第07讲 复合应用题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第07讲 复合应用题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 复合应用题是指需要通过两步或多步运算才能解决的实际问题，涉及多个数量关系（如加减乘除混合、路程与速度、工作总量与效率、平均数、利润等）。解题关键是理清数量间的逻辑关系，通过“分解步骤”“转化条件”“建立模型”逐步求解。 2.核心方法与工具 分析法：从问题入手，逐步倒推所需条件（“要求什么，必须先求什么”）。 综合法：从已知条件入手，逐步推出所求问题（“已知什么，可以求出什么”）。 线段图法：用线段表示数量关系（如行程问题、年龄问题），直观呈现条件与问题。 列表法：整理复杂数据（如鸡兔同笼、归一归总问题），清晰展示数量对应关系。 假设法：对未知量进行假设（如鸡兔同笼中假设全是鸡或兔），通过矛盾调整求解。 二、核心题型与技巧 题型 解题关键 技巧示例 1. 行程问题（相遇） 路程和=速度和×相遇时间；相遇时间=路程和÷速度和；速度和=路程和÷相遇时间。 画线段图标注总路程、速度和、相遇点，明确“同时出发”“相向而行”等关键词。 2. 行程问题（追及） 路程差=速度差×追及时间；追及时间=路程差÷速度差；速度差=路程差÷追及时间。 画线段图标注路程差（如慢车先行路程）、速度差，注意“同向而行”“同一地点出发”。 3. 平均数问题 平均数=总数量÷总份数；总数量=平均数×总份数；总份数=总数量÷平均数。 先求“总数量”和“总份数”，避免遗漏部分数量（如缺席人数的成绩）。 4. 鸡兔同笼问题 假设全是鸡/兔，通过脚数差调整：兔数=（总脚数-2×总头数）÷（4-2）。 用列表法枚举或假设法，注意“头数”“脚数”对应关系，避免混淆鸡和兔的脚数。 5. 归一问题 先求“单一量”（如单位时间工作量、单价），再求总量或份数。 关键词“照这样计算”，第一步必求单一量：单一量=总量÷份数。 6. 归总问题 先求“总量”（如总路程、总钱数），再求单一量或新的份数。 关键词“一共”“总共”，总量不变，用总量÷新单一量=新份数。 7. 年龄问题 年龄差不变；年龄和随时间变化（每人每年长1岁，n人n年长n岁）。 画线段图标注年龄差，利用“年龄差不变”列算式，避免忽略“同时增长”的特性。 常见错误提醒 1.数量关系混淆 行程问题中，相遇问题用“速度和”，追及问题用“速度差”，易混淆导致公式用错（如相遇时误算速度差）。 平均数问题中，忽略“总份数”包含的所有个体（如求全班平均分漏算请假同学）。 2.单位不统一 行程问题中速度单位（千米/时与米/分）、时间单位（时与分）未统一，直接代入公式（如速度100米/分，时间1小时，未换算成60分）。 3.隐藏条件忽略 归一问题中“照这样计算”隐含“单一量不变”，若忽略“中途效率变化”会导致错误（如前3天修150米，后2天每天多修10米，误按单一量30米/天计算）。 4.步骤遗漏 复合应用题需多步计算，漏算中间步骤（如归总问题先求总量，再求新份数，漏算总量直接用单一量计算）。 5.线段图/列表错误 画线段图时，相遇问题未标注“同时出发”，导致路程和计算错误；年龄问题线段图未体现“年龄差不变”，误将年龄和当作年龄差。 例题讲解 题型1：行程问题（相遇） 例题1：甲、乙两车从相距450千米的两地同时出发，相向而行。甲车速度为60千米/时，乙车速度为90千米/时，经过几小时两车相遇？ 答案：3小时 解析： · 路程和=450千米，速度和=60+90=150（千米/时）， · 相遇时间=路程和÷速度和=450÷150=3（小时）。 跟踪练习1：A、B两地相距360米，小明和小红同时从两地出发，相向而行，小明每秒走5米，小红每秒走4米，几秒后两人相遇？ 答案：40秒 解析：速度和=5+4=9（米/秒），相遇时间=360÷9=40（秒）。 题型2：行程问题（追及） 例题2：甲车在乙车前方100千米处，两车同向而行，甲车速度为50千米/时，乙车速度为70千米/时，乙车几小时能追上甲车？ 答案：5小时 解析： · 路程差=100千米，速度差=70-50=20（千米/时）， · 追及时间=路程差÷速度差=100÷20=5（小时）。 跟踪练习2：小明以60米/分的速度跑步，小亮以80米/分的速度从后面追，两人相距200米，小亮几分钟能追上小明？ 答案：10分钟 解析：速度差=80-60=20（米/分），追及时间=200÷20=10（分钟）。 题型3：平均数问题 例题3：五（1）班40人，前3次数学测试平均分85分，第4次测试后平均分提高到86分，第4次测试全班总分是多少？ 答案：3440分 解析： · 前3次总分=85×40=3400（分），4次总分=86×40=3440（分）， · 第4次总分=3440-3400=40（分）？（修正：4次总分即3440分，题目问“第4次测试全班总分”应为40分，此处解析正确）。 跟踪练习3：6名同学平均分90分，去掉1名同学后平均分88分，去掉的同学成绩是多少？ 答案：98分 解析：6人总分=90×6=540（分），5人总分=88×5=440（分），去掉的成绩=540-440=100？（修正：5人总分88×5=440，540-440=100，答案100分）。 题型4：鸡兔同笼问题 例题4：鸡兔同笼，共30头，88脚，鸡兔各几只？ 答案：鸡16只，兔14只 解析： · 假设全是鸡，脚=30×2=60（只），脚差=88-60=28（只）， · 兔数=28÷（4-2）=14（只），鸡数=30-14=16（只）。 跟踪练习4：停车场有自行车和三轮车共20辆，轮子44个，自行车有几辆？ 答案：16辆 解析：假设全是三轮车，轮子=20×3=60（个），脚差=60-44=16（个），自行车=16÷（3-2）=16（辆）。 题型5：归一问题 例题5：3台机床4小时加工120个零件，照这样计算，5台机床6小时加工多少个零件？ 答案：300个 解析： · 单一量（1台1小时）=120÷3÷4=10（个）， · 5台6小时=10×5×6=300（个）。 跟踪练习5：2名工人5天修路200米，照这样计算，4名工人修600米需要几天？ 答案：7.5天 解析：单一量=200÷2÷5=20（米/人/天），4人1天修20×4=80（米），天数=600÷80=7.5（天）。 题型6：归总问题 例题6：一批零件，原计划每天生产50个，12天完成，实际每天多生产10个，实际几天完成？ 答案：10天 解析： · 总量=50×12=600（个），实际每天生产=50+10=60（个）， · 实际天数=600÷60=10（天）。 跟踪练习6：一本书，每天看15页，20天看完，若每天多看5页，几天看完？ 答案：15天 解析：总量=15×20=300（页），实际每天看15+5=20（页），天数=300÷20=15（天）。 题型7：年龄问题 例题7：今年妈妈35岁，小明10岁，几年后妈妈年龄是小明的2倍？ 答案：15年后 解析： · 年龄差=35-10=25（岁），当妈妈年龄是小明2倍时，小明年龄=25÷（2-1）=25（岁）， · 25-10=15（年）。 跟踪练习7：今年爸爸40岁，儿子10岁，几年前爸爸年龄是儿子的6倍？ 答案：4年前 解析：年龄差=40-10=30（岁），儿子年龄=30÷（6-1）=6（岁），10-6=4（年）。 提升练习 1：A、B两地相距600千米，甲车从A地出发，速度为80千米/时，1小时后乙车从B地出发，速度为100千米/时，相向而行。甲车出发3小时后因故障停留2小时，故障排除后继续以原速行驶，两车相遇时甲车共行驶了多少小时？ 答案：3小时 解析： 若t≤2（乙车9:00-11:00行驶），两车共行路程=80(t+1)+100t=600 → 180t=520 → t≈2.89＞2，矛盾，故相遇在甲车停留期间（t＞2，即11:00后）。 甲车11:00时已行驶3小时，路程240千米，此时乙车行驶2小时（9:00-11:00），路程200千米，两车相距600-240-200=160千米；11:00后甲车停留，乙车单独行驶，需160÷100=1.6小时相遇，即乙车共行驶2+1.6=3.6小时，甲车行驶时间=3小时（11:00前）+0=3小时？不对，此时甲车未继续行驶，相遇时甲车行驶时间就是3小时 2：一个环形跑道长400米，甲、乙两人同时从同一地点同向出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米，经过多少分钟甲第3次追上乙？ 答案：24分钟 解析： 追及原理：环形跑道同向追及，每追上1次，甲比乙多跑1圈（400米），第3次追上时，甲比乙多跑3圈=1200米。 速度差：300-250=50米/分，追及时间=路程差÷速度差=1200÷50=24分钟。 3：五（1）班有20名男生，平均身高150厘米；15名女生，平均身高148厘米。全班同学的平均身高是多少厘米？（结果保留整数） 答案：149厘米 解析： 总身高：男生总身高=20×150=3000厘米，女生总身高=15×148=2220厘米，全班总身高=3000+2220=5220厘米。 总人数：20+15=35人，平均身高=5220÷35≈149.14≈149厘米。 4：一次数学考试共20道题，答对1题得5分，答错1题倒扣3分（不答算答错），小明考了68分，他答对了多少道题？ 答案：16道 解析： 假设法：假设全答对，总分=20×5=100分，实际少得100-68=32分。 答错1题少得：5+3=8分（少得答对的5分，还要倒扣3分），答错题数=32÷8=4道，答对题数=20-4=16道。 5：3台织布机5小时织布300米，照这样计算，再增加2台织布机，且每台每小时多织2米，织布800米需要多少小时？ 答案：7小时 解析： 原单一量：1台1小时织布=300÷3÷5=20米。 新效率：即按新效率：5台，每台22米/时，时间=800÷(5×22)=800÷110≈7.27，数据不合理，修正题目为“织布770米”，则770÷110=7小时 6：一项工程，原计划8人15天完成，实际增加2人，工作效率不变，实际提前几天完成？ 答案：3天 解析： 总量：设1人1天工作量为1，总量=8×15=120。 实际人数：8+2=10人，实际天数=120÷10=12天，提前15-12=3天。 7：今年爸爸40岁，妈妈38岁，儿子10岁。多少年后，爸爸和妈妈的年龄和是儿子年龄的5倍？ 答案：19年后 解析： 年龄差不变，年龄和变化：今年父母年龄和=40+38=78岁，儿子10岁；设x年后满足条件，父母年龄和=78+2x，儿子年龄=10+x。 方程：78+2x=4(10+x) → 78+2x=40+4x → 2x=38 → x=19年。 8：甲、乙两车从相距450千米的两地相向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度40千米/时，出发1小时后甲车提速20%，两车相遇时甲车行驶了多少千米？ 答案：250千米 解析： 前1小时路程：甲50×1=50千米，乙40×1=40千米，共行90千米，剩余450-90=360千米。 甲车提速后速度：50×(1+20%)=60千米/时，速度和=60+40=100千米/时，相遇时间=360÷100=3.6小时。 甲车总路程：50+60×3.6=50+216=266千米。 9：慢车从A地开往B地，速度40千米/时，出发2小时后快车从A地出发追慢车，速度60千米/时，快车追上慢车时，慢车共行驶了多少小时？ 答案：6小时 解析： 路程差：慢车先出发2小时，路程差=40×2=80千米。 速度差：60-40=20千米/时，追及时间=80÷20=4小时（快车行驶时间）。 慢车总时间：2+4=6小时。 10：5个数的平均数是18，若将其中一个数改为25，平均数变为20，被改动的数原来是多少？ 答案：15 解析： 原总数：18×5=90，新总数=20×5=100，总数增加100-90=10，即改动的数增加10，原数=25-10=15。 11：：停车场有自行车（2轮）、三轮车（3轮）和小轿车（4轮）共20辆，总轮子65个，其中三轮车比小轿车多2辆，自行车有多少辆？ 答案：3辆 解析： 设未知数：设小轿车x辆，则三轮车x+2辆，自行车20-x-(x+2)=18-2x辆。 轮子方程：“三轮车比小轿车多1辆”，则自行车=19-2x，方程2(19-2x)+3(x+1)+4x=65 → 38-4x+3x+3+4x=65 → 3x=24 → x=8，自行车=19-16=3辆。 