5.2.1 复数的加法与减法（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

5．2　复数的运算 5．2.1　复数的加法与减法 课程标准 素养解读 1.掌握复数的加法与减法法则，并能熟练应用． 2．理解复数加法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解决问题. 1.通过复数加法与减法法则的熟练应用，提升数学运算等核心素养． 2．通过复数加法几何意义的应用，提升直观想象等核心素养. 我们知道，多项式可以进行加法、减法运算，如(3＋4x)＋(－5＋x)＝(3－5)＋(4x＋x)＝－2＋5x；(3＋4x)－(－5＋x)＝(3＋5)＋(4x－x)＝8＋3x.那么，复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是否也可以进行这样的加法、减法运算呢？ [知识点一]　复数和差的基本概念　 1．复数的和． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)称z1＋z2为z1与z2的　和　. 2．复数的差． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作　－z　， 规定：－z＝－(a＋bi)＝－a－bi. 复数z1减去z2的差记作　z1－z2　 规定：z1－z2＝z1＋(－z2)． [知识点二]　复数加、减法的运算法则及加法运算律　 (1)加、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝　(a＋c)＋(b＋d)i　，z1－z2＝　(a－c)＋(b－d)i　. (2)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1＋z2＝　z2＋z1　. ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [知识点三]　复数加、减法的几何意义　 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是. 这表明，两个复数和所对应的向量就是它们各自所对应向量的　和　，两个复数的差所对应的向量就是它们各自所对应向量的　差　.这是复数加法和复数减法的　几何意义　. 1.两个虚数的和与差仍然是一个虚数吗？ 提示：不一定．如：(4＋3i)＋(4－5i)＝8－2i，(2＋3i)＋(4－3i)＝6，可见两个虚数的和可能是一个虚数，也可能是一个实数． 2．多个复数的加减怎么运算？ 提示：多个复数的加减运算是把实部相加减，虚部相加减，所得的结果分别作为新的复数的实部和虚部． 1．复数(1＋i)＋(2＋3i)等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．3＋4i D．3－4i 解析：C　[(1＋i)＋(2＋3i)＝(1＋2)＋(1＋3)i＝3＋4i.] 2．z＋2＋i＝4＋5i，则复数z等于(　　) A．2＋4i B．2－4i C．4＋2i D．4－2i 解析：A　[z＋2＋i＝4＋5i，∴z＝(4＋5i)－(2＋i)＝(4－2)＋(5－1)i＝2＋4i.] 3．(1＋3i)＋(2＋4i)－(3－2i)的虚部为(　　) A．9i B．9 C．0 D．5 解析：B　[(1＋3i)＋(2＋4i)－(3－2i)＝(1＋2－3)＋(3＋4＋2)i＝9i，∴虚部是9.] 　复数的加、减法运算 　计算： (1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)； (3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]． [思路点拨]　依据复数和、差的定义和运算法则计算． [解]　(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i. (3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (4)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)． [变式训练] 1．(1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 解析：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i. 　复数加减法几何意义的应用 　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i， 试求①所表示的复数，所表示的复数； ②对角线所表示的复数； ③对角线所表示的复数及的长度． [思路点拨]　根据图形，充分利用复数加、减法的几何意义求解． [解]　①＝－.∴所表示的复数为－3－2i.∵＝，∴所表示的复数为－3－2i. ②∵＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝. 复数加减法的几何意义在复数运算中的应用 (1)复数加、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算． (2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决． (3)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB： ①为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． [变式训练] 2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 解：设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图． 则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2).＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵＝，∴解得故点D对应的复数为2－i. 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 解析：B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.] 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 解析：A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.] 3．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝(　　) A．0 B．2i C．6 D．6－2i 解析：D　[因为z＋i－3＝3－i，所以z＝3－i－(i－3)＝6－2i.] 4．已知z1＝2＋i，z2＝3－2i，z3＝4－2i，计算z1＋z2－z3＝　____________　. 解析：z1＋z2－z3＝(2＋i)＋(3－2i)－(4－2i)＝(2＋3－4)＋(1－2＋2)i＝1＋i. 答案：1＋i [基础过关] 1.复数(1＋i)＋(2－i)－3i等于(　　) A．3－3i B．－3＋i C．i D．－i 解析：A　[(1＋i)＋(2－i)－3i＝3－3i.] 2如图，在复平面内，若复数z1、z2对应的向量分别是、，则复数z＝z1－2z2所对应的点的坐标为(　　) A．(－1，－4) B．(－1,4) C．(1，－4) D．(1,4) 解析：B　[由题意可知，点A坐标为(1,2)，点B坐标为(1，－1)，所以z1＝1＋2i，z2＝1－i.z＝z1－2z2＝－1＋4i，对应点的坐标为(－1,4)．] 3．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　) A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i 解析：B　[z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.] 4．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 解析：A　[z1－z2＝(y＋xi)－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2.得解得∴xy＝1.] 5．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为z1＋z2＝3－4i＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，所以复数z1＋z2对应的点的坐标是(1，－1)，故其对应点在第四象限．] 6．设z1＝－3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2＝　____________　. 解析：z1－z2＝(－3－4i)－(－2＋3i)＝(－3＋2)＋(－4－3)i＝－1－7i. 答案：－1－7i 7．设复数z＝＋i(其中i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z－＝　____________　. 解析：复数z＝＋i，＝－i，则z－＝－＝i. 答案：i 8．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为　____________　. 解析：＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 答案：1－i 9．已知z1＝3i，z2＝1－i，z3＝－2＋5i，计算z1－z2，z1＋z2－z3. 解：z1－z2＝3i－(1－i)＝(0－1)＋[3－(－1)]i＝－1＋4i；z1＋z2－z3＝3i＋(1－i)－(－2＋5i)＝[0＋1－(－2)]＋[3＋(－1)－5]i＝3－3i. [能力提升] 10．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．] 11．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析：D　[z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.] 12．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 解析：A　[由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．] 13．已知复数z1＝(a2－2)－3ai.z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为　____________　. 解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数．得⇒a＝－2. 答案：－2 14．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝　____________　. 解析：∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，∴即∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i 15．在复平面内A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i. (1)求，，对应的复数； (2)判断△ABC的形状． 解：(1)A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.所以，，对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，所以＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)．所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)．即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i. (2)因为||＝＝，||＝＝.||＝＝，因为||2＋||2＝10＝||2.且||≠||，所以△ABC是以角A为直角的直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $