5.1.2 复数的几何意义（Word版）-【创新教程】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册五维课堂同步复习（高教版）

5．1.2　复数的几何意义 课程标准 素养解读 1.了解复平面的概念． 2．理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 3．掌握复数模的概念，会求复数的模. 1.通过复数的几何意义的学习，提升直观想象等核心素养． 2．通过共轭复数和复数模的计算，提升数学运算和逻辑推理等核心素养. 我们知道，任意一个实数都可以用数轴上的点来表示，那么复数可否用点来表示呢？ [知识点一]　复平面　 建立直角坐标系用来表示复数的平面叫做　复平面　，直角坐标系中的x轴称为　实轴　，y轴(除去原点)称为　虚轴　，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示　纯虚数　.即任一实数a与x轴上的点(a,0)一一对应，任一纯虚数bi(b≠0)与y轴上的点(0，b)一一对应． [知识点二]　复数的几何意义　 [知识点三]　复数的模　 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的长度称为复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝　　. [知识点四]　共轭复数　 1．一般地，如果两个复数的实部　相等　，虚部　互为相反数　时，称这两个复数为互为　共轭复数　. 2．虚部不等于0的两个共轭复数也称为　共轭虚数　. 3．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝　a－bi　. 4．在复平面内，表示两个互为共轭复数的点关于实轴　对称　，并且它们的　模相等　.特别地，实数a的共轭复数是a本身． 1.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模的几何意义是什么？ 提示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模表示复平面内点(a，b)到原点的距离． 1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则(　　) A．a>0，b<0 B．a>0.b>0 C．a<0，b<0 D．a<0，b>0 解析：D　[复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面对应点的坐标为(a，b)，由点(a，b)在第二象限可得a<0，b>0.] 2．复数z＝1＋3i的模等于(　　) A．2 B．4 C. D．2 解析：C　[|z|＝＝.] 3．若z＝2－i，则复数＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 解析：D　[复数z＝2－i的共轭复数为＝2＋i.] 　复数与复平面内向量的对应 　用复平面内的点和向量表示复数：2＋3i，－2i,3,0. [思路点拨]　正确画出复平面，利用复数z点和向量的对应关系作图． [解]　如图所示，复数2＋3i用点A(2,3)表示，向量为；－2i用点B(0，－2)表示，向量为；3用点C(3,0)表示，向量为；0用原点O(0,0)表示，向量为0. 复数与点，向量的对应关系 复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． 复数z与向量是一一对应关系． 复数的有关问题转化为向量问题求解． [变式训练] 1．在复平面内，画出表示复数3－i、4、2i的点和向量． 解：如图所示表示复数3－i的点为A(3，－1)，向量为；表示复数4的点为B(4,0)，向量为；表示复数2i的点为C(0,2)，向量为. 　求复数的模和共轭复数 　求下列各复数的模和共轭复数． (1)z1＝1＋i；(2)z2＝1－i；(3)z3＝5i. [思路点拨]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝，其共轭复数为＝a－bi. [解]　(1)因为a＝1，b＝，所以|z1|＝＝2，共轭复数为1＝1－i. (2)因为a＝1，b＝－1，所以|z2|＝＝，共轭复数为2＝1＋i. (3)因为a＝0，b＝5，所以|z3|＝＝5，共轭复数为3＝－5i. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，其共轭复数为＝a－bi，分清复数的实部和虚部是解此类题的关键． [变式训练] 2．求下列复数的模和共轭复数． (1)z1＝4－3i；(2)z2＝5＋12i；(3)z3＝－i. 解：(1)|z1|＝＝5，1＝4＋3i. (2)|z2|＝＝13，2＝5－12i. (3)|z3|＝＝1，3＝＋i. 　复数模的几何意义 　设z∈C，满足下列条件的点的集合分别是什么图形 (1)|z|＝4. (2)2<|z|<4. [思路点拨]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝的几何意义是复平面上的点z(a，b)到原点的距离． [解]　(1)复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件|z|＝4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆． (2)2<|z|<4可化为不等式组不等式|z|<4的解集是圆|z|＝4内部所有的点组成的集合，不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是不等式组所表示的集合．容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界． 解复数所对应点的图形问题常用两种方法 方法一：根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状． 方法二：利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法． [变式训练] 3．设复数z在复平面内对应的点为Z，问满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝3； (2)2≤|z|≤3. 解： (1)由|z|＝3知，向量的模等于3，所以满足条件|z|＝3的点Z的集合是以原点为圆心、以3为半径的圆． (2)不等式2≤|z|≤3可化为满足条件|z|≥2的点Z在以原点O为圆心、以2为半径的圆上或其外部，满足条件|z|≤3的点Z在以原点O为圆心、以3为半径的圆上或其内部．因此，满足条件2≤|z|≤3的点的集合是以原点O为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所围成的圆环且包括圆环的边界． 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．] 2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 解析：D　[由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1,2)，故向量对应的复数为－1＋2i.] 3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(　　) A．z1>z2 B．z1<z2 C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2| 解析：D　[|z1|＝|5＋3i|＝＝.|z2|＝|5＋4i|＝＝.因为<，所以|z1|<|z2|.] 4．复数i的共轭复数的模等于　____________　. 解析：复数i的共轭复数为－i，故其模为. 答案： [基础过关] 1.在复平面内，复数z＝i－2对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[z＝i－2＝－2＋i对应的点为(－2,1)，在第二象限．] 2已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：A　[由题意得解得－3<m<1.] 3．若复数z＝(m＋1)＋(m－2)i，其中m∈R，则复数z对应的点不可能位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　[复数z对应的点为(m＋1，m－2)．因为m＋1>m－2，所以点(m＋1，m－2)不可能位于第二象限．] 4．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　) A．－1＋i B．1＋i C．－1＋i或1＋i D．－2＋i 解析：A　[因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i.] 5．在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 解析：B　[由题意得A(－1,2)，则B(－2,1)，所以向量表示的复数为－2＋i.] 6．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝　____________　，b＝　____________　. 解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4. 答案：2　4 7．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝　____________　. 解析：复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3. 答案：3 8．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为　____________　. 解析：A点坐标为(2,1)关于虚轴对称点B的坐标为(－2,1)．即＝(－2,1)，对应复数为－2＋i. 答案：－2＋i 9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y＝x上． 解：(1)由题意得解得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限； (2)由题意得 或所以m>7或－2<m<3，此时复数z对应的点位于第一、三象限； (3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，所以m2－6m－11＝0，所以m＝3±2，此时复数z对应的点位于直线y＝x上． [能力提升] 10．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　) A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C．a＝0或a＝2 D．a＝0 解析：C　[∵z在复平面内对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.] 11．若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　) A．5 B. C．2 D．2 解析：A　[由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，所以解得所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.] 12．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z构成的图形是(　　) A．2个点 B．1个圆 C．2个圆 D．1条线段 解析：B　[由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|＋1)(|z|－3)＝0，因为|z|＋1>0，所以|z|－3＝0，即|z|＝3，它表示复数z对应的点到原点的距离为3，即其轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．] 13．已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|<4，则实数a的取值范围为　____________　. 解析：因为z＝3＋ai(a∈R)，所以|z|＝，由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－，)． 答案：(－，) 14．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是　____________　. 解析：复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以解得－1<a<2. 由条件得|z|＝＝ ＝＝ ，因为－1<a<2，所以|z|∈. 答案： 15．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？ 解：(1)|z1|＝＝2，|z2|＝ ＝1，∴|z1|>|z2|. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2. 因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $