14.3.2角的平分线（第2课时 角的平分线判定） 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线的判定定理，通过复习角平分线性质及直角三角形全等知识，以“反过来”的问题引导探究，构建“性质-判定-应用”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以逻辑推理（定理证明）培养推理意识，对比性质与判定并表格归纳体现数学语言严谨性，结合图形练习发展几何直观。助力学生构建知识体系，教师教学更系统高效。

14.3.2角平分线的判定 人教版八年级上册 本节课的教学内容主要是探索并证明角平分线的判定定理，会用角平分线的判定定理解决问题．本节课是在已经学习了证明直角三角形全等和角平分线的性质基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段及角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律． 教学目标 1.理解角平分线的判定定理. 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO=90°. ∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ ┐ 复习回顾 FU XI HUI GU 角的平分线的判定 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用： 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 　 (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等； 判定定理反映只要是到角两边距离 相等的点，都应在角的 平分线上． 角的平分线的性质与判定定理有何关系？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 归纳总结 三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部， 这个交点叫做三角形的内心，通常用字母I表示. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 ┐ A A B B C C A B C 画出三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？ 巩固练习 1.如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B，C.若PB=PC，∠MAN=46°，则∠APC的度数为( ) A.23° B.44° C.46° D.67° D 巩固练习 2.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB=40°，则∠ACP的度数是( ) A.40° B.60° C.80° D.100° C 巩固练习 3.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，若DE=DC，则∠ADE的度数为 . 75° 巩固练习 4.如图，M，N分别是边OA，OB上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是( ) A.PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN B.PM=PN，OM=ON C.OM=ON，∠OPM=∠OPN D.PM⊥OA，PN⊥OB，OM=ON C 巩固练习 5.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则①△ABE≌△ACF；②△BOF≌△COE；③点O在∠BAC的角平分线上，其中正确的结论是( ) A.3 个 B.2个 C.1个 D.0个 A 探究 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，到角两边距离相等的点一 定在角的平分线上吗？ 如图， 若PD=PE, Rt△OPD和Rt△OPE全等吗？依据是什么？ A B O D E P OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE ∴∠AOC =∠BOC ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 判定依据：HL ∵ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 结论 三角形三条角平分线的关系 例（教材P51）　如图14.3-6，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P．求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等； （2）△ABC的三条角平分线交于一点． 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P 到三边AB，BC，CA的距离相等 . (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . 2.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　 　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C O B A D C 随堂练习 ∠ABD=∠CED， ∠ADB=∠CDE， AB=CE， 证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠ABD=∠CED=90°. ∴∠A=∠C. 在△ABD和△CED中 3.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE. 随堂练习 证明：∴△ABD≌△CED(AAS). ∴DB=DE. 又AB⊥CD，CE⊥AD， ∴点D在∠BFE的平分线上， 即FD平分∠BFE. 3.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF. 求证：FD平分∠BFE. 随堂练习 证明：(1)过点P作PK⊥AB于点K，PI⊥BC于点I，PH⊥AC于点H. ∵CP平分∠BCE， ∴PH=PI. 4.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. K I H 随堂练习 证明：(1)同理，PI=PK. ∴PH=PI=PK. 即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 4.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. K I H 随堂练习 证明：(2) 由(1)知，PH=PK，PH⊥AC，PK⊥AB， 且点P在∠A的内部， ∴点P在∠A的平分线上. 4.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. K I H 随堂练习 利用三角形的内角平分线的性质求值 例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 新课讲解 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 新课讲解 方法点拨 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 新课讲解 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 归纳总结 新课讲解 7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 EF，EF 与 AD 相交于点 G. AD 与 EF 垂直吗？证明你的结论 . 拓广探索 【教材P53习题14.3 第7题】 课堂练习 解：AD⊥EF. 证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD =∠FAD. 又 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF，∠DEA =∠DFA = 90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中， AD = AD， DE = DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.∴AE = AF. 课堂练习 在△AEG 和△AFG 中， AE = AF， ∠EAG = ∠FAG， AG = AG， ∴△AEG≌△AFG（SAS）. ∴∠AGE =∠AGF. ∵∠AGE +∠AGF = 180°， ∴∠AGE =∠AGF = 90°，∴AD⊥EF. 课堂练习 8. 如图，∠B =∠C = 90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC. 求证：AE 平分∠DAB.（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.） 【教材P53习题14.3 第8题】 课堂练习 证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F. ∵DE 平分∠ADC，EF⊥AD，∠C=90°， ∴EF = CE. ∵E 是 BC 的中点， ∴CE = BE， ∴EF = BE. 又 EF⊥AD，∠B = 90°， ∴AE 平分∠DAB. 课堂练习 $