第3章 函数的概念与性质 A卷基础巩固卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版）

:z+4)y+2=xy+2(x+2）+8=1+16≥1十8= xy xy 9.（x=2,y=1时取等号) 故答案为9. 1.【解】（1)。兰。6a=a-。 (a-c)(b-d) .(b-a)+(c-d) (a-c)(b-d)’ .a>b>0,c<d<0,e<0, ∴.a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0, 又e<0, e e>0, …a-cb-d a。>6a (2)2x+y=1,x>0,y>0, 2+-(+号)2+0=3+号+￥3+25. y 4 当且仅当钙=兰，即=1-号=反-1时等号成立， y x 故1+1的取值范周是1+1≥3+22. x y 16.【解】(1)：不等式ax2-(2a-1)x-2>0(a<0)的解 集是（分6）， ÷日古，海释4-26=2 (b=2 (2)a.x2-(2a-1)x-2=(ax+1)(x-2)>0(a<0), “(e+a)x-2)<0, 当-=2，即a=-2时，不等式为(x-2)2<0,则不等 式的解集是财， 当-日>2，即-名<a<0时，解不等式得2<x<-日 当-<2，即a<-号，解不等式得-0<x<2: a a 综上所迷，当a=一号时，不等式的解集为0； 当-合<a<0时，不等式的解集为{2<<-日}， 当a<合时，不等式的每集为{-日<x<2 17.【解】(1y=2(x-1D++2≥2E+2,故函数y 的最小值为2+2E,当且仅当(x-1)2=号，即x=1十 号时取释， 2y-红=12+2-)+3=(x-1D+23+2225 x-1 十2，故函数y的最小值为2十2√3，当且仅当(x-1)2=3 即x=√3十1时取得； (3)由题得a=2-6,代入原式，得名十占=是6 1 2 1。一≥1 1 -22+3 3+2V2 =3十2√2，故原式最小值为3+2√2， (3-2√2)(3+2√2 当且仅当b2=2,即b=√2时取得； 由题释品十品=1，则3x十)（信是）-影十 2+9≥吕+2V需-5，当且仅声2-影时取等 号，故最小值为5. 18.【解】(1)集合A={x|2+a≤x≤2-a},B={x|x2- 5x+4≥0}. a=-3时，A={x-1≤≤5}，B={xx≤1或x≥4}， .A∩B={x-1≤x≤1或4≤x≤5}， AUB=R. (2)集合A={x2十a≤x≤2-a}, B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}， A∩B=0, ∴.当A=0时，2+a>2-a,解得a>0,成立； 2+a≤2-a 当A≠0时，2+a>1,解得-l<a≤0， (2-a<4 综上，实数a的取值范围是{aa>-l}. 19.【解】(1)由题意，得10(1000-x)(1十0.2x%)≥10× 1000, 即x2-500x≤0，又x>0,所以0<x≤500. 即最多调整500名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a一00) 3x x万元， 从事原来产业的员工创造的年总利润为10(1000一x) (1++)万元， 则10(e-器)<1o1o0-(1+小 所以ax一 ≤100+2红-2， 3x2 2x+1000+1 所以ar≤301000+x,即a心0 在0<x≤500时恒成立. 因为器+20≥4， 当且仅当额-10，即50时等号成立，所以， 又a>0,所以0<a≤5.所以a的取值范围为{a0<a≤5. 第三章函数的概念与性质 A卷基础巩固卷 1.C图A,B,D中，对任意的x只有唯一的y与其对应，而 在图C中，当x>0时，有两个y值与其对应. 2.Ax=0时，y=0;x=1时，y=-1；x=2时，y=0;x=3 时，y=3, 所以所求函数的值域为{一1,0,3}. 3.C由函数最值的几何意义知，当x=一2时，有最小值 一2；当x=5时有最大值f(5). 4.D 选项 具体分析 结论 x,x≠0， 右边=xlsgn x|= 0,x=0, A 错误 1x,x≥0， 而左边=x= (-x,x<0 x,x≠0， 右边=xsgn x|= 0,x=0, B 错误 而左边=|x= /x,x≥0， 一x,x<0, x,x>0, 右边=|xsgn x= 0,x=0, C x,x<0, 错误 而左边=|x= |x,x≥0， -x,x<0 x,x>0, 右边=xsgn x=0,x=0, 一x,x<0, 正确 而左边=|x= x,x≥0， -x,x<0 5.B设f(x)=kx十b(k≠0)， 所以f(x-1)=k(x-1)十b=3x-5,即kx-k十b=3x-5, k=3,。解得k=3,b=一2， 所以 b-k=-5, 所以f(x)=3x-2. 6.B选项A中y=x立=√元是非奇非偶函数，选项C中y= x1是奇函数，选项D中y=x3也是奇函数，均不满足题意； 选项B中y=x4是偶函数，且过点(0,0)，(1,1)，满足题意. 7.D因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-x)=-f(x),f(0)=0, 设x<0,则一x>0,f(-x)=一f(x)=3, 3,x>0, 所以f(x)=-3,所以f(x)=0,x=0, -3,x<0, 所以奇函数f(x)的值域是{一3,0,3}. 