第2章 专题强化3 等分法的应用 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题(Word教参)-【步步高】2024-2025学年高一物理必修第三册学习笔记（鲁科版）

本讲义聚焦电场强度公式辨析、等分法确定等势面与电场线、电场线及等势面下带电粒子运动轨迹分析三大核心知识点，以公式比较为基础，递进至方法原理总结，结合例题构建从基础应用到综合问题的学习支架。 该资料特色在于系统整合公式适用条件与等分法原理，通过例2（平行四边形中用U_AB=U_DC推导D点电势）培养科学推理能力，例4结合轨迹弯曲方向分析粒子受力及能量变化强化物理观念。课中辅助教师分层教学，课后专题练习助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题强化3　等分法的应用　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 [学习目标]　1.进一步熟悉电场强度的三个表达式及适用条件，并在具体问题中正确选用公式解决有关问题。2.学会利用等分法确定等势面和电场线(重难点)。3.学会根据电场线或等势面确定带电粒子的受力情况，从而判断其运动轨迹进而判断带电粒子的能量变化(重点)。 一、电场强度的三个表达式 电场强度的三个表达式的比较： 1．E＝。定义式，适用于一切电场，其中q为试探电荷的电荷量，E与q无关。 2．E＝k。点电荷场强公式，仅适用于真空中静止点电荷，其中Q为场源电荷的电荷量，E与Q成正比。 3．E＝。匀强电场场强与电势差的关系式，适用于匀强电场的定量计算，也可用于非匀强电场的定性分析，其中d为沿电场方向的距离。 例1　如图所示为一个水平的匀强电场，在电场内某水平面上作一个半径为10 cm的圆，在圆周上取如图所示的A、B、C三点，已知A、B两点间电势差为1 350 V，(k＝9.0×109 N·m2/C2) (1)求匀强电场的场强大小； (2)若在圆心O处放置电荷量为10－8 C的正点电荷，求C点电场强度的大小和方向。(结果保留三位有效数字) 答案　(1)9 000 V/m (2)1.27×104 N/C　方向与水平方向成45°斜向右上 解析　(1)由题图知A、B两点沿匀强电场方向的距离 d＝r＋r·cos 60°＝0.15 m， 所以匀强电场的场强大小为E＝＝9 000 V/m。 (2)设正点电荷在C处产生的电场强度大小为E1，则 E1＝＝9×103 N/C，方向由O指向C。 C处另有匀强电场，场强大小E＝9×103 N/C，方向水平向右，与E1垂直，根据场强叠加原理，C处合电场的场强大小为E′＝≈1.27×104 N/C，方向与水平方向成45°斜向右上。 二、等分法确定等势面和电场线 1．“等分法”及其应用原理 在匀强电场中，沿任意一个方向电势降低均是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间的电势差相等，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作“等分法”。由此可知，在匀强电场中，长度相等且相互平行的线段两端点间的电势差相等。 结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。 结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且＝，则UAB＝UCD，如图乙所示。 2．确定电场方向的方法 先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。 例2　(2023·福州市高二月考)如图所示，在匀强电场中有一平行四边形ABCD，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝12 V，φB＝8 V，φC＝2 V，则D点的电势为(　　) A．8 V B．6 V C．4 V D．1 V 答案　B 解析　由于在匀强电场中，所以UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，可得φD＝6 V，故选B。 例3　(2023·三明市高二期中)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　) A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为0 C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从c点运动到b点，电场力做功为9 eV 答案　A 解析　因为是匀强电场，ac与Ob平行，故a、c间电势差与O、b间电势差相等，即φc－φa＝φb－φO，可得原点O的电势为1 V，故B错误；b、O间的电势差为16 V，故坐标x＝4.5 cm的点的电势为φO＋×4.5＝10 V，连接该坐标点与a点，该连线即为一条等势线，作Od垂直于该等势线，由几何知识可以得到Od＝3.6 cm，电场强度的大小为E＝＝ V/ cm＝2.5 V/cm，故A正确；电子在a点的电势能Epa＝－eφa＝－10 eV，在b点的电势能Epb＝－eφb＝－17 eV，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故C错误；根据电场力做功公式Wcb＝－eUcb＝－e(φc－φb)＝－9 eV，故D错误。 三、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 例4　(2024·玉林市博白县中学月考)如图，实线表示电场线，虚线表示带电粒子只受电场力作用下的运动轨迹，则(　　) A．若粒子是从N点运动到M点，则其带负电荷 B．粒子在M点的加速度大于在N点的加速度 C．粒子在M点的速度小于在N点的速度 D．粒子在M点的电势能小于在N点的电势能 答案　C 解析　根据曲线运动的特点：合外力总是指向轨迹弯曲的一侧，则带电粒子所受电场力方向与场强方向相同，则带电粒子带正电，A错误；根据电场线的疏密程度表示场强的大小，则M点场强小于N点，则粒子在M点的加速度小于在N点的加速度，B错误；若粒子是从N点运动到M点，电场力做负功，带电粒子的动能减小，电势能增大，若粒子是从M点运动到N点，电场力做正功，动能增大，电势能减小，所以粒子在M点的速度小于在N点的速度，在M点的电势能大于在N点的电势能，C正确，D错误。 例5　(多选)(2023·天津实验中学高二上期中)如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　) A．三个等势面中，a的电势最高 B．质点通过P点时电势能大于通过Q点时的电势能 C．质点通过P点时动能大于通过Q点时的动能 D．质点通过P点时加速度大于通过Q点时的加速度 答案　BD 解析　质点所受静电力指向运动轨迹凹侧，且沿电场线切线方向，由于质点带正电，电场线与等势面垂直，故该区域的电场线由c指向a，由沿电场线方向电势降低可知，c等势面的电势最高，a等势面的电势最低，A错误；若质点从P运动到Q，根据质点受力情况可知，运动过程中静电力做正功，电势能减小，故通过P点的电势能大于Q点的电势能，若质点从Q运动到P，静电力做负功，在P点的电势能大于在Q点的电势能，B正确；若从P运动到Q，静电力做正功，电势能减小，动能增大，若从Q运动到P，静电力做负功，电势能增大，动能减小，故通过P点的动能小于Q点的动能，C错误；等差等势线越密的地方电场强度越大，故P点电场强度大，质点在P点所受静电力大，根据牛顿第二定律可知，质点通过P点时的加速度大于通过Q点时的加速度，D正确。 分析电场线(等势面)与粒子运动轨迹综合问题的一般思路： (1)根据运动轨迹偏转方向，结合电场线或等势面(电场线总是与等势面垂直，已知等势面时要画出电场线)判断粒子的受力方向，然后进一步判断粒子所带电荷正负、电场强度方向； (2)根据静电力方向与速度方向的关系判断动能、电势能的变化情况。 专题强化练 (分值：100分) 1～8题每题7分，共56分 考点一　电场强度的三个表达式 1．(2023·新乡市高二上月考)关于场强的三个公式①E＝，②E＝k，③E＝的适用范围，下列说法正确的是(　　) A．三个公式都只能在真空中适用 B．公式③只能在真空中适用，公式①和②在真空中和介质中都适用 C．公式①和③只能在真空中适用，公式②在真空中和介质中都适用 D．公式①适用于任何电场，公式②中适用于真空中点电荷形成的电场，公式③只适用于匀强电场 答案　D 解析　公式①是电场强度的定义式，适用于任何电场；公式②只适用于真空中点电荷形成的电场；公式③只适用于匀强电场；公式①和③在真空中和介质中都适用，D正确。 2．对公式E＝和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是(　　) A．公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差 B．由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点间的电势差越大 C．由E＝知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小 D．公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离 答案　D 解析　公式UAB＝Ed只适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差，故A错误；由UAB＝Ed知，当E一定时，A点和B点间沿电场线方向距离越大，则这两点间的电势差越大，故B错误；匀强电场场强处处相同，与距离无关，故C错误；公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离，即沿电场线方向的距离，故D正确。 考点二　等分法确定等势面和电场线 3．(多选)(2024·广州市第六十五中学月考)A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，图形中能正确表示电场强度方向的是(　　) 答案　BC 解析　AC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，A项错误；A、C中点G的电势为φG＝＝ V＝4 V，将AB两点连线的线段三等分，题图B中H点的电势为4 V，因此H点与G点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与GH线垂直的直线即为电场线，B项正确；由题意，A、B、C三点的电势φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，将AB两点连线的线段三等分，题图C中F的电势为3 V，因此F点和C点的连线为等势线，根据电场线与等势线垂直，且指向低电势处，可知与CF线垂直的直线即为电场线，C项正确；BC连线不是等势线，其垂线就不是电场线，D项错误。 4.(2023·宿州市高二期中)匀强电场中的三点A、B、C是一个直角三角形的三个顶点，AB的长度为2 m，D点为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为10 V、6 V、2 V。设电场强度的大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点，电场力做功为W，则(　　) A．W＝6×10－6 J　E>2 V/m B．W＝－6×10－6 J　E>6 V/m C．W＝6×10－6 J　E≤2 V/m D．W＝－6×10－6 J　E≤6 V/m 答案　A 解析　由于D为AB的中点，则D点的电势φD＝＝8 V，电荷从D点移到C点电场力所做的功为W＝qUDC＝q(φD－φC)＝1×10－6×(8－2) J＝6×10－6 J，AB的长度为2 m，由于电场强度的方向并不是沿着AB方向，所以AB两点沿电场方向的距离d<2 m，匀强电场中两点电势差与两点沿电场方向的距离成正比，即U＝Ed，所以E＝>2 V/m，故选A。 5．(2023·福建省长汀县第一中学月考)如图所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们恰好位于以O点为圆心的圆弧上(ab和cd是该圆的两条直径)，已知电场方向平行于圆弧所在的平面，圆半径为2 m，a点电势为4 V，c点电势为2 V，O点电势为6 V，下列说法正确的是(　　) A．b点电势为6 V B．d点电势为10 V C．电场强度大小为1 V/m D．电场方向垂直cd向下 答案　B 解析　在匀强电场中，沿着同一方向或平行线方向每前进相同的距离，电势变化相等，由题意，所以φa－φO＝φO－φb，φc－φO＝φO－φd，解得φb＝8 V，φd＝10 V，A错误，B正确； 设e为Od中点，则φe＝8 V，连接be，则be为等势线，如图，由几何关系可知，be与Od垂直，所以电场沿dc方向(由d指向c)，场强大小E＝＝＝2 V/m，C、D错误。 考点三　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 6．如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力作用，运动过程中电势能减小，它运动到b处时的运动方向与受力方向可能的是(　　) 答案　C 解析　粒子所受的电场力大致指向轨迹凹侧，则粒子所受电场力的方向向右，因不知电场线的方向，不能判断粒子的电性；由于运动过程中粒子的电势能减小，所以电场力做正功，电场力与速度方向成锐角，故选C。 7.(多选)(2023·厦门市大同中学月考)某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是(　　) A．粒子必定带正电荷 B．粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度 C．M点的电势小于N点的电势 D．粒子在M点的电势能大于它在N点的电势能 答案　AD 解析　粒子所受电场力指向轨迹凹侧，且和电场线的切线在同一条直线上，则由题图可知粒子必定带正电荷，故A正确；电场线越稀疏的位置电场强度越小，所以粒子在M点所受的电场力小于它在N点所受的电场力，则粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，故B错误；根据沿电场线方向电势降低可知M点电势高于N点电势，故C错误；粒子带正电，根据Ep＝qφ可知粒子在M点的电势能大于它在N点的电势能，故D正确。 8．(多选)(2023·福建省龙岩第一中学高二期末)如图所示，实线表示某电场中的四个等势面，它们的电势分别为φ1、φ2、φ3和φ4，相邻等势面间的电势差相等，一带负电的粒子，重力不计，在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b、c、d是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断(　　) A．φ4等势面上各点场强处处相同 B．四个等势面的电势关系是φ1<φ2<φ3<φ4 C．粒子从a运动到d的过程中静电力一直做负功 D．粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是va>vb>vc＝vd 答案　BD 解析　由题图可得，等势面的疏密不同，所以φ4等势面上各点场强大小并不相同，故A错误；做曲线运动的带负电粒子，受力的方向指向凹侧，电场线与受力方向相反，沿着电场线电势降低，所以四个等势面的电势关系是φ1<φ2<φ3<φ4，故B正确；粒子从a运动到c的过程中，轨迹电势降低，粒子带负电，则电势能增大，静电力一直做负功，由于c、d两点电势相等，从c到d的过程中，电场力先做负功后做正功，故C错误；由C项分析可得，根据动能定理，粒子在a、b、c、d四点的速度大小关系是va>vb>vc＝vd，故D正确。 9题8分，10～12题每题9分，共35分 9.(多选)(2023·武冈市高二期中)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则(　　) A．a一定带正电，b一定带负电 B．a加速度减小，b加速度增大 C．MN两点电势差|UMN|大于NQ两点电势差|UNQ| D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小 答案　BC 解析　粒子受到的合外力应指向轨迹的凹侧，但电场线的方向未知，无法判断带电粒子的电性，故A错误；由题图可知，a往电场线稀疏的区域运动，故静电力变小，加速度变小；b相反，加速度增大，故B正确；由电场线疏密与电场强弱关系可知，MN之间电场强度比NQ之间的电场强度大，且MN＝NQ，由U＝Ed可知，MN两点间的电势差更大，故C正确；因为不知道两个粒子带电荷量的关系，故无法判断电势能的变化量，也就没有办法比较动能变化量的关系，故D错误。 10.(多选)如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F是边长为L＝2 cm的正六边形的顶点，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为－4 V、0、8 V、12 V，则下列说法正确的是(　　) A．E点的电势φE＝8 V B．A、F间的电势差UAF＝4 V C．C、F间的电势差UCF＝－8 V D．该匀强电场的电场强度大小E＝400 V/m 答案　AD 解析　连接AD、BF、CE，AD与BF、CE的交点分别为M、N。设六边形的中心点为O，如图所示， 由几何关系可知，AD与BF、CE都垂直，由正六边形的特点可知，AM＝MO＝ON＝ND，所以可知M、O、N的电势分别是0、4 V、8 V，所以BF和CE为等势线，则φF＝φB＝0，φE＝φC＝8 V，故A正确；A、F间电势差为UAF＝φA－φF＝－4 V－0＝－4 V，故B错误；C、F间电势差为UCF＝φC－φF＝8 V－0＝8 V，故C错误；BF为等势线，电场线和等势线垂直，故AD为电场线，因为沿着电场线方向电势降低，所以电场线方向由D指向A，即电场线垂直于BF连线，且指向A，该匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝400 V/m，故D正确。 11．(2023·湖北省武汉三中高二期中)为了测量出平行于纸面但具体方向未知的匀强电场的电场强度E，用仪器在纸面内沿互成60°角的OA、OB两个方向探测各点电势，得到各点电势φ与到O点距离的函数关系如图所示(O点为零电势点)，则该电场强度E的大小和方向为(　　) A．E＝200 V/m，沿AO方向 B．E＝200 V/m，沿∠AOB角平分线向下 C．E＝200 V/m，与∠AOB的角平分线垂直向右 D．E＝200 V/m，沿BO方向 答案　C 解析　设OA上距离O点2 cm处的点为C，OB上距离O点2 cm处的点为D，由图像可得，C点的电势为2 V，D点的电势为－2 V，将CD相连，中点的电势φ中＝＝＝0，可见CD的中点与O点电势相等，将两点相连，所在直线即为等势线，即∠AOB的角平分线为等势线，则电场强度方向垂直于∠AOB的角平分线，又因为沿电场线电势降低，所以电场强度方向垂直于∠AOB的角平分线向右、大小为E＝＝＝200 V/m，故选C。 12.(多选)(2024·黄山市屯溪第一中学适应性测试)如图，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计粒子重力，下列说法正确的是(　　) A．M带负电，N带正电 B．M在b点的动能小于它在a点的动能 C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能 D．N在从c点运动到d点的过程中克服静电力做功 答案　ABC 解析　M粒子的轨迹向左弯曲，则M粒子所受的静电力方向向左，可知M粒子受到了引力作用，故M带负电，而N粒子的轨迹向下弯曲，则N粒子所受的静电力方向向下，说明N粒子受到斥力作用。故N粒子带正电，故选项A正确；虚线是等势面，对M粒子从a到b的整个过程来说，静电力对其做负功，动能减小，故选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，故从d到e静电力不做功，电势能不变，故选项C正确；由于N粒子带正电，故从c点运动到d点的过程中，静电力做正功，故选项D错误。 (9分) 13.如图所示，匀强电场中有一圆心角为120°的扇形OAB，半径OA为2 m，且扇形所在的平面平行于电场线，C点为AB弧的中点。把一个电荷量为2×10－7 C的负点电荷由电势为零的某点移到O点，克服静电力做功1×10－6 J；将该负点电荷从O点移动到A点，电势能增加4×10－7 J；将该负点电荷沿圆弧从A点移到C点，静电力做功8×10－7 J，则(　　) A．O点的电势为5 V B．A点的电势高于O点的电势 C．该负点电荷在B点的电势能为1×10－7 J D．电场强度大小为2 V/m 答案　D 解析　把一个电荷量为2×10－7 C的负点电荷由电势为零的某点移到O点，克服静电力做功1×10－6 J，故O点的电势为φO＝ V＝－5 V，故A错误；将该负点电荷从O点移动到A点，电势能增加4×10－7 J，故A点的电势为φA＝－7 V，低于O点的电势，故B错误；将该负电荷沿圆弧从A点移到C点，静电力做功8×10－7 J，故φC＝－3 V，由几何关系知四边形OACB为平行四边形，则有φC－φA＝φB－φO，所以该负点电荷在B点的电势为φB＝－1 V，故该负点电荷在B点的电势能为2×10－7 J，故C错误；AC中点D的电势为φD＝＝－5 V，故电场方向与OD垂直，且由C指向A，其大小为E＝＝ V/m＝2 V/m，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $