专题3.5 利用导数研究函数的零点讲义+巩固训练-2026届新高考数学大一轮复习

专题3.5 利用导数研究函数的零点 一、单选题 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南临沧·期中）若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建福州·模拟预测）若为函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．e 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．是单调函数 10．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有3个零点，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的极小值为 B．有两个零点 C．存在使得关于的方程有三个不同的实根 D．的解集为 三、填空题 12．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数在上只有一个零点，则实数k的值为 . 13．（2025·四川达州·二模）已知函数在上存在零点，则实数的最小值为 ． 14．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 16．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围． 17．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线. (1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值； (2)若，讨论函数的零点的个数. 18．（2025·广东汕头·三模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 19．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 利用导数研究函数的零点 一、单选题 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数. 【详解】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C 2．（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可. 【详解】, 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，所以当时，，无零点； 而，，且函数在上单调递增，故有一个零点. 故选：B 3．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】根据函数有且只有一个零点，将其转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，求导判断函数的单调性，求出其最小值，即得参数的值. 【详解】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 4．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围． 【详解】函数的定义域为. 当时，令，在只有一个零点，不合题意； 当时，， 当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意； 当时，令， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 又时，， 若有两个零点，则， 设，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C． 5．（24-25高二下·云南临沧·期中）若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】根据进行同构处理，令，由函数单调，所以，即即，求导分析值域即可. 【详解】由题意得，令，则， 令， 因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增， 所以由，得，即， 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当时，， 所以，解得，即的取值范围为, 故选：A. 6．（2025·福建福州·模拟预测）若为函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数可得在上无零点，当时，由，可得，即，两边取对数可得结论. 【详解】当时，，求导得， 令，可得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在上单调递增，所以， 又，所以在上无零点， 当时，。 令，得，得，即， 因为为函数的零点，则，两边取对数得， 所以. 故选：C. 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．e 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数分别判断出、的单调性，求出零点可得答案. 【详解】令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 又当时，， 而，所以； 由，得， 所以在单调递增， 由，得， 则. 故选：D. 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义将问题转化为直线与函数的图象有3个公共点求解。再借助导数探讨单调性并作出图象，数形结合求出范围. 【详解】由，得，令函数，其定义域为， ，函数为奇函数， 依题意，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 求导得，函数在上单调递减， 曲线在点处的切线方程为，令， 求导得，函数在上单调递减， 当时，；当时，， 即当时，；当时，；当时，， 作出的图象，如图： 观察图象知，当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点， 所以m的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．有两个极值点 C．有三个零点 D．是单调函数 【答案】ABC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析 【分析】根据奇函数定义判断A，利用导数确定函数单调性可得函数极值点判断B，由函数单调性及零点存在定理判断C，根据函数单调性判断D. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数，故A正确； 因为，所以或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以分别为极小值点和极大值点，故B正确； 因为， 根据函数单调性及零点存在定理，可知有三个零点，故C正确； 由B选项中推理可知，在定义域上不是单调函数，故D错误. 故选：ABC 10．（2025·江西·模拟预测）已知函数恰有3个零点，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】若函数恰有3个零点，则方程有3个不同的实数根，令，则函数恰有3个零点.设，求导分析单调性，极值，分析的零点，即可得出答案． 【详解】等价于， 设，所以函数恰有3个零点. 令，则， 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 当时，，当时，，则. 因为函数恰有3个零点，所以有一个负根和一个小于的正根， 所以，解得. 故选：ACD. 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的极小值为 B．有两个零点 C．存在使得关于的方程有三个不同的实根 D．的解集为 【答案】AC 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、根据函数的单调性解不等式 【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用y=f(x)与y=a有三个不同交点，即f(x)=a有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D． 【详解】函数的定义域为，， 由得或；由得，有极大值，极小值，A正确； 由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确； 当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确； 当时，，此时，D不正确． 故选：AC． 三、填空题 12．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数在上只有一个零点，则实数k的值为 . 【答案】/ 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】由题意可得，将问题转化为直线与的图象有1个交点，利用导数确定函数的单调区间及最值，作出图象，利用思想结合的思想求解． 【详解】令，则有，令， 则直线与的图象有1个公共点， 因为， 所以当时，，单调递增； 时，，单调递减，所以. 又当时，，当时，， 故的图象大致如图所示， 所以，即实数k的值为， 故答案为：. 13．（2025·四川达州·二模）已知函数在上存在零点，则实数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由参变量分离法可得，其中，令，其中，则实数的最小值即为函数在上最小值，利用导数求出函数在上最小值即可. 【详解】由可得，其中， 令，其中， 所以，实数的取值范围即为函数在上的值域， 则实数的最小值即为函数在上最小值. 则 ， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因此，实数的最小值为. 故答案为：. 14．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据零点所在的区间求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数分析函数的单调性； （2）根据题意结合（1）中的单调性分析可得，运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知函数在内单调递增； 若，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递减，在内单调递增. （2）因为函数有两个零点， 若，函数在内单调递增，可知函数至多有一个零点，不合题意； 若，函数在内单调递减，在内单调递增， 且当趋近于0或时，函数趋近于， 可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 16．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据直线的点斜式方程求解切线即可. （2）求出导函数，按照、和分类讨论研究函数的单调性，根据在区间上有零点列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以切线的斜率为．又， 所以切线方程为，即． （2），则， ①当时，， 所以在区间上恒成立，在区间上单调递增． 所以在区间上恒成立，即在区间上无零点． ②当时，令， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即． （ⅰ）时，，在区间上单调递增， 即在区间上恒成立，所以在区间上无零点． （ⅱ）当时，，又， 所以存在，使得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 即当时，取得最小值，因为，所以． 因为，所以当时，， 此时，在区间上恒成立，在区间上无零点． 当时，，故存在，使得， 所以实数的取值范围是． 17．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线. (1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值； (2)若，讨论函数的零点的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出点到直线的距离，根据导数即可求解； （2）若，证明函数的零点的个数与的零点个数相同，求出，令，证明在单调递增，在上单调递减，据此即可求解. 【详解】（1）点到直线的距离为， 令，令， 令得， 当时为极大值， 当时，， 当时，， ，所以， 所以对应最小距离为； （2）若， 定义域为，令可得， 则函数的零点的个数与的零点个数相同， ， 再令， 则，所以在单调递减， 又因为，在单调递增，在上单调递减， 则，， 当，所以当时恒成立，无零点， 当时，有1个零点， 当时，在和分别有1个零点， 即有2个零点，当时， 在有1个零点，在上， 恒成立，即只有1个零点； 综上所述，当时， 无零点，当或时，有1个零点，当时， 有2个零点. 18．