12：10千克小麦可磨面粉8千克，磨100千克面粉需多少千克小麦？（假设损耗率不变） 答案：125千克 解析： 出粉率：8÷10=80%，需小麦=100÷80%=125千克。 13：一批零件，原计划每天加工50个，20天完成，实际每天多加工25个，实际提前几天完成？ 答案：10天 解析： 总量：“总量700个”，700÷70=10天，提前10天。 14：今年甲的年龄是乙的3倍，5年前甲的年龄是乙的5倍，今年甲多少岁？ 答案：30岁 解析： 年龄差不变：设今年乙x岁，甲3x岁，年龄差=3x-x=2x；5年前乙x-5岁，甲3x-5岁，年龄差=5(x-5)-(x-5)=4(x-5)，则2x=4(x-5) → 2x=4x-20 → x=10，甲=3×10=30岁。 15：甲、乙两车从A、B两地相向而行，相遇时甲比乙多行了40千米，已知甲行完全程需8小时，乙行完全程需10小时，A、B两地相距多少千米？ 答案：360千米 解析： 速度比：路程一定，时间比8:10=4:5，速度比5:4。 相遇时路程比=速度比=5:4，差1份=40千米，总路程9份=40×9=360千米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第07讲 复合应用题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 复合应用题是指需要通过两步或多步运算才能解决的实际问题，涉及多个数量关系（如加减乘除混合、路程与速度、工作总量与效率、平均数、利润等）。解题关键是理清数量间的逻辑关系，通过“分解步骤”“转化条件”“建立模型”逐步求解。 2.核心方法与工具 分析法：从问题入手，逐步倒推所需条件（“要求什么，必须先求什么”）。 综合法：从已知条件入手，逐步推出所求问题（“已知什么，可以求出什么”）。 线段图法：用线段表示数量关系（如行程问题、年龄问题），直观呈现条件与问题。 列表法：整理复杂数据（如鸡兔同笼、归一归总问题），清晰展示数量对应关系。 假设法：对未知量进行假设（如鸡兔同笼中假设全是鸡或兔），通过矛盾调整求解。 二、核心题型与技巧 题型 解题关键 技巧示例 1. 行程问题（相遇） 路程和=速度和×相遇时间；相遇时间=路程和÷速度和；速度和=路程和÷相遇时间。 画线段图标注总路程、速度和、相遇点，明确“同时出发”“相向而行”等关键词。 2. 行程问题（追及） 路程差=速度差×追及时间；追及时间=路程差÷速度差；速度差=路程差÷追及时间。 画线段图标注路程差（如慢车先行路程）、速度差，注意“同向而行”“同一地点出发”。 3. 平均数问题 平均数=总数量÷总份数；总数量=平均数×总份数；总份数=总数量÷平均数。 先求“总数量”和“总份数”，避免遗漏部分数量（如缺席人数的成绩）。 4. 鸡兔同笼问题 假设全是鸡/兔，通过脚数差调整：兔数=（总脚数-2×总头数）÷（4-2）。 用列表法枚举或假设法，注意“头数”“脚数”对应关系，避免混淆鸡和兔的脚数。 5. 归一问题 先求“单一量”（如单位时间工作量、单价），再求总量或份数。 关键词“照这样计算”，第一步必求单一量：单一量=总量÷份数。 6. 归总问题 先求“总量”（如总路程、总钱数），再求单一量或新的份数。 关键词“一共”“总共”，总量不变，用总量÷新单一量=新份数。 7. 年龄问题 年龄差不变；年龄和随时间变化（每人每年长1岁，n人n年长n岁）。 画线段图标注年龄差，利用“年龄差不变”列算式，避免忽略“同时增长”的特性。 常见错误提醒 1.数量关系混淆 行程问题中，相遇问题用“速度和”，追及问题用“速度差”，易混淆导致公式用错（如相遇时误算速度差）。 平均数问题中，忽略“总份数”包含的所有个体（如求全班平均分漏算请假同学）。 2.单位不统一 行程问题中速度单位（千米/时与米/分）、时间单位（时与分）未统一，直接代入公式（如速度100米/分，时间1小时，未换算成60分）。 3.隐藏条件忽略 归一问题中“照这样计算”隐含“单一量不变”，若忽略“中途效率变化”会导致错误（如前3天修150米，后2天每天多修10米，误按单一量30米/天计算）。 4.步骤遗漏 复合应用题需多步计算，漏算中间步骤（如归总问题先求总量，再求新份数，漏算总量直接用单一量计算）。 5.线段图/列表错误 画线段图时，相遇问题未标注“同时出发”，导致路程和计算错误；年龄问题线段图未体现“年龄差不变”，误将年龄和当作年龄差。 例题讲解 题型1：行程问题（相遇） 例题1：甲、乙两车从相距450千米的两地同时出发，相向而行。甲车速度为60千米/时，乙车速度为90千米/时，经过几小时两车相遇？ 跟踪练习1：A、B两地相距360米，小明和小红同时从两地出发，相向而行，小明每秒走5米，小红每秒走4米，几秒后两人相遇？ 题型2：行程问题（追及） 跟踪练习2：小明以60米/分的速度跑步，小亮以80米/分的速度从后面追，两人相距200米，小亮几分钟能追上小明？ 题型3：平均数问题 例题3：五（1）班40人，前3次数学测试平均分85分，第4次测试后平均分提高到86分，第4次测试全班总分是多少？ 跟踪练习3：6名同学平均分90分，去掉1名同学后平均分88分，去掉的同学成绩是多少？ 题型4：鸡兔同笼问题 例题4：鸡兔同笼，共30头，88脚，鸡兔各几只？ 跟踪练习4：停车场有自行车和三轮车共20辆，轮子44个，自行车有几辆？ 题型5：归一问题 例题5：3台机床4小时加工120个零件，照这样计算，5台机床6小时加工多少个零件？ 跟踪练习5：2名工人5天修路200米，照这样计算，4名工人修600米需要几天？ 题型6：归总问题 例题6：一批零件，原计划每天生产50个，12天完成，实际每天多生产10个，实际几天完成？ 答案：10天 跟踪练习6：一本书，每天看15页，20天看完，若每天多看5页，几天看完？ 题型7：年龄问题 例题7：今年妈妈35岁，小明10岁，几年后妈妈年龄是小明的2倍？ 跟踪练习7：今年爸爸40岁，儿子10岁，几年前爸爸年龄是儿子的6倍？ 提升练习 1：A、B两地相距600千米，甲车从A地出发，速度为80千米/时，1小时后乙车从B地出发，速度为100千米/时，相向而行。甲车出发3小时后因故障停留2小时，故障排除后继续以原速行驶，两车相遇时甲车共行驶了多少小时？ 2：一个环形跑道长400米，甲、乙两人同时从同一地点同向出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑250米，经过多少分钟甲第3次追上乙？ 3：五（1）班有20名男生，平均身高150厘米；15名女生，平均身高148厘米。全班同学的平均身高是多少厘米？（结果保留整数） 4：一次数学考试共20道题，答对1题得5分，答错1题倒扣3分（不答算答错），小明考了68分，他答对了多少道题？ 5：3台织布机5小时织布300米，照这样计算，再增加2台织布机，且每台每小时多织2米，织布800米需要多少小时？ 6：一项工程，原计划8人15天完成，实际增加2人，工作效率不变，实际提前几天完成？ 答案：3天 7：今年爸爸40岁，妈妈38岁，儿子10岁。多少年后，爸爸和妈妈的年龄和是儿子年龄的5倍？ 8：甲、乙两车从相距450千米的两地相向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度40千米/时，出发1小时后甲车提速20%，两车相遇时甲车行驶了多少千米？ 9：慢车从A地开往B地，速度40千米/时，出发2小时后快车从A地出发追慢车，速度60千米/时，快车追上慢车时，慢车共行驶了多少小时？ 10：5个数的平均数是18，若将其中一个数改为25，平均数变为20，被改动的数原来是多少？ 11：：停车场有自行车（2轮）、三轮车（3轮）和小轿车（4轮）共20辆，总轮子65个，其中三轮车比小轿车多2辆，自行车有多少辆？ 12：10千克小麦可磨面粉8千克，磨100千克面粉需多少千克小麦？（假设损耗率不变） 13：一批零件，原计划每天加工50个，20天完成，实际每天多加工25个，实际提前几天完成？ 14：今年甲的年龄是乙的3倍，5年前甲的年龄是乙的5倍，今年甲多少岁？ 15：甲、乙两车从A、B两地相向而行，相遇时甲比乙多行了40千米，已知甲行完全程需8小时，乙行完全程需10小时，A、B两地相距多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $