5.3 实系数一元二次方程的解法（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.3实系数一元二次方程的解法 课程标准 素养解读 在复数范围内，了解实系数一元二次方程的 通过实系数一元二次方程的解法，提升逻辑 解法 推理和数学运算等核心素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 我们知道i2=一1，（一）2=i2=一1，所以方程x2=一1的解是x=i或x=一i 同样，方程x2=一5的解是x=5i或x=-5i 那么对于一般的一元二次方程，在复数范围的解是什么呢？ 必备知识 [知识点]根与系数的关系 1.一a(a>0)在复数集内有两个平方根，它们是±ai 2.实系数一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)在复数集C中. (1)当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，x=b2-4ac)2a; (2)当4=b2一4ac=0时，方程有两个相等的实数根，x=-b2a: (3)当4=b2-4ac<0时，方程有两个不相等的虚根，x=-b2a±4ac-b2)i2a,这两个 根是一对共轭复数， 3.若实数一元二次方程ac2+bx十c=0(a≠0)有两个虚根1，x2,则它们同样满足一元二 次方程的根与系数的关系，即：十2=一ba,x2=ca 4.二次三项式ax2+bx十c在复数集中总可以分解成两个一次因式的乘积，即ax2+bx+ c=ax-)3) 预习自测 1.x2=-9的解为() A.-3 B.-3i C.3i D.+3i 解析：D[x2=-9,则x=士9i=土3i] 2.一元二次方程x2+2x+1=0,有( A.两个不相等的实数根 B.一个实数根，一个虚数根 C.一对共轭虚根 D.两个相等实根 解析：D[△=22-4=0..方程有两个相等的实根.] 3.己知实系数一元二次方程x2+bx十c=0的一个根是3-4i,则另一个根为() A.3-4iB.3+4i 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 C.4+3iD.4-3i 解析：B[因为当△<0时，一元二次方程的两个根是一对共轭复数.] 五击题型 课堂·互动学案 通法悟适 题型 在复数集内解一元二次方程 例1 在复数集C中，解方程x2-4x+5=0. [思路点拨]先求4，当0时，方程在复数集内的解为x=4ac一b2)i2a [解]因为b2-4ac=16-20=-4<0,所以x1=4)i2=2+i,x2=4)i2=2-1. 通法通性 一般地，当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方程ar2+bx十c=0称为实数系一元 二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，记=b2-4aC,称它为方程ax2+bx十c=0 的根的判别式， 当4≥0时，方程在实数集R中有解x=b2-4ac)2a. 当<0时，方程在实数集R中无解，但在复数集C中有解x=4ac-b2)i2a,显然，这两 个根是一对共轭复数， [变式训练] 1.在复数集内解方程：3x2+2x十2=0 解：因为=b2-4ac=4-24=-20<0,所以原方程的解为x=-13土5)i2 题型 在复数集内，一元二次方程根与 系数的关系 例2已知实系数一元二次方程x2+x十n=0的一个根是1+3i,求它的另一个根及m, [思路点拨]利用实系数一元二次方程根与系数的关系求解， [解]因为当<0时，实系数一元二次方程在复数集C中的两个根是共轭复数，所以原 方程的另一个根是1一3i,由根与系数的关系可得m=一(1十2)=一[(1十31)十(1一3i)]=一2， n=xx2=(1+310(1-3i)=1-(3i)2=4.] 通法通性 一般地，对于实系数一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，当小<0，在复数集C中有两解， 且这两个根是一对共轭复数. 设这两个互为共轭的虚数根分别为1，x2,有x1十x2=一△)i2a十一△)i2a=一ba.xx2=一 △)i2a×一△)2a=ca,这就是说，实系数一元二次方程的根与系数的关系，在<0时也成立. [变式训练] 2.已知实系数一元二次方程x2+bx十c=0的一个根是3一4i,求另一个根和b,c 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：因为一元二次方程x2+bx十c=0的一个根为1=3一4i,则另一个根为x2=3+4i, 则x1十x2=03-4i口+口3+4i0=-b,x1x2=03-4i003+4i口=c,) 解得b=-6,c=25 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.一元二次方程x2+2x+10=0的解为() A.4或2 B.1±3i C.-1±3i D.3+i 解析：C[△=4-4×10=-36<0.∴.方程的解为x=-1±3i.] 2.一81的平方根为() A.±9i B.9i C.-9i D.±3i 解析：A[,（士9i)2=-81,故答案为A.] 3.己知方程x2+bx+c=0(a,b∈R)的一个根为5-6i,则另一个根为() A.5+6i B.-5+6i C.-5-6i D.6+5i 解析：A[因为实系数一元二次方程的两个根互为共轭复数，所以另一个根为5十6i.] 4.实系数一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)有两个共轭虚根的充要条件是 解析：实系数一元二次方程x2+bx十c=0(a≠0)有两个共轭虚根的充要条件是=b2一 4ac<0. 答案：b2-4ac<0 》 分层训练 课后·素养提升 高效提能 [基础过关] 1.复数1+i的共轭复数是() A.1-iB.-1+iC.-1-iD.1+i 解析：A[复数1+i的共轭复数是1-i.] 2一元二次方程x2-x+1=0有() A.两个不相等的实数根 B.一个实数根，一个虚数根 C.一对共轭虚根 D.两个相等实根 解析：C[由一元二次方程x2一x十1=0得△=1一4=一3<0，所以该方程有一对共轭 虚根.] 3.设1、2是方程2x2+x十1=0在复数集范围内的两个解，则() 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.1十2=12 B.z1+2=-12 C.2132=-12 D.3122=2 解析：B[因为根与系数的关系在复数集范围内同样适用，所以1十2=一12,12=12.] 4.“-2<a2”是“实系数一元二次方程x2+ac十1=0没有实根”的(） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C[“实系数一元二次方程2+ax十1=0没有实根”等价于△=a2-4<0,所以 -2<a<2.] 5.已知a、b∈R,且2十ai、b+3i(是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根， 那么a、b的值分别是() A.a=-3,b=2 B.a=3,b=-2 C.a=-3,b=-2 D.a=3,b=2 解析：A[因为2十ai、b十3i(i是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根，所 以2+ai和b+3i互为共轭复数，a=-3,b=2.] 6.一16的平方根是 解析：（仕41）2=一16，.一16的平方根是±41 答案：±4i 7.复数z=一2十5i的共轭复数是 解析：复数z=一2十5i的共轭复数是=-2-5i 答案：=-2-5i 8.已知方程x2+x+n=0(m,n∈R)的一个虚根是3+4i,则另一个根为 解析：因为方程的两个虚根互为共轭复数，所以另一个根为3一4 答案：3-41 9.在复数集中解方程： (1)x2+9=0: (2)x2-3x+4=0. 解：(1)因为x2=-9,所以：=-3i,2=3i (2)因为b2-4ac=9-16=-7<0,所以x1=-b2a+4ac-b2)2ai=32+72i,x2= b2a-4ac-b2)2ai=32-7)2i 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 [能力提升] 10.己知关于x的方程x2+(k+2i)x十2+a=0(k∈R)有实数根，则实数根为() A.22 B.2或-2 C.-22 D.-3 解析：B[设xo是方程的实数根，则x20+(k+2i)xo十2十=0，即c20+aco十2)十(2xo 十i=0.由复数相等的条件得xoal(2o2x0十k=0,解得xo=2或-2.] 11.设、2是方程2+x+1=0在复数集范围内的两个解，则( ) A.a-2|=2 B.|z1=2 C.1十22=1 D.2122=1 解析：D[由方程x2+x+1=0得=1一4=一3<0，由求根公式得z=3)2=3)i2. 不妨设1=-12十3)2i,2=-12-3)2i.a一2=3i=3.A不符合题意： la=-f1r(32)i=Arclirel)0alvs4 alcol(fr(32)=1,B不符合题意： 1十22=-1，C不符合题意： z122=\alvs4\allcol(-If(1\r(32)ilalvs4alicol(-f(1r(32)i=\alvs4\allcol(-\f(12))2- avs4 alcol00fr(3)2)in2=l,D符合题意.] 12.已知，x2是方程x2-x+7=0的两个根，则61一x2)2的值为() A.-26B.-27C.26D.27 解析：B[,4=(-1)2-4×7=一27<0，x1,是方程x2-x十7=0的一对共轭虚根， 且十x2=1,3=7..(G1-x)2=x21十x22-2x1x2=(c1十x2)2-4x12=12-4×7=-27.] 13.关于x的一元二次方程x2一2一k=0有虚根，则k的取值范围为 解析：一元二次方程x2-2-k=0有虚根，则4=(-2k2-4×1X(一府<0，解得-1 <k<0,所以k的取值范围为（一1,0） 答案：(-1,0) 14.若x3=1,则 (I)当x∈R时，x的值为 (2)当x∈C时，x的值为 解析：.x3=1,即x3-1=0,.(c-1)x2+x十1)=0， (1)当x∈R时，x2+x+1恒大于0，=1， (2)当x∈C时，x=1或x2+x十1=0，故x=1或x=3)i2 答案：(1)1(2)1或3)i2 15.已知-1+i是方程x2+2x十a=0(a∈R)的一个根，求a及另一个根. 解：因为=一1+i是方程x2+2x十a=0(a∈R)的一个虚根，所以另一个虚根为= 1-i.于是G1x2=a=2 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 第1章充要条件 1.1充分条件和必要条件 1.2充要条件 第2章平面向量 2.1向量的概念 2.2向量的线性运算 2.2.1向量的加法运算 2.2.2向量的减法运算 2.2.3向量的数乘运算 2.3向量的内积 2.4向量的坐标表示 2.4.1向量的坐标表示 2.4.2向量线性运算的坐标表示 2.4.3向量内积的坐标表示 第3章圆锥曲线 3.1椭圆 3.1.1椭圆的标准方程 3.1.2椭圆的几何性质 3.2双曲线 3.21双曲线的标准方程 3.2.2双曲线的几何性质 3.3抛物线 3.3.1抛物线的标准方程 3.3.2抛物线的几何性质 第4章立体几何 4.1平面 4.2直线与直线的位置关系 4.2.1共面直线 4.2.2异面直线 4.3直线与平面的位置关系 4.3.1直线与平面平行 4.3.2直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直（一） ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第2课时直线与平面垂直（二） 4.3.3直线与平面所成的角 4.4平面与平面的位置关系 4.4.1两平面平行 4.4.2二面角 4.4.3两平面垂直 第5章复数 5.1复数的概念和意义 5.1.1复数的概念 5.1.2复数的几何意义 5.2复数的运算 5.2.1复数的加法与减法 5.2.2复数的乘法 5.3实系数一元二次方程的解法 》 分层训练 课后·素养提升 高效提能 [基础过关] ·独家授权侵权必究·