（2025·广东汕头·三模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在单调递增； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；（2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，，所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 19．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解； （2）①由（1），利用导数研究函数的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合，利用导数研究函数的单调性可得当时，当时，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 又曲线在处的切线方程为， 所以，解得； （2）①：由（1）知，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，当时，， 所以函数在上存在唯一，使得， 即函数在上存在唯一零点. ②：由①知，切线的斜率为，又， 所以， 令，得， 设，则， 令或，或， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 当时，，即，由①知，故不符合题意； 当时，由，得 ， 即，符合题意， 故实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题3.5利用导数研究函数的零点 题型归纳 题型1判断函数的零点个数… 2 考点1利用单调性和零点存在定理确定零点个数… …2 考点2数形结合确定零点个数， …4 题型2己知函数零点个数求参数的取值范围… 6 题型3构造函数法研究函数的零点… …8 知识梳理 一.确定函数零点个数的方法： (I)数形结合法：构建函数g(x(要求g(x)易求，g(x)=0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导 数研究该函数的单调性、极值（最值），并确定定义域区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出g()的图象， 数形结合求解函数零点的个数. (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、 极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数 函数零点问题的“卡点”的方法有 1.直接取点：方便计算、与参数有关、便于判断正负. 2.将次要部分放缩为常数， 3.“高阶”压制“低阶”. 4.当x趋于+oo时，常见函数（部分举例）趋于正无穷的速度由快到慢依次为e2,e,x2,x,x2,lnx 5.当x趋于0+时，常见函数（部分举例）趋于负无穷的速度由快到慢依次为寺，袁，京，云，nx 6当x趋于0时，常见函数（部分举例趋于零的速度由快到慢依次为e一，京京，在 题型归纳 1 题型1判断函数的零点个数 考点1利用单调性和零点存在定理确定零点个数 1.(2023?陕西商洛？一模)已知函数f(x)=e*-4sinx,其中e为自然对数的底数 (1)求曲线y=∫x)在x=0处的切线方程； (2)证明：fx)在[0，+0)上有两个零点 2.(2025重庆三模)已知函数f(x=(x-1)e-ax+b,函数y=fx在点(0，f(0)处的切线方程为 x+y+2=0 (1)求a,b的值； (2)讨论f(x)的零点个数 3.(2025江西模拟预测)己知函数fx)=lnx-axe+x+1. 2 (1)若存在t∈2，+o,使得f(x)的图象在x=t处的切线过原点，求a的取值范围： Q若a=占，判新(y的零点个数 4,(2025内蒙古呼和浩特模拟预测)己知函数f(x)=cosx+mx+ （2 sinx,其中m≤1. (1)证明：曲线y=∫(x是中心对称图形； (2)讨论函数f(x)在(-元，0)内零点的个数： 考点2数形结合确定零点个数 5.(2025内蒙古赤峰模拟预测)已知函数f(x)=(x+1)e. (1)求∫(x的单调区间及最小值： (2)令g(x=fx)-a,求g(x的零点个数. 6.已知函数fx=ax-lnx-2. (1)当a=1时，求函数f(x的极值； (2)讨论函数f(x)的零点个数， 7.(2025高三全国专练习)已知函数f=x-小e. (I)讨论f(x)的极值点个数： (2)探究x)的零点个数 8.已知函数f(x)=nx+ er (I)求函数f(x)的最值； (2)讨论函数gx=aer-lnx-1的零点个数， 题型2己知函数零点个数求参数的取值范围 9.(2025黑龙江佳木斯·三模)已知f(x=x2-2x-2lnx+1, 5 (1)求∫(x的单调递增区间： (2)若函数F(x=f(x-x2+3x+2a [号2上有两个零点，求实数a的取值右闱(h2=06网 1Q(2025重庆九龙坡三模)已知函数f八x=-alnx)产+a+1x,aeR (1)当a=2时，求函数f(x的极值； ②设g到=f八到+（口-血x+产有两个不同的零点，，求a的取值范围 11.(2025福建漳州模拟预测)己知函数fx=2e-ax(aeR). 6 (1)当a≥0时，证明：f(a≥2a+2; (②)若f(x)存在两个零点，求a的取值范围， 12.(2025福建漳州模拟预测)已知函数fx)=sinx-ae. (1)若a=1,求fx在0，+0)上的最大值； (2)若f(x在[0,2元上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 题型3构造函数法研究函数的零点 l3.己知函数f(x)=ax2+x-1e,其中e是自然对数的底数，aeR. (1)若a<0,求∫(x的单调区间： 1 若，函数的图象与函数g+)+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取1 围 14.(24-25高三上？黑龙江？阶段练习)已知函数fx=1o8, ra (I)当a=e时，设F(x=x-f(x,求F(x在x=1处的切线方程； (2)当a=2时，求f(x)的单调区间； (③若曲线了=f八与直线y=子有且仅有两个交点，求a的取值范围 15.(2025河北沧州模拟预测)己知函数f(x)=x2-mlnx ()讨论函数∫(x)的单调性： P (2)若函数f(x没有零点，求实数m的取值范围； (3)若函数g(x)=(m-2)x,满足f(x)=g(x)有两个不同的实数根，求正整数的最小值. 16.(2025山西，三模)已知函数f)=xl血r-5ar2-x-2aeR有两个极值点X,5< (I)求实数a的取值范围； 2)若点≤e2,求，的最大值 ■高考真题演练 1.(2023·全国乙卷·高考真题)函数f(x=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是() 0 A.-0,-2) B.（-0,-3 C.（-4,-1 D.（-3,0 2.(2025·天津·高考真题)己知函数f(x)=ax-(Inx) (1)a=1时，求f(x)在点(L,f(I)处的切线方程： (2)f(x)有3个零点，x,x2,3且x1<x2<x.求a的取值范围； 3.(2022全国乙卷高考真题)已知函数f(x)=ax-1-(a+1)nx. (1)当a=0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 4.(2022全国乙卷·高考真题)已知函数f(x)=n(1+x)+axex (I)当a=1时，求曲线y=f(x在点(0，f(0)处的切线方程； 10 专题3.5利用导数研究函数的零点 题型1 判断函数的零点个数 2 考点1 利用单调性和零点存在定理确定零点个数 2 考点2 数形结合确定零点个数 6 题型2 已知函数零点个数求参数的取值范围 12 题型3 构造函数法研究函数的零点 17 一．确定函数零点个数的方法: (1)数形结合法:构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值(最值),并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象,数形结合求解函数零点的个数. (2)利用函数零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数. 函数零点问题的“卡点”的方法有: 1.直接取点:方便计算、与参数有关、便于判断正负. 2.将次要部分放缩为常数. 3.“高阶”压制“低阶”. 4.当x趋于+∞时,常见函数(部分举例)趋于正无穷的速度由快到慢依次为e2x,ex,x2,x,,ln x. 5.当x趋于0+时,常见函数(部分举例)趋于负无穷的速度由快到慢依次为-,-,-,-,ln x. 6.当x趋于-∞时,常见函数(部分举例)趋于零的速度由快到慢依次为e2x,ex,,-,-. 题型1 判断函数的零点个数 考点1 利用单调性和零点存在定理确定零点个数 1．（2023�陕西商洛�一模）已知函数，其中e为自然对数的底数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：在上有两个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程； （2）构造研究的单调性并确定其零点所在区间，进而判断的单调性，结合零点存在性定理即可证结论. 【详解】（1）因为，所以，则，， 故所求切线方程为，即. （2）设，则. 显然当时，，当时，， 所以在上单调递增，又，， 所以存在唯一，使. 则当时，，当时，. 故在上单调递减，在上单调递增. 因为，，， 所以在上有两个零点. 2．（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)， (2)2 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导得到表达式，由求出，再利用求出b. （2）根据第（1）问得到和，令，对求导判断的单调性，依据正负，判断的单调性，得出最小是，算出小于0，再根据零点存在性定理即可判断零点个数. 【详解】（1）求导得到， 根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. 又，解得. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共2个零点. 3．（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围； (2)若，判断的零点个数. 【答案】(1) (2)两个零点. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义得到，再构造，利用导数求解其值域，最后得到取值范围即可. （2）利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解零点个数即可. 【详解】（1）由题意得定义域为， 因为，所以， 若存在，使得的图象在处的切线过原点， 则切线斜率，得到， 整理得，设，则， 所以在区间上单调递增，， 又，时，，故的取值范围是. （2）当时，， 则， 设，则在区间上单调递减， 且，，得到， 所以由零点存在性定理得存在，使得，即， 则，得到， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 得到， 又时，，时，，故有两个零点. 4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，其中． (1)证明：曲线是中心对称图形； (2)讨论函数在内零点的个数； (3)若存在，当时，总有成立，求符合条件的m的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)在内有且仅有一个零点 【知识点】判断或证明函数的对称性、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先证明为奇函数，关于点中心对称，可得是关于点中心对称． （2）讨论，两种情况，分别利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理可得两种情况在内都只有一个零点； 【详解】（1）因为， 所以． 因为是奇函数，其图象关于原点对称， 所以关于点中心对称， 所以是关于点中心对称． （2）据题意， 当时，，故函数在上单调递增，且， 故存在唯一的零点． 当时，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 由，，， 可知，存在唯一的，使得， 存在唯一的，使得． 因此，函数在和单调递减，在单调递增． 由，，，可知函数有唯一零点． 综上，函数在内有且仅有一个零点． 考点2 数形结合确定零点个数 5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间及最小值； (2)令，求的零点个数． 【答案】(1)单调区间见解析； (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）将函数求导，利用导函数的符号判断函数单调性，求得函数最小值； （2）根据函数与方程的思想，将函数的零点问题转化成直线与函数的图象的交点问题，借助于函数的图象分类讨论即可. 【详解】（1）由求导得：， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，； （2）由可得， 则的零点个数即函数与直线图象的交点个数. 由（1）已得在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 又时，，当时，， 作出函数的图象. 由图知，当时，直线与函数的图象没有交点，此时函数无零点； 当时，直线与函数的图象有2个交点，此时函数有2个零点； 当或时，直线与函数的图象有1个交点，此时函数有1个零点. 6．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)极小值，无极大值. (2)当时，函数没有零点； 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据题意得出，然后分别令以及，通过计算即可得出函数的单调性，进而求出结果； （2）可将转化为，记，求出函数的单调性以及最值，最后根据函数的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果. 【详解】（1）当时，，， 令，则；令，则； 故函数的单调递增区间是，单调递减区间为； 当时，函数取极小值，无极大值. （2）令，因为，所以， 记，有， 令，则；令，则， 故在上单调递增，在上单调递减，从而， 因此当时，直线与的图像没有交点； 当或时，直线与的图像有1个交点； 当时，直线与的图像有2个交点. 综上：当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）对a分类讨论，判断的正负，得的单调性和极值点个数； （2）令，分离参数，将的零点个数问题转化为直线与曲线的交点个数问题． 【详解】（1）定义域为，， ①当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点． ②当时，令，得或， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点； （ⅱ）当时，，，所以在上单调递增，无极值点； （ⅲ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，有2个极值点． 综上，当时，有1个极值点；当时，无极值点；当或时，有2个极值点． （2）由题知，． 当时，由，得， 则的零点个数即直线与曲线的交点个数． 令， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，当，且时，，当时，， 又时，，且当时，，当时，． 所以的大致图象如图所示． 由图象可知，当时，与曲线有2个交点；当时，与曲线有1个交点． 所以，当时，有2个零点；当时，有1个零点． 8．已知函数. (1)求函数的最值； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)最大值，无最小值 (2)当时，函数没有零点，当或时，函数只有1个零点，当时，函数有两个零点. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导函数，令，得到函数的函数值符号区间即可得到的单调区间，从而求解最值； （2）把函数零点问题转化为方程解的个数问题，构造函数，求导得单调区间，数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数，，得， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，且， 所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即当时，取得最大值，无最小值； （2）函数的零点个数就是方程的解的个数， 整理得，令，，由（1）可知，在上单调递增， 在上单调递减，当时，取得最大值， 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，恒大于0且趋近于0， 作出函数图象如图：    由图知，当时，函数没有零点， 当或时，函数只有1个零点， 当时，函数有两个零点. 题型2 已知函数零点个数求参数的取值范围 9．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知， (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，由求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，得， 的单调递增区间是. （2）由已知得， 则， ，则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ， 若在上有两个零点，则， ，即， 即实数的取值范围为. 10．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数. (1)当时，求函数的极值; (2)设有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为的极大值为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可求的极值； （2）求出的方程，由可得，转化为函数图象有两个不同的交点即可. 【详解】（1）当时，， ， 由得：，由得：或， 当时，单调递增，当和时，单调递减， 的极小值为的极大值为． （2）， 令，则， 记，则， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减， 且， 又当时恒成立， 要使有两个零点，则与图象有两个交点， ，解得：． 11．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】(1)利用导数分析时，的单调性，并求得时，的最小值，即可证明不等式. (2)将存在两个零点问题转化为关于的方程有两个不同的解的问题，再转化为函数的图象与常数函数的图象有两个不同的交点问题，分析新函数的单调性及最值情况，可求得的取值范围. 【详解】（1）依题意得，要证，只需证， 令，所以. 设， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以当时,，即，所以在区间上单调递增， 故当时,. 故当时，，即. （2），. 若，则，所以在上单调递增，所以至多有1个零点，舍去； 若，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为 ，所以当时，;当时，; 由存在两个零点，得，即，所以,所以. 综上所述，的取值范围是. 解法二： 因为，所以不是的零点. 所以存在两个零点等价于关于的方程有两个不同的解， 即函数的图象与常数函数的图象有两个不同的交点. 因为， 当或时，；当时，. 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 当时，；当时，. 当时，因为在区间上单调递减， 此时与至多一个交点，舍去； 当时，要使得与有两个交点，需满足， 在的条件下， 因为及，且在区间上单调递减， 所以与在区间上恰1个交点； 由(1)知，， 又因为，且在区间上单调递增， 所以与在区间上恰1个交点. 综上所述，若在定义域内存在两个零点，则的取值范围是. 12．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数. (1)若，求在上的最大值； (2)若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-1 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由函数解析式，求导，根据指数函数单调性以及三角函数的性质，可得函数的单调性，可得答案； （2）利用分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，求得给定区间上的最值，根据方程与函数的关系，可得答案. 【详解】（1）若，则， 因为当时，，仅当时，“＝”成立， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为. （2），令，则， 当时，由，即，得或. 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增； ，，，， 因为在上恰有两个零点， 所以直线与曲线（）恰有两个交点， 所以实数a的取值范围为. 题型3 构造函数法研究函数的零点 13．已知函数，其中是自然对数的底数，． (1)若，求的单调区间； (2)若，函数的图象与函数的图象有个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由可得出，构造函数，可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，因为，该函数的定义域为， ， 由可得或. ①当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； ②当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数的减区间为，无增区间； ③当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； 当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为. （2）解：当时，， 由可得，可得， 令，则， 由可得或，由可得. 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为， 因为函数、的图象有三个交点， 所以，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 14．（24-25高三上�黑龙江�阶段练习）已知函数. (1)当时，设，求在处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）当时，求出函数的解析式，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求导后，根据的正负可得单调区间； （3）将问题转化为方程有且仅有两个不等实根，构造函数，结合导数知识可作出的图象，进而得到，结合单调性可得结果. 【详解】（1）解：当时，，其中，， 则，所以，，， 所以，在处的切线方程为. （2）解：当时，，该函数的定义域为， 且，由，可得，解得； 由，可得，解得. 所以，当时，函数的增区间为，减区间为. （3）解：由题意知：且， 与有且仅有两个交点， 方程有且仅有两个不等实根，即方程有且仅有两个不等实根， 即方程有且仅有两个不等实根， 令，则定义域为，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，当时，；当时，； 可得大致图象如下图所示， 令，则， 有且仅有两个不同实数根的充要条件为， 即，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题根据曲线与直线交点个数求解参数范围的关键是能够首先将问题转化为方程根的个数问题，进而采用同构的逻辑，通过构造函数的方式进一步将问题转化为同一函数不同函数值大小关系的比较问题. 15．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数没有零点，求实数的取值范围； (3)若函数，满足有两个不同的实数根，求正整数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，直接判断函数单调性； （2）根据函数单调性及零点存在定理可得参数范围； （3）构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合零点存在定理可得解. 【详解】（1）由， 则， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可得，当时，函数在上单调递增， 当时，，当时，，所以函数一定有零点； 当时，函数，函数在上没有零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以要使得没有零点，则的最小值， 计算可得， 综上，实数的取值范围为； （3）设， 则， 若，则，所以函数在上单调递减， 若，则，所以函数在上单调递增， 并且当时，；当时，， 所以要使得函数有两个零点， 则的最小值，即， 因为，所以， 令，显然在上为增函数，且，， 所以满足条件的最小正整数. 又当时，，， 所以时，有两个不同的实数根， 综上所述，正整数的最小值为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 16．（2025·山西·三模）已知函数有两个极值点，. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据函数极值点与导函数零点的关系可知，函数导数由两个零点，则对函数求导，写出关于参数的不等式；构造新的函数，求出函数单调性和极值点，判断参数范围. （2）设出函数的两个零点，判断零点所在区间，带入函数中，得函数零点的方程，根据对数运算方法，构造出的函数，求出构造函数的单调性和最值，求得答案. 【详解】（1），， 由题知有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根.     令，则， 因为，所以当，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在处取得极大值， 且，当时，， 当有两个不等的实数根时，必须且只需， 即的取值范围是. （2）由（1）知的两个根分别是，，且， 令，则，由，可得， 所以，. 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，则. 所以，即在区间上单调递增， 即， 所以，即， 所以的最大值为. 1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 2．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且.求a的取值范围； 【答案】(1) (2)； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围； 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； 3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （2），则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可 （2）求导,对分类讨论,对分两部分研究 【详解】（1）的定义域为 当时,,所以切点为,所以切线斜率为2 所以曲线在点处的切线方程为 （2） 设 若,当,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若,当,则 所以在上单调递增所以,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 若 (1)当,则,所以在上单调递增 所以存在,使得,即 当单调递减 当单调递增 所以 当, 令则 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又，， 所以在上有唯一零点 又没有零点,即在上有唯一零点 (2)当 设 所以在单调递增 所以存在,使得 当单调递减 当单调递增, 又 所以存在,使得,即 当单调递增,当单调递减， 当，， 又， 而,所以当 所以在上有唯一零点,上无零点 即在上有唯一零点 所以,符合题意 所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为 【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明. 5．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）详见解析；(2). 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】（1），对分和两种情况讨论即可； （2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可. 【详解】（1）由题，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 令，得或，所以在上单调递减，在 ，上单调递增. （2）由（1）知，有三个零点，则，且 即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 6．（2020·全国I卷·高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间； （2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果. 7．（2019·全国I卷·高考真题）已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知：定义域为：且 令， ， 在上单调递减，在上单调递减 在上单调递减 又， ，使得 当时，；时， 即在上单调递增；在上单调递减 则为唯一的极大值点 即：在区间上存在唯一的极大值点. （2）由（1）知：， ①当时，由（1）可知在上单调递增     在上单调递减 又 为在上的唯一零点 ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又     在上单调递增，此时，不存在零点 又 ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，此时不存在零点 ③当时，单调递减，单调递减 在上单调递减 又， 即，又在上单调递减 在上存在唯一零点 ④当时，， 即在上不存在零点 综上所述：有且仅有个零点 【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 8．（2019·全国I卷·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围. 【详解】（1） 令，则 当时，令，解得： 当时，；当时， 在上单调递增；在上单调递减 又，， 即当时，，此时无零点，即无零点     ，使得 又在上单调递减    为，即在上的唯一零点 综上所述：在区间存在唯一零点 （2）若时，，即恒成立 令 则， 由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减 且，， ， ①当时，，即在上恒成立 在上单调递增 ，即，此时恒成立 ②当时，，， ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，即恒成立 ③当时，， ，使得 在上单调递减，在上单调递增 时，，可知不恒成立 ④当时， 在上单调递减     可知不恒成立 综上所述： 【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $