期中综合检测卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版）

当且仅当9k=1 即=士时，单号成立，所以 |AB|≤2. 当直线AB的斜率不存在时，AB引=√3<2， 所以Saaa)am=号×2x写- 2=2 第三部分期考综合检测卷 期中综合检测卷 1.D根据空间两点间的距离公式，可知|AB|= √(2+3)2+(-1-4)2+(6-0)2=√86.故选D. 2.B由题意知O为圆x2十y2=1的圆心，所以易知 ∠OPQ=30°，则圆心O到直线x+y=m(m>o)的 距高等于子根据点到直线的距离公式得 √2 昌，所以m=县故选B 2 3.A MN=MA+AA+AB +B=-合(A店+AD) A AA+A店+号AD,化简得： D MN=MA +AA+AB+ B=ga店-AA=ga-c 故选A. 4.A将圆x2十y2十4x一2y一4=0化为标准方程是 (x十2)2+(y-1)2=9,故该圆的圆心坐标是(-2,1)， 半径是3.故选A. 5.C由题意知a=4,b=2,故c=√16-4=2√3，所 以F(一2√3,0)，故点F到直线x一y=0的距离 d=-23-0=6.故选C √2 6.B因为平面a的方程为2x十2y十之一7=0，所以 平面α的一个法向量为m=(2,2,1),直线1的方向 向量为n=(1,2,一2)，设直线l与平面a所成角为 9,剧sn9=com,m=贤调-3克3手故 4 选B. 7.B依题意，设AC∩ BD=O,则PO⊥平面 ABCD,因为PO⊥平 面ABCD,所以∠PAO 为PA与平面ABCD Di-- 所成角，即∠PAO= -“0 子，因为AB=2,所以 A B OA=OC=OB=√2，则PO=OA=√2，以O,点为原 点，建立空间直角坐标系如图，则C(0,√2,0)， B(√2,0,0)，D(-√2,0,0)，P(0,0,√2)，所以CD= -(2,-√2,0)，PB=(√2,0，-√2)，PC=(0,W2, GS 一√2)，设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), P克m=2x-2z=0,令=1，则x=y=1, Pt.n=√2y-2z=0 故n=(1,1,1),所以，点D到平面PBC的距离为 in-B-2g5选R n 8.B,抛物线y2=4cx的准线方程为x=一c,它正 好经过双曲线C:二-1(@>0，b>0)的左恩 点.准线被双曲线C藏得的孩长为2,2沙= a a 号ad36=a…后=d=d+8,28=a, a 二号，双曲线C的渐近线方程为y=士号故遍 9.ABCD如图所示，取BD的中 2 点O,连接AO,CO,,正方形 ABCD沿对角线BD折成直二 面角，.以O为原，点，OC为x B D Y 轴，OD为y轴，OA为之轴，建 C 立空间直角坐标系，设OC=1, x 则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), .AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0).cos(AD,BC= ,.2方界西直线AD与 AD·BC 1 BC所成的角为60°，故A正确；AC=(1,0,-1), BD=(0,2,0),AC·BC=0,AC⊥BD,故B正 确；设平面ACD的一个法向量为t=(x,y,之)，则 t·AC=x-z=0, 取之=1，得t=(1,1,1),BC= t·AD=y-z=0, (1,1,0),设BC与平面ACD所成角为0，则sin0= uwdo-:-aatc正 确；平面BCD的法向量n=(0,0,1),BA=(0,1, 1),BC=(1,1,0),设平面ABC的法向量为m= |m·BA=y+之=0， (x,y,之)，则 取x=1,得m= m·BC=x十y=0, m·n 1=3 (1,-1,1),cosm,m〉=m.n=5=3, sin(m,)-写二面角A-BC-D的平面角 的正切值是√2，故D正确.故选ABCD. 10.ABD由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆I的中心，可得 2a2=a1,由椭圆I与Ⅱ有公共的左顶点和左焦 点，可得a2十c2=c1,所以a1十C1=2a2十a2十c2, 又a2>c2,所以a1十c1>2(a2十c2),所以A正确； 因为a1-c1=2a2-(a2十c2)=a2-c2,所以B正 确；因为a1c2=2a2c2,a2c1=a2（a2十c2）=a2十 a2c2,所以a1c2-a2C1=2a2c2-a2-a2c2=a2（c2 a,)<0,所以C错误；因为e1=9=a,十C= a12a2 士，所以D正确，故选ABD, 11.ABD对于选项A,因为F1,F2分别为椭圆C: 着+y矿-1的左，右盒点过点R,的直线与箱周C 交于A、B两点，由椭圆定义可得AF,十AF, =BF,十BF,=2a=4,因此△ABF1的周长 AF+BF+ABI=AF+BF+ |AF2|十|BF2|=4a=8,故A正确；对于选项B, 设点P(x,y)为椭国C:苦十)=1上任意-点， 则点P的坐标满足十y=1,且-2≤x≤2，又 F(-3,0),F2(W3,0),所以PF,=(-√3-x, y),PF2=(W3-x,-y),因此PF1·PF2=(-√3 -05-0+y=+1-兰-3=琴-2，由 PF.PF-3￥-2=0，得x=25∈[-2,2]， 4 3 故B正确；对于选项C,由题意得a2=4,b2=1,所 以c2=4-1-3,即c-5,所以离心率为e=名- 故C错误；时于造项D设点P(x,)为箱圆 C置+少1上任意-点向题意得点P(红，)到 圆x2十y2=1的圆心的距离为|PQ|=√Jx2十y √4-4y2+y=√4-3y,因为-1≤y≤1，所以 |PQlmx=|PO|max+1=√/4-0十1=3.故D正 确.故选ABD. 12.解析：由题意可知.函数y=√1一x2+1的图象是 以(0,1)为圆心，1为半径的上半圆.函数y=(x 一2)的图象是恒过点(2,0)的直线1.如图所示.若 使得函数y=√1一x+1与函数y=k(x一2)的图 象有两个不同的公共点，则需直线1夹在半圆的 切线11与过点(1,1)的直线2之间，即k1<k≤ 0-1 k2.八直线12过点(1,1)与点(2,0)，k2=2- -1,又，直线1为半圆x2+(y-1)2=1(y≥1) 的切线，.圆心(0,1)到直线1：y=1(x一2)的距 66 离等于半径，中60》-1-1，解得=一专： √十1 音-1 y -10 答案：(-含-] 13.解析：建立如图所示的空 间直角坐标系，设正方体 D 的棱长为2，则A(2,0,0), D(0,0,0),C(0,2,0), B(2,2,0),A1（2,0,2), D1(0,0,2),C1(0,2,2), B1(2,2,2),故M(2,2, 1),N(0,1,0), 所以MN=(-2,-1,-1),CD1=(0,-2,2). 故MN·CD=O,所以MN⊥CD,故②正确， 又DB=(2,2,0),DA1=(2,0,2),设平面A1BD n·DB=0, 的法向量为n=（x,y,之)，由 得 n·DA1=0 {x十y=0取z=-1,则n=(1,-1,-1),因为 x+之=0,1 MN·n=0且MN平面ABD,故MN∥平面 A1BD,故①正确.又A1M=(0,2,-1),设平面 AMN的法向量为m=（x,y,之)，由 /m·MN=0, 得2x一=0，取y=1,则 m·AM=0, 2y-z=0, m=(-昌，1,2).年面AAC的法向量为a (2,2,0),则m·a≠0.故平面AMN⊥平面A1AC 不成立，故③错误 答案：①② 14.解析：由题意可得F(一c,0),F2(c,0),设椭圆E上 任-点P.+ 十存=1，x2=Q6-y) b2 PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y), i.PF,.PF:-x+y-c-d)+y-d 口26}-b≤≤6，当y=0时，卫A ·PF2取得最大值.为a2-c2,即2c2≤a2-2≤4c2, e的取值范国为5，B L5'3 答案： 53 5’3」 15.解：1)82=5，-6+2=-2， 2 2 ∴.AB的中点坐标为(5，一2)， :k=6二2=-4 8-2-3’ “线段AB的中垂线的斜率为 4, 设线段AB的中垂线方程为y=x十b. :=是，AB的中点坐标为(5，-2)， .-2=3×5+b,解得6=-23 4 4 ·线段AB的中垂线方程为y=3x 4 (2)设直线l的方程为y='x十b'. 由题意知=-号且直线1过点P(2,-3), -3=-号×2+6，解得6=-子 直线1的方程为y=一青x一号 (3)设B(2,2)关于直线L的对称，点为B'(m,n), 〔n-2_3 则m一24， n=-14 解得 4×m2+3×n2+1=0, 2 2 m=一5 -6+ =11 8+14 27 “反射光线所在的直线方程为y十6= x-8. 即11x+27y+74=0. 16.解：(1)根据题意画出图形，如图所示， 0A) B 则圆的方程为x2十y2=1802, 设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200), k<0, 即kx-y-200k=0, 则圆心0(0,0)到直线的距离为一200k=180, √k2+1 化简得19k2=81, 解得=一9（正值舍去)， √/19 ∴.tan(90°+a)=- 9 /19 、1 9 tana√J19 61 ..tan a=v19 9 ,∴，若轮船不被风暴影响，则角α的正切值的最大 植为夏 (2)若轮船航行方向为北偏西45°，则直线方程为 x+y=200, 则圆心O到该直线的距离d= 1-200=100W2, √2 弦长为2√r2-d=2√1802-(100√2)2=40√31， 则轮船被风暴影响持续的时间为403I-√3h 40 17.解：由题意得，点C到点F的 距离等于到直线x=-1的距 D 离，由抛物线的定义知，点C 的轨迹是以坐标原点O为顶 0 点，以F(1,0)为焦点的抛 物线. 设y=2px(p>0),则号=1，所以力=2，故Γ的 方程为y2=4x. (2)当y>0时，y=2丘，所以y=1 设P(m,2√m)(m>0), 则一后申的斜率为层因为山4 √m 所以l2的斜率为一√m,所以l2的方程为y 2Vm=-√m(x-m),即x=m十2-1 y. m 代入y=4z,得y十4 十V房-m-8=0.设Q红)， 由韦达定理得十2m一，即=一2m 损代入=，得(2面-广= 即=m+是+4，故Q(m十+，-2m-》} 所以Q层+到+(4m- 4/m+3+3+ m m2. 令u(m)=m+3+是+是(m>0》,则d-1-是 m m _2=m3-3m-2_(m-2)(m+1)2 m m 易知函数u(m)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞) 上单调递增， 所以uom）=a(2)=7,所以PQln=4X/厘 =63. 18.解：(1)证明：因为四边形ABDE为平行四边形， F、G分别为AB、DE的中点， 所以四边形FDGA为平行四边形， 所以FD∥AG. 又H、G分别为CE、DE的中点， 所以HG∥CD. 因为FD、CD￠平面AGH,AG、HGC平面AGH, 所以FD∥平面AGH,CD∥平面AGH,因为 FD、CDC平面CDF,FD∩CD=D,所以平面 CDF∥平面AGH. (2)因为三角形ABC为正三角形，BD=AD,F为 AB的中点，所以AB⊥CF,AB⊥DF,所以∠CFD 为二面角C-AB-D的平面角，又CF∩DF=F, 所以AB⊥平面CFD,因为ABC平面ABDE.所 以平面CFD⊥平面ABDE.作CO⊥平面ABDE 于O,则O在直线DF上.又二面角C-AB-D 的平面角为∠CFD=120°，所以O在线段DF的 延长线上.易知CF=4√3，则FO=2√3，CO=6. 以F为原点，FD、FA所在直线分别为x轴、y轴， 过，点F平行于OC的直线为之轴，建立空间直角 坐标系，如图， D 则A(0,4,0),B(0,-4,0),D(3√3,0,0)，E(3√5， 8,0), C(-2√3,0,6)， 所以AB=(0,-8,0),CE=(5√5,8，-6) 所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为 Ios〈AB,CE)1=IAB·CE 64 |AB1·|CEI 8×5√7 =87 35, 8w7 从而其正切值为 35 w111 87 8 35 (3)由(2)知CD=(5√3,0，-6)，DE=(0,8,0),设 平面CDE的法向量为n1=(x,y,z), 则由m11CD,n⊥DE得53.x-6z=0, 8y=0, 令x=53,得n1=(6,0,5√3). 68 易知平面DEF的一个法向量n2=(0,0,1), 所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为 n1·n2_5W37 1cos(nn)川=n,Tn,=37 19.解：(1)由题2b=2,即b=1,所以A(0,1),B(0,-1). 设E),由·m=-是可得，”. =-分，化简得号+y=1,又点A,B满足上式， 所以精圆C的标准方程为号+)了-1. (2)存在这样的，点Q(xo,0),设直线PN:x=my十 x,P(x1y1),N(x2y2),y1y2<0. x=my+xo 联立x2 2+y2=1’ 消去x整理得(m2+2)y2+2xy十x6-2=0, m+24y2=号二2 六y十为=二2m西， m+24=8m2-8z8 +16>0, 又|PQ|=√(x1-x)2+y=√my+y= √1+mly1l,|QN|=√/1+mly2, “0+0n) 1 1 xy:+ly 1 xly-y:I √1+m 1yl12√/1+m -y1y2 1 XWy十)-4y2 /1+m 一y1y2 4m2x64(x6-2) 1 ×/(m2+2)2m2+2 √/1+m 2-x6 m2十2 1 8(m2+2-x6) 2 m2+1 要使上式为定值，则2-x号=1， 故当=士1时，回十0N为定位2区. 1 y↑/ P 0 B 综上，存在这样的稳定点Q(士1,0).null