8.B因为函数f(x)对于任意实数x总有f(一x)=f(x), 所以f(x)为偶函数，所以f(2)=f(一2)， 又因为在区间(-0,1]上是流高数且-2<-是< -1,所以f-10<f()<f(-2). 即f(-1)<f(-)<f2). 9.BD由题意设f(x)=a(x-1)2十b(a>0),由于，点(0,0)在图 象上，所以a十b=0,a=一b,故符合条件的是B、D. 10.ABC看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与 时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车 者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运 动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5， 故C正确，D错误. 11.BC作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无 最小值，且最大值不是3，当x≤0时，由3十2x=x2-2x 得x=2一√7，此时F(x)的最大值为7一2√7. 7 当x>0时，由3-2x=x2-2x得x=√5，结合图象可得 增区间是(-∞，2-√7)和(1，√3)，减区间是(2-√7,1) 和（√3，十∞）. y 100 12.(-oo,0]因为函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x十3是 偶函数， 所以a-1=0, 所以f(x)=一x2十3，其图象是开口方向朝下，以y轴为 对称轴的抛物线.故f(x)的增区间为（一∞，0]. 18[-7+∞）[-1，+o）解2z+1≥0得≥-日 f)的定又线为[-子+o)小 令v2+1=:(≥0，则x-号， y-2-=2-10-1>-1. .f(x)的值域为[-1，十∞). 故答案为[-，+∞）[-1，+o). 14.(一3,1)因为f(x)是R上的奇函数，且单调递减， 所以由f(2x+1)+f(x2-4)>0得 f(2x+1)>f(4-x2), 所以2x十1<4-x2, 解得-3<x<1, 所以原不等式的解集为（一3,1）. 15.【解】令x=y=0,则f(0+0)+f(0-0)=2f(0)·f(0), 即2f(0)[1-f(0)]=0. 因为f(0)≠0，所以f(0)=1. 令x=y=受， 则有f()+fo)=2f()·f(), 因为f(受）=0， 所以f(π)+f(0)=0, 所以f(π)=一f(0)=一1. 令x=y=π， 则有f(2π)+f(0)=2f(π)·f(π)， 所以f(2x)=2×(-1)×(-1)-1=2-1=1. 16.(1)【解】由f(1)=2,f(2)=-1, 得a十b=2,2a十b=-1, 即a=-3,b=5, 故f(x)=-3x+5, f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2. (2)【证明】任取x1<x2(x1,x2∈R), 则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-（-3x1+5)=3x1- 3x2=3(x1-x2), 因为x1<x2, 所以f(x2)-f(x1)<0, 即函数f(x)在R上单调递减. 1.汇解】国为画数)-年岩为定又在R上的寺品 数，所以f(0)=b=0. (2)【证明】由(1)可得f(x)= 1十x,下面证明函数 f(x)在区间(1，十∞)上是减函数. 证明：设x2>x1>1, 则有f(x1)-f(2)=,1 1+z1+x x1十x·x吃-x2-x2·x1_(x1-x2)(1-x1x2) (1+x)(1+x) (1+x)(1+x) 再根据x2>x1>1,可得1十x1>0,1十x>0,x1-x2< 0,1一x1x2<0,所以- 1-2)1=12>0, (1+x2)(1+x) 即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在区间(1，十∞)上是减函数. (3)【解】由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0, 可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4) =f[(x-1)2+3], 再根据函数f(x)在区间(1，十∞)上是减函数，可得1+ 2x2<x2-2x+4, 求得-3<x<1,故不等式的解集为{x一3<x<1}. 18.【解】(1)当a=1时，f(x)=-4x2十4x-5的对称轴x =名，开口向下， x∈[1,3]时，函数f(x)单调递减， 当x=1时，函数有最大值f(1)=-5, 当x=3时，函数有最小值f(3)=一29， 故函数f(x)的值域为[一29，一5] (2)因为f(x)=-4x2+4ax-4a-a2的开口向下，对称 1 轴x=2a, ①当20≥1，即a>2时，)在[0,1]上单润适增，画数 的最大值为f(1)=-4-a2. 令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2（舍去）. ②当0<司a<1,即0<a<2时，x=a时，f)取得最 大值，最大值为一4a, 令-4a=-5,得a=c0,2. ③当24<0，即a<0时，f)在[0,1门内单调道减， 所以x=0时，f(x)取最大值，最大值为一4a一a2, 令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a =1,其中-5∈(-∞，0]. 综上所述，a=号或a=-5。 19.【解】(1)根据题意， 当0<x≤400时，f(x)=40x-号2-2000-100x =-22+00x-2000, 当x>400时，f(x)=80000-20000一100x=一100x+ 60000, 所以f(x)= ~7x2+300x-20000,(0≤z≤400) (-100x+60000(x>400) (2)当0≤x≤400时，f(x)=二2x2+300x-20000= -2(x-30)2+250, 所以当x=300时，f(x)max=25000; 当x>400时，易知f(x)=一100x十60000是减函数， 所以f(x)-100×400十60000=20000： 综上：当x=300时，f(x)max=25000, 所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其 值为25000元. B卷能力提升卷 1.DAf(x)的定义域为[1，+∞)，g(x)的定义域为 (一∞，一1]U[1,十∞)，故不是同一函数； B.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0，十∞)，故不是 同一函数； C.f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R,故不 是同一函数； D.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,且两函数解析 式可转化为同一解析式. 2.A因为f0)=2-2红，x≥3， 2x+1,x<3, 所以f(1)=2+1=3, 所以f(f(1)=f(3)=32-2×3=3. 3.C对4个选项分别进行判断，可得结论.这12天的AQI 的中位数是95104=99.5，故A错误： 2 这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92， 故B错误； 从4日到9日，AQI数值越来越低，空气质量越来越好， 故C正确， 2(67+72+77+85+92+95+104+111+135+138+ 144十201)≈110，所以D错误， 故选C. 4.B函数f(x)=√3一ax,若f(x)在区间(0,1]上是减函 数，则t=3一ax在区间(0,1]上为减函数，且t≥0，分析可 得a>0,且3-a≥0，可得0<a≤3，所以a的取值范围为 (0,3]. 5.A对任意的1m∈[0，十o)01≠2，有2）-f儿)<0. x2一x1 所以f(x)在[0，十o∞)上单调递减，又∫(x)是偶函数，故 f(x)在(-o∞，0]上单调递增.且满足n∈N*时，f(-2)= f(2),3>2>1>0,所以f(3)<f(-2)f(1). 6.B根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7,8,9时 可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加 3,因光利用取装函数可表示为y一[结]，之可以用特 殊取值法，若x=56,y=5,排除C,D,若x=57,y=6,排 除A.第三章1 函数的概念与性质 A卷 基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) “一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 5.已知f(x)是一次函数，且f(x-1)=3x一5， 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 则f(x)的解析式为 () 符合题目要求的. A.f(x)=3x十2 B.f(x)=3x-2 1.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3 的图象是 6.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)且为偶函数 的是 驶 A.y=x B.y=x C.y=x 1 D.y=x 7.定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，f(x) =3,则奇函数f(x)的值域是 A.(-∞，-3] B.[3,十∞) C.[-3,3] D.{-3,0,3} 8.若函数f(x)对于任意实数x总有f(一x)= f(x),且f(x)在区间（一∞，1]上是减函数，则 2.如果函数y=x2一2x的定义域为{0,1,2,3}， 那么其值域为 ( ) A.{-1,0,3} B.{yl-1≤y≤3} Af-)<f-1)<f2) C.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3} 3.函数f(x)在区间[一2,5]上的图象如图所 Bf-1)<f(-)Kf2) 载 示，则在区间[一2,5]上此函数的最小值、最 C.f2)<f(-1)<f(-) 大值分别是 D.f2)<f)f-1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 1012345x 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 舒 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 A.-2,f(2) B.2,f(2) 分，有选错的得0分 阳 C.-2,f(5) D.2,f(5) 9.如果二次函数的图象关于直线x=1对称， [1,x>0, 且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以 4.设x∈R,定义符号函数sgnx= 0,x=0, 是 () -1,x<0, A.f(x)=x2-1 则 ( B.f(x)=-(x-1)2+1 A.x=xlsgnxl B.x=xsgn x C.f(x)=(x-1)2+1 C.x=xsgnx D.x|=xsgnx D.f(x)=(x-1)2-1 21 10.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写 旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲 出文字说明、证明过程或演算步骤. 城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数 15.(13分)已知函数f(x)满足f(x十y)+f(x-y) 关系，有人根据函数图象，提出了关于这两 =2f(x)·f),且f(0)≠0，若f(）= 位旅行者的如下信息，其中正确信息的序 号是 ) 0,求f(π)及f(2π)的值. 路程/m 自行车 托 0 5 6时间 A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3h, 晚到1h B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是 匀速运动 C.骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自 行车者 D.骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车 者速度一样 11.已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x, F(x)= 「g(x),若fx)≥g(x), 则关于F(x) f(x),若f(x)<g(x). 的说法正确的是 A.最大值为3，最小值一1 B.最大值为7一27，无最小值 C.增区间是（一∞，2-√7）和(1，√3)，减区 间是(2-√7,1)和（√3，+∞） D.增区间是（一∞，0）和(1，√3)，减区间是 (0,1)和（√3，+∞） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.若函数f(x)=(a-2)x2+(a一1)x+3是 偶函数，则f(x)的增区间是 13.已知函数f(x)=x一√2x+1,则f(x)的定义 域是 ,f(x)的值域是 14.定义在R上的奇函数f(x)单调递减，则不 等式f(2x十1)十f(x2-4)>0的解集为 22 16.（15分)已知函数f(x)=ax十b,且f(1)=2, f(2)=-1. 1.15分)尼知函数f)=为奇函数。 (1)求f(m+1)的值； (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义 (2)证明：函数f(x)在区间(1，十∞)上是 证明， 减函数； (3)解关于x的不等式f1+2x)+f(一x2+ 2x-4)>0. 23 18.(17分)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2. 19.(17分)某电子公司生产某种智能手环，其 (1)当a=1,x∈[1,3]时，求函数f(x)的 固定成本为2万元，每生产一个智能手环 值域； 需增加投入100元，已知总收入R(单位： (2)若函数f(x)在区间[0,1]内有最大值 元)关于日产量x(单位：个)满足函数：R -5,求a的值. 400x- r,0sS40 80000,x>400 (1)将利润f(x)(单位：元)表示成日产量 x的函数； (2)当日产量x为何值时，该电子公司每天 所获利润最大，最大利润是多少？（利润十 总成本=总收入) 24