的长和宽，再用周长公式。注意：拼合时重合的边不再计入周长，需减去重合部分的2倍（每重合一条边，周长减少2个边长）。 例：2个长、宽的长方形拼成长方形： 沿宽拼（长重合）：新长方形长，宽，周长； 沿长拼（宽重合）：新长方形长，宽，周长。 题型4：分割图形型（一个图形分割后求周长） 技巧：分割后每个小图形的周长之和比原图形周长增加，增加的长度等于分割线长度的2倍（每分割一次，增加2条分割线的长度）。 例：一个长、宽的长方形，沿长平均分成2个小长方形，每个小长方形长，宽，总周长，比原周长增加（即2条分割线的长度，分割线为长）。 题型5：含多余条件型（需筛选有效数据） 技巧：从题目给出的多个数据中，筛选出计算周长必需的条件（长方形需长和宽，正方形需边长），忽略无关数据（如面积、体积、高、质量等）。 题型6：不规则图形转化型（转化为规则图形求周长） 技巧：通过“平移法”将不规则图形的边平移，补成完整的长方形或正方形，利用规则图形周长公式计算。注意平移后“缺口”处的边需对应补全。 题型7：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题转化为长方形/正方形周长计算，注意特殊场景（如“一面靠墙”时，只需计算3条边的长度；“跑道周长”需区分内圈、外圈等）。 二、常见错误提醒 1.公式混淆：误将长方形周长公式记为（漏乘长）或（漏乘宽），正方形记为（漏乘2）。 2.反求边长时漏除2或4：如长方形周长，长，误算宽为（正确：）。 3.拼合时忽略重合边：两个长方形拼合后，直接将两个周长相加（如），未减去重合边的2倍（正确：）。 4.分割时忽略新增边：一个图形分割成两个小图形后，认为总周长等于原周长（正确：总周长 = 原周长 + 2×分割线长度）。 5.单位不统一：长用“米”，宽用“厘米”，未统一单位直接计算（需先统一单位，如都换算成厘米或米）。 例题讲解 一、基础型 例题1：一个长方形长，宽，求它的周长。 跟踪练习1：一个正方形边长，求它的周长。 二、反求边长型 例题2：一个长方形周长是，长是，求它的宽。 跟踪练习2：一个正方形周长是，求它的边长。 三、拼合图形型 例题3：用两个长、宽的长方形拼成长方形，有几种拼法？分别求出周长。 跟踪练习3：3个边长的正方形拼成长方形，求拼成的长方形周长。 四、分割图形型 例题4：一个长、宽的长方形，沿长平均分成两个小长方形，求每个小长方形的周长和总周长比原长方形增加了多少。 跟踪练习4：一个正方形边长，沿边长中点连线分割成两个小长方形，求每个小长方形的周长。 五、含多余条件型 例题5：一个长方形，长，宽，面积，高，求它的周长。 跟踪练习5：一个正方形，边长，质量，求它的周长。 六、不规则图形转化型 例题6：求下图“凹”字形图形的周长（单位：，长，宽，缺口宽，深）。 （示意图：大长方形长10，宽6，右上角缺口：从右上角向左2cm，向下3cm形成缺口） 跟踪练习6：求“L”形图形周长（单位：，水平部分长8，竖直部分长6，拐角处边长2）。 七、综合应用型 例题7：用篱笆围一个长方形菜地，长，宽，一面靠墙（靠墙的边为长），求篱笆至少需要多少米。 跟踪练习7：一个正方形操场，边长，小明沿操场跑2圈，他跑了多少米？ 提升练习 1．王爷爷用篱笆围成一个长14米，宽9米，一面靠墙（足够长）的长方形鸡舍。请你帮王爷爷算一算，最少需要篱笆多少米？最多呢？ 2．如图，王师傅将一个正方形铁板截成两个长方形铁板，两个长方形的周长总和比正方形的周长多8厘米。原来这个正方形的周长是多少厘米？ 3．王爷爷家有一块长方形菜地，长24米，宽10米。给菜地四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果菜地一面靠墙，篱笆至少长多少米？ 4．有一块边长为6分米的正方形玻璃，请你在它的一角划去一块长4分米，宽3分米的长方形玻璃，剩下玻璃的周长是多少？ 5．文文在体育课上玩转圈游戏，文文绕着操场旁边的正方形花圃跑了2圈，一共跑了888米，花圃的边长是多少？ 6．一根铁丝正好围成一个边长是15厘米的正方形框架，如果改围成一个长方形框架，且长比宽多4厘米，这个长方形框架的长和宽各是多少厘米？ 7．三（1）班要制作一块“读书成果”展示板，计划用一条彩带围成了一个边长为7分米的正方形。因展示内容有所变化，现在需要用这条彩带围成长为8分米的长方形展板，改造后的长方形展板的宽是多少分米？ 8．美术课上，小军在一张长60厘米，宽40厘米的长方形卡纸上剪一刀，得到一个最大的正方形和一个小长方形，它们的周长分别是多少厘米？ 9．一个长方形和一个正方形的周长相等。如果正方形的边长是16厘米，长方形的宽是7厘米，那么长方形的长是多少厘米？ 10．世纪广场有一个边长为18米的正方形花圃，由于重新规划现改建成周长不变，长为20米的长方形花圃。现在长方形花圃的宽是多少米？ 11．王叔叔准备用420米长的栅栏围一个长方形养鸡场，如果长的一半和宽一样长，那么这个长方形养鸡场的长和宽各是多少米？（用方程解） 12．小明用一根铁丝围成了一个边长6分米的正方形，小军用同样长的铁丝围成了一个长7分米的长方形，这个长方形的宽是多少分米？ 13．襄阳市第三十四中学“太空种子种植基地”种植了太空辣椒、西红柿、黄瓜等植物。这块种植基地一面靠墙（如下图），它的长是8米，面积是48平方米。如果给种植基地围上篱笆，篱笆的长度是多少米？ 14．手工课上，同学们在按老师的要求剪长方形。剪出一个周长是48厘米的长方形，且它的长和宽的厘米数都是质数。剪出的长方形的长和宽可能是多少厘米？ 15．一张长方形的纸，长30厘米，宽20厘米，从这张纸上剪下一个最大的正方形。正方形的周长是多少厘米？剩下的图形周长是多少厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第04讲 长方形、正方形的周长 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 周长是指封闭图形一周的长度。长方形和正方形是典型的规则四边形，其周长计算有固定公式。 关键量： 长方形：长（记为）、宽（记为）、周长（记为）； 正方形：边长（记为）、周长（记为）。 2.核心公式 长方形周长公式：（长与宽的和的2倍）； 正方形周长公式：（边长的4倍）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知边长求周长） 技巧：直接套用周长公式，明确长、宽或边长，代入计算。 长方形：已知长和宽，周长； 正方形：已知边长，周长。 题型2：反求边长型（已知周长求边长） 技巧：公式变形，根据周长反推长、宽或边长。 长方形：已知周长和长，求宽；已知周长和宽，求长； 正方形：已知周长，求边长。 题型3：拼合图形型（多个图形拼合后求周长） 技巧：先确定拼合方式（沿长拼或沿宽拼），计算拼合后图形的长和宽，再用周长公式。注意：拼合时重合的边不再计入周长，需减去重合部分的2倍（每重合一条边，周长减少2个边长）。 例：2个长、宽的长方形拼成长方形： 沿宽拼（长重合）：新长方形长，宽，周长； 沿长拼（宽重合）：新长方形长，宽，周长。 题型4：分割图形型（一个图形分割后求周长） 技巧：分割后每个小图形的周长之和比原图形周长增加，增加的长度等于分割线长度的2倍（每分割一次，增加2条分割线的长度）。 例：一个长、宽的长方形，沿长平均分成2个小长方形，每个小长方形长，宽，总周长，比原周长增加（即2条分割线的长度，分割线为长）。 题型5：含多余条件型（需筛选有效数据） 技巧：从题目给出的多个数据中，筛选出计算周长必需的条件（长方形需长和宽，正方形需边长），忽略无关数据（如面积、体积、高、质量等）。 题型6：不规则图形转化型（转化为规则图形求周长） 技巧：通过“平移法”将不规则图形的边平移，补成完整的长方形或正方形，利用规则图形周长公式计算。注意平移后“缺口”处的边需对应补全。 题型7：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题转化为长方形/正方形周长计算，注意特殊场景（如“一面靠墙”时，只需计算3条边的长度；“跑道周长”需区分内圈、外圈等）。 二、常见错误提醒 1.公式混淆：误将长方形周长公式记为（漏乘长）或（漏乘宽），正方形记为（漏乘2）。 2.反求边长时漏除2或4：如长方形周长，长，误算宽为（正确：）。 3.拼合时忽略重合边：两个长方形拼合后，直接将两个周长相加（如），未减去重合边的2倍（正确：）。 4.分割时忽略新增边：一个图形分割成两个小图形后，认为总周长等于原周长（正确：总周长 = 原周长 + 2×分割线长度）。 5.单位不统一：长用“米”，宽用“厘米”，未统一单位直接计算（需先统一单位，如都换算成厘米或米）。 例题讲解 一、基础型 例题1：一个长方形长，宽，求它的周长。 答案： 解析：直接套用长方形周长公式：。 跟踪练习1：一个正方形边长，求它的周长。 答案： 解析：正方形周长公式：。 二、反求边长型 例题2：一个长方形周长是，长是，求它的宽。 答案： 解析：根据长方形周长公式变形：宽。 跟踪练习2：一个正方形周长是，求它的边长。 答案： 解析：正方形边长。 三、拼合图形型 例题3：用两个长、宽的长方形拼成长方形，有几种拼法？分别求出周长。 答案：两种拼法，周长分别为和 解析： 拼法1（沿宽拼，宽重合）：新长方形长，宽，周长； 拼法2（沿长拼，长重合）：新长方形长，宽，周长。 跟踪练习3：3个边长的正方形拼成长方形，求拼成的长方形周长。 答案： 解析：只能沿边长拼（1行3列），长，宽，周长。 四、分割图形型 例题4：一个长、宽的长方形，沿长平均分成两个小长方形，求每个小长方形的周长和总周长比原长方形增加了多少。 答案：每个小长方形周长，总周长增加 解析： 每个小长方形：长，宽，周长（此处原解析有误，应为？不，宽是，所以，正确）； 原长方形周长，总周长，增加量（即2条分割线长度，分割线为长，）。 跟踪练习4：一个正方形边长，沿边长中点连线分割成两个小长方形，求每个小长方形的周长。 答案： 解析：小长方形长，宽，周长。 五、含多余条件型 例题5：一个长方形，长，宽，面积，高，求它的周长。 答案： 解析：计算周长只需长和宽，忽略面积和高。周长。 跟踪练习5：一个正方形，边长，质量，求它的周长。 答案： 解析：只需边长，周长。 六、不规则图形转化型 例题6：求下图“凹”字形图形的周长（单位：，长，宽，缺口宽，深）。 （示意图：大长方形长10，宽6，右上角缺口：从右上角向左2cm，向下3cm形成缺口） 答案： 解析：用平移法补成大长方形，缺口处横向边向上平移，纵向边向右平移，周长等于大长方形周长加上2个缺口深度（）。 大长方形周长，缺口处增加，总周长。 跟踪练习6：求“L”形图形周长（单位：，水平部分长8，竖直部分长6，拐角处边长2）。 答案： 解析：平移后补成大长方形（长8，宽6），周长（拐角处平移后无多余边）。 七、综合应用型 例题7：用篱笆围一个长方形菜地，长，宽，一面靠墙（靠墙的边为长），求篱笆至少需要多少米。 答案： 解析：靠墙一面不围篱笆，只需围3条边（1长+2宽），篱笆长度（若靠墙为宽，则，所以至少28m）。 跟踪练习7：一个正方形操场，边长，小明沿操场跑2圈，他跑了多少米？ 答案： 解析：1圈周长，2圈。 提升练习 1．王爷爷用篱笆围成一个长14米，宽9米，一面靠墙（足够长）的长方形鸡舍。请你帮王爷爷算一算，最少需要篱笆多少米？最多呢？ 【答案】32米；37米 【分析】由题意得，王爷爷用篱笆围成一个长是14米、宽是9米、一面靠墙的长方形鸡舍。要使所用篱笆最少，那么长方形鸡舍的长需要靠墙，篱笆的长度＝宽×2＋长；要使所用篱笆最多，那么长方形鸡舍的宽需要靠墙，篱笆的长度＝长×2＋宽。据此解答。 【详解】9×2＋14 ＝18＋14 ＝32（米） 14×2＋9 ＝28＋9 ＝37（米） 答：最少需要篱笆32米，最多需要篱笆37米。 2．如图，王师傅将一个正方形铁板截成两个长方形铁板，两个长方形的周长总和比正方形的周长多8厘米。原来这个正方形的周长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，长方形的周长＝（长＋宽）×2，将一个正方形截成两个长方形，两个长方形的周长总和比正方形的周长多8厘米，此时多出来的部分8厘米就是长方形的两条长，等于正方形的两条边长，据此计算正方形的边长，即可求得这个正方形的周长。 【详解】8÷2＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 答：原来这个正方形的周长是16厘米。 3．王爷爷家有一块长方形菜地，长24米，宽10米。给菜地四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果菜地一面靠墙，篱笆至少长多少米？ 【答案】68米； 44米； 【分析】已知长方形菜地，长24米，宽10米。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，计算出它的周长，也就是需要的篱笆的长度；如果菜地一面靠墙，求篱笆至少长多少米，也就是长方形的长边靠墙，需要的篱笆最少，需要篱笆的长度等于这个长方形的一条长加上两条宽。据此解答。 【详解】（24＋10）×2 ＝34×2 ＝68（米） 24＋10×2 ＝24＋20 ＝44（米） 答：菜地四周围上篱笆，篱笆长68米，如果菜地一面靠墙，篱笆至少长44米。 4．有一块边长为6分米的正方形玻璃，请你在它的一角划去一块长4分米，宽3分米的长方形玻璃，剩下玻璃的周长是多少？ 【答案】图见详解；24分米 【分析】根据图发现，把减去部分绿色的边进行平移成红色的边，剩下玻璃的周长仍是原来正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4进行求解即可。 【详解】如图所示： 6×4＝24（分米） 答：剩下玻璃的周长是24分米。 5．文文在体育课上玩转圈游戏，文文绕着操场旁边的正方形花圃跑了2圈，一共跑了888米，花圃的边长是多少？ 【答案】111米 【分析】用888除以2求出跑一圈的长度，然后用一圈的长度除以4就是花圃的边长。 【详解】888÷2＝444（米） 444÷4＝111（米） 答：花圃的边长是111米。 6．一根铁丝正好围成一个边长是15厘米的正方形框架，如果改围成一个长方形框架，且长比宽多4厘米，这个长方形框架的长和宽各是多少厘米？ 【答案】 长17厘米，宽13厘米 【分析】根据正方形周长＝边长×4求出铁丝总长度，再利用长方形周长＝（长＋宽）×2，算出长方形长与宽的和，再结合长与宽的差，用长方形长与宽的和加上4，再除以2，即可求出长方形的长，最后用长方形的长减去4，可得出长方形的宽，据此求解。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） （厘米） 答：这个长方形框架的长是17厘米，宽是13厘米。 7．三（1）班要制作一块“读书成果”展示板，计划用一条彩带围成了一个边长为7分米的正方形。因展示内容有所变化，现在需要用这条彩带围成长为8分米的长方形展板，改造后的长方形展板的宽是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】本题可先根据正方形的边长求出彩带的长度，再利用长方形的周长公式求出长方形的宽。正方形的周长＝边长×4，已知正方形边长为7分米，那么彩带长度（正方形周长）为：7×4＝28（分米）。因为彩带长度不变，所以长方形的周长也是28分米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长＋宽＝长方形的周长÷2，即28÷2＝14（分米）。已知长方形长为8分米，所以宽为长与宽的和减去长。 【详解】7×4＝28（分米） 28÷2－8 ＝14－8 ＝6（分米） 答：改造后的长方形展板的宽是6分米。 8．美术课上，小军在一张长60厘米，宽40厘米的长方形卡纸上剪一刀，得到一个最大的正方形和一个小长方形，它们的周长分别是多少厘米？ 【答案】正方形的周长是160厘米，长方形的周长是120厘米 【分析】根据题意，从长方形纸上剪下最大的正方形，则这个正方形的边长等于长方形的宽，即正方形的周长为40厘米，根据正方形的周长＝边长×4，即可解答。剩下的长方形的长为原来长方形的宽，剩下的长方形的宽为原来长方形的长与宽的差，即60－40＝20厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数值，即可解答。 【详解】40×4＝160（厘米） 长方形的宽为：60－40＝20（厘米） （40＋20）×2 ＝60×2 ＝120（厘米） 答：正方形的周长是160厘米，长方形的周长是120厘米。 9．一个长方形和一个正方形的周长相等。如果正方形的边长是16厘米，长方形的宽是7厘米，那么长方形的长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】由题意可设长方形的长是x厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2、正方形的周长＝边长×4，分别用式子表示出长方形和正方形的周长，最后根据等量关系“长方形的周长＝正方形的周长”列出方程求解未知数即可解答。 【详解】解：设长方形的长是x厘米。 （7＋x）×2＝16×4 （7＋x）×2＝64 （7＋x）×2÷2＝64÷2 7＋x＝32 7＋x－7＝32－7 x＝25 答：长方形的长是25厘米。 10．世纪广场有一个边长为18米的正方形花圃，由于重新规划现改建成周长不变，长为20米的长方形花圃。现在长方形花圃的宽是多少米？ 【答案】16米 【分析】首先计算原正方形花圃的周长，正方形的周长＝边长×4，因此原周长为18×4＝72（米），改建后长方形周长不变，仍为72米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么宽＝周长÷2－长；把数据代入公式解答。 【详解】18×4＝72（米） 72÷2－20 ＝36－20 ＝16（米） 答：现在长方形花圃的宽是16米。 11．王叔叔准备用420米长的栅栏围一个长方形养鸡场，如果长的一半和宽一样长，那么这个长方形养鸡场的长和宽各是多少米？（用方程解） 【答案】长140米；宽70米 【分析】可以设长方形的宽x米，长为2x米，根据长方形的周长C＝（长＋宽）×2，代入数据，解出方程即可解答。 【详解】解：设长方形的宽x米，长为2x米， （x＋2x）×2＝420 3x×2＝420 6x＝420 6x÷6＝420÷6 x＝70 70×2＝140（米） 答：这个长方形养鸡场的长是140米，宽是70米。 12．小明用一根铁丝围成了一个边长6分米的正方形，小军用同样长的铁丝围成了一个长7分米的长方形，这个长方形的宽是多少分米？ 【答案】5分米 【分析】已知正方形的边长是6分米，根据正方形的周长＝边长×4，算出正方形的周长；因为小军的铁丝和小明的同样长，所以长方形的周长和正方形的周长相等。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，已知周长和长的长度，求出宽的长度。 【详解】6×4÷2－7 ＝24÷2－7 ＝12－7 ＝5（分米） 答：这个长方形的宽是5分米。 13．襄阳市第三十四中学“太空种子种植基地”种植了太空辣椒、西红柿、黄瓜等植物。这块种植基地一面靠墙（如下图），它的长是8米，面积是48平方米。如果给种植基地围上篱笆，篱笆的长度是多少米？ 【答案】20米 【分析】长方形的面积＝长×宽，所以长方形的宽＝面积÷长。由题意得，种植基地的长是8米，面积是48平方米，那么直接用48除以8算出种植基地的宽。如果给种植基地围上篱笆，篱笆的长度等于一条长的长度再加上两条宽的长度。那么直接将数据代入即可算出篱笆的长度。 【详解】48÷8＝6（米） 8＋6×2 ＝8＋12 ＝20（米） 答：篱笆的长度是20米。 14．手工课上，同学们在按老师的要求剪长方形。剪出一个周长是48厘米的长方形，且它的长和宽的厘米数都是质数。剪出的长方形的长和宽可能是多少厘米？ 【答案】5厘米和19厘米、7厘米和17厘米或11厘米和13厘米 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。 首先根据长方形周长公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长与宽的和，再找出和为该值且都是质数的长和宽的组合。 【详解】48÷2＝24（厘米）   24以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23。 从这些质数中找出两个数相加等于24的组合：24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 答：剪出的长方形的长和宽可能是5厘米和19厘米，还可能是7厘米和17厘米，也可能是11厘米和13厘米。 15．一张长方形的纸，长30厘米，宽20厘米，从这张纸上剪下一个最大的正方形。正方形的周长是多少厘米？剩下的图形周长是多少厘米？ 【答案】80厘米；60厘米 【分析】从这张纸上剪下一个最大的正方形，则正方形的边长就是长方形的宽。正方形的周长＝边长×4，依此计算；剩下的图形是一个长、宽分别为30－20＝10（厘米）、20厘米的长方形，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算。 【详解】20×4＝80（厘米） 30－20＝10（厘米） （10＋20）×2 ＝30×2 ＝60（厘米） 答：正方形的周长是80厘米，剩下的图形周长是60厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $