第05讲 长方形、正方形的面积（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第05讲 长方形、正方形的面积 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 面积是指平面图形所占平面部分的大小。长方形和正方形是典型的规则四边形，其面积计算有固定公式。 关键量： 长方形：长（记为）、宽（记为）、面积（记为）； 正方形：边长（记为）、面积（记为）。 2.核心公式 长方形面积公式：（长×宽）； 正方形面积公式：（边长×边长）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知边长求面积） 技巧：直接套用面积公式，明确长、宽或边长，代入计算。 长方形：已知长和宽，面积； 正方形：已知边长，面积。 题型2：反求边长型（已知面积求边长） 技巧：公式变形，根据面积反推长、宽或边长。 长方形：已知面积和长，求宽；已知面积和宽，求长； 正方形：已知面积，求边长（找到一个数，使）。 题型3：拼合图形型（多个图形拼合后求面积） 技巧：拼合后图形的面积等于原来所有图形面积之和（拼合时重合部分不影响总面积，面积不变）。先分别计算每个图形的面积，再求和。 例：2个长、宽的长方形拼成长方形，面积。 题型4：分割图形型（一个图形分割后求面积） 技巧：分割后所有小图形的面积之和等于原图形面积（分割不改变总面积）。可先求原图形面积，即得总面积；或分别求每个小图形面积再相加验证。 例：一个长、宽的长方形，沿长平均分成2个小长方形，每个小长方形长、宽，总面积（等于原长方形面积）。 题型5：含多余条件型（需筛选有效数据） 技巧：从题目给出的多个数据中，筛选出计算面积必需的条件（长方形需长和宽，正方形需边长），忽略无关数据（如周长、体积、高、质量等）。 题型6：不规则图形转化型（转化为规则图形求面积） 技巧：通过“割补法”转化： ①“分割法”：将不规则图形分割成几个长方形或正方形，面积之和即为所求； ②“补形法”：将不规则图形补成一个大长方形或正方形，用大图形面积减去补上的小图形面积。 题型7：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题转化为面积计算，如：铺地砖（块数=总面积÷每块地砖面积）、比较面积大小、增加/减少的面积（变化后面积-原来面积）等。 例题讲解 一、基础型 例题1：一个长方形长，宽，求它的面积。 跟踪练习1：一个正方形边长，求它的面积。 二、反求边长型 例题2：一个长方形面积是，长是，求它的宽。 跟踪练习2：一个正方形面积是，求它的边长。 三、拼合图形型 例题3：用3个边长的正方形拼成长方形，求拼成的长方形面积。 跟踪练习3：2个长、宽的长方形拼成长方形，求拼成的长方形面积。 四、分割图形型 例题4：一个长、宽的长方形，沿宽平均分成2个小长方形，求每个小长方形的面积和总面积。 跟踪练习4：一个正方形边长，沿边长中点连线分割成2个小长方形，求每个小长方形的面积。 五、含多余条件型 例题5：一个长方形，长，宽，周长，高，求它的面积。 跟踪练习5：一个正方形，边长，周长，质量，求它的面积。 六、不规则图形转化型 例题6：求下图“L”形图形的面积（单位：，水平部分长，竖直部分长，拐角处边长）。 （示意图：大长方形长、宽，右上角缺一个边长的正方形） 跟踪练习6：求“凹”字形图形的面积（单位：，大长方形长、宽，缺口宽、深，缺口为长、宽的长方形）。 七、综合应用型 例题7：一间教室长，宽，用边长的正方形地砖铺地，需要多少块地砖？ 跟踪练习7：一个正方形花坛边长，扩建后边长增加，面积增加了多少？ 提升练习 1．一个长方形的长是厘米，宽是厘米，它的面积是多少平方厘米？ 2．一块正方形的菜地，面积是平方米，它的边长是多少米？ 3．一个长方形的面积是平方分米，宽是分米，它的长是多少分米？ 4．用4个边长厘米的正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的面积是多少平方厘米？ 5．一个长米、宽米的长方形草坪，被平均分成个小长方形，每个小长方形的面积是多少平方米？ 6．一个长方形的广告牌，长米，宽米，广告牌的周长是米，它的面积是多少平方米？（提示：忽略多余条件） 7．求下图不规则图形的面积（单位：厘米），图形由一个长、宽的长方形和一个边长的正方形组成（两个图形无重叠）。 8．一间教室长米，宽米，用面积是平方分米的地砖铺地，至少需要多少块地砖？ 9．一个长方形的宽是厘米，长是宽的倍，它的面积是多少平方厘米？ 10．一个正方形的边长扩大到原来的倍，它的面积扩大到原来的多少倍？（举例说明） 11．一个长方形的面积是平方米，长比宽多米，它的长和宽分别是多少米？ 12．把一个长厘米、宽厘米的长方形，沿长平均分成个小长方形，每个小长方形的面积是多少？ 13．一个“T”字形图形（单位：厘米），由一个长、宽的长方形和一个长、宽的正方形组成（正方形在长方形上方中间，无重叠），求它的面积。 14．一块长方形的菜地，面积是平方米，长是米。如果长增加到米，宽不变（宽=面积÷长），扩大后的面积是多少平方米？ 15．一个正方形的手帕，边长是分米，用一条长厘米的绸带围一圈（不计接头），够吗？如果够，还剩多少厘米？（提示：先算周长比较，再算剩余长度） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第05讲 长方形、正方形的面积 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 面积是指平面图形所占平面部分的大小。长方形和正方形是典型的规则四边形，其面积计算有固定公式。 关键量： 长方形：长（记为）、宽（记为）、面积（记为）； 正方形：边长（记为）、面积（记为）。 2.核心公式 长方形面积公式：（长×宽）； 正方形面积公式：（边长×边长）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知边长求面积） 技巧：直接套用面积公式，明确长、宽或边长，代入计算。 长方形：已知长和宽，面积； 正方形：已知边长，面积。 题型2：反求边长型（已知面积求边长） 技巧：公式变形，根据面积反推长、宽或边长。 长方形：已知面积和长，求宽；已知面积和宽，求长； 正方形：已知面积，求边长（找到一个数，使）。 题型3：拼合图形型（多个图形拼合后求面积） 技巧：拼合后图形的面积等于原来所有图形面积之和（拼合时重合部分不影响总面积，面积不变）。先分别计算每个图形的面积，再求和。 例：2个长、宽的长方形拼成长方形，面积。 题型4：分割图形型（一个图形分割后求面积） 技巧：分割后所有小图形的面积之和等于原图形面积（分割不改变总面积）。可先求原图形面积，即得总面积；或分别求每个小图形面积再相加验证。 例：一个长、宽的长方形，沿长平均分成2个小长方形，每个小长方形长、宽，总面积（等于原长方形面积）。 题型5：含多余条件型（需筛选有效数据） 技巧：从题目给出的多个数据中，筛选出计算面积必需的条件（长方形需长和宽，正方形需边长），忽略无关数据（如周长、体积、高、质量等）。 题型6：不规则图形转化型（转化为规则图形求面积） 技巧：通过“割补法”转化： ①“分割法”：将不规则图形分割成几个长方形或正方形，面积之和即为所求； ②“补形法”：将不规则图形补成一个大长方形或正方形，用大图形面积减去补上的小图形面积。 题型7：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题转化为面积计算，如：铺地砖（块数=总面积÷每块地砖面积）、比较面积大小、增加/减少的面积（变化后面积-原来面积）等。 例题讲解 一、基础型 例题1：一个长方形长，宽，求它的面积。 答案： 解析：直接套用长方形面积公式：。 跟踪练习1：一个正方形边长，求它的面积。 答案： 解析：正方形面积公式：。 二、反求边长型 例题2：一个长方形面积是，长是，求它的宽。 答案： 解析：根据长方形面积公式变形：宽。 跟踪练习2：一个正方形面积是，求它的边长。 答案： 解析：正方形边长满足，所以（因为）。 三、拼合图形型 例题3：用3个边长的正方形拼成长方形，求拼成的长方形面积。 答案： 解析：方法一：每个正方形面积，3个总面积； 方法二：拼成长方形的长，宽，面积。 跟踪练习3：2个长、宽的长方形拼成长方形，求拼成的长方形面积。 答案： 解析：每个长方形面积，2个总面积（或拼合后长、宽，面积）。 四、分割图形型 例题4：一个长、宽的长方形，沿宽平均分成2个小长方形，求每个小长方形的面积和总面积。 答案：每个小长方形面积，总面积 解析：原长方形面积； 分割后每个小长方形宽，长，面积； 总面积（等于原面积）。 跟踪练习4：一个正方形边长，沿边长中点连线分割成2个小长方形，求每个小长方形的面积。 答案： 解析：原正方形面积，每个小长方形面积（或小长方形长、宽，面积）。 五、含多余条件型 例题5：一个长方形，长，宽，周长，高，求它的面积。 答案： 解析：计算面积只需长和宽，忽略周长和高。面积。 跟踪练习5：一个正方形，边长，周长，质量，求它的面积。 答案： 解析：只需边长，面积。 六、不规则图形转化型 例题6：求下图“L”形图形的面积（单位：，水平部分长，竖直部分长，拐角处边长）。 （示意图：大长方形长、宽，右上角缺一个边长的正方形） 答案： 解析：用“补形法”，大长方形面积，缺的小正方形面积，总面积。 跟踪练习6：求“凹”字形图形的面积（单位：，大长方形长、宽，缺口宽、深，缺口为长、宽的长方形）。 答案： 解析：大长方形面积，缺口面积，总面积。 七、综合应用型 例题7：一间教室长，宽，用边长的正方形地砖铺地，需要多少块地砖？ 答案：块 解析：教室面积； 每块地砖面积； 块数块。 跟踪练习7：一个正方形花坛边长，扩建后边长增加，面积增加了多少？ 答案： 解析：原来面积； 扩建后边长，面积； 增加的面积。 提升练习 1．一个长方形的长是厘米，宽是厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】直接用长方形面积公式计算：。 【详解】（平方厘米） 答：它的面积是平方厘米。 2．一块正方形的菜地，面积是平方米，它的边长是多少米？ 【答案】米 【分析】正方形面积，即，找出（因为）。 【详解】因为，所以边长是米。 答：它的边长是米。 3．一个长方形的面积是平方分米，宽是分米，它的长是多少分米？ 【答案】分米 【分析】长方形长。 【详解】（分米） 答：它的长是分米。 4．用4个边长厘米的正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】大正方形面积等于4个小正方形面积之和，或先求大正方形边长再算面积。 【详解】方法一：每个小正方形面积（平方厘米），大正方形面积（平方厘米）； 方法二：大正方形边长（厘米），面积（平方厘米）。 答：这个大正方形的面积是平方厘米。 5．一个长米、宽米的长方形草坪，被平均分成个小长方形，每个小长方形的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】先求原草坪面积，再除以。 【详解】原面积（平方米），每个小长方形面积（平方米）。 答：每个小长方形的面积是平方米。 6．一个长方形的广告牌，长米，宽米，广告牌的周长是米，它的面积是多少平方米？（提示：忽略多余条件） 【答案】平方米 【分析】计算面积只需长和宽，忽略周长。 【详解】（平方米） 答：它的面积是平方米。 7．求下图不规则图形的面积（单位：厘米），图形由一个长、宽的长方形和一个边长的正方形组成（两个图形无重叠）。 【答案】平方厘米 【分析】分割法，面积=长方形面积+正方形面积。 【详解】长方形面积（平方厘米），正方形面积（平方厘米），总面积（平方厘米）。 答：不规则图形的面积是平方厘米。 8．一间教室长米，宽米，用面积是平方分米的地砖铺地，至少需要多少块地砖？ 【答案】块 【分析】先算教室总面积（单位换算为平方分米），再除以每块地砖面积。 【详解】教室面积（平方米）（平方分米），地砖块数（块）。 答：至少需要块地砖。 9．一个长方形的宽是厘米，长是宽的倍，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】先求长（长=宽×3），再算面积。 【详解】长（厘米），面积（平方厘米）。 答：它的面积是平方厘米。 10．一个正方形的边长扩大到原来的倍，它的面积扩大到原来的多少倍？（举例说明） 【答案】倍 【分析】设原边长为，原面积；扩大后边长，面积，是原来的倍。 【详解】举例：原边长厘米，面积平方厘米；扩大后边长厘米，面积平方厘米，。 答：面积扩大到原来的倍。 11．一个长方形的面积是平方米，长比宽多米，它的长和宽分别是多少米？ 【答案】长米，宽米 【分析】长方形面积，且，尝试，所以长米，宽米。 【详解】因为，且，所以长米，宽米。 答：它的长是米，宽是米。 12．把一个长厘米、宽厘米的长方形，沿长平均分成个小长方形，每个小长方形的面积是多少？ 【答案】平方厘米 【分析】原面积平方厘米，每个小长方形面积平方厘米。 【详解】（平方厘米） 答：每个小长方形的面积是平方厘米。 13．一个“T”字形图形（单位：厘米），由一个长、宽的长方形和一个长、宽的正方形组成（正方形在长方形上方中间，无重叠），求它的面积。 【答案】平方厘米 【分析】分割法，面积=长方形面积+正方形面积。 【详解】长方形面积（平方厘米），正方形面积（平方厘米），总面积（平方厘米）。 答：它的面积是平方厘米。 14．一块长方形的菜地，面积是平方米，长是米。如果长增加到米，宽不变（宽=面积÷长），扩大后的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】先求宽：米；扩大后长米，面积平方米。 【详解】宽（米），扩大后面积（平方米）。 答：扩大后的面积是平方米。 15．一个正方形的手帕，边长是分米，用一条长厘米的绸带围一圈（不计接头），够吗？如果够，还剩多少厘米？（提示：先算周长比较，再算剩余长度） 【答案】够，剩厘米 【分析】先算正方形手帕周长（单位换算为厘米），与绸带长度比较，再求差。 【详解】手帕周长（分米）（厘米），，够；剩余（厘米）。 答：够，还剩厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $