第01讲 平均数（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第01讲 平均数 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，指在一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数。 关键量：总数量（所有数据的总和）、总份数（数据的个数或对应的份数）、平均数。 2.核心公式 ① 平均数 = 总数量 ÷ 总份数 ② 总数量 = 平均数 × 总份数 ③ 总份数 = 总数量 ÷ 平均数 二、核心题型与技巧 题型1：基础计算型（已知总数量和总份数求平均数） 技巧：直接套用公式“平均数 = 总数量 ÷ 总份数”，确保总数量包含所有数据，总份数对应数据个数。 公式：平均数 = （数据1 + 数据2 + ... + 数据n）÷ n 题型2：反向计算型（已知平均数求总数量或总份数） 技巧：利用“总数量 = 平均数 × 总份数”或“总份数 = 总数量 ÷ 平均数”，根据已知条件推导未知量。 题型3：移多补少问题（通过调整使各部分数量相等） 技巧：多的部分总和 = 少的部分总和，平均数 = 基准数 + （多出的总和 - 缺少的总和）÷ 总份数（若基准数为初始值）。 题型4：平均数变化问题（增加/减少数据后平均数的变化） 技巧：新平均数 = （原总数量 ± 新增/减少的数）÷（原总份数 ± 1）；或通过“变化量”计算：变化后的总数量 = 原总数量 ± 变化数，再求新平均数。 题型5：平均速度问题（行程中的平均速度） 技巧：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（注意：不是速度的简单平均，需分别计算总路程和总时间）。 三、常见错误提醒 1.总数量或总份数遗漏：如计算5名同学平均分，忘记加入其中1人的分数，导致总数量错误。 2.平均速度计算错误：误将“平均速度”当作“速度的平均数”（如往返路程，平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，而非（去时速度 + 返回速度）÷ 2）。 3.移多补少中数量关系混淆：认为“多的部分 = 平均数”，实际应为“多的部分总和 = 少的部分总和”。 4.平均数变化时忽略总份数变化：如增加1个数后，总份数增加1，若仅用“原总数量 + 新数”除以原份数，会导致结果错误。 例题讲解 一、基础计算型 例题1：五年级（1）班4名同学的身高分别是132厘米、138厘米、140厘米、145厘米，求这4名同学的平均身高。 跟踪练习1：小明期末考试语文92分、数学98分、英语95分，求三门功课的平均分。 二、反向计算型 例题2：已知5个数的平均数是18，其中4个数分别是15、20、16、22，求第5个数是多少？ 跟踪练习2：某小组6名同学的平均体重是35千克，其中5名同学的体重总和是165千克，求第6名同学的体重。 三、移多补少问题 例题3：甲有8个苹果，乙有4个苹果，丙有6个苹果，怎样调整才能使三人苹果数相同？ 跟踪练习3：5名同学的数学成绩分别是90、85、95、80、100分，若将最高分同学的分数拿出一部分分给最低分同学，使两人分数相同，此时两人的分数是多少？ 四、平均数变化问题 例题4：原有4个数的平均数是10，若再增加一个数15，求新的平均数。 跟踪练习4：5个数的平均数是20，若将其中一个数改为25后，平均数变为22，求被改的数原来是多少？ 五、平均速度问题 例题5：小明从家到学校步行，每小时行4千米，用了3小时；返回时骑自行车，每小时行12千米，用了1小时，求往返的平均速度。 跟踪练习5：一辆汽车从A地到B地，前2小时每小时行60千米，后3小时每小时行70千米，求全程的平均速度。 提升练习 1．用1、2、3三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 2．李军骑车从甲村到乙村，每小时行24千米，回来时步行每小时行12千米，求往返平均速度？ 3．有一群医生和教师，他们的平均年龄为40岁，其中医生的平均年龄为35岁，教师的平均年龄为50岁。医生和教师人数的比是多少？ 4．有四个数，每次选其中的三个数求平均数，再加上另外一个数，用这样的方法算了四次，分别得到以下四个数：36、42、50、56，求原来四个数的平均数。 5．某校有若干名同学参加跳绳比赛，平均每分钟跳63下，其中男同学平均每分钟跳60下，女同学平均每分钟跳70下。已知参加比赛的男同学比女同学多40人，则该校一共有多少名同学参加跳绳比赛？ 6．小明参加了若干次数学测验，其中一次的成绩是7和9构成的两位数。如果是97分，那么他的各次平均分为90分，如果是79分，那么他的各次平均分为87分。求小明参加数学测验的次数。 7．甲、乙两名工人生产零件，甲每小时生产120个，乙每小时生产90个。已知某天甲生产了5小时，甲、乙平均每人每小时生产100个，请问：乙这天生产了几小时？ 8．一次数学考试的满分是100分，有6位同学在这次考试中的平均分数是90分。这6人得分互不相同，且都是自然数。其中一位同学仅得60分。那么排在第三名的同学至少得多少分？ 9．有若干个大于0的自然数．它们的平均数是10，如果去掉最大的一个，余下数的平均数为9：如果去掉最小的一个，余下数的平均数为11，这些数最多有多少个？其中最大的是多少？ 10．几位裁判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分．如果记入最高分，平均成绩为9.04分．已知这位运动员的最高分是9.70分，问：共有几位裁判员？ 11．奶糖和水果糖混合起来，成为什锦糖，平均每千克售价9.13元，已知奶糖有35千克，每千克10.3元，水果糖每千克8.5元，那么有多少千克水果糖？ 12．甲、乙、丙三人共买了9个面包平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了4个面包的钱，丙没有带钱，经计算，丙应付4.5元，甲应收回多少钱？ 13．7位同学进行跳绳比赛，平均每人跳148下．由于记录失误，李强的成绩被错记成121下，因此他们的平均成绩变成145下，问：李强实际上跳了多少下？ 14．正义路小学共有1000名学生,为支援希望工程,同学们纷纷捐书．有一半男生每人捐了9本书,另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书,另一半女生每人捐了6本书，全校学生共捐了多少本书？ 15．一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表： 还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．问：共有多少人参加测验？ 16．马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起．有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001．原来这2000个数的平均数是多少？ 17．设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29．在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？ 18．有若干个(非零)自然数，它们的平均数为11．如果去掉一个最大的自然数，那么它们的平均数为10；如果去掉一个最小的自然数，那么它们的平均数为12．请问：这些自然数最多有多少个?此时其中最大的自然数是多少? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第01讲 平均数 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，指在一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数。 关键量：总数量（所有数据的总和）、总份数（数据的个数或对应的份数）、平均数。 2.核心公式 ① 平均数 = 总数量 ÷ 总份数 ② 总数量 = 平均数 × 总份数 ③ 总份数 = 总数量 ÷ 平均数 二、核心题型与技巧 题型1：基础计算型（已知总数量和总份数求平均数） 技巧：直接套用公式“平均数 = 总数量 ÷ 总份数”，确保总数量包含所有数据，总份数对应数据个数。 公式：平均数 = （数据1 + 数据2 + ... + 数据n）÷ n 题型2：反向计算型（已知平均数求总数量或总份数） 技巧：利用“总数量 = 平均数 × 总份数”或“总份数 = 总数量 ÷ 平均数”，根据已知条件推导未知量。 题型3：移多补少问题（通过调整使各部分数量相等） 技巧：多的部分总和 = 少的部分总和，平均数 = 基准数 + （多出的总和 - 缺少的总和）÷ 总份数（若基准数为初始值）。 题型4：平均数变化问题（增加/减少数据后平均数的变化） 技巧：新平均数 = （原总数量 ± 新增/减少的数）÷（原总份数 ± 1）；或通过“变化量”计算：变化后的总数量 = 原总数量 ± 变化数，再求新平均数。 题型5：平均速度问题（行程中的平均速度） 技巧：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（注意：不是速度的简单平均，需分别计算总路程和总时间）。 三、常见错误提醒 1.总数量或总份数遗漏：如计算5名同学平均分，忘记加入其中1人的分数，导致总数量错误。 2.平均速度计算错误：误将“平均速度”当作“速度的平均数”（如往返路程，平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，而非（去时速度 + 返回速度）÷ 2）。 3.移多补少中数量关系混淆：认为“多的部分 = 平均数”，实际应为“多的部分总和 = 少的部分总和”。 4.平均数变化时忽略总份数变化：如增加1个数后，总份数增加1，若仅用“原总数量 + 新数”除以原份数，会导致结果错误。 例题讲解 一、基础计算型 例题1：五年级（1）班4名同学的身高分别是132厘米、138厘米、140厘米、145厘米，求这4名同学的平均身高。 答案：138.75厘米 解析：总数量 = 132 + 138 + 140 + 145 = 555（厘米），总份数 = 4，平均数 = 555 ÷ 4 = 138.75（厘米）。 跟踪练习1：小明期末考试语文92分、数学98分、英语95分，求三门功课的平均分。 答案：95分 解析：总数量 = 92 + 98 + 95 = 285（分），总份数 = 3，平均分 = 285 ÷ 3 = 95（分）。 二、反向计算型 例题2：已知5个数的平均数是18，其中4个数分别是15、20、16、22，求第5个数是多少？ 答案：17 解析：总数量 = 平均数 × 总份数 = 18 × 5 = 90，第5个数 = 90 -（15 + 20 + 16 + 22）= 90 - 73 = 17。 跟踪练习2：某小组6名同学的平均体重是35千克，其中5名同学的体重总和是165千克，求第6名同学的体重。 答案：45千克 解析：总数量 = 35 × 6 = 210（千克），第6名体重 = 210 - 165 = 45（千克）。 三、移多补少问题 例题3：甲有8个苹果，乙有4个苹果，丙有6个苹果，怎样调整才能使三人苹果数相同？ 答案：甲给乙2个，三人各6个 解析：总数量 = 8 + 4 + 6 = 18（个），平均数 = 18 ÷ 3 = 6（个）。甲比平均数多2个（8 - 6），乙比平均数少2个（6 - 4），因此甲给乙2个，三人苹果数均为6个。 跟踪练习3：5名同学的数学成绩分别是90、85、95、80、100分，若将最高分同学的分数拿出一部分分给最低分同学，使两人分数相同，此时两人的分数是多少？ 答案：90分 解析：总分数 = 90 + 85 + 95 + 80 + 100 = 450（分），平均数 = 450 ÷ 5 = 90（分）。最高分100比平均多10分，最低分80比平均少10分，因此100分同学给80分同学10分，两人均为90分。 四、平均数变化问题 例题4：原有4个数的平均数是10，若再增加一个数15，求新的平均数。 答案：11 解析：原总数量 = 10 × 4 = 40，新总数量 = 40 + 15 = 55，新总份数 = 4 + 1 = 5，新平均数 = 55 ÷ 5 = 11。 跟踪练习4：5个数的平均数是20，若将其中一个数改为25后，平均数变为22，求被改的数原来是多少？ 答案：15 解析：原总数量 = 20 × 5 = 100，新总数量 = 22 × 5 = 110，总数量增加10，因此被改的数原来 = 25 - 10 = 15。 五、平均速度问题 例题5：小明从家到学校步行，每小时行4千米，用了3小时；返回时骑自行车，每小时行12千米，用了1小时，求往返的平均速度。 答案：6千米/时 解析：总路程 = 4 × 3 + 12 × 1 = 24（千米），总时间 = 3 + 1 = 4（小时），平均速度 = 24 ÷ 4 = 6（千米/时）。 跟踪练习5：一辆汽车从A地到B地，前2小时每小时行60千米，后3小时每小时行70千米，求全程的平均速度。 答案：66千米/时 解析：总路程 = 2 × 60 + 3 × 70 = 330（千米），总时间 = 2 + 3 = 5（小时），平均速度 = 330 ÷ 5 = 66（千米/时）。 提升练习 1．用1、2、3三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 【答案】222 【分析】平均值问题可以通过位值原理的完全拆分方法解决。先写出所有不同的三位数，有123、132、213、231、321、312共6个，其中其中1、2、3三个数字在百位、十位、个位上分别重复出现了2次，则所有百位数之和为（1＋2＋3）×2×100，十位数之和为（1＋2＋3）×2×10，个位数之和为（1＋2＋3）×2×1，相加即可得到总数，再除以6即可得到平均数。 【详解】组成的不同三位数有123、132、213、231、312、321。 （1＋2＋3）×2×100＋（2＋3＋1）×2×10＋（3＋1＋2）×2×1 ＝6×2×100＋6×2×10＋6×2×1 ＝12×（100＋10＋1） ＝12×111 ＝1332 1332÷6＝222 答：所有这些三位数的平均值是222。 2．李军骑车从甲村到乙村，每小时行24千米，回来时步行每小时行12千米，求往返平均速度？ 【答案】16千米/小时 【分析】设甲村到乙村的总路程为单位“1”。李军骑车从甲村到乙村，每小时行24千米，回来时步行每小时行12千米，因此李军骑车从甲村到乙村的时间为，步行回来的时间为。最后再根据“平均速度＝总路程÷总时间”即可求出他往返的平均速度。 【详解】设甲村到乙村的总路程为单位“1” （千米/小时） 3．有一群医生和教师，他们的平均年龄为40岁，其中医生的平均年龄为35岁，教师的平均年龄为50岁。医生和教师人数的比是多少？ 【答案】2∶1 【分析】本题可以用方程来解决。首先假设医生数为x人，教师人数为y，根据医生和教师的平均年龄为40岁，则医生和教师的总年龄岁数是40（x＋y）；根据其中医生的平均年龄为35岁，教师的平均年龄为50岁，则工人和教师总年龄岁数是35x＋50y，根据总的年龄岁数相等即可列出方程，由此即可求出医生和教师人数的比是多少。 【详解】解：设医生数为x人，教师人数为y人， 由题意得 35x＋50y＝40（x＋y）， 解得5x＝10y， 即x∶y＝10∶5＝2∶1 答：医生和教师人数的比为2∶1。 4．有四个数，每次选其中的三个数求平均数，再加上另外一个数，用这样的方法算了四次，分别得到以下四个数：36、42、50、56，求原来四个数的平均数。 【答案】23 【分析】由题意可知，每次选其中的三个数求平均数，再加上另外一个数，用这样的方法算了四次，分别得到以下四个数:36、42、50、56。我们可以将这四个数相加，然后除以2，得到的结果就是原来四个数的和。然后，我们再将这个结果除以4，就可以得到原来四个数的平均数。 【详解】36＋42＋50＋56＝184 184÷2＝92 92÷4＝23 答：原来四个数的平均数是23。 5．某校有若干名同学参加跳绳比赛，平均每分钟跳63下，其中男同学平均每分钟跳60下，女同学平均每分钟跳70下。已知参加比赛的男同学比女同学多40人，则该校一共有多少名同学参加跳绳比赛？ 【答案】100名 【分析】根据参加比赛的男同学比女同学多40人，可以设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。再根据数量关系式：男生的人数×男生平均每分钟跳的下数＋女生的人数×女生平均每分钟跳的下数＝总人数×平均每分钟跳的下数，列出方程解得出女生的人数，进而得出男生的人数，最后根据男生的人数＋女生的人数＝这个学校的参加跳绳的总人数。 【详解】解：设女同学有x名，男同学有（x＋40）名。 60（x＋40）＋70x＝63（x＋x＋40） 60x＋2400＋70x＝63（2x＋40） 60x＋2400＋70x＝126x＋2520 130x＋2400＝126x＋2520 130x－126x＝2520－2400 4x＝120 x＝120÷4 x＝30 30＋40＝70（名） 70＋30＝100（名） 答：该校一共有100名同学参加跳绳比赛。 6．小明参加了若干次数学测验，其中一次的成绩是7和9构成的两位数。如果是97分，那么他的各次平均分为90分，如果是79分，那么他的各次平均分为87分。求小明参加数学测验的次数。 【答案】6次 【分析】先计算出两种分数下的总分之差和两种分数下的的平均分之差，再用两种分数下的总分之差除以两种分数下的的平均分之差，由此即可求出小明参加的测验次数。 【详解】（97－79）÷（90－87） ＝18÷3 ＝6（次） 答：小明参加数学测验的次数为6次。 7．甲、乙两名工人生产零件，甲每小时生产120个，乙每小时生产90个。已知某天甲生产了5小时，甲、乙平均每人每小时生产100个，请问：乙这天生产了几小时？ 【答案】10小时 【分析】按照甲、乙平均每人每小时生产100个，甲5个小时生产了500个零件，但是甲每小时生产120个，应该生产600个零件，甲就少了100个零件，则乙应该多生产100个零件，和乙平均每小时生产的零件相比，每小时多生产10个零件，则需要10小时完成。 【详解】120×5－100×5 ＝600－500 ＝100（个） 100÷（100－90） ＝100÷10 ＝10（小时） 答：乙这天生产了10小时。 8．一次数学考试的满分是100分，有6位同学在这次考试中的平均分数是90分。这6人得分互不相同，且都是自然数。其中一位同学仅得60分。那么排在第三名的同学至少得多少分？ 【答案】95分 【分析】6位同学在这次考试中的平均分数是90分，这6位同学考试的总分是540分，第一名和第二名的分数尽可能的高，且不相同，为100分、99分。第四名和第五名的分数尽可能的和第三名相近。就是第三名同学分数最少的情况。其中一位同学仅得60分，则剩余的三名同学总分是281分，而且这三名学生的分数尽量接近，三个人分数的平均分大概在93左右，据此得出第三名是95分。 【详解】90×6＝540（分） 540－100－99－60 ＝540－（100＋99＋60） ＝540－259 ＝281（分） 281＝94＋94＋93＝92＋95＋94 答：排在第三名的同学至少95分。 【点睛】要理解至少的意思是第三名的分数在最少的情况下保持6个人的平均数是90分。也就是在和相等的情况下，其他的数字尽可能大的情况，另外的一个数才会尽可能的小。 9．有若干个大于0的自然数．它们的平均数是10，如果去掉最大的一个，余下数的平均数为9：如果去掉最小的一个，余下数的平均数为11，这些数最多有多少个？其中最大的是多少？ 【答案】10个  19 【详解】解：假设有（A+1）个数,那么最大的数就是：10A+10-9A=A+10；最小数就是：10-11A=10-A. 因为10-A>0,所以A最大为9,因此这些数最多有10个,最大为19． 10．几位裁判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分．如果记入最高分，平均成绩为9.04分．已知这位运动员的最高分是9.70分，问：共有几位裁判员？ 【答案】4位 【详解】解：设有x个裁判员 [(x-1)×8.82+9.70]÷x=9.04 8.82x=9.04x-0.88 x=4 答：共有4位裁判员． 11．奶糖和水果糖混合起来，成为什锦糖，平均每千克售价9.13元，已知奶糖有35千克，每千克10.3元，水果糖每千克8.5元，那么有多少千克水果糖？ 【答案】65kg 【详解】35×（10.3-9.13）÷（9.13-8.5） ＝35×1.17÷0.63 ＝40.95÷0.63 ＝65（kg） 答：有65千克水果糖． 12．甲、乙、丙三人共买了9个面包平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了4个面包的钱，丙没有带钱，经计算，丙应付4.5元，甲应收回多少钱？ 【答案】3元 【详解】9÷3=3（个） 4.5÷（2+1） =4.5÷3 =1.5（元）； 甲收回：1.5×（5-3） =1.5×2 =3（元） 答：甲应收回3元． 13．7位同学进行跳绳比赛，平均每人跳148下．由于记录失误，李强的成绩被错记成121下，因此他们的平均成绩变成145下，问：李强实际上跳了多少下？ 【答案】142下 【详解】148×7=1036（下） 145×7=1015(下） 1036-1015=21（下） 21+121=142（下） 答：李强实际上跳了142下． 14．正义路小学共有1000名学生,为支援希望工程,同学们纷纷捐书．有一半男生每人捐了9本书,另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书,另一半女生每人捐了6本书，全校学生共捐了多少本书？ 【答案】7000本 【分析】由“一半男生每人捐了9本书另一半男生每人捐了5本”，可求出男生平均每人捐了（9+5）÷2本；然后由“一半女生每人捐了8本书另一半女生每人捐了6本书”，可求出女生平均每人捐了（8+6）÷2本；由此可知不管男女生的比例是多少，全校1000名学生平均每人捐了7本书，进而求得一共捐书的本数即可．解决此题关键是根据题意，先分别求得男、女生平均每人捐书的本数，进而确定出全校平均每人捐书的本数，问题得解． 【详解】男生平均每人捐了：（9+5）÷2=7（本）， 女生平均每人捐了：（8+6）÷2=7（本）， 说明全校1000名学生平均每人捐了7本书， 则共捐书：1000×7=7000（本）； 答：全校学生共捐了7000本书 15．一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表： 还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．问：共有多少人参加测验？ 【答案】43人 【分析】投中的总球数既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数,也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数． 【详解】解：设有x人参加测验．由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人． 0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）=5+8+6×（x-16）=6x-83 3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，= 3×（x-8）+24+36+10= 3x+46 由此可得方程：6x-83=3x+46， 解得，x=43 答：共有43人参加测验． 16．马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起．有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001．原来这2000个数的平均数是多少？ 【答案】2001 【详解】设2000个数的和是S，平均数为，则 这2001个数的平均数为 17．设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29．在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？ 【答案】23 【详解】设这四个数从大到小依次为a、b、c、d，根据题意有                     ① 　，　　　　　　　　② 用②式减去①式，得 ， 即a-d=18，a=18+d． 因为b、c 分别至少比d大2和1，由①式得 7+2d≤17， d≤5． 由此得a=18+d≤23．所以a的最大值23，且当a、b、c、d依次为23，7，6，5时符合题意． 【点睛】平均数与最值问题，这里的所谓平均数，直接应用为表示3个数的总和．这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路． 另外，对于不等式的求解，建议大家在理解了方程的恒等关系后，一并了解方程的恒不等关系．不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数，或者同时乘相同的正整数或者同时除以相同的正整数，其不等关系不变．（原来是什么符号，不用变号） 如果是乘或者除以一个相同的负数，则符号正好变反．这到初中会常用到． 例如：7+2d≤17， 两边同减7，得：2d≤10， 两边同除以2，得：d≤5． 18．有若干个(非零)自然数，它们的平均数为11．如果去掉一个最大的自然数，那么它们的平均数为10；如果去掉一个最小的自然数，那么它们的平均数为12．请问：这些自然数最多有多少个?此时其中最大的自然数是多少? 【答案】21 【详解】设共有n个数，则n个数的总和为11n； 去掉最大的自然数，剩下数的总和为10×(n-1)；去掉最小的自然数，剩下数的总和为12×(n-1)， 于是有最小的自然数为11n－[12×(n-1)]＝12－n，而非零自然数最小为1，所以n最大为11，此时最大的自然数为11n－[10×(n-1)]＝n+10＝11+10＝21． 即这些自然数最多有11个，此时其中最大的自然数为21． 1 学科网（北京）股份有限公司 $